Частные производные 1 и 2 порядка онлайн. Особенности вычисления частных производных
Понятие функции многих переменных
Пусть имеется n-перем-х и каждому х 1 , х 2 … х n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z, тогда на множ-ве х задана ф-ция Z=f(х 1 , х 2 … х n) многих переменных.
Х – обл-ть опред-я ф-ции
х 1 , х 2 … х n – независ-е переем-е (аргументы)
Z – ф-ция Пример: Z=П х 2 1 *х 2 (Объем цилиндра)
Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х 1 , х 2 замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.
Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.
Пример: х = х 0 , зн. пл-ть Х || 0уz у = у 0 0хz Вид ф-ции: Z=f(х 0 ,y); Z=f(x,у 0)
Например: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Парабола окруж-ть(центр(0;1)
Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х 0 ,y 0), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(х;у) непрерывна в т.(х 0 ,y 0), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х 0 и у к у 0 ; - этот предел = знач-ю ф-ции в т.(х 0 ,y 0), т.е. limf(х;у)=f(х 0 ,y 0) Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области Дифференциал ф-ции, его геом смысл. Применение диф-ла в приближенных значениях.
dy=f’(x)∆x – диф-л ф-ции dy=dx, т.е. dy=f ’(x)dx если у=х С геом точки зрения диф-л ф-ции – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке с абсциссой х 0 Диф-л применяют в вычислении приближ. значений ф-ции по формуле: f(х 0 +∆x)~f(х 0)+f’(х 0)∆x Чем ближе ∆x к х, тем результат точнее Частные производные первого и второго порядка
Производная первого порядка(которая называется частной) О. Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х 0, у 0. Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y) Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е. Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной. Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х, у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const. Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания. Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления. Производная изолированной const = 0 1.4.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
Пусть z = f(x,y), тогда tz = - называется полным приращением
Частная производная 2-го порядка Для непрерывных функций 2-х переменных смешанные частные производные 2-го порядка и совпадают. Применение частных производных к определению частных производных max и min функций называются экстремумами. О. Точки называются max или min z = f(x,y), если существуют некоторые отрезки такие, что для всех x и y из этой окрестности f(x,y) Т. Если задана точка экстремума функции 2-х переменных, то значение частных производных в этой точке равны 0, т.е. , Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими. Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума. Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка, 1) , причем maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Полный дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
О. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности в точки . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке , где представлено в виде (1) Где А – постоянная величина, не зависящая от , при фиксированной точке х, - бесконечно малая при . Линейная относительно функция А называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df() или dy. Таким образом, выражение (1) можно записать в виде (). Дифференциал функции в выражении (1) имеет вид dy = A . Как и всякая линейная функция, он определен для любого значений в то время, как приращение функции необходимо рассматривать только для таких , для которых + принадлежит области определения функции f(x). Для удобства записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимой переменной x. Поэтому дифференциал записывают в виде dy = Adx. Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx: Т. Для того, чтобы функция y = g(x) была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом (*)Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке , т.е. . Тогда Поэтому производная f’() существует и равна А. Отсюда dy = f’()dx Достаточность. Пусть существует производная f’(), т.е. = f’(). Тогда
кривую y = f(x) отрезком касательной. Для вычисления значения функции в точке х берут в некоторой ее окрестности точку , такую, что не составляет труда найти f() и f’()/ Рассмотрены примеры вычисления производных высших порядков явных функций. Даны полезные формулы для вычисления производных n-го порядка. Здесь мы рассматриваем случай, когда переменная y
зависит от переменной x
явным образом: Производные могут обозначаться
штрихами, римскими цифрами, арабскими цифрами в скобках или дробью из дифференциалов. Например, производные третьего и четвертого порядков могут обозначаться так: Ниже приведены формулы, которые могут быть полезными при вычислении производных высших порядков. Производные некоторых элементарных функций
: Производная суммы функций
: Формула Лейбница производной произведения двух функций
: Найти производные первого и второго порядка следующей функции: Находим производную первого порядка.
Выносим постоянную за знак производной и применяем формулу из таблицы производных : Находим производную от функции .
Это проще сделать с помощью логарифмической производной . Логарифмируем (П1.1): ;
Найти производную третьего порядка: Находим производную первого порядка
. Для этого выносим постоянную за знак производной, используем таблицу производных
и применяем правило нахождения производной сложной функции
. Находим производную второго порядка
. Для этого находим производную от .
Применяем формулу производной дроби . Теперь находим искомую производную третьего порядка
. Для этого дифференцируем .
Производная третьего порядка равна Найти производную шестого порядка следующей функции: Если раскрыть скобки, то будет ясно, что исходная функция является многочленом степени .
Запишем ее в виде многочлена: Далее применим формулу n-й производной степенной функции: Используем формулу производной суммы функций: Найти n-ю производную функции Найти n-ю производную следующей функции: В этом примере вычисления удобно выполнять с использованием комплексных чисел. Пусть мы имеем некоторую комплексную функцию Применим этот прием для решения нашего примера. Рассмотрим функцию Найдем n-ю производную функции Итак, мы нашли n-ю производную комплексной функции :
Решение примера Пусть ,
.
,
Пусть задана функция . Так как x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая сохранять свое значение. Дадим независимой переменной x приращение , сохраняя значение y неизменным. Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается . Итак, .
Аналогично получаем частное приращение z по y: .
Полное приращение функции z определяется равенством .
Если существует предел , то он называется частной производной функции в точке по переменной x и обозначается одним из символов:
.
Частные производные по x в точке обычно обозначают символами .
Аналогично определяется и обозначается частная производная от по переменной y:
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находится по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственно x или y считаются постоянной величиной).
Частные производные и называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:
; ;
; .
Дифференциалы 1 и 2 порядка функции двух переменных.
Полный дифференциал функции (формула 2.5) называют дифференциалом первого порядка.
Формула для вычисления полного дифференциала имеет следующий вид:
(2.5) или , где ,
частные дифференциалы функции .
Пусть функция имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка определяется по формуле . Найдем его:
Отсюда: . Символически это записывается так:
.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Первообразная функции, неопределенный интеграл, свойства.
Функция F(x) называется первообразной
для данной функции f{x), если F"(x)=f(x), или, что то же, если dF(x)=f(x)dx.
Теорема. Если функция f(x), определенная в некотором промежутке (X) конечной или бесконечной длины, имеет одну первообразную, F(x), то она имеет и бесконечно много первообразных; все они содержатся в выражении F(x)+С, где С - произвольная постоянная.
Совокупность всех первообразных для данной функции f(x), определенной в некотором промежутке или на некотором отрезке конечной или бесконечной длины, называется неопределенным интегралом
от функции f(x) [или от выражения f(x)dx ] и обозначается символом .
Если F(x) есть одна из первообразных для f(x), то согласно теореме о первообразных
, где С есть произвольная постоянная.
По определению первообразной F"(x)=f(x) и, следовательно, dF(x)=f(x) dx. В формуле (7.1), f(x) называется подинтегральной функцией, а f(x) dx - подинтегральным выражением.
Подведем итог, чем же отличается нахождение частных производных от нахождения «обычных» производных функции одной переменной: 1) Когда мы находим частную производную
, то переменнаясчитается константой.
2) Когда мы находим частную производную
, то переменнаясчитается константой.
3) Правила и таблица производных элементарных функций справедливы и применимы для любой переменной (,
либо какой-нибудь другой), по которой ведется дифференцирование.
Шаг второй. Находим частные производные второго порядка. Их четыре. Обозначения:
Или – вторая производная по «икс» Или – вторая производная по «игрек» Или – смешанная
производная «по икс игрек» Или – смешанная
производная «по игрек икс» В понятии второй производной нет ничего сложного. Говоря простым языком, вторая производная – это производная от первой производной.
Для наглядности я перепишу уже найденные частные производные первого порядка: Сначала найдем смешанные производные: Как видите, всё просто: берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по «игрек». Аналогично: Для практических примеров, когда все частные производные непрерывны, справедливо следующее равенство:
Таким образом, через смешанные производные второго порядка очень удобно проверить, а правильно ли мы нашли частные производные первого порядка. Находим вторую производную по «икс». Никаких изобретений, берем и дифференцируем её по «икс» еще раз: Аналогично: Следует отметить, что при нахождении , нужно проявить повышенное внимание
, так как никаких чудесных равенств для проверки не существует. Пример 2
Найти частные производные первого и второго порядка функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). При определенном опыте частные производные из примеров №№1,2 будут решаться Вами устно. Переходим к более сложным примерам. Пример 3
Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка . Решение: Находим частные производные первого порядка: Обратите внимание на подстрочный индекс: , рядом с «иксом» не возбраняется в скобках записывать, что – константа. Данная пометка может быть очень полезна для начинающих, чтобы легче было ориентироваться в решении. Дальнейшие комментарии: (1) Выносим все константы за знак производной. В данном случае и , а, значит, и их произведение считается постоянным числом. (2) Не забываем, как правильно дифференцировать корни. (1) Выносим все константы за знак производной, в данной случае константой является . (2) Под штрихом у нас осталось произведение двух функций, следовательно, нужно использовать правило дифференцирования произведения . (3) Не забываем, что – это сложная функция (хотя и простейшая из сложных). Используем соответствующее правило: . Теперь находим смешанные производные второго порядка: Значит, все вычисления выполнены верно. Запишем полный дифференциал . В контексте рассматриваемого задания не имеет смысла рассказывать, что такое полный дифференциал функции двух переменных. Важно, что этот самый дифференциал очень часто требуется записать в практических задачах. Полный дифференциал первого порядка функции двух переменных имеет вид: В данном случае: То есть, в формулу нужно просто подставить уже найденные частные производные первого порядка. Значки дифференциалов и в этой и похожих ситуациях по возможности лучше записывать в числителях: Пример 4
Найти частные производные первого порядка функции . Проверить, что . Записать полный дифференциал первого порядка . Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и образец оформления задачи – в конце урока. Рассмотрим серию примеров, включающих в себя сложные функции. Пример 5
Найти частные производные первого порядка функции . (1) Применяем правило дифференцирования сложной функции . С урока Производная сложной функции
следует помнить очень важный момент: когда мы по таблице превращаем синус (внешнюю функцию) в косинус, то вложение (внутренняя функция) у нас не меняется
. (2) Здесь используем свойство корней: , выносим константу за знак производной, а корень представляем в нужном для дифференцирования виде. Аналогично: Запишем полный дифференциал первого порядка: Пример 6
Найти частные производные первого порядка функции . Записать полный дифференциал . Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Полное решение не привожу, так как оно достаточно простое Довольно часто все вышерассмотренные правила применяются в комбинации. Пример 7
Найти частные производные первого порядка функции . (1) Используем правило дифференцирования суммы. (2) Первое слагаемое в данном случае считается константой, поскольку в выражении нет ничего, зависящего от «икс» – только «игреки». (Знаете, всегда приятно, когда дробь удается превратить в ноль). Для второго слагаемого применяем правило дифференцирования произведения. Кстати, в алгоритме ничего бы не изменилось, если бы вместо была дана функция – важно, что здесь мы имеем произведение двух функций, КАЖДАЯ из которых зависит от «икс»
, поэтому нужно использовать правило дифференцирования произведения. Для третьего слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции. Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом). Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z"_x, z"_y $ и находятся по формулам: Частные производные первого порядка
$$ z"_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$ $$ z"_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$ Частные производные второго порядка
$$ z""_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$ $$ z""_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$ Смешанная производная
$$ z""_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$ $$ z""_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$ Частная производная сложной функции
а) Пусть $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле: $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$ б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле: $$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$ Частные производные неявно заданной функции
а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f"_x}{f"_y} $$ б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z"_x = - \frac{F"_x}{F"_z}; z"_y = - \frac{F"_y}{F"_z} $$ Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z"_x = (e^{xy})"_x = e^{xy} \cdot (xy)"_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z"_y = (e^{xy})"_y = e^{xy} \cdot (xy)"_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z""_{xx} = (z"_x)"_x = (ye^{xy})"_x = (y)"_x e^{xy} + y(e^{xy})"_x = 0 + ye^{xy}\cdot (xy)"_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z""_{yy} = (z"_y)"_y = (xe^{xy})"_y = (x)"_y e^{xy} + x(e^{xy})"_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z"_x $ по $ y $, а можно $ z"_y $ по $ x $, так как по теореме $ z""_{xy} = z""_{yx} $ $$ z""_{xy} = (z"_x)"_y = (ye^{xy})"_y = (y)"_y e^{xy} + y (e^{xy})"_y = ye^{xy}\cdot (xy)"_y = yxe^{xy} $$ Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$Определение производных высших порядков
.
Дифференцируя функцию по переменной x
,
получаем производную первого порядка, или просто производную:
.
В результате получаем новую функцию ,
которая является производной функции .
Дифференцируя эту новую функцию по переменной x
,
получаем производную второго порядка:
.
Дифференцируя функцию ,
получаем производную третьего порядка:
.
И так далее. Дифференцируя исходную функцию n
раз, получаем производную n
-го порядка или n-ю производную:
.
;
.
Полезные формулы производных n-го порядка
;
;
;
;
.
,
где - постоянные.
,
где
- биномиальные коэффициенты.Пример 1
.
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции :
.
Здесь .
Применяем правило дифференцирования сложной функции и используем найденные производные:
.
Здесь .
.
Чтобы найти производную второго порядка, нам нужно найти производную от производной первого порядка, то есть от функции:
.
Чтобы не путаться с обозначениями, обозначим эту функцию буквой :
(П1.1)
.
Тогда производная второго порядка
от исходной функции является производной от функции :
.
.
Теперь дифференцируем:
(П1.2)
.
Но - это постоянная. Ее производная равна нулю. Производную от мы уже нашли. Находим остальнве производные по правилу дифференцирования сложной функции.
;
;
.
Подставляем в (П1.2):
.
Отсюда
.
.
Пример 2
.
.
Здесь .
Итак, мы нашли производную первого порядка:
.
.
Производная второго порядка:
.
;
;
.
.
Пример 3
.
,
где - постоянные коэффициенты.
.
Для производной шестого порядка (n = 6
) имеем:
.
Отсюда видно, что при .
При имеем:
.
.
Таким образом, чтобы найти производную шестого порядка исходной функции, нам надо найти только коэффициент многочлена при старшей степени .
Находим его, перемножая старшие степени в произведениях сумм исходной функции:
.
Отсюда .
Тогда
.
Пример 4
.
Пример 5
,
где и - постоянные.
(П5.1)
,
где и - функции от действительной переменной x
;
- мнимая единица, .
Дифференцируя (П.1) n раз, имеем:
(П5.2)
.
Иногда проще найти n-ю производную от функции .
Тогда n-е производные функций и определяются как действительная и мнимая части от n-й производной :
;
.
.
Здесь мы применили формулу Эйлера
,
и ввели обозначение
.
Тогда n-я производная исходной функции определяется по формуле:
.
.
Для этого применим формулу:
.
В нашем случае
.
Тогда
.
,
где .
Найдем действительную часть функции .
Для этого представим комплексное число в показательной форме:
,
где ;
;
.
Тогда
;
.
.
Тогда ;
.
При ,
,
,
.
И мы получаем формулу n-й производной косинуса:
.
где
;
.
Формула
Примеры решений
Пример 1
Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $
Решение
Ответ
$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$
Пример 2
Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $
Решение
Ответ
$$ z"_x = ye^{xy}; z"_y = xe^{xy}; z""_{xy} = yxe^{xy} $$
Пример 4
Пусть $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.
Решение
Ответ
$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$