Сколько частных производных второго порядка. Частные производные первого и второго порядка
Понятие функции многих переменных
Пусть имеется n-перем-х и каждому х 1 , х 2 … х n из нек-го множ-ва х поставлено в соответствие опред. число Z, тогда на множ-ве х задана ф-ция Z=f(х 1 , х 2 … х n) многих переменных.
Х – обл-ть опред-я ф-ции
х 1 , х 2 … х n – независ-е переем-е (аргументы)
Z – ф-ция Пример: Z=П х 2 1 *х 2 (Объем цилиндра)
Рассм-м Z=f(х;у) – ф-цию 2-х перем-х (х 1 , х 2 замен-ся на х,у). Рез-ты по аналогии переносятся на др. ф-ции многих перем-х. Обл-ть опред-я ф-ции 2-х перем-х – вся корд пл-ть (оху) или ее часть. Мн-во знач-й ф-ции 2-х перем-х – поверх-ть в 3х-мерном простр-ве.
Приемы построения графиков: - Рассм-т сечение поверх-ти пл-тями || координатным пл-тям.
Пример: х = х 0 , зн. пл-ть Х || 0уz у = у 0 0хz Вид ф-ции: Z=f(х 0 ,y); Z=f(x,у 0)
Например: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Парабола окруж-ть(центр(0;1)
Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
Пусть задана Z=f(х;у), тогда А – предел ф-ции в т.(х 0 ,y 0), если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 сущ-т полож-е число б>0, что для всех х,у удовл-щих |x-х 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z=f(х;у) непрерывна в т.(х 0 ,y 0), если: - она опред-на в этой т.; - имеет конеч. предел при х, стрем-ся к х 0 и у к у 0 ; - этот предел = знач-ю ф-ции в т.(х 0 ,y 0), т.е. limf(х;у)=f(х 0 ,y 0) Если ф-ция непрерывна в кажд. т. мн-ва Х, то она непрерывна в этой области Дифференциал ф-ции, его геом смысл. Применение диф-ла в приближенных значениях.
dy=f’(x)∆x – диф-л ф-ции dy=dx, т.е. dy=f ’(x)dx если у=х С геом точки зрения диф-л ф-ции – это приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке с абсциссой х 0 Диф-л применяют в вычислении приближ. значений ф-ции по формуле: f(х 0 +∆x)~f(х 0)+f’(х 0)∆x Чем ближе ∆x к х, тем результат точнее Частные производные первого и второго порядка
Производная первого порядка(которая называется частной) О. Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х 0, у 0. Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y) Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е. Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной. Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х, у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const. Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания. Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления. Производная изолированной const = 0 1.4.Полный дифференциал функции 2-х переменных и его приложения
Пусть z = f(x,y), тогда tz = - называется полным приращением
Частная производная 2-го порядка Для непрерывных функций 2-х переменных смешанные частные производные 2-го порядка и совпадают. Применение частных производных к определению частных производных max и min функций называются экстремумами. О. Точки называются max или min z = f(x,y), если существуют некоторые отрезки такие, что для всех x и y из этой окрестности f(x,y) Т. Если задана точка экстремума функции 2-х переменных, то значение частных производных в этой точке равны 0, т.е. , Точки , в которых частные производные первого порядка называются стационарными или критическими. Поэтому для нахождения точек экстремума функции 2-х переменных используются достаточные условия экстремума. Пусть функция z = f(x,y) дважды дифференцируема, и стационарная точка, 1) , причем maxA<0, minA>0. 1.4.(*)Полный дифференциал. Геометрический смысл дифференциала. Приложение дифференциала в приближенных вычислениях
О. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности в точки . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке , где представлено в виде (1) Где А – постоянная величина, не зависящая от , при фиксированной точке х, - бесконечно малая при . Линейная относительно функция А называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df() или dy. Таким образом, выражение (1) можно записать в виде (). Дифференциал функции в выражении (1) имеет вид dy = A . Как и всякая линейная функция, он определен для любого значений в то время, как приращение функции необходимо рассматривать только для таких , для которых + принадлежит области определения функции f(x). Для удобства записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимой переменной x. Поэтому дифференциал записывают в виде dy = Adx. Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx: Т. Для того, чтобы функция y = g(x) была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом (*)Доказательство. Необходимость. Пусть функция f(x) дифференцируема в точке , т.е. . Тогда Поэтому производная f’() существует и равна А. Отсюда dy = f’()dx Достаточность. Пусть существует производная f’(), т.е. = f’(). Тогда
кривую y = f(x) отрезком касательной. Для вычисления значения функции в точке х берут в некоторой ее окрестности точку , такую, что не составляет труда найти f() и f’()/ Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных. Для того чтобы найти частные производные второго порядка, необходимо сначала найти частные производные первого порядка или, в другой записи: Частных производных второго порядка девять штук. Первая группа – это вторые производные по тем же переменным: Или – вторая производная по «икс»; Или – вторая производная по «игрек»; Или – вторая производная по «зет». Вторая группа – это смешанные
частные производные 2-го порядка, их шесть: Или – смешанная
производная «по икс игрек»; Или – смешанная
производная «по игрек икс»; Или – смешанная
производная «по икс зет»; Или – смешанная
производная «по зет икс»; Или – смешанная
производная «по игрек зет»; Или – смешанная
производная «по зет игрек». Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка: Примечание: строго говоря, это не всегда так. Для равенства смешанных производных необходимо выполнение требования их непрерывности.
На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух: – «у два штриха дважды по игрек»; – «дэ два у по дэ зет квадрат»; – «у два штриха по икс по зет»; – «дэ два у по дэ зет по дэ игрек». Пример 10
Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных: . Решение:
Сначала найдем частные производные первого порядка: Берём найденную производную и дифференцируем её по «игрек»: Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»: Равенство выполнено. Хорошо. Разбираемся со второй парой смешанных производных. Берём найденную производную и дифференцируем её по «зет»: Берём найденную производную и дифференцируем её по «икс»: Равенство выполнено. Хорошо. Аналогично разбираемся с третьей парой смешанных производных: Равенство выполнено. Хорошо. После проделанных трудов гарантированно можно утверждать, что, во-первых, мы правильно нашли все частные производные 1-го порядка, во-вторых, правильно нашли и смешанные частные производные 2-го порядка. Осталось найти ещё три частные производные второго порядка, вот здесь уже во избежание ошибок следует максимально сконцентрировать внимание: Готово. Повторюсь, задание не столько сложное, сколько объемное. Решение можно сократить и сослаться на равенства смешанных частных производных, но в этом случае не будет проверки. Поэтому лучше потратить время и найти все
производные (к тому же это может потребовать преподаватель), или, в крайнем случае, выполнить проверку на черновике. Пример 11
Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных . Это пример для самостоятельного решения. Решения и ответы:
Пример 2:
Решение:
Пример 4:
Решение:
Найдем частные производные первого порядка.
Составим полный дифференциал первого порядка:
Пример 6:
Решение:
M
(1, -1, 0):
Пример 7:
Решение:
Вычислим частные производные первого порядка в точке
M
(1, 1, 1):
Пример 9:
Решение:
Пример 11:
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
Найдем частные производные второго порядка:
.
Интегралы
8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений
Начнем изучение темы «Неопределенный интеграл»
, а также подробно разберем примеры решений простейших (и не совсем) интегралов. Как обычно, мы ограничимся минимумом теории, которая есть в многочисленных учебниках, наша задача – научиться решать интегралы. Что нужно знать для успешного освоения материала? Для того, чтобы справиться с интегральным исчислением, Вам необходимо уметь находить производные, минимум, на среднем уровне. Не лишним опытом будет, если у Вас за плечами несколько десятков, а лучше – сотня самостоятельно найденных производных. По крайне мере, Вас не должны ставить в тупик задания на дифференцирование простейших и наиболее распространенных функций. Казалось бы, причем здесь вообще производные, если речь в статье пойдет об интегралах?! А дело вот в чем. Дело в том, что нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов (дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия
, как, например, сложение/вычитание или умножение/деление. Таким образом, без навыка и какого-никакого опыта нахождения производных, к сожалению, дальше не продвинуться. В этой связи нам потребуются следующие методические материалы: Таблица производных
и Таблица интегралов
. В чем сложность изучения неопределенных интегралов? Если в производных имеют место строго 5 правил дифференцирования, таблица производных и довольно четкий алгоритм действий, то в интегралах всё иначе. Существуют десятки способов и приемов интегрирования. И, если способ интегрирования изначально подобран неверно (т.е. Вы не знаете, как решать), то интеграл можно «колоть» буквально сутками, как самый настоящий ребус, пытаясь приметить различные приемы и ухищрения. Некоторым даже нравится. Между прочим, нам довольно часто приходилось слышать от студентов (не гуманитарных специальностей) мнение вроде: «У меня никогда не было интереса решить предел или производную, но вот интегралы – совсем другое дело, это увлекательно, всегда есть желание «взломать» сложный интеграл». Стоп. Хватит чёрного юмора, переходим к этим самым неопределенным интегралам. Коль скоро способов решения существует много, то с чего же начать изучение неопределенных интегралов чайнику? В интегральном исчислении существуют, на наш взгляд, три столпа или своеобразная «ось», вокруг которой вращается всё остальное. В первую очередь следует хорошо разобраться в простейших интегралах (эта статья). Потом нужно детально проработать урок . ЭТО ВАЖНЕЙШИЙ ПРИЁМ! Может быть, даже самая важная статья из всех статей, посвященных интегралам. И, в-третьих, обязательно следует ознакомиться с методом интегрирования по частям
, поскольку с помощью него интегрируется обширный класс функций. Если Вы освоите хотя бы эти три урока, то уже «не два». Вам могут «простить» незнание интегралов от тригонометрических функций
, интегралов от дробей
, интегралов от дробно-рациональных функций
, интегралов от иррациональных функций (корней)
, но вот если «сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно. Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид: Сразу разбираемся в обозначениях и терминах: – значок интеграла. – подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»). – значок дифференциала. Что это такое, мы рассмотрим совсем скоро. Главное, что при записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет. – подынтегральное выражение или «начинка» интеграла. – первообразная
функция. – . Не нужно сильно загружаться терминами, здесь самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается константа . Решить неопределенный интеграл – это значит найти
множество первообразных функций
от данной подынтегральной функции Еще раз посмотрим на запись: Посмотрим в таблицу интегралов. Что происходит? Левые части у нас превращаются
в другие функции: . Упростим наше определение: Решить неопределенный интеграл– это значит ПРЕВРАТИТЬ его в неопределенную (с точностью до константы) функцию
, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.
Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? Символическая запись превратилась в множество первообразных функций . Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, или первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны. Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найденаправильно, справедливо следующее:
Иными словами, если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция.
Вернемся к тому же табличному интегралу . Убедимся в справедливости данной формулы. Берем производную от правой части: – это исходная подынтегральная функция. Вот, кстати, стало понятнее, почему к функции всегда приписывается константа . При дифференцировании константа всегда превращается в ноль. Решить неопределенный интеграл
– это значит найти множество
всех
первообразных, а не какую-то одну функцию. В рассматриваемом табличном примере , , , и т. д. – все эти функции являются решением интеграла . Решений бесконечно много, поэтому записывают коротко: Таким образом, любой неопределенный интеграл достаточно легко проверить. Это некоторая компенсация за большое количество интегралов разных видов. Переходим к рассмотрению конкретных примеров. Начнем, как и при изучении производной, с двух правил интегрирования: – константу C
можно (и нужно) вынести за знак интеграла. – интеграл суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) двух интегралов. Данное правило справедливо для любого количества слагаемых. Как видите, правила, в принципе, такие же, как и для производных. Иногда их называют свойствами линейности
интеграла. Пример 1
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Решение:
Удобнее преобразовать его, как. (1) Применяем правило . На забываем записать значок дифференциала dx
под каждым интегралом. Почему под каждым? dx
– это полноценный множитель.
Если расписывать детально, то первый шаг следует записать так: . (2) Согласно правилу выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом tg
5 – это константа, её также выносим. Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде. Корни и степени, которые располагаются в знаменателе – перенести вверх.
Примечание:
в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду
, а степени переносить вверх.
Например,
– это готовый табличный интеграл, который уже посчитали до Вас, и всякие китайские хитрости вроде
совершенно не нужны. Аналогично:
– это тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде
. Внимательно изучите таблицу!
(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и для степенной функции - . Следует отметить, что табличный интеграл – это частный случай формулы для степенной функции: . Константу
C достаточно приплюсовать один раз в конце выражения
(а не ставить их после каждого интеграла
).
(4)Записываем полученный результат в более компактном виде, когда все степени вида снова представляем в виде корней, а степени с отрицательным показателем сбрасываем обратно в знаменатель. Проверка. Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ: Получена исходная подынтегральная функция
, т. е. интеграл найден правильно. От чего плясали, к тому и вернулись. Хорошо, когда история с интегралом заканчивается именно так. Время от времени встречается немного другой подход к проверке неопределенного интеграла, когда от ответа берется не производная, а дифференциал: . В итоге получаем не подынтегральную функцию, а подынтегральное выражение. Не стоит пугаться понятия дифференциал. Дифференциал – это производная, умноженная на dx
.
Однако нам важны не теоретические тонкости, а то, что с этим дифференциалом дальше делать. Дифференциал раскрывается следующим образом: значок d
убираем, справа над скобкой ставим штрих, в конце выражения приписываем множитель dx
: Получено исходное подынтегральное выражение
, то есть интеграл найден правильно. Как видите, дифференциал сводится к нахождению производной. Второй способ проверки мне нравится меньше, так как приходиться дополнительно рисовать большие скобки и тащить значок дифференциала dx
до конца проверки. Хотя он корректнее, или «солиднее», что ли. На самом деле можно было умолчать о втором способе проверки. Дело не в способе, а в том, что мы научились раскрывать дифференциал. Еще раз. Дифференциал раскрывается следующим образом:
1) значок d
убираем; 2) справа над скобкой ставим штрих (обозначение производной); 3) в конце выражения приписываем множитель dx
. Например: Запомните это. Рассмотренный приём потребуется нам очень скоро. Пример 2
. Когда мы находим неопределенный интеграл, то ВСЕГДА стараемся сделать проверку
, тем более, для этого есть прекрасная возможность. Далеко не все типы задач в высшей математике являются подарком с этой точки зрения. Неважно, что часто в контрольных заданиях проверки не требуется, её никто, и ничто не мешает провести на черновике. Исключение можно сделать лишь тогда, когда не хватает времени (например, на зачете, экзамене). Лично я всегда проверяю интегралы, а отсутствие проверки считаю халтурой и некачественно выполненным заданием. Пример 3
Найти неопределенный интеграл: . Выполнить проверку. Решение: Анализируя интеграл, мы видим, что у нас под интегралом произведение двух функций, да еще и возведение в степень целого выражения. К сожалению, на поприще интегральной битвы нет
хороших и удобных формул для интегрирования произведения и частного
в виде: или . Поэтому, когда дано произведение или частное, всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли преобразовать подынтегральную функцию в сумму? Рассматриваемый пример – тот случай, когда можно. Сначала приведём полное решение, комментарии будут ниже. (1) Используем старую добрую формулу квадрата суммы для любых действительных чисел , избавляясь от степени над общей скобкой. за скобки и применяя формулу сокращенного умножения в обратном направлении: . Пример 4
Найти неопределенный интеграл Выполнить проверку. Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока. Пример 5
Найти неопределенный интеграл . Выполнить проверку. В данном примере подынтегральная функция представляет собой дробь. Когда мы видим в подынтегральном выражении дробь, то первой мыслью должен быть вопрос: «А нельзя ли как-нибудь от этой дроби избавиться, или хотя бы её упростить?». Замечаем, что в знаменателе находится одинокий корень из «икс». Один в поле – не воин, значит, можно почленно разделить числитель на знаменатель: Действия с дробными степенями мы не комментируем, так как о них неоднократно шла речь в статьях о производной функции. Если Вас все-таки ставит в тупик такой пример, как и ни в какую не получается правильный ответ , Также обратите внимание, что в решении пропущен один шаг, а именно, применение правил , . Обычно при определенном опыте решения интегралов данные правила считают очевидным фактом и не расписывают подробно. Пример 6
Найти неопределенный интеграл. Выполнить проверку. Это пример для самостоятельно решения. Ответ и полное решение в конце урока. В общем случае с дробями в интегралах не всё так просто, дополнительный материал по интегрированию дробей некоторых видов можно найти в статье: Интегрирование некоторых дробей
. Но, прежде чем перейти к вышеуказанной статье, необходимо ознакомиться с уроком: Метод замены в неопределенном интеграле
. Дело в том, что подведение функции под дифференциал или метод замены переменной является ключевым моментом
в изучении темы, поскольку встречается не только «в чистых заданиях на метод замены», но и во многих других разновидностях интегралов. Решения и ответы:
Пример 2: Решение:
Пример 4: Решение:
В данном примере мы использовали формулу сокращенного умножения
Пример 6: Решение:
Метод замены переменной в неопределенном интеграле. Примеры решений
На данном уроке мы познакомимся с одним из самых важных и наиболее распространенных приемов, который применяется в ходе решения неопределенных интегралов – методом замены переменной. Для успешного освоения материала требуются начальные знания и навыки интегрирования. Если есть ощущение пустого полного чайника в интегральном исчислении, то сначала следует ознакомиться с материалом Неопределенный интеграл. Примеры решений
, где объяснено в доступной форме, что такое интеграл и подробно разобраны базовые примеры для начинающих. Технически метод замены переменной в неопределенном интеграле реализуется двумя способами: – Подведение функции под знак дифференциала.
– Собственно замена переменной.
По сути дела, это одно и то же, но оформление решения выглядит по-разному. Начнем с более простого случая. Частные производные применяются в заданиях с функциями нескольких переменных. Правила нахождения точно такие же как и для функций одной переменной, с разницей лишь в том, что одну из переменных нужно считать в момент дифференцирования константой (постоянным числом). Частные производные для функции двух переменных $ z(x,y) $ записываются в следующем виде $ z"_x, z"_y $ и находятся по формулам: Частные производные первого порядка
$$ z"_x = \frac{\partial z}{\partial x} $$ $$ z"_y = \frac{\partial z}{\partial y} $$ Частные производные второго порядка
$$ z""_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial x} $$ $$ z""_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial y} $$ Смешанная производная
$$ z""_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $$ $$ z""_{yx} = \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $$ Частная производная сложной функции
а) Пусть $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогда производная сложной функции определяется по формуле: $$ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{dy}{dt} $$ б) Пусть $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогда частные производные функции находится по формуле: $$ \frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial u} $$ $$ \frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial v} $$ Частные производные неявно заданной функции
а) Пусть $ F(x,y(x)) = 0 $, тогда $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{f"_x}{f"_y} $$ б) Пусть $ F(x,y,z)=0 $, тогда $$ z"_x = - \frac{F"_x}{F"_z}; z"_y = - \frac{F"_y}{F"_z} $$ Для нахождения частной производной по $ x $ будем считать $ y $ постоянной величиной (числом): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Для нахождения частной производной функции по $ y $ определим $ y $ константой: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! Сперва нужно найти первый производные, а затем зная их можно найти производные второго порядка. Полагаем $ y $ константой: $$ z"_x = (e^{xy})"_x = e^{xy} \cdot (xy)"_x = ye^{xy} $$ Положим теперь $ x $ постоянной величиной: $$ z"_y = (e^{xy})"_y = e^{xy} \cdot (xy)"_y = xe^{xy} $$ Зная первые производные аналогично находим вторые. Устанавливаем $ y $ постоянной: $$ z""_{xx} = (z"_x)"_x = (ye^{xy})"_x = (y)"_x e^{xy} + y(e^{xy})"_x = 0 + ye^{xy}\cdot (xy)"_x = y^2e^{xy} $$ Задаем $ x $ постоянной: $$ z""_{yy} = (z"_y)"_y = (xe^{xy})"_y = (x)"_y e^{xy} + x(e^{xy})"_y = 0 + x^2e^{xy} = x^2e^{xy} $$ Теперь осталось найти смешанную производную. Можно продифференцировать $ z"_x $ по $ y $, а можно $ z"_y $ по $ x $, так как по теореме $ z""_{xy} = z""_{yx} $ $$ z""_{xy} = (z"_x)"_y = (ye^{xy})"_y = (y)"_y e^{xy} + y (e^{xy})"_y = ye^{xy}\cdot (xy)"_y = yxe^{xy} $$ Записываем функцию в формате: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ и находим производные: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$ Рассмотрим функцию от двух переменных: Поскольку переменные $x$ и $y$ являются независимыми, для такой функции можно ввести понятие частной производной: Частная производная функции $f$ в точке $M=\left({{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ по переменной $x$ — это предел \[{{{f}"}_{x}}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left({{x}_{0}}+\Delta x;{{y}_{0}} \right)}{\Delta x}\] Аналогично можно определить частную производную по переменной $y$ : \[{{{f}"}_{y}}=\underset{\Delta y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left({{x}_{0}};{{y}_{0}}+\Delta y \right)}{\Delta y}\] Другими словами, чтобы найти частную производную функции нескольких переменных, нужно зафиксировать все остальные переменные, кроме искомой, а затем найти обычную производную по этой искомой переменной. Отсюда вытекает основной приём для вычисления таких производных: просто считайте, что все переменные, кроме данной, являются константой, после чего дифференцируйте функцию так, как дифференцировали бы «обычную» — с одной переменной. Например: $\begin{align}& {{\left({{x}^{2}}+10xy \right)}_{x}}^{\prime }={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+10y\cdot {{\left(x \right)}^{\prime }}_{x}=2x+10y, \\& {{\left({{x}^{2}}+10xy \right)}_{y}}^{\prime }={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+10x\cdot {{\left(y \right)}^{\prime }}_{y}=0+10x=10x. \\\end{align}$ Очевидно, что частные производные по разным переменным дают разные ответы — это нормально. Куда важнее понимать, почему, скажем, в первом случае мы спокойно вынесли $10y$ из-под знака производной, а во втором — вовсе обнулили первое слагаемое. Всё это происходит из-за того, что все буквы, кроме переменной, по которой идёт дифференцирование, считаются константами: их можно выносить, «сжигать» и т.д. Сегодня мы поговорим о функциях нескольких переменных и о частных производных от них. Во-первых, что такое функция нескольких переменных? До сих пор мы привыкли считать функцию как $y\left(x \right)$ или $t\left(x \right)$, или любую переменную и одну-единственную функцию от нее. Теперь же функция у нас будет одна, а переменных несколько. При изменении $y$ и $x$ значение функции будет меняться. Например, если $x$ увеличится в два раза, значение функции поменяется, при этом если $x$ поменяется, а $y$ не изменится, значение функции точно так же изменится. Разумеется, функцию от нескольких переменных, точно так же как и от одной переменной, можно дифференцировать. Однако поскольку переменных несколько, то и дифференцировать можно по разным переменным. При этом возникают специфические правила, которых не было при дифференцировании одной переменной. Прежде всего, когда мы считаем производную функции от какой-либо переменной, то обязаны указывать, по какой именно переменной мы считаем производную — это и называется частной производной. Например, у нас функция от двух переменных, и мы можем посчитать ее как по $x$, так и по $y$ — две частных производных у каждой из переменных. Во-вторых, как только мы зафиксировали одну из переменных и начинаем считать частную производную именно по ней, то все остальные, входящие в эту функцию, считаются константами. Например, в $z\left(xy \right)$, если мы считаем частную производную по $x$, то везде, где мы встречаем $y$, мы считаем ее константой и обращаемся с ней именно как с константой. В частности при вычислении производной произведения мы можем выносить $y$ за скобку (у нас же константа), а при вычислении производной суммы, если у нас где-то получается производная от выражения, содержащего $y$ и не содержащего $x$, то производная этого выражения будет равна «нулю» как производная константы. На первый взгляд может показаться, что я рассказываю о чем-то сложном, и многие ученики по началу путаются. Однако ничего сверхъестественного в частных производных нет, и сейчас мы убедимся в этом на примере конкретных задач. Чтобы не терять время зря, с самого начала начнем с серьезных примеров. Для начала напомню такую формулу: Это стандартное табличное значение, которое мы знаем из стандартного курса. В этом случае производная $z$ считается следующим образом: \[{{{z}"}_{x}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}\] Давайте еще раз, поскольку под корнем стоит не $x$, а некое другое выражение, в данном случае $\frac{y}{x}$, то сначала мы воспользуемся стандартным табличным значением, а затем, поскольку под корнем стоит не $x$, а другое выражение, нам необходимо домножить нашу производную на еще одну из этого выражения по той же самой переменной. Давайте для начала посчитаем следующее: \[{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{y}"}}_{x}}\cdot x-y\cdot {{{{x}"}}_{x}}}{{{x}^{2}}}=\frac{0\cdot x-y\cdot 1}{{{x}^{2}}}=-\frac{y}{{{x}^{2}}}\] Возвращаемся к нашему выражению и записываем: \[{{{z}"}_{x}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left(-\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)\] В принципе, это все. Однако оставлять ее в таком виде неправильно: такую конструкцию неудобно использовать для дальнейших вычислений, поэтому давайте ее немного преобразуем: \[\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \left(-\frac{y}{{{x}^{2}}} \right)=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \frac{y}{{{x}^{2}}}=\] \[=-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x\cdot {{y}^{2}}}{y\cdot {{x}^{4}}}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{{{x}^{3}}}}\] Ответ найден. Теперь займемся $y$: \[{{{z}"}_{y}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}\] Выпишем отдельно: \[{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{y}"}}_{y}}\cdot x-y\cdot {{{{x}"}}_{y}}}{{{x}^{2}}}=\frac{1\cdot x-y\cdot 0}{{{x}^{2}}}=\frac{1}{x}\] Теперь записываем: \[{{{z}"}_{y}}={{\left(\sqrt{\frac{y}{x}} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot {{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{2\sqrt{\frac{y}{x}}}\cdot \frac{1}{x}=\] \[=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{x}{y}}\cdot \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y\cdot {{x}^{2}}}}=\frac{1}{2\sqrt{xy}}\] Все сделано. Этот пример одновременно и проще, и сложней, чем предыдущий. Сложнее, потому что здесь больше действий, а проще, потому что здесь нет корня и, кроме того, функция симметрична относительно $x$ и $y$, т.е. если мы поменяем $x$ и $y$ местами, формула от этого не изменится. Это замечание в дальнейшем упростит нам вычисление частной производной, т.е. достаточно посчитать одну из них, а во второй просто поменять местами $x$ и $y$. Приступаем к делу: \[{{{z}"}_{x}}={{\left(\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\] Давайте посчитаем: \[{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left(x \right)}^{\prime }}=y\cdot 1=y\] Однако многим ученикам такая запись непонятна, поэтому запишем вот так: \[{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}={{\left(x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot y+x\cdot {{\left(y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot y+x\cdot 0=y\] Таким образом, мы еще раз убеждаемся в универсальности алгоритма частных производных: каким бы мы образом их не считали, если все правила применяются верно, ответ будет один и тот же. Теперь давайте разберемся еще с одной частной производной из нашей большой формулы: \[{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left({{y}^{2}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{{1}"}_{x}}=2x+0+0\] Подставим полученные выражения в нашу формулу и получим: \[\frac{{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\] \[=\frac{y\cdot \left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)-xy\cdot 2x}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\] \[=\frac{y\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1-2{{x}^{2}} \right)}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\frac{y\left({{y}^{2}}-{{x}^{2}}+1 \right)}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\] По $x$ посчитано. А чтобы посчитать $y$ от того же самого выражения, давайте не будем выполнять всю ту же последовательность действий, а воспользуемся симметрией нашего исходного выражения — мы просто заменим в нашем исходном выражении все $y$ на $x$ и наоборот: \[{{{z}"}_{y}}=\frac{x\left({{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1 \right)}{{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\] За счет симметрии мы посчитали это выражение гораздо быстрее. Для частных производных работают все стандартные формулы, которые мы используем для обычных, а именно, производная частного. При этом, однако, возникают свои специфические особенности: если мы считаем частную производную $x$, то когда мы получаем ее по $x$, то рассматриваем ее как константу, и поэтому ее производная будет равна «нулю». Как и в случае с обычными производными, частную (одну и ту же) можно посчитать несколькими различными способами. Например, ту же конструкцию, которую мы только что посчитали, можно переписать следующим образом: \[{{\left(\frac{y}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{\left(\frac{1}{x} \right)}^{\prime }}_{x}=-y\frac{1}{{{x}^{2}}}\] \[{{\left(xy \right)}^{\prime }}_{x}=y\cdot {{{x}"}_{x}}=y\cdot 1=y\] Вместе с тем, с другой стороны, можно использовать формулу от производной суммы. Как мы знаем, она равна сумме производных. Например, запишем следующее: \[{{\left({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+1 \right)}^{\prime }}_{x}=2x+0+0=2x\] Теперь, зная все это, давайте попробуем поработать с более серьезными выражениями, поскольку настоящие частные производные не ограничиваются одними лишь многочленами и корнями: там встречаются и тригонометрия, и логарифмы, и показательная функция. Сейчас этим и займемся. Запишем следующие стандартные формулы: \[{{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\] \[{{\left(\cos x \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin x\] Вооружившись этими знаниями, попробуем решить: \[{{{z}"}_{x}}={{\left(\sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\] Отдельно выпишем одну переменную: \[{{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=-\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\] Возвращаемся к нашей конструкции: \[=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \left(-\frac{1}{y}\cdot \sin \frac{x}{y} \right)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot \cos \frac{x}{y}-\frac{\sqrt{x}}{y}\cdot \sin \frac{x}{y}\] Все, по $x$ мы нашли, теперь давайте займемся вычислениями по $y$: \[{{{z}"}_{y}}={{\left(\sqrt{x}\cdot \cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left(\sqrt{x} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot {{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\] Опять же посчитаем одно выражение: \[{{\left(\cos \frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=-\sin \frac{x}{y}\cdot x\cdot \left(-\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\] Возвращаемся к исходному выражению и продолжаем решение: \[=0\cdot \cos \frac{x}{y}+\sqrt{x}\cdot \frac{x}{{{y}^{2}}}\sin \frac{x}{y}=\frac{x\sqrt{x}}{{{y}^{2}}}\cdot \sin \frac{x}{y}\] Все сделано. Запишем необходимую нам формулу: \[{{\left(\ln x \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x}\] Теперь посчитаем по $x$: \[{{{z}"}_{x}}={{\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=\] \[=\frac{1}{x+\ln y}\cdot \left(1+0 \right)=\frac{1}{x+\ln y}\] По $x$ найдено. Считаем по $y$: \[{{{z}"}_{y}}={{\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{x+\ln y}.{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=\] \[=\frac{1}{x+\ln y}\left(0+\frac{1}{y} \right)=\frac{1}{y\left(x+\ln y \right)}\] Задача решена. Итак, от какой бы функции мы не брали частную производную, правила остаются одними и теми же, независимо от того, работаем ли мы с тригонометрией, с корнями или с логарифмами. Неизменными остаются классические правила работы со стандартными производными, а именно, производная суммы и разности, частного и сложной функции. Последняя формула чаще всего и встречается при решении задач с частными производными. Мы встречаемся с ними практически везде. Ни одной задачи еще не было, чтобы там нам она не попадалась. Но какой бы мы формулой не воспользовались, нам все равно добавляется еще одно требование, а именно, особенность работы с частными производными. Как только мы фиксируем одну переменную, все остальные оказываются константами. В частности, если мы считаем частную производную выражения $\cos \frac{x}{y}$ по $y$, то именно $y$ и является переменной, а $x$ везде остается константой. То же самое работает и наоборот. Ее можно выносить за знак производной, а производная от самой константы будет равна «нулю». Все это приводит к тому, что частные производные от одного и того же выражения, но по разным переменным могут выглядеть совершенно по-разному. Например, посмотрим такие выражения: \[{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{x}=1+0=1\] \[{{\left(x+\ln y \right)}^{\prime }}_{y}=0+\frac{1}{y}=\frac{1}{y}\] Для начала запишем такую формулу: \[{{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x}}\] Зная этот факт, а также производную сложной функции, давайте попробуем посчитать. Я сейчас решу двумя различными способами. Первый и самый очевидный — это производная произведения: \[{{{z}"}_{x}}={{\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left({{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\] \[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\] Давайте решим отдельно следующее выражение: \[{{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{{{{{x}"}}_{x}}\cdot y-x.{{{{y}"}}_{x}}}{{{y}^{2}}}=\frac{1\cdot y-x\cdot 0}{{{y}^{2}}}=\frac{y}{{{y}^{2}}}=\frac{1}{y}\] Возвращаемся к нашей исходной конструкции и продолжаем решение: \[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\left(1+\frac{1}{y} \right)\] Все, по $x$ посчитано. Однако как я и обещал, сейчас постараемся посчитать эту же частную производную другим способом. Для этого заметим следующее: \[{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\] В этом запишем так: \[{{\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot {{\left(x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}\cdot \left(1+\frac{1}{y} \right)\] В результате мы получили точно такой же ответ, однако объем вычислений оказался меньшим. Для этого достаточно было заметить, что при произведении показатели можно складывать. Теперь посчитаем по $y$: \[{{{z}"}_{y}}={{\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{y}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left({{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{y}=\] \[=0\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot {{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\] Давайте решим одно выражение отдельно: \[{{\left(\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{{{{{x}"}}_{y}}\cdot y-x\cdot {{{{y}"}}_{y}}}{{{y}^{2}}}=\frac{0-x\cdot 1}{{{y}^{2}}}=-\frac{1}{{{y}^{2}}}=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\] Продолжим решение нашей исходной конструкции: \[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \left(-\frac{x}{{{y}^{2}}} \right)=-\frac{x}{{{y}^{2}}}\cdot {{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\] Разумеется, эту же производную можно было бы посчитать вторым способом, ответ получился бы таким же. Посчитаем по $x$: \[{{{z}"}_{x}}={{\left(x \right)}_{x}}\cdot \ln \left({{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\] Давайте посчитаем одно выражение отдельно: \[{{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{2x}{{{x}^{2}}+y}\] Продолжим решение исходной конструкции: $$ Вот такой ответ. Осталось по аналогии найти по $y$: \[{{{z}"}_{y}}={{\left(x \right)}^{\prime }}_{y}.\ln \left({{x}^{2}}+y \right)+x\cdot {{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\] Одно выражение посчитаем как всегда отдельно: \[{{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}={{\left({{x}^{2}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{{y}"}_{y}}=0+1=1\] Продолжаем решение основной конструкции: Все посчитано. Как видите, в зависимости от того, какая переменная берется для дифференцирования, ответы получаются совершенно разные. Вот яркий пример того, как производную одной и той же функции можно посчитать двумя различными способами. Вот смотрите: \[{{{z}"}_{x}}=\left({{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}} \right)={{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{\left({{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}=\] \[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}+{{e}^{x}}\cdot {{e}^{\frac{x}{y}}}\cdot \frac{1}{y}={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left(1+\frac{1}{y} \right)\] \[{{{z}"}_{x}}={{\left({{e}^{x}}.{{e}^{\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left({{e}^{x+\frac{x}{y}}} \right)}^{\prime }}_{x}={{e}^{x+\frac{x}{y}}}.{{\left(x+\frac{x}{y} \right)}^{\prime }}_{x}=\] \[={{e}^{x}}\cdot {{e}^{^{\frac{x}{y}}}}\left(1+\frac{1}{y} \right)\] При выборе разных путей, объем вычислений может быть разный, но ответ, если все выполнено верно, получится одним и тем же. Это касается как классических, так и частных производных. При этом еще раз напоминаю: в зависимости от того, по какой переменной идет взятие производной, т.е. дифференцирование, ответ может получиться совершенно разный. Посмотрите: \[{{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{x}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 2x\] \[{{\left(\ln \left({{x}^{2}}+y \right) \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot {{\left({{x}^{2}}+y \right)}^{\prime }}_{y}=\frac{1}{{{x}^{2}}+y}\cdot 1\] В заключение для закрепления всего этого материала давайте попробуем посчитать еще два примера. Давайте запишем такие формулы: \[{{\left({{a}^{x}} \right)}^{\prime }}={{a}^{x}}\cdot \ln a\] \[{{\left({{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{x}}\] Давайте теперь решать наше выражение: \[{{{z}"}_{x}}={{\left({{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{x}={{3}^{x.\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left(x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}=\] Отдельно посчитаем такую конструкцию: \[{{\left(x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{x}={{{x}"}_{x}}\cdot \sin y+x{{\left(\sin y \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\] Продолжаем решать исходное выражение: \[={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot \sin y\] Это окончательный ответ частной переменной по $x$. Теперь посчитаем по $y$: \[{{{z}"}_{y}}={{\left({{3}^{x\sin y}} \right)}^{\prime }}_{y}={{3}^{x\sin y}}\cdot \ln 3\cdot {{\left(x\sin y \right)}^{\prime }}_{y}=\] Решим одно выражение отдельно: \[{{\left(x\cdot \sin y \right)}^{\prime }}_{y}={{{x}"}_{y}}\cdot \sin y+x{{\left(\sin y \right)}^{\prime }}_{y}=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\] Решаем до конца нашу конструкцию: \[={{3}^{x\cdot \sin y}}\cdot \ln 3\cdot x\cos y\] На первый взгляд этот пример может показаться достаточно сложным, потому что здесь три переменных. На самом деле, это одна из самых простых задач в сегодняшнем видеоуроке. Находим по $x$: \[{{{t}"}_{x}}={{\left(x{{e}^{y}}+y{{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}={{\left(x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}+{{\left(y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{x}=\] \[={{\left(x \right)}^{\prime }}_{x}\cdot {{e}^{y}}+x\cdot {{\left({{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{x}=1\cdot {{e}^{y}}+x\cdot o={{e}^{y}}\] Теперь разберемся с $y$: \[{{{t}"}_{y}}={{\left(x\cdot {{e}^{y}}+y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}={{\left(x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{\left(y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{y}=\] \[=x\cdot {{\left({{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{y}+{{e}^{z}}\cdot {{\left(y \right)}^{\prime }}_{y}=x\cdot {{e}^{y}}+{{e}^{z}}\] Мы нашли ответ. Теперь остается найти по $z$: \[{{{t}"}_{z}}={{\left(x\cdot {{e}^{y}}+{{y}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}={{\left(x\cdot {{e}^{y}} \right)}^{\prime }}_{z}+{{\left(y\cdot {{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=0+y\cdot {{\left({{e}^{z}} \right)}^{\prime }}_{z}=y\cdot {{e}^{z}}\] Мы посчитали третью производную, на чем решение второй задачи полностью завершено. Как видите, ничего сложного в этих двух примерах нет. Единственное, в чем мы убедились, так это в том, что производная сложной функции применяется часто и в зависимости от того, какую частную производную мы считаем, мы получаем разные ответы. В последней задаче нам было предложено разобраться с функцией сразу от трех переменных. Ничего страшного в этом нет, однако в самом конце мы убедились, что все они друг от друга существенно отличаются. Окончательные выводы из сегодняшнего видеоурока следующие: Конечно, просмотра одного этого видеоурока недостаточно, чтобы полностью разобраться в этой теме, поэтому прямо сейчас на моем сайте именно к этому видео есть комплект задач, посвященных именно сегодняшней теме — заходите, скачивайте, решайте эти задачи и сверяйтесь с ответом. И после этого никаких проблем с частными производными ни на экзаменах, ни на самостоятельных работах у вас не будет. Конечно, это далеко не последний урок по высшей математике, поэтому заходите на наш сайт, добавляйтесь ВКонтакте, подписывайтесь на YouTube, ставьте лайки и оставайтесь с нами! На данном уроке мы познакомимся с понятием функции двух переменных, а также подробно рассмотрим наиболее распространенное задание – нахождение частных производных
первого и второго порядка, полного дифференциала функции. Для эффективного изучения нижеизложенного материала Вам необходимо
уметь более или менее уверенно находить «обычные» производные функции одной переменной. Научиться правильно обращаться с производными можно на уроках Как найти производную? и Производная сложной функции
. Также нам потребуется таблица производных элементарных функций и правил дифференцирования, удобнее всего, если она будет под рукой в распечатанном виде. Начнем с самого понятия функции двух переменных, постараемся ограничиться минимумом теории, так как сайт имеет практическую направленность. Функция двух переменных обычно записывается как , при этом переменные , называются независимыми переменными
или аргументами
. Пример: - функция двух переменных. Иногда используют запись . Также встречаются задания, где вместо буквы используется буква . Полезно знать геометрический смысл функций. Функции одной переменной соответствует определенная линия на плоскости, например, – всем знакомая школьная парабола. Любая функция двух переменных с геометрической точки зрения представляет собой поверхность в трехмерном пространстве (плоскости, цилиндры, шары, параболоиды и т.д.). Но, собственно, это уже аналитическая геометрия, а у нас на повестке дня математический анализ. Переходим к вопросу нахождения частных производных первого и второго порядков. Должен сообщить хорошую новость для тех, кто выпил несколько чашек кофе и настроился на невообразимо трудный материал: частные производные – это почти то же самое, что и «обычные» производные функции одной переменной.
Для частных производных справедливы все правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций.
Есть только пара небольших отличий, с которыми мы познакомимся прямо сейчас. Пример 1
Найти частные производные первого и второго порядка функции Сначала найдем частные производные первого порядка. Их две. Обозначения:
Или – частная производная по «икс» Или – частная производная по «игрек» Начнем с . Важно! Когда мы находим частную производную по «икс», то переменнаясчитается константой (постоянным числом).
Решаем. На данном уроке будем сразу приводить полное решение, а комментарии давать ниже. Комментарии к выполненным действиям: (1) Первое, что мы делаем при нахождении частной производной – заключаем всю
функцию в скобки под штрих с подстрочным индексом
. Внимание, важно!
Подстрочные индексы НЕ ТЕРЯЕМ по ходу решения. В данном случае, если Вы где-нибудь нарисуете «штрих» без , то преподаватель, как минимум, может поставить рядом с заданием (сразу откусить часть балла за невнимательность). (2) Используем правила дифференцирования ; . Для простого примера, как этот, оба правила вполне можно применить на одном шаге. Обратите внимание на первое слагаемое: так как считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной
, то мы выносим за скобки. То есть в данной ситуации ничем не лучше обычного числа. Теперь посмотрим на третье слагаемое : здесь, наоборот, выносить нечего. Так как константа, то – тоже константа, и в этом смысле она ничем не лучше последнего слагаемого – «семерки».
(2) Используем таблицу производных элементарных функций. Мысленно поменяем в таблице все «иксы» на «игреки». То есть данная таблица рАвно справедлива для(и вообще для любой буквы).
В данном случае, используемые нами формулы имеют вид: и .
Итак, частные производные первого порядка найденыФормула
Примеры решений
Пример 1
Найти частные производные первого порядка $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $
Решение
Ответ
$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$
Пример 2
Найти частные производные функции второго порядка $ z = e^{xy} $
Решение
Ответ
$$ z"_x = ye^{xy}; z"_y = xe^{xy}; z""_{xy} = yxe^{xy} $$
Пример 4
Пусть $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ задаёт неявную функцию $ F(x,y,z) = 0 $. Найти частные производные первого порядка.
Решение
Ответ
$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$
Что такое «частная производная»?
Задачи с радикалами и многочленами
Задача № 1
Задача № 2
Нюансы решения
Задачи с тригонометрическими функциями и логарифмами
Задача № 1
Задача № 2
Нюансы решения
Задачи с показательными функциями и логарифмами
Задача № 1
Задача № 2
Нюансы решения
Задачи с тригонометрической функция и функцией с тремя переменными
Задача № 1
Задача № 2
Нюансы решения
Ключевые моменты