Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала

Практическая работа №2

«Дифференциал функции»

Цель занятия : Научиться решать примеры и задачи по данной теме.

Вопросы теории (исходный уровень):

1. Применение производных для исследования функций на экстремум.

2. Дифференциал функции, его геометрический и физический смысл.

3. Полный дифференциал функции многих переменных.

4. Состояние организма как функция многих переменных.

5. Приближенные вычисления.

6. Нахождение частных производных и полного дифференциала.

7. Примеры использования указанных понятий в фармакокинетике, микробиологии и др.

(самостоятельная подготовка)

1. ответить на вопросы по теме занятия;

2. решить примеры.

Примеры

Найти дифференциалы следующих функций:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Применение производных для исследования функций

Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b]

Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b]

Условие максимума функции y=f(x)при x= а

f"(a)=0 и f"" (a)<0

Если при х=а производные f"(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходи­мо исследовать f"(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f"(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума - с « - » на «+» Если f"(x)не меняет знака при переходе через точку х = а,то в этой точке у функ­ции экстремума нет

Дифференциал функции.

Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:

Дифференциал функции y=f(x)

Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v

Дифференциал произведения двух функций у=uv

Дифференциал частного двух функций y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Приращение функции

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx

где Δx: - приращение аргумента.

Приближенное вычисление значения функции:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx

Применениедифференциала в приближенных вычислениях

Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и отно­сительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Относительная погрешность результата измерения

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

Дифференциал функции как главная часть приращения функци и. С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции. Пусть функция f(x) непрерывна при данных значениях х и имеет производную

Df/Dx = f¢(x) + a(Dx) , откуда приращение функции Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, где a(Dх) ® 0 при Dх ® 0 . Определим порядок бесконечно малой f¢(x)Dx Dх. :

Следовательно, бесконечно малые f¢(x)Dx и Dx имеют одинаковый порядок малости, то есть f¢(x)Dx = O.

Определим порядок бесконечно малой a(Dх)Dх по отношению к бесконечно малой Dх :

Следовательно, бесконечно малая a(Dх)Dх имеет более высокий порядок малости по сравнению с бесконечно малой Dх , то есть a(Dх)Dх = о.

Таким образом, бесконечно малое приращение Df дифференцируемой функции может быть представлено в виде двух слагаемых: бесконечно малой f¢(x)Dx одинакового порядка малости с Dх и бесконечно малой a(Dх)Dх более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой Dх. Это означает, что в равенстве Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx при Dх® 0 второе слагаемое стремится к нулю «быстрее», чем первое, то есть a(Dх)Dх = о.

Первое слагаемое f¢(x)Dx, линейное относительно Dх , называют дифференциалом функции f(x) в точке х и обозначают dy или df (читается «дэ игрек» или «дэ эф»). Итак,

dy = df = f¢(x)Dx.

Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал функции есть главная часть приращения функции Df , линейная относительно приращения аргумента Dx . Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем Dx . Действительно, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx или Df = df + a(Dx)Dx. Дифференциал аргумента dx равен его приращению Dx: dx=Dx.

Пример. Вычислить значение дифференциала функции f(x) = x 3 + 2x, когда х изменяется от 1 до 1,1.

Решение. Найдем общее выражение для дифференциала этой функции:

Подставляя значения dx=Dx=1,1–1= 0,1 и x = 1 в последнюю формулу, получим искомое значение дифференциала: df ½ x=1; = 0,5.

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.

Частные производные первого порядка . Частной производной первого порядкафункции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел

если он существует.

Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу х обозначается одним из следующих символов:

Аналогично частная производная по у обозначается и определяется формулой:

Так как частная производная – это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться всеми рассмотренными до сих пор правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования».

Замечание. Для нахождения частной производной, например по аргументу х – df/dx , достаточно найти обыкновенную производную функции f(x,y), считая последнюю функцией одного аргумента х , а у – постоянной; для нахождения df/dy – наоборот.

Пример. Найти значения частных производных от функции f(x,y) = 2x 2 + y 2 в точке Р(1;2).

Решение. Считая f(x,y) функцией одного аргумента х и пользуясь правилами дифференцирования, находим

В точке Р(1;2) значение производной

Считая f(x;y) функцией одного аргумента у, находим

В точке Р(1;2) значение производной

ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА:

Найдите дифференциалы следующих функций:

Решить следующие задачи:

1. На сколько уменьшится площадь квадрата со стороной х=10см, если сторону уменьшить на 0,01 см?

2. Дано уравнение движения тела: y=t 3 /2+2t 2 , где s – выражено в метрах, t-в секундах. Найти путь s, пройденный телом за t=1,92 с от начала движения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики - М.: «Вышэйшая школа», 1978.C198-226.

2. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. Пер. с англ. М.: «Мир», 1970.

3. Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина Л.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике – М.: «Высшая школа», 1987. С16-20.

Пусть функция определена в некоторой (открытой) областиD точек
мерного пространства, и
– точка в этой области, т.е.
D .

Частным приращением функции многих переменных по какой-либо переменной называется то приращение, которое получит функция, если мы дадим приращение этой переменной, считая, что все остальные переменные имеют постоянные значения.

Например, частное приращение функции по переменнойбудет

Частной производной по независимой переменной в точке
от функции называется предел (если существует) отношения частного приращения
функции к приращению
переменнойпри стремлении
к нулю:

Частную производную обозначают одним из символов:

;
.

Замечание. Индекс внизу в этих обозначениях лишь указывает, по какой из переменных берется производная, и не связана с тем, в какой точке
эта производная вычисляется.

Вычисление частных производных не представляет ничего нового по сравнению с вычислением обыкновенной производной, необходимо только помнить, что при дифференцировании функции по какой-либо переменной все остальные переменные принимаются за постоянные. Покажем это на примерах.

Пример 1. Найти частные производные функции
.

Решение . При вычислении частной производной функции
по аргументурассматриваем функциюкак функцию только одной переменной, т.е. считаем, чтоимеет фиксированное значение. При фиксированномфункция
является степенной функцией аргумента. По формуле дифференцирования степенной функции получаем:

Аналогично, при вычислении частной производной считаем, что фиксировано значение, и рассматриваем функцию
как показательную функцию аргумента. В итоге получаем:

Пример 2 . Н айти частные производные ифункции
.

Решение. При вычислении частной производной по заданную функциюмы будем рассматривать как функцию одной переменной, а выражения, содержащие, будут постоянными множителями, т.е.
выступает в роли постоянного коэффициентапри степенной функции(
). Дифференцируя это выражение по , получим:

.

Теперь, наоборот, функцию рассматриваем как функцию одной переменной, в то время как выражения, содержащие, выступают в роли коэффициента
(
).Дифференцируя по правилам дифференцирования тригонометрических функций, получаем:

Пример 3. Вычислить частные производные функции
в точке
.

Решение. Находим сначала частные производные данной функции в произвольной точке
её области определения. При вычислении частной производной посчитаем, что
являются постоянными.

при дифференцировании по постоянными будут
:

а при вычислении частных производных по и по, аналогично, постоянными будут, соответственно,
и
, т.е.:

Теперь вычислим значения этих производных в точке
, подставляя в их выражения конкретные значения переменных. В итоге получаем:

11. Частные и полный дифференциалы функции

Если теперь к частному приращению
применить теорему Лагранжа о конечных приращениях по переменной, то, считаянепрерывной, получим следующие соотношения:

где
,
– бесконечно малая величина.

Частным дифференциалом функции по переменнойназывается главная линейная часть частного приращения
, равная произведению частной производной по этой переменной на приращение этой переменной, и обозначается

Очевидно, частный дифференциал отличается от частного приращения на бесконечно малую высшего порядка.

Полным приращением функции многих переменных называется то её приращение, которое она получит, когда мы всем независимым переменным дадим приращение, т.е.

где все
, зависят оти вместе с ними стремятся к нулю.

Под дифференциалами независимых переменных условились подразумеватьпроизвольные приращения
и обозначать их
. Таким образом, выражение частного дифференциала примет вид:

Например, частный дифференциал поопределяется так:

.

Полным дифференциалом
функции многих переменныхназывается главная линейная часть полного приращения
, равная, т.е.сумме всех её частных дифференциалов:

Если функция
имеет непрерывные частные производные

в точке
, то онадифференцируема в данной точке .

При достаточно малом для дифференцируемой функции
имеют место приближенные равенства

,

с помощью которых можно производить приближенные вычисления.

Пример 4. Найти полный дифференциал функции
трёх переменных
.

Решение. Прежде всего, находим частные производные:

Заметив, что они непрерывны при всех значениях
, находим:

Для дифференциалов функций многих переменных верны все теоремы о свойствах дифференциалов, доказанные для случая функций одной переменной, например: если и– непрерывные функции переменных
, имеющие непрерывные частные производные по всем переменным, аи– произвольные постоянные, то:

(6)

Линеаризация функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Производные и дифференциалы высших порядков.

1. Частные производные ФНП *)

Рассмотрим функцию и = f (P), РÎDÌR n или, что то же самое,

и = f (х 1 , х 2 , ..., х п ).

Зафиксируем значения переменных х 2 , ..., х п , а переменной х 1 дадим приращение Dх 1 . Тогда функция и получит приращение , определяемое равенством

= f (х 1 +Dх 1 , х 2 , ..., х п ) – f (х 1 , х 2 , ..., х п ).

Это приращение называют частным приращением функции и по переменной х 1 .

Определение 7.1. Частной производной функции и = f (х 1 , х 2 , ..., х п ) по переменной х 1 называется предел отношения частного приращения функции к приращению аргумента Dх 1 при Dх 1 ® 0 (если этот предел существует).

Обозначается частная производная по х 1 символами

Таким образом, по определению

Аналогично определяются частные производные по остальным переменным х 2 , ..., х п . Из определения видно, что частная производная функции по переменной х i – это обычная производная функции одной переменной х i , когда остальные переменные считаются константами. Поэтому все ранее изученные правила и формулы дифференцирования могут быть использованы для отыскания производной функции нескольких переменных.

Например, для функции u = x 3 + 3xy – z 2 имеем

Таким образом, если функция нескольких переменных задана явно, то вопросы существования и отыскания ее частных производных сводятся к соответствующим вопросам относительно функции одной переменной – той, по которой необходимо определить производную.

Рассмотрим неявно заданную функцию. Пусть уравнение F(x , y ) = 0 определяет неявную функцию одной переменной х . Справедлива

Теорема 7.1.

Пусть F(x 0 , y 0) = 0 и функции F(x , y ), F¢ х (x , y ), F¢ у (x , y ) непрерывны в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0), причем F¢ у (x 0 , y 0) ¹ 0. Тогда функция у , заданная неявно уравнением F(x , y ) = 0, имеет в точке (x 0 , y 0) производную, которая равна

.

Если условия теоремы выполняются в любой точке области DÌ R 2 , то в каждой точке этой области .

Например, для функции х 3 –2у 4 + ух + 1 = 0 находим

Пусть теперь уравнение F(x , y , z ) = 0 определяет неявную функцию двух переменных. Найдем и . Так как вычисление производной по х производится при фиксированном (постоянном) у , то в этих условиях равенство F(x , y =const, z ) = 0 определяет z как функцию одной переменной х и согласно теореме 7.1 получим

.

Аналогично .

Таким образом, для функции двух переменных, заданной неявно уравнением , частные производные находят по формулам: ,

Транскрипт

1 ЛЕКЦИЯ N Полный дифференциал, частные производные и дифференциалы высших порядков Полный дифференциал Частные дифференциалы Частные производные высших порядков Дифференциалы высших порядков 4Производные от сложных функций 4 Полный дифференциал Частные дифференциалы Если функция z=f(,) дифференцируема, то ее полный дифференциал dz равен dz=a +B () z z Замечая, что A=, B =, запишем формулу () в следующем виде z z dz= + () Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные, положив дифференциалы независимых переменных равными их приращениям: d= ; d= После этого формула полного дифференциала функции примет вид z z dz= d + d () d + d Пример Пусть =ln(+) Тогда dz= d + d = Аналогично, если u=f(, n) есть дифференцируемая функция n независимых n переменных, то du= d (d =) = Выражение d z=f (,)d (4) называется частным дифференциалом функции z=f(,) по переменной; выражение d z=f (,)d (5) называется частным дифференциалом функции z=f(,) по переменной Из формул (), (4) и (5) следует, что полный дифференциал функции является суммой ее частных дифференциалов: dz=d z+d z Отметим, что полное приращение z функции z=f(,), вообще говоря, не равно сумме частных приращений Если в точке (,) функция z=f(,) дифференцируема и дифференциал dz 0 в этой точке, то ее полное приращение z= z z + + α (,) + β (,) отличается от своей линейной части dz= z z + только на сумму последних слагаемых α +β, которые при 0 и 0 являются бесконечно малыми более высокого порядка, чем слагаемые линейной части Поэтому при dz 0 линейную часть приращения дифференцируемой функции называют главной частью приращения функции и пользуются приближенной формулой z dz, которая будет тем более точной, чем меньшими по абсолютной величине будут приращения аргументов,97 Пример Вычислить приближенно arctg(),0

2 Решение Рассмотрим функцию f(,)=arctg() Применяя формулу f(х 0 + х,у 0 + у) f(х 0, у 0) + dz, получим arctg(+) arctg() + [ arctg()] + [ arctg()] или + + arctg() arctg() () + () Положим =, =, тогда =-0,0, =0,0 Поэтому, (0,0 0,0 arctg) arctg() + (0,0) 0,0 = arctg 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Можно показать, что ошибка, получающаяся при применении приближенной формулы z dz не превосходит числа = М (+), где М наибольшее значение абсолютных величин вторых частных производных f (,), f (,), f (,) при изменении аргументов от до + и от до + Частные производные высших порядков Если функция u=f(, z) имеет в некоторой (открытой) области D частную производную по одной из переменных, то найденная производная, сама являясь функцией от, z, может в свою очередь в некоторой точке (0, 0, z 0) иметь частные производные по той же или по любой другой переменной Для исходной функции u=f(, z) эти производные будут частными производными второго порядка Если первая производная была взята, например, по, то ее производная по, z обозначается так: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = или u, u, u z z z Аналогично определяют производные третьего, четвертого и так далее порядков Заметим, что частная производная высшего порядка, взятая по различным переменным, например, ; называется смешанной частной производной Пример u= 4 z, тогда, u =4 z ; u = 4 z ; u z = 4 z; u = z ; u =6 4 z ; u zz = 4 ; u = z ; u = z ; u z = 4 z; u z =8 z; u z =6 4 z; u z =6 4 z Заметим, что смешанные производные, взятые по одним и тем же переменным, но в разном порядке, совпадают Это свойство верно не для всех, вообще говоря, функций, но оно имеет место в широком классе функций Теорема Предположим, что) функция f(,) определена в (открытой) области D,) в этой области существуют первые производные f и f, а также вторые смешанные производные f и f и наконец,) эти последние производные f и f, как функции и, непрерывны в некоторой точке (0, 0) области D Тогда в этой точке f (0, 0)=f (0, 0) Доказательство Рассмотрим выражение

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, где, отличны от нуля, например, положительны, и притом настолько малы, что в D содержится весь прямоугольник [ 0, 0 +; 0, 0 +] Введем вспомогательную функцию от: f (, 0 f (, 0) ϕ()=, которая в промежутке [ 0, 0 +] в силу () имеет производную: f f ϕ (, 0 +) (, 0) ()= и, следовательно, непрерывна С помощью этой функции f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 f (0, 0) выражение W, которое равно W= можно переписать в виде: ϕ (0 +) ϕ (0) W= Так как для функции ϕ() в промежутке [ 0, 0 +] выполняются все условия теоремы Лагранжа, то мы можем, по формуле конечных приращений, преобразовать выражение W f так: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 +θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Мы видим, что du также является некоторой функцией от, Если предположить существование непрерывных частных производных второго порядка для u, то du будет иметь непрерывные частные производные первого порядка и можно говорить о полном дифференциале от этого дифференциала du, d(du), который называется дифференциалом второго порядка (или вторым дифференциалом) от u; он обозначается d u Подчеркнем, что приращения d, d, d при этом рассматриваются как постоянные и остаются одними и теми же при переходе от одного дифференциала к следующему (причем d, d будут нулями) Итак, d u=d(du)=d(d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d или d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + Аналогично, определяется дифференциал третьего порядка d u и так далее Если для функции u существуют непрерывные частные производные всех порядков до n-го включительно, то существование n-го дифференциала обеспечено Но выражения для них становятся все более сложными Можно упростить запись Вынесем в выражении первого дифференциала «букву u» за скобки Тогда, запись будет символической: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, которую надлежит понимать так: сначала «многочлен», стоящий в скобках, формально, возводится по правилам алгебры в степень, затем все полученные члены «умножаются» на u (которое n дописывается в числителях при), и только после этого всем символам возвращается их значение как производных и дифференциалов u d) d u 4Производные от сложных функций Пусть мы имеем функцию u=f(, z), определенную в области D, причем каждая из переменных, z в свою очередь, является функцией от переменной t в некотором промежутке: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Пусть, кроме того, при изменении t точки (, z) не выходят за пределы области D Подставив значения, и z в функцию u, получим сложную функцию: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Предположим, что u имеет по, и z непрерывные частные производные u, u и u z и что t, t и z t существуют Тогда можно доказать существование производной сложной функции и вычислить ее Придадим переменной t некоторое приращение t, тогда, и z получат соответственно приращения, и z, функция же u получит приращение u Представим приращение функции u в форме: (это можно сделать, так как мы предположили существование непрерывных частных производных u, u и u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, где α, β, χ 0 при, z 0 Разделим обе части равенства на t, получим u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t 4

5 Устремим теперь приращение t к нулю: тогда, z будут стремиться к нулю, так как функции, z от t непрерывны (мы предположили существование производных t, t, z t), а потому, α, β, χ тоже стремятся к нулю В пределе получаем u t =u t +u t +u z z t () Видим, что при сделанных предположениях производная сложной функции действительно существует Если воспользоваться дифференциальным обозначением, то du d d dz () будет иметь вид: = + + () dt dt dt z dt Рассмотрим теперь случай зависимости, z от нескольких переменных t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Кроме существования и непрерывности частных производных функции f(, z), мы предполагаем здесь существование производных от функций, z по t и v Этот случай существенно не отличается от уже рассмотренного, так как при вычислении частной производной функции от двух переменных мы одну из переменных фиксируем, и у нас остается функция только от одной переменной, формула ()будет та z же, а () нужно переписать в виде: = + + (а) t t t z t z = + + (б) v v v z v Пример u= ; =ϕ(t)=t ; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Функции нескольких переменных Во многих вопросах геометрии естествознания и пр дисциплин приходится иметь дело с функциями двух трех и более переменных Примеры: Площадь треугольника S a h где a основание

13. Частные производные высших порядков Пусть = имеет и определенные на D O. Функции и называют также частными производными первого порядка функции или первыми частными производными функции. и в общем

Приложение Определение производной Пусть и значения аргумента, а f) и f) - ((соответствующие значения функции f () Разность называется приращением аргумента, а разность - приращением функции на отрезке,

Практическое занятие ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ И НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ Дифференцирование сложной функции Дифференцирование неявной функции задаваемой одним уравнением Системы неявных и параметрически заданных

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

1. Основные понятия. Функции нескольких переменных. Исследование функции нескольких переменных проведем на примерах функций двух и трех переменных, так как все данные определения и полученные результаты

2.2.7. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = зависит от х и является главной частью приращения х. Также можно воспользоваться формулой: dy d Тогда абсолютная погрешность:

Лекция 9. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма и Ролля. Пусть функция y дифференцируема на некотором отрезке [b]. В таком случае ее производная

5 Точка в которой F F F или хотя бы одна из этих производных не существует называется особой точкой поверхности В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости Определение Нормалью к поверхности

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Интегральные суммы и определённый интеграл Пусть дана функция y = f (), определённая на отрезке [, b ], где < b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕР- ВОГО ПОРЯДКА.. Основные понятия Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала.

6. Дифференциал функции 1. Определение и геометрический смысл ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке x 0, если ее приращение в этой точке может быть записано как сумма линейной

Лекции Глава Функции нескольких переменных Основные понятия Некоторые функции многих переменных хорошо знакомы Приведем несколько примеров Для вычисления площади треугольника известна формула Герона S

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных, если каждой паре значений,

Дифференциальные уравнения первого порядка разрешенные относительно производной Теорема существования и единственности решения В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F ()

Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f (x, x) определена в области D, и точка x (x, x) = принадлежит данной области Функция u = f (x, x) имеет

Модуль Тема Функциональные последовательности и ряды Свойства равномерной сходимости последовательностей и рядов Степенные ряды Лекция Определения функциональных последовательностей и рядов Равномерно

9 Производная и дифференциал 91 Основные формулы и определения для решения задач Определение Пусть функция y f () определена на некоторой f (Δ) f () Δy окрестности точки Предел отношения при Δ Δ Δ, если

1 Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка 1.0. Основные определения и теоремы Дифференциальное уравнение первого порядка: независимая переменная; y = y() искомая функция; y = y () ее производная.

Лекция 8 Дифференцирование сложной функции Рассмотрим сложную функцию t t t f где ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t Теорема Пусть функции дифференцируемы в некоторой точке N t t t а функция f дифференцируема

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д Ы ПОСОБИЕ по изучению дисциплины и контрольные задания

II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Дифференциальные уравнения первого порядка Определение Соотношения, в которых неизвестные переменные и их функции находятся под знаком производной или дифференциала, называются

6 Задачи, приводящие к понятию производной Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s f (t), где t - время, а s - путь, проходимый точкой за время t Отметим некоторый момент

Лекция 3. Неопределённый интеграл. Первообразная и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решается задача: по данной функции f() найти ее производную (или дифференциал). Интегральное исчисление

1 Лекция 7 Производные и дифференциалы высших порядков Аннотация: Вводится понятие дифференцируемой функции, дается геометрическая интерпретация первого дифференциала и доказывается его инвариантность

Функции нескольких аргументов Понятие функции каждому элементу х из множества Х по некоторому закону у = f(х) поставлено в соответствие единственное значение переменной у из множества У каждой паре чисел

Составитель ВПБелкин 1 Лекция 1 Функция нескольких переменных 1 Основные понятия Зависимость = f (1, n) переменной от переменных 1, n называется функцией n аргументов 1, n В дальнейшем будем рассматривать

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие понятия Дифференциальные уравнения имеют многочисленные и самые разнообразные приложения в механике физике астрономии технике и в других разделах высшей математики (например

I Определение функции нескольких переменных Область определения При изучении многих явлений приходится иметь дело с функциями двух и более независимых переменных Например температура тела в данный момент

Лекция 8 Теоремы Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа и Лопиталя Аннотация: Доказываются все названные теоремы и приводятся примеры раскрытия неопределенностей по правилу Лопиталя Определение Функция y=f() достигает

СА Лавренченко wwwlawrencenkoru Лекция 4 Дифференцирование сложных функций Неявное дифференцирование Вспомним правило дифференцирования для функций одной переменной также называемое цепным правилом (см

Раздел Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных Функция действительного аргумента Действительные числа Целые положительные числа называются натуральными Добавим к натуральным

Практикум: «Дифференцируемость и дифференциал функции» Если функция y f () имеет конечную производную в точке, то приращение функции в этой точке можно представить в виде: y(,) f () () (), где () при

Лекция Дифференциальные уравнения -го порядка Основные виды дифференциальных уравнений -го порядка и их решение Дифференциальные уравнения является одним из самых употребительных средств математического

ТЕМА 1 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ПРОГРАММНЫЕ ВОПРОСЫ: 11 Функциональная связь Предел функции 1 Производная функции 1 Механический физический и геометрический смысл производной 14 Основные

М И Н И С Т Е Р С Т В О О Б Р А З О В А Н И Я И Н А У К И Р О С С И Й С К О Й Ф Е Д Е Р А Ц И И ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «Национальный исследовательский

ДИСЦИПЛИНА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» курс, семестр Заочная форма обучения ТЕМА Матричная алгебра При решении экономических задач применяются методы экономико-математического моделирования, использующие решение

В.В. Жук, А.М. Камачкин Дифференцируемость функций многих переменных. Дифференцируемость функции в точке. Достаточные условия дифференцируемости в терминах частных производных. Дифференцирование сложной

Глава 4 Предел функции 4 1 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ В этой главе основное внимание уделено понятию предела функции. Определено, что такое предел функции в бесконечности, а затем предел в точке, пределы

ЛЕКЦИЯ 23 КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ О СОХРАНЕНИИ ФАЗОВОГО ОБЪЁМА. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ СВОБОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Продолжим изучать канонические преобразования. Сначала напомним основные

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 3 Дифференциальное исчисление функций одной

55 является при бесконечно малой величиной более высокого порядка малости по сравнению с ρ n (,), где ρ () + (), те можно представить его в форме Пеано n R, ρ Пример Записать формулу Тейлора при n с

Тема Определенный интеграл Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Задача о вычислении площади криволинейной трапеции В системе координат Оху дана криволинейная трапеция,

5 Степенные ряды 5 Степенные ряды: определение, область сходимости Функциональный ряд вида (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) где, a, a, K, a,k некоторые числа, называют степенным рядом Числа

Числовые ряды Числовая последовательность Опр Числовой последовательностью называют числовую ф-цию, определенную на множестве натуральных чисел х - общий член последовательности х =, х =, х =, х =,

Дифференциальные уравнения лекция 4 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Лектор Шерстнёва Анна Игоревна 9. Уравнения в полных дифференциалах Уравнение d + d = 14 называется уравнением

Металлургический факультет Кафедра высшей математики РЯДЫ Методические указания Новокузнецк 5 Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Дифференцируемость ФНП (окончание. Частные производные и дифференциалы сложных ФНП. Дифференцирование неявных функций Лектор Рожкова С.В.

{ теорема Ферма - теорема Дарбу - теорема Ролля - теорема Лагранжа теорема о среднем значении - геометрическое истолкование теоремы о среднем - теорема Коши - формула конечных приращений - правило Лопиталя

Глава 4 Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема Ферма (Пьер Ферма (6-665) французский математик) Если функция y f

ЛЕКЦИЯ 7 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 1 Понятие производной функции Рассмотрим функцию у=f(), определенную на интервале (а;в) Возьмем любое значение х (а;в) и зададим аргументу

Министерство образования Республики Беларусь УО «Витебский государственный технологический университет» Тема. «Ряды» Кафедра теоретической и прикладной математики. разработана доц. Е.Б. Дуниной. Основные

Лекция 3 Ряды Тейлора и Маклорена Применение степенных рядов Разложение функций в степенные ряды Ряды Тейлора и Маклорена Для приложений важно уметь данную функцию разлагать в степенной ряд, те функцию

58 Определенный интеграл Пусть на промежутке задана функция () Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно Выберем на промежутке произвольные числа, 3, n-, удовлетворяющие условию:

Дифференциальные уравнения высшего порядка. Конев В.В. Наброски лекций. Содержание 1. Основные понятия 1 2. Уравнения, допускающие понижение порядка 2 3. Линейные дифференциальные уравнения высшего порядка

Лекция 20 ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть y = f(u), а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)). Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Дифференцирование неявно заданной функции Рассмотрим функцию (,) = C (C = const) Это уравнение задает неявную функцию () Предположим, мы решили это уравнение и нашли явное выражение = () Теперь можно

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университете) Кафедра "Высшая математика" Пределы Производные Функции нескольких переменных Методические указания и варианты контрольных

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 7 ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ I. О С Н О В Н Ы Е П О Н Я Т И Я И Т Е О Р Е М Ы Обозначим через D множество всех бесконечно дифференцируемых финитных функций действительного переменного. Это

Глава 3. Исследование функций с помощью производных 3.1. Экстремумы и монотонность Рассмотрим функцию y = f (), определённую на некотором интервале I R. Говорят, что она имеет локальный максимум в точке

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Методические указания и варианты РГР по теме Функция нескольких переменных для студентов специальности Дизайн. Если величина однозначно определяется заданием значений величин и, независимых друг от друга,

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РАСЧЕТНЫМ ЗАДАНИЯМ ПО КУРСУ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ «ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЯДЫ ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ» ЧАСТЬ Ш ТЕМА РЯДЫ Оглавление Ряды Числовые ряды Сходимость и расходимость

Предел функции. Предел числовой последовательности Определение. Бесконечной числовой последовательностью (или просто числовой последовательностью называется функция f f (, определенная на множестве всех

Лекция 19 ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ. Пусть имеем некоторую функцию y=f(x), определенную на некотором промежутке. Для каждого значения аргумента xиз этого промежутка функция y=f(x)

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функции нескольких переменных Величина называется функцией переменных величин n если каждой точке М n принадлежащей некоторому множеству X поставлено

ЛЕКЦИЯ N 7. Степенные ряды и ряды Тейлора..Степенные ряды..... Ряд Тейлора.... 4.Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена.... 5 4.Применение степенных рядов.... 7.Степенные

Лекция 3 Теорема существования и единственности решения скалярного уравнения Постановка задачи Основной результат Рассмотрим задачу Коши d f () d =, () = Функция f (,) задана в области G плоскости (,

Федеральное агентство по образованию Московский Государственный университет геодезии и картографии (МИИГАиК) МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ по курсу ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Числовые

Лекция 3 ФНП, частные производные, дифференциал

Что главное мы узнали на прошлой лекции

Мы узнали, что такое функция нескольких переменных с аргументом из евклидова пространства. Изучили, что такое предел и непрерывность для такой функции

Что мы узнаем на этой лекции

Продолжая изучение ФНП, мы изучим частные производные и дифференциалы для этих функций. Узнаем, как написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.

Частная производная, полный дифференциал ФНП. Связь дифференцируемости функции с существованием частных производных

Для функции одной вещественной переменной после изучения тем «Пределы» и «Непрерывность» (Введение в математический анализ) изучались производные и дифференциалы функции. Перейдем к рассмотрению аналогичных вопросов для функции нескольких переменных. Заметим, что если в ФНП зафиксировать все аргументы, кроме одного, то ФНП порождает функцию одного аргумента, для которой можно рассматривать приращение, дифференциал и производную. Их мы будем называть соответственно частным приращением, частным дифференциалом и частной производной. Перейдем к точным определениям.

Определение 10 . Пусть задана функция переменных где - элемент евклидова пространства и соответствующие приращения аргументов , ,…, . При величины , называются частными приращениями функция . Полное приращение функции - это величина .

Например, для функции двух переменных , где - точка на плоскости и , соответствующие приращения аргументов, частными будут приращения , . При этом величина является полным приращениями функции двух переменных .

Определение 11 . Частной производной функции переменных по переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению соответствующего аргумента , когда стремится к 0.

Запишем определение 11 в виде формулы или в развернутом виде . (2) Для функции двух переменных определение 11 запишется в виде формул , . С практической точки зрения данное определение означает, что при вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные фиксируются и мы рассматриваем данную функцию как функцию одной выбранной переменной. По этой переменной и берется обычная производная.

Пример 4 . Для функции , где найдите частные производные и точку, в которой обе частные производные равны 0.

Решение . Вычислим частные производные , и систему запишем в виде Решением этой системы являются две точки и .

Рассмотрим теперь, как понятие дифференциала обобщается на ФНП. Вспомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой, если ее приращение представляется в виде , при этом величина является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом. Величина является функцией от , обладает тем свойством, что , т. е. является функцией, бесконечно малой по сравнению с . Функция одной переменной дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда имеет производную в этой точке. При этом константа и равна этой производной, т. е. для дифференциала справедлива формула .

Если рассматривается частное приращение ФНП , то меняется только один из аргументов, и это частное приращение можно рассматривать как приращение функции одной переменной, т. е. работает та же теория. Следовательно, условие дифференцируемости выполнено тогда и только тогда, когда существует частная производная , и в этом случае частный дифференциал определяется формулой .

А что же такое полный дифференциал функции нескольких переменных?

Определение 12 . Функция переменных называется дифференцируемой в точке , если ее приращение представляется в виде . При этом главная часть приращения называется дифференциалом ФНП.

Итак, дифференциалом ФНП является величина . Уточним, что мы понимаем под величиной , которую мы будем называть бесконечно малой по сравнению с приращениями аргументов . Это функция, которая обладает тем свойством, что если все приращения, кроме одного , равны 0, то справедливо равенство . По сути это означает, что = = + +…+ .

А как связаны между собой условие дифференцируемости ФНП и условия существования частных производных этой функции?

Теорема 1 . Если функция переменных дифференцируема в точке , то у нее существуют частные производные по всем переменным в этой точке и при этом .

Доказательство . Равенство запишем при и в виде и раздели обе части полученного равенства на . В полученном равенстве перейдем к пределу при . В итоге мы и получим требуемой равенство . Теорема доказана.

Следствие . Дифференциал функции переменных вычисляется по формуле . (3)

В примере 4 дифференциал функции был равен . Заметим, что этот же дифференциал в точке равен . А вот если мы его вычислим в точке с приращениями , , то дифференциал будет равен . Заметим, что , точное значение заданной функции в точке равно , а вот это же значение, приближенно вычисленное с помощью 1-го дифференциала, равно . Мы видим, что, заменяя приращение функции ее дифференциалом, мы можем приближенно вычислять значения функции.

А будет ли функция нескольких переменных дифференцируема в точке, если она имеет частные производные в этой точке. В отличии от функции одной переменной ответ на этот вопрос отрицательный. Точную формулировку взаимосвязи дает следующая теорема.

Теорема 2 . Если у функции переменных в точке существуют непрерывные частные производные по всем переменным, то функция дифференцируема в этой точке.

в виде . В каждой скобке меняется только одна переменная, поэтому мы можем и там и там применить формулу конечных приращений Лагранжа. Суть этой формулы в том, что для непрерывно дифференцируемой функции одной переменной разность значений функции в двух точках равна значению производной в некоторой промежуточной точке, умноженному на расстояние между точками. Применяя эту формулу к каждой из скобок, получим . В силу непрерывности частных производных производная в точке и производная в точке отличаются от производных и в точке на величины и , стремящиеся к 0 при , стремящихся к 0. Но тогда и, очевидно, . Теорема доказана. , а координата. Проверьте, что эта точка принадлежит поверхности. Напишите уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в указанной точке.

Решение . Действительно, . Мы уже вычисляли в прошлой лекции дифференциал этой функции в произвольной точке, в заданной точке он равен . Следовательно, уравнение касательной плоскости запишется в виде или , а уравнение нормали - в виде .