Примеры плотностей и функций распределения вероятностей. Плотность распределения вероятностей Функция дискретного распределения вероятности плотности

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

Для дискретной случайной величины

M [X] =

Для непрерывной случайной величины

Мода – это наиболее вероятное значение случайной величины (то для которого вероятность p i , или плотность распределения f(x) достигает максимума).

Обозначение: 

Различают унимодальные распределения (имеют одну моду), полимодальные распределения (имеют несколько мод) и анимодальные (не имеют моды)

унимодальное

Медиана – это такое значение случайной величины х m , для которого выполняется следующее равенство:

P{X < х m }= P{X > х m }

Медиана делит площадь,ограниченную f(x), пополам

Если плотность распределения случайной величины симметрична и унимодальна, то М[X],  и х m совпадают

М[X], , х m – неслучайные величины

Свойства плотности распределения

Для начала напомним, что такое плотность распределения:

Рассмотрим свойства плотности распределения:

Свойство 1: Функция $\varphi (x)$ плотности распределения неотрицательна:

Доказательство.

Мы знаем, что функция распределения $F(x)$ - неубывающая функция. Из определения следует, что $\varphi \left(x\right)=F"(x)$, а производная неубывающей функции -- есть функция неотрицательная.

Геометрически это свойство означает, то график функции $\varphi \left(x\right)$ плотности распределения находится либо выше, либо на самой оси $Ox$ (рис. 1)

Рисунок 1. Иллюстрация неравенства $\varphi (x)\ge 0$.

Свойство 2: Несобственный интеграл от функции плотности распределения пределах от $-\infty $ до $+\infty $ равен 1:

Доказательство.

Вспомним формулу для нахождения вероятности того, что случайная величина попадет интервал $(\alpha ,\beta)$:

Рисунок 2.

Найдем вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $(-\infty ,+\infty $):

Рисунок 3.

Очевидно, что случайная величина всегда попадет в интервал $(-\infty ,+\infty $), следовательно, вероятность такого попадания равна единице. Получаем:

Геометрически, второе свойство означает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции плотности распределения $\varphi (x)$ и осью абсцисс численно равна единице.

Можно также сформулировать обратное свойство:

Свойство 3: Любая неотрицательная функция $f(x)\ge 0$, удовлетворяющая равенству $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{f\left(x\right)dx}=1$ является функцией плотность распределения некоторой непрерывной случайной величины.

Вероятностный смысл плотности распределения

Придадим переменной $x$ приращение $\triangle x$.

Вероятностный смысл плотности распределения: Вероятность того, что непрерывная случайная величина $X$ примет значения из интервала$(x,x+\triangle x)$, приближенно равна произведению плотности распределения вероятности в точке $x$ на приращение $\triangle x$:

Рисунок 4. Геометрическая иллюстрация вероятностного смысла плотности распределения непрерывной случайной величины.

Примеры решения задач с использованием свойств плотности распределения

Пример 1

Функция плотности распределения вероятности имеет вид:

Рисунок 5.

1. Найти коэффициент $\alpha $.
2. Построить график плотности распределения.

1. Рассмотрим несобственный интеграл $\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\varphi \left(x\right)dx}$, получаем:

Рисунок 6.

Используя свойство 2, получим:

\[-2\alpha =1,\] \[\alpha =-\frac{1}{2}.\]

То есть, функция плотности распределения имеет вид:

Рисунок 7.

1. Построим её график:

Рисунок 8.

Пример 2

Функция плотности распределения имеет вид $\varphi \left(x\right)=\frac{\alpha }{chx}$

(Напомним, что $chx$ -- гиперболический косинус).

Найти значение коэффициента $\alpha $.

Решение. Используем второе свойство:

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{\alpha }{chx}dx}=1,\] \[\alpha \int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{chx}}=1,\] \[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{chx}}={\mathop{lim}_{a\to -\infty } \int\limits^0_a{\frac{dx}{chx}}\ }+{\mathop{lim}_{b\to +\infty } \int\limits^b_0{\frac{dx}{chx}}\ }\]

Так как $chx=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$, то

\[\int{\frac{dx}{chx}}=2\int{\frac{dx}{e^x+e^{-x}}}=2\int{\frac{de^x}{{1+e}^{2x}}}=2arctge^x+C\]

\[\int\limits^{+\infty }_{-\infty }{\frac{dx}{chx}}={\mathop{lim}_{a\to -\infty } \left(-2arctge^a\right)\ }+{\mathop{lim}_{b\to +\infty } \left(2arctge^b\right)\ }=\pi \]

Следовательно:

\[\pi \alpha =1,\] \[\alpha =\frac{1}{\pi }\]

Непрерывная случайная величина может быть задана не только с помощью функции распределения. Введем понятие плотности вероятности непрерывной случайной величины.

Рассмотрим вероятность попадания непрерывной случайной величины на интервал [х , х + Δх ]. Вероятность такого события

P (х ≤ X ≤ х + Δх ) = F (х + Δх ) – F (х ),

т.е. равна приращению функции распределения F (х ) на этом участке. Тогда вероятность, приходящаяся на единицу длины, т.е. средняя плотность вероятности на участке от х до х + Δх , равна

Переходя к пределу Δх → 0, получим плотность вероятности в точке х :

представляющую производную функции распределения F (х ). Напомним, что для непрерывной случайной величины F (х ) – дифференцируемая функция.

Определение. Плотностью вероятности (плотностью распределения ) f (x ) непрерывной случайной величины Х называется производная ее функции распределения

Про случайную величину Х говорят, что она имеет распределение с плотностью f (x ) на определенном участке оси абсцисс.

Плотность вероятности f (x ), как и функция распределения F (x ) является одной из форм закона распределения. Но в отличие от функции распределения она существует только для непрерывных случайных величин.

Плотность вероятности иногда называют дифференциальной функцией или дифференциальным законом распределения . График плотности вероятности называется кривой распределения .

Пример 4.4. По данным примера 4.3 найти плотность вероятности случайной величины Х .

Решение. Будем находить плотность вероятности случайной величины как производную от ее функции распределения f (x ) = F "(x ).

◄

Отметим свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция , т.е.

Геометрически вероятность попадания в интервал [α , β ,] равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [α , β ,] (рис.4.4).

Рис. 4.4 Рис. 4.5

3. Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражен через плотность вероятности по формуле :

Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график – кривая распределения – лежит не ниже оси абсцисс, а полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Пример 4.5. Функция f (x ) задана в виде:

Найти: а) значение А ; б) выражение функции распределения F (х ); в) вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке .

Решение. а) Для того, чтобы f (x ) была плотностью вероятности некоторой случайной величины Х , она должна быть неотрицательна, следовательно, неотрицательным должно быть и значение А . С учетом свойства 4 находим:

, откуда А = .

б) Функцию распределения находим, используя свойство 3 :

Если x ≤ 0, то f (x ) = 0 и, следовательно, F (x ) = 0.

Если 0 < x ≤ 2, то f (x ) = х /2 и, следовательно,

Если х > 2, то f (x ) = 0 и, следовательно

в) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение на отрезке находим, используя свойство 2 .