Распределение пуассона дискретной случайной величины. Распределение и формула пуассона Мат ожидание и дисперсия распределения пуассона

Как сразу стали поступать запросы: «Где Пуассон? Где задачи на формулу Пуассона?» и т.п . И поэтому я начну с частного применения распределения Пуассона – ввиду большой востребованности материала.

Задача до боли эйфории знакома:

И следующие две задачи принципиально отличаются от предыдущих:

Пример 4

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт ИМЕННО о распределении Пуассона.

Решение : случайная величина принимает значения с вероятностями:

По условию, , и тут всё просто: событие состоит в трёх несовместных исходах :

Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Ответ :

Аналогичная задача на понимание:

Пример 5

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет положительное значение.

Решение и ответ в конце урока.

Помимо приближения биномиального распределения (Примеры 1-3), распределение Пуассона нашло широкое применение в теории массового обслуживания для вероятностной характеристики простейшего потока событий. Постараюсь быть лаконичным:

Пусть в некоторую систему поступают заявки (телефонные звонки, приходящие клиенты и т.д.). Поток заявок называют простейшим , если он удовлетворяет условиям стационарности , отсутствия последствий и ординарности . Стационарность подразумевает то, что интенсивность заявок постоянна и не зависит от времени суток, дня недели или других временнЫх рамок. Иными словами, не бывает «часа пик» и не бывает «мёртвых часов». Отсутствие последствий означает, что вероятность появления новых заявок не зависит от «предыстории», т.е. нет такого, что «одна бабка рассказала» и другие «набежали» (или наоборот, разбежались). И, наконец, свойство ординарности характеризуется тем, что за достаточно малый промежуток времени практически невозможно появление двух или бОльшего количества заявок. «Две старушки в дверь?» – нет уж, увольте, рубить удобнее по порядку.

Итак, пусть в некоторую систему поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью заявок в некоторую единицу времени (минуту, час, день или в любую другую) . Тогда вероятность того, что за данный промежуток времени , в систему поступит ровно заявок, равна:

Пример 6

Звонки в диспетчерскую такси представляет собой простейший пуассоновский поток со средней интенсивностью 30 вызовов в час. Найти вероятность того, что: а) за 1 мин. поступит 2-3 вызова, б) в течение пяти минут будет хотя бы один звонок.

Решение : используем формулу Пуассона:

а) Учитывая стационарность потока, вычислим среднее количество вызовов за 1 минуту:
вызова – в среднем за одну минуту.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что за 1 минуту в диспетчерскую поступит 2-3 вызова.

б) Вычислим среднее количество вызов за пять минут:

$Х$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$ ($\lambda$$>$0), если эта величина принимает целые неотрицательные значения $к=0, 1, 2,\dots$ с вероятностями $рк$=$\frac{\lambda ^{:} }{:!} \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком Симеоном Дени Пуассоном в 1837 г.)

Распределение Пуассона также называют законом редких событий, потому, что вероятности рк дают приближенное распределение числа наступлений некоторого редкого события при большом количестве независимых испытаний. В этом случае полагают $\lambda =n \cdot р$ , где $n$- число испытаний Бернулли, $р$- вероятность осуществления события в одном испытании.

Правомерность использования закона Пуассона вместо биномиального распределения при большом числе испытаний дает следующая теорема.

Теорема 1

Теорема Пуассона.

Если в схеме Бернулли n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, так что $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (конечному числу), то

$!_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \to \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $

Без доказательства.

Примечание 1

Формула Пуассона становится точнее, при малениких $p$ и больших чисел $n$, причём $n \cdot p $

Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром $\lambda$:

$М(Х)$=$\sum \limits _{k=0}^{\infty }k\cdot \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.

Дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона параметром $\lambda$:

$D(X)$=$\lambda$ .

Применение формулы Пуассона при решении задач

Пример 1

Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна $0,002$. Найти вероятность того, что в партии из $1500$ изделий будет не более 3-х бракованных. Найти среднее число бракованных изделий.

• Пусть $А$-число бракованных изделий в партии из $1500$ изделий. Тогда искомая вероятность, это вероятность того, что $А$ $\leq$ $3$. В данной задаче мы имеем схему Бернулли с $n=1500$ и $р=0,002$. Для применения теоремы Пуассона положим $\lambda=1500 \cdot 0,002=3$. Тогда искомая вероятность

• Среднее число бракованных изделий $М(А)$=$\lambda$=3.

Пример 2

Коммутатор учреждения обслуживает $100$ абонентов. Вероятность того, что в течение $1$ минуты абонент позвонит, равна $0,01$. Найти вероятность того, что в течение $1$ минуты никто не позвонит.

Пусть $А$- число позвонивших на коммутатор в течение $1$ минуты. Тогда искомая вероятность -- это вероятность того, что $А=0$. В данной задаче применима схема Бернулли с $n=100$, $p=0,01$. Для использования теоремы Пуассона положим

$\lambda=100 \cdot 0,01=1$.

Тогда искомая вероятность

$Р = е^-1$ $\approx0,37$.

Пример 3

Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено

1. ровно три изделия;
2. менее трех изделий.

Рассмотрев замечание к формуле Пуассона, поскольку вероятность $р=0,002$ повреждения изделия мала, а число изделий $n=500$ велико, и $a=n\cdot p=1

Для решения второй задачи применима формула, где $k1=0$ и $k2=2$. Имеем:

Пример 4

Учебник издан тиражом $100000$ экземпляров. Вероятность того, что один учебник сброшюрован неправильно, равна $0,0001$. Какова вероятность того, что тираж содержит $5$ бракованных книг?

По условию задачи $n = 100000$, $p = 0,0001$.

События "из $n$ книг ровно $m$ книг сброшюрованы неправильно", где $m = 0,1,2, \dots ,100000$, являются независимыми. Так как число $n$ велико, а вероятность $p$ мала, вероятность $P_n (m)$ можно вычислить по формуле Пуассона: $P_n$(m)$\approx \frac{{\lambda }^m\cdot e^{-\lambda }}{m!}$ , где $\lambda = np$.

В рассматриваемой задаче

$\lambda = 100000 \cdot 0,0001 = 10$.

Поэтому искомая вероятность $P_{100000}$(5) определяется равенством:

$P_{100000}$ (5)$\approx \frac{e^{-10}\cdot {10}^5}{5!}\approx $ ${10}^5$ $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.

Ответ: $0,0375$.

Пример 5

Завод отправил на базу $5000$ доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредиться равно $0,0002$. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.

По условию $n=5000$; $р = 0,0002$; $k = 3$. Найдем $\lambda $:

$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0002 = 1$.

Искомая вероятность по формуле Пуассона равна:

Пример 6

Вероятность того, что на телефонную станцию в течение одного часа позвонит один абонент, равна 0,01. В течение часа позвонили 200 абонентов. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят 3 абонента.

Рассматрев условие задачи видим, что:

Найдем $\lambda $ для формуллы Пуассона:

\[\lambda =np=200\cdot 0,01=2.\]

Подставим значения в формулу Пуассона и получим значение:

Пример 7

На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для 2-х студентов?

Имеем $n=500$; $p=1/365 \approx 0,0027$, $q=0,9973$. Поскольку количество испытаний велико, а вероятность выполнения очень мала и $npq=1,35 \

Биномиальный закон распределения относится к случаям, когда была сделана выборка фиксированного объема. Распределение Пуассона относится к случаям, когда число случайных событий происходит на определенных длине, площади, объеме или времени, при этом определяющим параметром распределения является среднее число событийт , а не объем выборки п и вероятность успеха р. Например, количество несоответствий в выборке или количество несоответствий, приходящихся на единицу продукции.

Распределение вероятностей для числа успехов х имеет при этом следующий вид:

Или можно сказать, что дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если ее возможные значения 0,1, 2, ...т, ...п, а вероятность появления таких значений определяется соотношением:

где m или λ- некоторая положительная величина, называемая параметром распределения Пуассона.

Закон Пуассона распространяется на «редко» происходящие события, при этом возможность очередной удачи (например, сбоя) сохраняется непрерывно, является постоянной и не зависит от числа предыдущих удач или неудач (когда речь идет о процессах, развивающихся во времени, это называют «независимостью от прошлого»). Классическим примером, когда применим закон Пуассона, является число телефонных вызовов на телефонной станции в течение заданного интервала времени. Другими примерами могут быть число чернильных клякс на странице, неаккуратно написанной рукописи, или число соринок, оказавшихся на кузове автомобиля во время его окраски. Закон распределения Пуассона измеряет число дефектов, а не число бракованных изделий.

Распределению Пуассона подчиняется количество случайных событий, которые появляются в фиксированные промежутки времени или в фиксированной области пространства, При λ<1 значение P(m) монотонно убывает с ростом m то, a при λ> 1 значениеP(m)с ростом т проходит через максимум вблизи /

Особенностью распределения Пуассона является равенство дисперсии математическому ожиданию. Параметры распределения Пуассона

M(x) = σ 2 = λ (15)

Эта особенность распределения Пуассона позволяет на практике утверждать, что экспериментально полученное распределение случайной величины подчинено распределению Пуассона, если выборочные значения математического ожидания и дисперсии примерно равны.

Закон редких событий применяется в машиностроении для выборочного контроля готовой продукции, когда по техническим условиям в принимаемой партии продукции допускается некоторый процент брака (обычно небольшой) q<<0.1.

Если вероятность q события А очень мала (q≤0,1), а число испытаний велико, то вероятность того, что событие А наступит m раз в n испытаниях, будет равна

где λ = М(х) = nq

Для вычисления распределения Пуассона можно пользоваться следующими рекуррентными соотношениями

Распределение Пуассона играет важную роль в статистических методах обеспечения качества, поскольку с его помощью можно аппроксимировать гипергеометрическое и биномиальное распределения.

Такая аппроксимация допустима, когда , при условии, что qn имеет конечный предел и q<0.1. Когда п →∞ , а р → 0, среднее п р = т = const.

При помощи закона редких событий можно вычислить вероятность того, что в выборке из n единиц будет содержаться: 0,1,2,3, и т.д. бракованных деталей, т.е. заданное m раз. Можно также вычислить вероятность появления в такой выборке m штук дефектных деталей и более. Эта вероятность на основании правила сложения вероятностей будет равна-:

Пример 1 . В партии имеются бракованные детали, доля которых составляет 0,1. Последовательно берут 10 деталей и обследуют, после чего их возвращают в партию, т.е. испытания носят независимый характер. Какова вероятность того, что при проверке 10 деталей попадется одна бракованная?

Решение Из условия задачи q=0,1; n=10; m=1.Очевидно, что р=1-q=0,9.

Полученный результат можно отнести и к тому случаю, когда извлекается подряд 10 деталей без возврата их обратно в партию. При достаточно большой партии, например, 1000 шт., вероятность извлечения деталей изменится ничтожно мало. Поэтому при таких условиях извлечение бракованной детали можно рассматривать как событие, не зависящее от результатов предшествующих испытаний.

Пример 2. В партии имеется 1% бракованных дета- лей. Какова вероятность того, что при взятии из партии выборки объемом 50 единиц продукции в ней будет находиться 0, 1, 2, 3 ,4дефектных деталей??

Решение. Здесь q=0.01, nq=50*0.01=0.5

Таким образом, для эффективного применения распределения Пуассона как аппроксимации биномиального необходимо, чтобы вероятность успеха р была существенно меньше q . a п р = т была порядка единицы (или нескольких единиц).

Таким образом, в статистических методах обеспечения качества

гипергеометрический закон применим для выборок любого объема п и любого уровня несоответствий q ,

биномиальный закон и закон Пуассона являются его частными случаями соответственно при условии, если n/N<0,1 и

9. Закон распределения Пуассона и Гаусса

Закон Пуассона. Другое название его – закон ра-определения редких событий. Закон Пуассона (З. П.) применяется в тех случаях, когда маловероятно, и поэтому применение Б/З/Р нецелесообразно.

Достоинствами закона являются: удобство при вычислении, возможность вычислить вероятность в заданном промежутке времени, возможность замены времени другой непрерывной величиной, например, линейными размерами.

Закон Пуассона имеет следующий вид:

и читается следующим образом: вероятность появления события А в m раз при n независимых испытаниях выражается формулой вида (59), где а = пр – среднее значение p(A), причем а является единственным параметром в законе Пуассона.

Закон нормального распределения (закон Гаусса). Практика неуклонно подтверждает, что закону Гаусса с достаточным приближением подчиняются законы распределения ошибок при измерениях самых различных параметров: от линейных и угловых размеров до характеристик основных механических свойств стали.

Плотность вероятности закона нормального распределения (в дальнейшем Н. Р.) имеет вид

где x 0 – среднее значение случайной величины;

? – среднее квадратическое отклонение той же случайной величины;

e = 2,1783… – основание натурального логарифма;

Ж – параметр, который удовлетворяет условию.

Причина широкого применения закона нормального распределения теоретически определяется теоремой Ляпунова.

При известных Х 0 и? ординаты кривой функции f(x) можно вычислить по формуле

где t – нормированная переменная,

(t) плотность вероятности z. Если подставить z и (t) в формулу, то следует:

Кривую З.Н.Р. часто называют кривой Гаусса, этот закон описывает очень многие явления в природе.