Элементарные преобразования матрицы. Элементарные преобразования систем векторов

Определение 5. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются ее следующие преобразования:

1) перестановка любых двух уравнений местами;

2) умножение обеих частей одного уравнения на любое число ;

3) прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое число k ;

(при этом все остальные уравнения остаются неизменными).

Нулевым уравнением называем уравнение следующего вида:

Теорема 1. Любая конечная последовательность элементарных преобразований и преобразование вычеркивание нулевого уравнения переводит одну систему линейных уравнений в равносильную ей другую систему линейных уравнений.

Доказательство. В силу свойства 4 предыдущего пункта достаточно доказать теорему для каждого преобразования отдельно.

1. При перестановке уравнений в системе местами сами уравнения неизменяются, поэтому по определению полученная система равносильная первоначальной.

2. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого уравнения. Умножим первое уравнение системы (1) на число , получим систему

(2)

Пусть  системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (2) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеет место верное числовое равенство:

Умножая его на число K , получим верное числовое равенство:

Т. о. устанавливаем, что  системы (2).

Обратно, если решение системы (2), то числа удовлетворяют всем уравнениям системы (2). Так как все уравнения системы (1) кроме первого совпадают с уравнениями системы (2), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (2), то справедливо числовое равенство (4). Разделив обе его части на число ,получим числовое равенство (3) и доказываем, что  решение системы (1).

Отсюда по определению 4 система (1) равносильна системе (2).

3. В силу первой части доказательства достаточно доказать утверждение для первого и второго уравнения системы. Прибавим к обеим частям первому уравнению системы соответствующие части второго умноженные на число K , получим систему

(5)

Пусть решение системы (1) . Тогда числа удовлетворяют всем уравнениям системы (1). Так как все уравнения системы (5) кроме первого совпадают с уравнениями системы (1), то числа удовлетворяют всем эти уравнениям. Так как числа удовлетворяют первому уравнению системы (1), то имеют место верные числовые равенства:

Прибавляя почленно к первому равенству второе, умноженное на число K получим верное числовое равенство.

Две системы линейных уравнений от одного набора x 1 ,..., x n неизвестных и соответственно из m и p уравнений

Называются эквивалентными, если их множества решений и совпадают (т. е. подмножества и в K n совпадают, ). Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами (т. е. обе системы (I) и (II) несовместны), либо они одновременно непустые , и (т. е. каждое решение системы I является решением системы II и каждое решение системы II является решением системы I).

Пример 3.2.1 .

Метод Гаусса

План алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост:

1. применять к системе линейных уравнений последовательно преобразования, не меняющие множество решений (таким образом мы сохраняем множество решений исходной системы), и перейти к эквивалентной системе, имеющей "простой вид" (так называемую ступенчатую форму);
2. для "простого вида" системы (со ступенчатой матрицей) описать множество решений, которое совпадает с множеством решений исходной системы.

Отметим, что близкий метод "фан-чен" был известен уже в древнекитайской математике.

Элементарные преобразования систем линейных уравнений (строк матриц)

Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа) . При к i -му уравнению системы прибавляется k -е уравнение, умноженное на число (обозначение: (i)"=(i)+c(k) ; т. е. лишь одно i -е уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)"=(i)+c(k) ). Новое i -е уравнение имеет вид (a i1 +ca k1)x 1 +...+(a in +ca kn)x n =b i +cb k , или, кратко,

Т. е. в новом i -м уравнении a ij "=a ij +ca kj , b i "=b i +cb k .

Определение 3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа) . При i -е и k -е уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; для коэффициентов это означает следующее: для j=1,...,n

Замечание 3.4.3 . Для удобства в конкретных вычислениях можно применять элементарное преобразование 3-го типа: i -е уравнение умножается на ненулевое число , (i)"=c(i) .

Предложение 3.4.4 . Если от системы I мы перешли к системе II при помощи конечного числа элементарных преобразований 1-го и 2-го типа, то от системы II можно вернуться к системе I также элементарными преобразованиями 1-го и 2-го типа.

Доказательство.

Замечание 3.4.5 . Утверждение верно и с включением в число элементарных преобразований элементарного преобразования 3-го типа. Если и (i)"=c(i) , то и (i)=c -1 (i)" .

Теорема 3.4.6 .После последовательного применения конечного числа элементарных преобразований 1-го или 2-го типа к системе линейных уравнений получается система линейных уравнений, эквивалентная первоначальной.

Доказательство. Заметим, что достаточно рассмотреть случай перехода от системы I к системе II при помощи одного элементарного преобразования и доказать для множеств решений включение (поскольку в силу доказанного предложения от системы II можно вернуться к системе I и поэтому будем иметь включение , т. е. будет доказано равенство ).

К элементарным преобразованиям относятся:

1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.

2)Перестановка уравнений местами.

3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА – КАПЕЛЛИ

(условие совместности системы)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x 1 + x 2 + … + x n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А * не изменяют ранга.

2) Если RgA = RgA * , то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

~ . RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Система совместна. Решения: x 1 = 1; x 2 =1/2.

2.6 МЕТОД ГАУССА

(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)

В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1–го уравнения на a 11 ¹ 0, затем:

1) умножим на а 21 и вычтем из второго уравнения

2) умножим на а 31 и вычтем из третьего уравнения

, где d 1 j = a 1 j /a 11 , j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij – a i1 d 1j i = 2, 3, … , n; j = 2, 3, … , n+1.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

, откуда получаем: x 3 = 2; x 2 = 5; x 1 = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.

Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.

Для самостоятельного решения:

Ответ: {1, 2, 3, 4}.

ТЕМА 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение. Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевой вектор, начало и конец которого совпадают.

Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Определение. Векторы называются коллинеарными , если они расположены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Определение. Векторы называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны.

Коллинеарные векторы всегда компланарны, но не все компланарные векторы коллинеарны.

Определение. Векторы называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.

Определение. Линейными операциями над векторами называется сложение и умножение на число.

Суммой векторов является вектор -

Произведение - , при этом коллинеарен .

Вектор сонаправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0.

Вектор противоположно направлен с вектором ( ­¯ ), если a < 0.

СВОЙСТВА ВЕКТОРОВ

1) + = + - коммутативность.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b ) – ассоциативность

6) (a+b) = a + b - дистрибутивность

7) a( + ) = a + a

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Ниже рассматриваются системы линейных уравнений над полем переменными ДООПРЕДЕЛЕНИЕ. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если каждое решение любой из этих систем является решением другой системы.

Следующие предложения выражают свойства равносильности, вытекающие из определения равносильности и отмеченных выше свойств следования систем.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда каждая из этих систем является следствием другой системы.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Две системы линейных уравнений равносильны тогда и только тогда, когда множество всех решений одной системы совпадает с множеством всех решений другой системы.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Две системы линейных уравнений равносильны в том и только в том случае, если равносильны предикаты, определяемые этими системами.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

(а) умножение обеих частей какого-нибудь уравнения системы на отличный от нуля скаляр;

(Р) прибавление (вычитание) к обеим частям какого-либо уравнения системы соответствующих частей другого уравнения системы, умноженных на скаляр;

Исключение из системы или присоединение к системе линейного уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.

ТЕОРЕМА 2.5. Если одна система линейных уравнений получается из другой системы линейных уравнений в результате цепочки элементарных преобразований, то эти две системы равносильны.

Доказательство. Пусть дана система

Если умножить одно из ее уравнений, например первое на отличный от нуля скаляр X, то получим систему

Каждое решение системы (1) есть также решение системы (2).

Обратно: если - любое решение системы (2),

то, умножив первое равенство на и не изменяя последующих равенств, получим равенства, показывающие, что вектор является решением системы (1). Следовательно, система (2) равносильна исходной системе (1). Так же легко проверить, что однократное применение к системе (1) элементарного преобразования (Р) или приводит к системе, равносильной исходной системе (1). Так как отношение равносильности транзитивно, то многократное применение элементарных преобразований приводит к системе уравнений, равносильной исходной системе (1).

СЛЕДСТВИЕ 2.6. Если к одному из уравнений системы линейных уравнений прибавить линейную комбинацию других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной.

СЛЕДСТВИЕ 2.7. Если исключить из системы линейных уравнений или присоединить к ней уравнение, являющееся линейной комбинацией других уравнений системы, то получится система уравнений, равносильная исходной системе.

Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где , поле, называется системой m линейных уравнений с n неизвестными над полем , - коэффициенты при неизвестных, , , - свободные члены системы (1).

Определение 2. Упорядоченная n -ка (), где , называется решением системы линейных уравнений (1), если при замене переменной на каждое уравнение системы (1) превращается в верное числовое равенство.

Определение 3. совместной , если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система (1) называется несовместной .

Определение 4. Система линейных уравнений (1) называется определенной , если она имеет единственное решение. В противном случае система (1) называется неопределенной .

Система линейных уравнений

(есть решение) (нет решений)

совместная несовместная

(единственное решение) (не единственное решение)

определеннаянеопределенная

Определение 5. Система линейных уравнений над полем Р называется однородной , если все ее свободные члены равны нулю. В противном случае система называется неоднородной .

Рассмотрим систему линейных уравнений (1). Тогда однородная система вида называется однородной системой, ассоциированной с системой (1). Однородная СЛУ всегда совместна, так как всегда имеет решение .

Для каждой СЛУ можно ввести в рассмотрение две матрицы - основную и расширенную.

Определение 6. Основной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных следующего вида: .

Определение 7. Расширенной матрицей системы линейных уравнений (1) называется матрица , полученная из матрицы путем присоединения к ней столбца свободных членов: .

Определение 8. Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие: 1) умножение обеих частей некоторого уравнения системы на скаляр ; 2) прибавление к обеим частям одного уравнения системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на элемент ; 3) добавление или отбрасывание уравнения вида .

Определение 9. Две системы линейных уравнений над полем Р относительно переменных называются равносильными , если их множества решений совпадают.

Теорема 1. Если одна система линейных уравнений получена из другой с помощью элементарных преобразований, то такие системы равносильны.

Удобно элементарные преобразования применять не к системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице.

Определение 10. Пусть дана матрица с элементами из поля Р. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие:

1) умножение всех элементов какой-либо строки на матрицы на aÎ Р # ;

2) умножение всех элементов какой-либо строки на матрицы на aÎ Р # и сложение с соответствующими элементами другой строки;

3) перестановка местами любых двух строк матрицы;

4) добавление или вычёркивание нулевой строки.

8. Решение СЛУ: метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

Рассмотрим один из основных методов решения систем линейных уравнений, который называется методом последовательного исключения неизвестных , или иначе, методом Гаусса . Рассмотрим систему(1) m линейных уравнений с n неизвестными над полем Р: (1) .

В системе (1) хотя бы один из коэффициентов при не равен 0 . В противном случае (1) - система уравнений с () неизвестными - это противоречит условию. Поменяем местами уравнения так, чтобы коэффициент при в первом уравнении был не равен 0 . Таким образом, можно считать, что . Умножим обе части первого уравнения на и прибавим к соответствующим частям второго, третьего, …, m -го уравнений соответственно. Получим систему вида: , где s - наименьшее число, такое что хотя бы один из коэффициентов при не равен 0 . Поменяем местами уравнения так, чтобы во второй строке коэффициент при переменной был не равен 0 , т.е. можем считать, что . Тогда умножим обе части второго уравнения на и прибавим к соответствующим частям третьего, …, m -го уравнений соответственно. Продолжая этот процесс, получим систему вида:

Система линейных уравнений, которая, согласно теореме 1, равносильна системе (1). Система называется ступенчатой системой линейных уравнений. Возможны два случая: 1) Хотя бы один из элементов не равен 0 . Пусть, например, . Тогда в системе линейных уравнений есть уравнение вида , что невозможно. Это означает, что система не имеет решений, и поэтому система (1) не имеет решений (в этом случае (1) - несовместная система).

2) Пусть ,…, . Тогда с помощью элементарного преобразования З) получим систему - систему r линейных уравнений с n неизвестными. При этом переменные при коэффициентах называются главными переменными (это ), их всего r . Остальные (n-r ) переменных называют свободными.

Возможны два случая: 1) Если r=n , то - система треугольного вида. В этом случае из последнего уравнения находим переменную , из предпоследнего - переменную ,…, из первого уравнения - переменную . Таким образом, получаем единственное решение системы линейных уравнений , а значит, и системы линейных уравнений (1) (в этом случае система (1) определена).

2) Пусть r. В этом случае главные переменные выражают через свободные и получают общее решение системы линейных уравнений (1). Придавая свободным переменным произвольные значения, получают различные частные решения системы линейных уравнений (1) (в этом случае система (1) неопределена).