Задания по теореме пифагора. Презентация на тему "задания по теореме пифагора"

Найдите высоту, опущенную на гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 3 см и 5 см.

Для того, чтобы решить эту задачу, необходимо нарисовать треугольник, причём непременно прямоугольный. Для удобства дальнейшего решения, я нарисую его лежащим на гипотенузе.

Теперь проведём высоту. Что это вообще такое? Это линия, опущенная из угла треугольника на противоположную сторону, и образующая с этой стороной прямой угол.

Откуда взялась цифра корень из 34 см? Найти гипотенузу треугольника с известными катетами очень легко по теореме Пифагора: (квадрат одного катета)+(квадрат второго катета)=(квадрат гипотенузы) = 9 + 25 = 34.
Гипотенуза = корень из квадрата гипотенузы = корень из 34 см.

После проведения высоты появилось два внутренних треугольника. В нашей задаче, собственно, обозначение буквами ни к чему, но для наглядности:

Итак, был треугольник ABC, в нём опустили высоту BD на гипотенузу AC. Получилось два внутренних прямоугольных треугольника: ADB и BDC. Мы не знаем, как высота поделила гипотенузу, поэтому обозначим меньшую неизвестную часть - AD - через х, а большую - DC - через разность AC и х, т.е. (корень из 34)-х см.

Обозначим искомую высоту через y. Теперь, по теореме Пифагора, из двух внутренних прямоугольных треугольником составим систему уравнений:
x^2 + y^2 = 9
((корень из 34)-х)^2 + y^2 = 25

Выразим у^2 из первого уравнения: y^2 = 9 - x^2
Подставим, предворительно упростив второе уравнение: ((корень из 34)-х)^2 + y^2 = 34 - 2*(корень из 34)*х + x^2 + y^2 = 34 - 2*(корень из 34)*х + x^2 + 9 - x^2 = 43 - 2*(корень из 34)*х = 25
2*(корень из 34)*х = 18
x = 9/(корень из 34)

Ура! Почти готово! Теперь опять же, по теореме Пифагора, из треугольника ABD:
(квадрат гипотенузы)-((найденный х) в квадрате) = квадрат искомой высоты
AB^2 - x^2 = 9 - 81/34 = 225/34 = h^2
h = 15/(корень из 34)

Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой . Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:

Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.

Решение задач с использованием теоремы Пифагора

Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.

Итак, дано:

1. Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
2. Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.

Приступим к решению:

a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:

48 2 + b 2 = 80 2

2304 + b 2 = 6400

b 2 = 4096

b = 64 или b = -64

Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.

Ответ к первому рисунку: b = 64.

b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:

84 2 + b 2 = 91 2

7056 + b 2 = 8281

b 2 = 1225

b = 35 или b = -35

Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.

Ответ ко второму рисунку: b = 35

Нам дано:

1. Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
2. Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.

Решаем задачу:

a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.

b) Выполняется та же самая операция:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.

Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:

Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):

Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):

Поскольку имеет место равенство:

то соответствующий треугольник является прямоугольным.

Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.

Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:

Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.

Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.

Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:

Итак, ширина пруда составляет 10 метров.

Сергей Валерьевич

Как символ вечного союза
Как вечной дружбы знак простой
Связала ты, гипотенуза,
Навеки катеты с собой.
Скрывала тайну ты,
Не скоро явился некий мудрый грек
И теоремой Пифагора
Тебя прославил он навек.

Цели:

• систематизировать, обобщить знания и умения по применению теоремы Пифагора при решении задач, показать их практическое применение;
• содействовать развитию математического мышления;
• воспитывать познавательный интерес.

Оборудование: потрет Пифагора, рисунок и макет телевизионной башни, таблицы для устного счета.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Работа по готовым чертежам

– Можно ли по этим условиям найти площадь треугольника?
– Какой еще вопрос можно поставить к данным задачам?
– Найдите площади треугольников.
– Какую теорему вы применяли для нахождения сторон треугольников?
– Как называются треугольники 1, 4 и 3? (Пифагоровые)
– Приведите еще примеры таких треугольников.
– Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 6, 29 и 25? Какую теорему вы использовали для доказательства?

В это время 4 ученика работают самостоятельно.

1. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ 10 см и образует со стороной угол равный 30 о. (25√3 см 2)

2. В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, большая боковая сторона – 20 см. Найдите площадь трапеции. (224 см 2)

3. Самостоятельная работа 3-х уровней по готовым чертежам.

1 вариант

2 вариант

3 вариант

Самопроверка работ с помощью таблицы ответов.

4. Решение задач

Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

Дано: АВСD – ромб, ВD = 10 cм, АС = 24 см
Найти: АВ и S ромба

1. ВD перпендикулярна АС по свойству диагоналей ромба.
2. Рассмотрим треугольник АВО: О = 90, ВО = 5 см, АО = 12 см. По теореме Пифагора АВ = ВО 2 + АО 2 АВ = 13 см
3. S = 1/2 * 10 * 24 = 120 см 2 .

Ответ: АВ = 13 см, S = 120 см 2

Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АВ и СD, если АВ = 10 см, ВС = DА = 13 см, СD = 20 см.

Дано: АВСD – трапеция, АВ и СD основания, АВ = 10
СD = 20 см, ВС = DA = 13 см
Найти: S?

1. Проведем высоту АН и рассмотрим треугольник АDН: Н = 90, АD = 13 cм,
DН = (20 – 10) : 2 = 5 см.
АН = 13 2 – 5 2 = 12 см

2. S = (20 + 10) : 2 * 12 = 180 см 2

Ответ: S = 180cм 2 .

– Какие формулы вы использовали при решении задач? А какие формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?

Сегодня Маша Л. познакомит вас с формулой для вычисления площади равностороннего треугольника по его стороне. (Ученица самостоятельно готовила задание дом.)

S = а 2 * √3/4, где а – сторона треугольника.

Решение задачи на применение данной формулы.

Треугольник состоит из 4-х треугольников со стороной 1см. Сколько равносторонних треугольников вы видите? Чему равна площадь данного треугольника?

Решение задачи: 5 равносторонних треугольников, а = 2 см, тогда S = √3 кв.ед.

5. Практическое задание

Отчет учеников о проделанной работе: В нашем поселке есть телевышка, высота которой 124 м. Чтобы она стояла вертикально, требуются растяжки, они несколько уровневые. Нам была поставлена задача выяснить, сколько метров троса потребуется для 4 нижних растяжек.

Так как растяжки одинаковой длины, то задача свелась к нахождению длины одной растяжки. Для этого мы выделили прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояния АС и СВ. Мы узнали, что трос крепится на высоте 40 м (АС = 40 м) и измерили расстояние от основания вышки до крепления троса на поверхности (СВ = 24 м). По теореме Пифагора АВ = 46,7 м, значит троса потребуется не менее 186,8 м.

Во время отчета демонстрируется макет телевышки и ее рисунок.

6. Итог урока

7. Домашнее задание

Закончить урок словами: Говорят, что наука отличается от искусства тем,что в то время как создания искусства вечны, великие творения науки безнадежно стареют. К счастью это не так, теорема Пифагора этому пример, мы применяли и будем применять ее при решении задач.