Тема урока: «ТЕОРЕМА ПИФАГОРА»

(8 В класс)

Содержание

Теорема Пифагора. Применение теоремы Пифагора к решению задач.

Цели урока:

1. Обучающие:
- расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками
- исследовать закономерности между сторонами прямоугольного треугольника;
- изучить теорему Пифагора;
- формировать умения применять теорему Пифагора при решении задач;
Развивающие:
- развивать умение делать логические выводы;
- развивать мышление, культуру математической речи;

Воспитательные:
- воспитание общей культуры, активности, самостоятельности;
- воспитание трудолюбия, воспитание любви к предмету.

2. Познакомить учащихся с основными этапами жизни и деятельности Пифагора
3. Осуществление межпредметной связи геометрии с алгеброй, географией, историей, литературой.

Прогнозируемый результат

1. Знать зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.

2. Уметь доказывать теорему Пифагора.

3. Уметь применять теорему Пифагора для решения задач.

План урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Сообщение учащегося о жизни Пифагора Самосского.

4. Историческая справка о теореме Пифагора.

5. Работа над теоремой.

6. Решение задач с применением теоремы.

7. Подведение итога урока. Самостоятельная работа.

8. Домашнее задание.

Оборудование

Чертежные инструменты.

Презентация по данной теме.

Стенд с различными доказательствами теоремы Пифагора.

Рисунки к устным задачам.

Ход урока

Сегодня на уроке мы продолжаем изучение одной из важнейших теорем

геометрии – теоремы Пифагора. Она является основой решения множества

геометрических задач.

Слайд 2

Поговорим о математике, именем которого она названа. Ребята подготовили сообщение. (Абросимов Владимир, Глухов Владислав, Журавлёв Максим)

Слайды 3,4

Пифагор родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос - который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Пифагор был учеником Фалеса, теорему которого мы изучали.

Пифагор организовал школу из представителей аристократии школу которая в дальнейшем называлась школой Пифагорейцев. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения Пифагора. Пифагорейцы, как их позднее стали называть, занимались математикой, философией, естественными науками

Кроме духовного и нравственного развития учеников Пифагора заботило их физическое развитие. Он не только сам участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях, но и воспитал плеяду великих олимпийцев

Система морально-этических правил, завещанная ученикам Пифагора,

была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев.

Кадеты подготовили некоторые из 325 заповедей Пифагора.

Не делай ничего постыдного ни в присутствии других, ни втайне.

Первым твоим законом должно быть уважение к себе самому.

Не закрывай глаз, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за прошедший день.

Никто не должен преступать меру ни в пище, ни в питии.

Будь благословенно божественное число, породившее богов и людей.

Прежде всего не теряй самоуважения!

Все исследуй, давай разуму первое место.

Делай великое, не обещая великого.

Для познания нравов какого ни есть народа старайся прежде изучить его язык.

Если можешь быть орлом, не стремись стать первым среди галок.

Живи с людьми так, чтобы твои друзья не стали недругами, а недруги стали друзьями.

Избери себе друга; ты не можешь быть счастлив один: счастье есть дело двоих.

Как ни коротки слова «да» и «нет», все же они требуют самого серьезного размышления.

Одному только разуму, как мудрому попечителю, должно вверять всю жизнь.

Статую красит вид, а человека - его деяния.

Только неблагодарный человек способен в глаза хвалить, а за глаза злословить.

У друзей все общее, и дружба есть равенство.

Что бы о тебе ни думали, делай то, что ты считаешь справедливым.

Будь одинаково равнодушным и к порицанию, и к похвале.

Шутку, как и соль, должно употреблять с умеренностью.

Сегодня абсолютно невозможно сказать, какие из сотен подобных заповедей

восходят к самому Пифагору. Но совершенно очевидно, что все они выражают

вечные общечеловеческие ценности, которые остаются актуальными всегда,

пока жив человек.

Вспомним определения и решим несколько устных задач. Слайды 5,6,7

Дайте определение прямоугольного треугольника

Что такое пропорция? Назовите основное свойство пропорции.

Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника; от чего зависит и не зависит косинус;

Назовите стороны :

п рилежащие к углу А;

противолежащие углу А;

прилежащие к углу В;

противолежащие углу В.

Наз о в ите cos A, cos B.

Ни одно человеческое исследование не может называться истинной наукой, если оно не прошло через математическое доказательство » Слайды 7 8

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя. Существуют 367 способов доказательства теоремы (Пётр Ипатов).

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Демонстрация модели.

Сейчас услышим доказательство теоремы, Слайды 9,10 стиховорение 11

Пифагоровы штаны-12 Шаржы-13

Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в

художественной литературе, например в рассказе известного английского

писателя Хаксли «Юный Архимед».

Задачи на готовых чертежах Слайд 14

Египетский треугольник Слайд 15

Пифагоровы тройки Слайд 16

Задача арабского математика Слайд 17

Задача о тросе Слайд 18

Самостоятельная работа.

Кроссворд Слайд 19

Теореме Пифагора посвящены стихи. Слайд 20

О теореме Пифагора

Суть истины вся в том, что нам она – навечно,

Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна…

(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

Итог урока

Чему посвящён урок?

Что нового узнали на уроке?

Интересен ли для вас был урок?

Что вам особенно запомнилось?

Возникли ли трудности при усвоении материала?

Что нужно сделать, чтобы преодалеть их?

Домашняя работа п.63-64 № 3,4 стр.94

Подписи к слайдам:

Теорема Пифагора
«Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это теорема Пифагора»
Иоганн Кеплер
Историческая справка о Пифагоре
Пифагор Самосский.(Pythagoras of Samos) Родился: около 569 г. до н.э. на острове Самос в Ионическом море. Умер: около 475 г. до РХ.Пифагор был: 1. известным кулачным бойцом Олимпийских игр. 2. ведущим духовным, церковным и научным идеологом своего государства.В молодости для изучения наук жрецов путешествовал по Египту, жил также в Вавилоне, где имел возможность в течение 12 лет изучать астрологию и астрономию у халдейских Жрецов. После Вавилона, побыв некоторое время в своём отечестве, переселился в Южную Италию, потом в Сицилию и организовал там пифагорейскую школу, которая внесла ценный вклад в развитие математики и астрономии. Однако, приняв количественное отношение за сущность вещей и оторвав их от материального мира, эта школа пришла к идеализму.
К содержанию
Школа Пифагора и пифагорейцы
Труды, обычно приписываемые Пифагору, относятся не только к легендарному Пифагору, но вообще к трудам его школы, которая существовала в период с 585 до 400 г.г. Эта школа заложила основу греческой арифметики, которая ограничивалась изучением целых чисел. Их арифметика геометрична, она разбивает числа в зависимости от формы соответствующих им фигур из точек на треугольные, квадратные, пятиугольные и т.д. Попасть в школу было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания, и все это время принятые в школу могли слушать голос учителя лишь из-за занавеса, а увидеть могли только тогда, когда их "души будут очищены музыкой и тайной гармонией чисел". Другим законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось – вплоть до смерти. После того как школу Пифагора перестала сушествовать, его ученики поступили в другие школы тех времён (например в школу Евклида).
Пентаграмма
«Квадрат, построенный на гипотенузе прямо-угольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах».
«В прямоугольном треугольнике квадратгипотенузы равен сумме квадратов катетов».
Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:
Современная формулировка теоремы Пифагора
Теорема Пифагора
25=16+9
5 = 4 + 3
2
2
2
9
25
16
Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.
Примеры доказательств теоремы
Сегодня известно около 500 различных доказательств теоремы Пифагора геометрических, алгебраических, механических и прочих. Рассмотрим некоторые примеры доказательств:На рис.1(2) изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2 . Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.
К содержанию
Далее
Это доказательство было приведено Евклидом в его "Началах". На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL - квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе.В самом деле, треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BDРFBC = d + РABC = РABD Но SABD = 1/2 S BJLD, так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично SFBC=1\2S ABFH (BF-общее основание, АВ-общая высота). Отсюда, учитывая, что SABD=SFBC, имеем SBJLD=SABFH.Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что SJCEL=SACKG. Итак, SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED, что и требовалось доказать.
Самое простое доказательство
Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.Сторона квадрата равна a + b.
b
a
В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат со стороной b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и b.
a
b
a
b
В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрата со сторонами a и b и четыре прямоугольных треугольника с катетами a и b.
a
b
Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной b равна сумме площадей квадратов со сторонами a и b.
Пифагоровы штаны

A
B
C
«Пифагоровы штаны во все стороны равны. Чтобы это доказать, нужно снять и показать», -так поется в одной шутливой песенке. Эти «штаны» показаны на рисунке, где на каждой стороне прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построены квадраты. А сам рисунок появился в знаменитой первой книге трактата Евклида «Начала»и был положен ее автором в основу доказательства теоремы Пифагора. В англоязычных странах ее называют ветряной мельницей, павлиньим хвостом и креслом невесты.
Шаржи к теореме Пифагора(из учебников XVI века)
Если квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный
Доказательство
Дано: треугольник ABC; Док-ть: Док-во: Р/м - прямоугольный
=>
=>
=>
=>
=>
=>
1 Пифагор родился на острове:а).Родосб)Критв)Мадагаскарг)Самос
Ответ: г
2. Теорема Пифагора гласит:a)В треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату катетов.б)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.в)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.г)В прямоугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
4. Выберите тройку пифагоровых чисел:а)2, 3 и 5б)4, 5 и 8в)5, 12 и 13г)9, 11 и 14
3. Выберите верное равенство для данного треугольника:а)a2+ c2 = b2б)a2 + b2 = cв)b2 + c2 = a2г)a2 + b2 = c2
Ответ: г
Ответ: в
Ответ: в
ТЕСТ
Пифагоровы тройки
Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к ещё одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) - проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение а2+b2=c2.
*
Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а её решения - тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (а2+b2=c2)- называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами а, b и целочисленной гипотенузой c.
*
Эти тройки можно найти по формулам:b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2.
а
3
5
6
7
9
11
13
15
17
19
21
39
b
4
12
8
24
40
60
84
112
144
180
20
80
c
5
13
10
25
41
61
85
113
145
181
29
89
Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей, которые мы перечислим без доказательств: Один из «катетов» должен быть кратным трём. Один из «катетов» должен быть кратным четырём. Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.
*
4
3
х
3
х
5

Землемеры и строители Древнего Египта размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков. Посмотри!
Теорема не теряет смысла, если квадраты заменить любыми другими правильными многоугольниками или полукругами.
Если на сторонах треугольника построены полукруги по одну сторону гипотенузы, то площадь полученных луночек равна площади данного треугольника.
Построение отрезка, длина которого есть иррациональное число. Улитка Архимеда.
«Смотри чертёж».Догадайтесь сами, как построены отрезки с такими длинами.
*
Диагональ d квадрата со стороной а можно рассматривать как гипотенузу прямоугольного равнобедренного треугольника с катетом а. Таким образом: d2=2aІ, d= a.
*
Диагональ d прямоугольника со сторонами а и b вычисляется подобно тому, как вычисляется гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами a и b. Мы имеем dІ=aІ+bІ . d=
*
На рисунке изображен куб, внутри которого проведена диагональ d, являющаяся одновременно гипотенузой прямоугольного треугольника, заштрихованного на рисунке. Катетами треугольника служат ребро куба и диагональ квадрата, лежащего в основании (как указывалось ранее, длина диагонали равна а). Отсюда имеем d2 = a2+(а)2, d2=3a2, d= a.
*
Рассуждение, подобное этому, можно провести и для прямоугольного параллелепипеда с ребрами a, b, с и получить для диагонали выражение d =
*
В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны 1.ширине окна (b) для наружных дуг 2. половине ширины, (b/2) для внутренних дуг Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений. В других аналогичных примерах могут потребоваться вычисления; покажем, как применяется в таких задачах теорема Пифагора. В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b/2 и r= b/4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4 + p, один катет равен b/4, а другой b/2 - p. По теореме Пифагора имеем: (b/4 + p)І = (b/4)І + (b/2 - p)І или bІ/16 + bp/2 + pІ = bІ/16 +bІ/4 - bp + pІ, откуда bp/2 = bІ/4 - bp. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p = b/4, p = b/6
В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку, это явилось следствием открытий итальянского астронома Скиапарелли (открыл на Марсе каналы которые долгое время считались исскуственными) и др. Естественно, что вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию. Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000 франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В шутку, хотя и не совсем безосновательно, было решено передать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал. НАЗАД
*
Если дан нам треугольникИ притом с прямым углом,То квадрат гипотенузыМы всегда легко найдем:Катеты в квадрат возводим,Сумму степеней находим -И таким простым путемК результату мы придем.
И. Дырченко
О теореме Пифагора Пребудет вечной истина, как скоро Все познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Поэтому всегда с тех самых пор, Чуть истина рождается на свет, Быки ревут, ее почуя, вслед. Они не в силах свету помешать, А могут лишь закрыв глаза дрожать От страха, что вселил в них Пифагор. A.Шамиссо
Над озером тихимС полфута размеромВысился лотоса цвет.Он рос одиноко, И ветер порывомОтнёс его в сторону. НетБоле цветка над водой.Нашёл же рыбак егоРанней весноюВ двух футах от места, где рос.Итак, предложу я вопрос:“Как озера вода здесь глубока?”
*
Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближённо равен 0,3 м) ?
Решение. Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера АС =Х, тогда AD = AB = Х + 0,5 .Из треугольника ACB по теореме Пифагора имеем AB2 – AC2 = BC2,(Х + 0,5)2 – Х2 = 22 ,Х2 + Х + 0,25 – Х2 = 4,Х = 3,75.Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.3, 75 0,3 = 1,125 (м) Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.
*
На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?
*
Задача Бхаскары
Решение. Пусть CD – высота ствола.BD = АВПо теореме Пифагора имеем АВ = 5 .CD = CB + BD, CD = 3 + 5 =8.Ответ: 8 футов.
*
На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?
*
Решение
Итак, в треугольнике АDВ: АВ2 =ВD2 +АD2 АВ2=302 +Х2АВ2=900+Х2;в треугольнике АЕС: АС2= СЕ2+АЕ2АС2=202+(50 – Х)2 АС2=400+2500 – 100Х+Х2АС2=2900 – 100Х+Х2.Но АВ=АС, так как обе птицы пролетели эти расстояния за одинаковое время.Поэтому АВ2 =АС2 , 900+Х2 =2900 – 100Х+Х2,100Х=2000,Х=20, АD=20. Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы. Ответ: 20 локтей.
*
"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."
*
"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "
*
Д
Е
К
40 м
20 м
Х
100 м
А
В
Изречения Пифагора
Статуя формой своей хороша,А человека украсят дела. Шуткой беседу укрась, освети.Шутка, что соль. Лишь не пересоли…Лучше молчи, ну, а коль говоришь,Пусть будет лучше, чем то, что молчишь. Если ты в гневе, не смей говорить!Действовать резко и злобу сорить. Пред тем, как станешь говорить, пусть мысль созреетПод языком твоим. Созревшая - все смеет.
1) делай лишь то, что впоследствии не омрачит тебя и не заставит раскаиваться;
2) не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что нужно знать;
3) не пренебрегай здоровьем своего тела;
4) научись жить просто и без роскоши;
5) либо молчи, либо говори то, что ценнее молчания;
6) не закрывай глаза, когда хочешь спать, не разобравши всех своих поступков за день.
Пифагор первым определил и изучил взаимосвязь музыки и математики.Пифагор рассматривал геометрию не как практическую и прикладную дисциплину, а как логическую науку.Система морально-этических правил, завещанная Пифагором, была собрана в своеобразный моральный кодекс пифагорейцев «Золотые стихи».Во Франции и некоторых областях Германии в Средневековье теорему Пифагора называли «Мостом слов», а у математиков арабского Востока – «Теоремой невесты».

Память.
Памятник Пифагору находится в порту города Пифагория и напоминает всем о теореме Пифагора, наиболее известном его открытии. Катет, лежащий в основании треугольника - мраморный, гипотенуза и фигура самого Пифагора в виде второго катета - медные.
К
х
12 см
13 cм
N
М
Найдите: КN
Решение:
КN2=132-122=169-144=25 КN=5 cм
КМ2=КN2+NМ2
КN2=КМ2 – МN2
В
х
8
17
А
D
С
Найдите: АD
10 см
6 см
В
D
А
С
F
Дано: ∆АCF-прямоугольный,АВ=ВС, СD=DF, ВD║АFВС=6 см, СD=10см.Найдите: ВD,АF
Решение:
СВD=САF, т.к. соответственные при ВD║АF , значит ∆BCD-прямоугольный
По теореме Пифагора ВD2=CD2-ВС2, ВD2=102-62=64, ВD=8 см
АС=12 см, СF=20 см, по теореме Пифагора АF2=CF2-АС2, АF2=202-122=256, АF=16 см
c2 = a2 + b2
4
3
5
20
21
25
41
13
17
7
24
8
15
9
40
12
5
29
Теорема Пифагора
НЕИЗВЕСТНАЯ ГИПОТЕНУЗА:
Примеры:
2,0
2,1
c2 = a2 + b2
10 = 5  2
с = 13  2,
c = 26
10
24
24 = 12  2
1)
2,0 = 20: 10
с = 2 9
,
2,1 = 21: 10
2)
Пифагоровы тройки можно увеличивать или уменьшать в n – раз, где n > 0. Укажите к какому «семейству» относятся новые примеры.
4
3
5
20
21
7
24
8
15
12
5
29
13
25
17
10
8
6
2,5
2,4
0,7
51
45
24
14,5
10,5
10
Новые примеры (5)
52
122
132
из 9
4
3
6
5
8
4
3
3
3
15
36
3
3
3
1,5
2
Найдите неизвестные стороны треугольников.

Должность и место работы : учитель математики МКОУ СОШ №1 г. Сортавала Республики Карелия.

Пояснительная записка .

Урок посвящен одной из важнейших теорем планиметрии - теореме Пифагора. Данный урок – это урока открытия новых знаний. На уроке представлена проблемно-поисковая ситуация; рассматривается доказательство теоремы Пифагора и применение ее к решению возникшей проблемы. Учащиеся самостоятельно доказывают теорему. Урок способствует развитию познавательного интереса, навыков самостоятельного пополнения знаний. Усиление практической направленности обучения способствует прочному, неформальному усвоению материала. Урок сопровождается презентацией с исторической справкой и рядом тестовых заданий.

Урок геометрии в 8 классе.

Тема: Теорема Пифагора

Цель урока : Выработать компетенцию по применению теоремы

Пифагора при решении геометрических и практических задач.

Задачи:

1). В процессе учебной деятельности учащихся вывести формулировку и доказательство теоремы Пифагора.

2). Выработать умение учащихся составлять математическую модель реальной ситуации с использованием теоремы Пифагора.

3). Познакомить учащихся с выдающимся математиком, философом и пророком Пифагором.

Ход урока.

1 . Самоопределение к деятельности:

Учитель : Ребята, сегодня мне хотелось бы начать урок с задачи.

«Пожарные увидели на крыше горящего дома маленького котенка. Котенок жалобно пищал и звал на помощь. Но вот беда: пожарная машина не может приблизится к дому ближе, чем на 6м, высота дома – 8м. Свою лестницу пожарники могут растянуть не более, чем на 11м. Достаточно ли этого, чтобы помочь бедному котенку?»

Как правило, мнения разные: одни считают, что «да», другие – «нет»

Учитель : сформулируем задачу в общем виде:

Известны катеты прямоугольного треугольника.

Найти длину его гипотенузы

Пока мы не можем решить эту задачу, но к концу урока, применив все свои знания и способности, я надеюсь, что мы сможем помочь нашему маленькому котенку.

2. Актуализация знаний учащихся:

Вопросы классу : - Какие свойства площадей вам известны?

Площади каких фигур мы можем вычислить?

Решить задачи (устно) с целью подготовки учащихся к восприятию нового материала:

а) Известно, что α = 3β

Найти: β

б) Известно, что α + γ = β

Найти: β

в) По данному рисунку докажите, что

К MN Р - квадрат

Вопрос классу :

Какие еще задачи мы можем решить, используя данный чертеж?

(Для удобства ребят можно ввести обозначения: AK = a , AP = b , KP = c )

Наводящие вопросы :

Какие фигуры вы видите на чертеже?

Что вы можете сказать о площадях этих фигур?

Какое свойство площадей здесь можно использовать?

(Путем диалога, арифметических преобразований подвести ребят к

записи: a 2 + b 2 = c 2 ) .

Вопросы классу:

Чем являются в нашей ситуации переменные a , b , c ?

Сформулируйте фразу, закодированную в записи a 2 + b 2 = c 2 , которая связывает площади наших фигур?

Учитель : Ребята, вы не представляете, что сейчас произошло! Вы сделали величайшее открытие!!! Вы «открыли» теорему Пифагора! Итак, тема нашего урока: «Теорема Пифагора». (Предложить учащимся записать в тетрадях тему урока и ее формулировку).

2 . Изучение нового материала: с помощью компьютера рассмотреть только первые два раздела презентации («Теорема Пифагора» и «Проверь себя»).

Учитель : Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, и можно сказать, самая главная. Значение ее состоит в том, что из нее или с помощью ее можно вывести большинство теорем геометрии.

Теорема Пифагора замечательна еще и тем, что сама по себе она вовсе не очевидна! Например, свойства равнобедренного треугольника можно непосредственно видеть на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что между его сторонами есть простое соотношение: c 2 = a 2 + b 2

Зато это соотношение между площадями геометрических фигур становится очевидным из построения на рисунках.

В Древней Индии существовал способ «доказательства теоремы без слов». Слушателям представляли чертеж и писали одно слово «смотри».

Выслушав предположения ребят, сделать вывод: Мы видим два различных разбиения одного и того же квадрата со стороной a + b .

Если из площадей одинаковых квадратов убрать площади одинаковых прямоугольных треугольников, то остаются равные площади: c 2 = a 2 + b 2 .

В этом состоит самый лучший математический стиль: посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным.

3. Закрепление изученного материала:

Учитель: Ребята, наш котенок по-прежнему ждет вашей помощи. Давайте вернемся к нашей задаче.

Дано : ∆ АВС, ے В = 90 0

Найти : АС

Решение : Δ АВС – прямоугольный

По теореме Пифагора АС 2 =АВ 2 +ВС 2 ═>

АС 2 = 6 2 +8 2 – это математическая модель

данной ситуации.

АС 2 = 100, АС = 10

Ответ: 10 м до крыши, т.е. лестницы

вполне достаточно.

Задача №2 : Египтяне придумали задачу о лотосе: «На глубине 12 футов растет лотос с 13 футовым стеблем. Определите, на какое расстояние цветок может отклониться от вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко дну».

Дано: ∆ АВС, ے С = 90 0 , АВ = 13м, АС=12м

Найти: ВС

Решение : ∆ АВС – прямоугольный, т.е. по

теореме Пифагора имеем: АВ 2 =АС 2 +ВС 2

а значит ВС 2 = АВ 2 - АС 2

ВС 2 = 13 2 - 12 2 , ВС 2 = 25 ═> ВС = 5

Ответ : 5 футов.

Задача №3 : Дерево в 8м высотой переломлено бурей так, что если верхнюю часть пригнуть к земле, то верхушка коснется земли на расстоянии 4м от основания ствола. На какой высоте переломлен ствол?

Решение : И вновь при составлении математической

модели мы используем теорему Пифагора:

(8 - х) 2 = х 2 + 4 2

64 – 16х + х 2 = х 2 + 16

16х = 48 х = 3

Ответ : 3м

4. Самостоятельное решение задачи :

I уровень – Коробка конфет имеет форму равнобедренного треугольника, боковая сторона которой равна 25см, а основание – 14см. Какова высота этой коробки? (Ответ: 24см)

II уровень – Цветочная клумба имеет форму равнобедренной трапеции с основаниями10 и 18 см, и с боковой стороной равной 5см. Найти площадь клумбы. (Ответ: 42см 2 )

Учитель : - Возможно ли было решение задач данного типа без знания

теоремы Пифагора?

В чем суть теоремы Пифагора?

О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?

5. Историческая справка:

Закончить просмотр презентации «Теорема Пифагора».

6. Подведение итогов урока:

Учитель: Сегодня мы с вами познакомились с теоремой Пифагора. Вы согласны с тем, что это одна из важнейших теорем геометрии? Почему? Теорема Пифагора справедлива только для прямоугольных треугольников. Так ли уж часто мы имеем с ними дело?

Объявить оценки.

Домашнее задание: I группа - №484б, 486 II группа - №488 а,б

Слайд 1

8 класс Монахова Е. Ю. –учитель математики СОШ №1 г. Сортавала, Карелия

Слайд 2

Слайд 3

Биография Пифагора С берегов Средиземноморьяколыбели европейской цивилизации, с тех давних времен, названных «весною человечества», дошло до нас имя Пифагор- не только самый популярный ученый, но и самая загадочная личность. Подлинную картину его жизни и достижений восстановить трудно, так как письменных документов о Пифагоре не осталось

Слайд 4

Биография Пифагора Известно, что родился Пифагор на острове Самос, расположенном в Эгейском море, в 576 г. до н. э. По совету Фалеса 22 года набирался мудрости в Египте. В Вавилон он попал не по своей воле. Во время завоевательных походов на Египет его взяли в плен и продали в рабство. Более 10 лет он жил в Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран.

Урок по геометрии 8 класс.

"Теорема Пифагора"

Учитель: Науменко Н.М.

• Образовательная цель: ознакомится с биографией Пифагора, изучение теоремы Пифагора, ее роли в геометрии; использование теоремы в решении задач.
• Развивающая цель:
• Воспитательная цель: культуры математической речи .

План урока:

• Организационный момент.
• Актуализация знаний.
• Изучение нового материала
• Историческая справка о Пифагоре (презентация)
• Первичное закрепление знаний.
• Итоги урока.
• Домашнее задание.
• Веселая минутка

Оборудование: портрет Пифагора, доска, мультимедийное оборудование (ПК, проектор, экран), презентационный материал, раздаточный материал (по количеству обучающихся).

Ход урока:

(Приложение 1 )

I. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята, садитесь,

А работать не ленитесь.

Тетради и ручки взяли,

Число в тетрадях 19.11.15. вмиг написали.

Сегодня на уроке у нас гости. И мне бы хотелось, чтобы у нас им было хорошо. А это зависит от нас с вами. Я надеюсь, что мы сделаете все, чтобы гости ушли от нас с хорошими впечатлениями.

Начнём урок с повторения изученного материала.

II. Актуализация опорных знаний.

Слайд 2 – прямоугольный треугольник.

Слайд 3 –равенство треугольников по двум катетам

Слайд 4 –свойство площадей

Слайд 5 –нахождение угла

Слайд 6 –задача.

Слайд 7

И, чтобы нам с вами определиться,

Чему на уроке должны научиться,

Устно чертеж на доске рассмотри,

Площадь фигуры каждой найди.

1.Дан ∆АВС- прямоугольный, гипотенуза АВ=12 см., катет СВ-3 см.

Найти S ∆.

2. Какая фигура изображена?

Чему равна S трапеции - ?

Что нам неизвестно? (высота)

Как найти высоту?

(Ставится проблема)

Нам дан ∆АВС- прямоугольный, гипотенуза АВ=5м.,катет СВ-3м.

Найти S ∆.

Чему равна S ∆ -?

Что нам известно? (катает, гипо-тенуза, угол 90 0 )

В этой задаче мы можем найти катет АС?

Можем или не можем?

На сегодняшний урок мы не знаем, как найти.

Так какая сегодня наша задача? Узнать что? (Найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника).

Т.о. мы с вами сформулировали цель нашего урока: Научиться находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника.

III. Изучение нового материала.

Ученик:

Истории завесы открываем и

В древний мир мы тотчас попадаем

4-й век до н.э. идет,

А в древней Греции ученый Пифагор ни ест, ни спит, ни пьет.

Учитель:

О, боги, мой ум прошу вас одарить.

Чтоб истину, что всех дороже мне открыть,

Я, в жертву 100 быков готов отдать,

Чтоб эту теорему доказать.

Я не один? Сюда народ пришел?

Тогда, друзья, мне помогайте,

Чтоб истину, что всех дороже я нашел.

А если ошибусь, пожалуйста, исправьте.

Слайд 8

Всем треугольники равные, прямоугольные раздам,

Себе и вам вопрос задам –

Возможно ли их так расположить, чтобы квадрат в итоге получить?

Пожалуйста, возьмите белые листы, 4 треугольника, и попробуйте составить из них квадрат на белом листе. Из 4-х треугольников должны составить квадрат.

Есть варианты?

Все, получился у нас квадрат,

И этому я очень рад!

На доске учитель выкладывает квадрат с ромощью 4-х треугольников и магнитов.

Теперь на доску все внимательно смотрите

И площадь полученного квадрата все найдите.

Все способы, что вы найдете – хороши!

Я вам успеха всем желаю от души!

Положите и приклейте полученный квадрат на белый лист. Подпишите, где катеты, а где гипотенуза (катеты - а, в, гипотенуза – с), вершины А, В, С, Д.

Работаем быстро и аккуратно.

Скажите, а почему данная фигура – квадрат? (определение)

1. Углы по 90 0 ;
2. Стороны равны (а+в);
3. Итак, как найти S квадрата АВСД?

S кв = квадрату стороны. Чему равна длина стороны нашего квадрата?

S АВСД = (а+в) 2 – запишем.

А, чему это равен квадрат суммы? Вызываем ученика к доске.

S АВСД = (а+в) 2 =а 2 +2ав+в 2 (1)

А, как еще можно найти S кв ? Думаем. Эта фигура состоит из каких фигур?

Из 4-х треугольников и фигуры MNLK (подписать вершины), т.е.

S АВСД = 4 S тр + S MNLK

Чему равна S ∆ -? S = ∆ ав

Т.о. S АВСД = 4 ав + S MNLK =2ав + S MNLK

Почему MNLK – квадрат?

Стороны равны, но это может быть и ромб. Чем ромб отличается от квадрата? (углами)

Почему угол равен 90 0 ? Т.к сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 0 и треугольники равны по 2-м катетам.

Чему равна S MNLK ? S MNLK = с 2

Получили, S АВСД = 2ав + с 2 (2)

Что мы теперь можем сделать с вами? Мы можем приравнять равенства (1) и (2)? 2ав + с 2 = а 2 +2ав+в 2 Как мы упростим это равенство? (ученик к доске )

с 2 = а 2 +в 2

С - ? а - ? в - ? (гипотенуза, катет, катет)

Не называя буквами, назови то, что мы получили для прямоугольного треугольника.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Слайд 9

Все доказал! Хвала богам!

Что обещал, отдать придется,

И 100 быков всех в жертву вам,

Пусть теорема именем моим зовется!

Записываем тему урока: «Теорема Пифагора».

Многие люди считают, что Пифагор - это миф, что его придумали, и он является человеком - легендой. Но мы исходим из той позиции, что реальным является реальным человеком, великим человеком в истории всего человечества.

Слайд 10. Послушаем рассказ об этом математике, именем которого названа теорема (ученик). Сообщение нам приготовила Орлова Дарья.

ПИФАГОР САМОССКИЙ (ок. 580 – ок. 500 г. до н.э.)

О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н. э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским.

Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Еще в детстве он проявлял незаурядные способности, а когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове.

Он отправился в Египет. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Постиг науку египетских жрецов, и засобирался домой, чтобы там создать свою школу. Но жрецы не желали, чтобы их знания распространялись за территорию их храмов и не хотели его отпускать. С большим трудом ему удалось преодолеть эту преграду.

Однако по дороге домой Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашел свое место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели в Египте. Вавилоняне изобрели и применили при счете позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые кубические уравнения.

Пифагор прожил в Вавилоне 10 лет и вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго, и поселился в одной из греческих колоний Южной Италии. Там Пифагор организовал тайный союз молодежи.

Слайд 11. В этот союз новых членов принимали с большими церемониями после долгих испытаний. Пифагорейцы, как их стали позднее называть, занимались математикой, философией, естественными науками. Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии, в том числе:

Геометрические решения квадратных уравнений;

Деление чисел на четные и нечетные, простые и составные;

Теорема о сумме углов треугольника и мн. др.

Пифагор участвовал в Олимпийских играх и два раза побеждал в кулачных боях.

Около сорока лет ученый посвятил созданной им школе, и в возрасте восьмидесяти лет, по одной из версий, Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

Слайд 12. Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum “ослиный мост” или elefuga – “бегство убогих”, так как некоторые “убогие” ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.

Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому “ослами”, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Слайд 13. (учитель) Итак, теорема Пифагора.

Слайд 14. (ученик). Приготовил Булгаков

Учитель:

Слайд 15. Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому:

“Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах”.

Смотрите, а вот и “Пифагоровы штаны во все стороны равны”.

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи. Вот, например, такие. Слайд 16.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Решим несколько задач.

Слайд 17. Задача № 483. Возьмем раздаточный материал и вместе рассмотрим решение данной задачи.

∆АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ.

По теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС²

С²=а²+b²

С²=6²+8²

С²=36+64

С²=100

C=10

Ответ: 10

Слайд 18 . Задача № 483.(сам-но)

Слайд 19. Задача № 484.

Слайд 20 . Задача № 486.

Слайд 21. Задача № 487.

Слайд 22.

Рефлексия .(2 мин)

• Что нового вы узнали сегодня на уроке? (Сегодня на урок мы познакомились с теоремой Пифагора, с некоторыми сведениями из жизни ученого. Решили несколько простейших задач)
• Для каких треугольников применяется теорема Пифагора?
• В чём заключается теорема Пифагора?

Молодцы, ребята. Вы сегодня славно потрудились

Слайд 23. Домашнее задание.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с одной из главных теорем геометрии теоремой Пифагора и её доказательством, с некоторыми сведениями из жизни учёного, имя которого она носит, решили несколько простейших задач.

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести множество теорем геометрии и решить много задач.

К следующему уроку вы должны выучить теорему Пифагора с доказательством, так как мы будем учиться применять её к решению более сложных задач.

• П.54, задачи 483 (в), 484 (б,г), 486 (б).

• Подготовить сообщение «Египетский треугольник».

Слайд 22 . Веселая минутка (с вопросом для внимательных и наблюдательных – где ошибка?) – приложение 2 .

Эмоциональная разрядка:

• нахмуриться, как осенняя туча, рассерженный человек, злая волшебница
• улыбнуться, как кот на солнце, Буратино, хитрая лиса, ребенок, который увидел чудо
• устать, как папа после работы, человек, поднявший груз, муравей, притащивший большую муху
• отдохнуть как турист, снявший тяжелый рюкзак, ребенок, который много потрудился, уставший воин.

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теорема Пифагора Геометрия 8 класс Науменко Н.М.,учитель МКОУ «Солнечная СОШ» Алейского района Алтайского края

Что изображено? Вопросы Чему равна сумма острых углов в прямоугольном треугольнике?  А +  В = 90° Чему равна площадь этого треугольника? Как называются стороны АС и ВС? C A B a b с

B C A C 1 A 1 B 1 Докажите, что треугольники равны.

A B C D E S ABCDE = S ABC + S ADC + S ADE

1 3 2 Найти  3, если  1+  2 = 90°.

Решите устно C A B Дано: ∆ ABC,  C=90°, AB=18 см, ВC=9 см Найти:  B,  А 1. 18 9 60 12 10

Устно чертеж на доске рассмотри, площадь фигуры каждой найди.

Пифагор Самосский о. Самос

Пифагорейцами было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Пифагор Самосский

«Ослиный мост» Доказательство теоремы Пифагора считалось в кругах учащихся средних веков очень трудным и называлось иногда Pons Asinorum «ослиный мост» или elefuga - «бегство убогих», так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучивавшие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора с b а c ²=a²+b² Итак, Если дан нам треугольник, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим - И таким простым путем К результату мы придем. c ²=a²+b²

История теоремы Пифагора Пифагор Самосский ок. 580 – ок. 500 до н.э.

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».

Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же “ветряной мельницей”, составляли стихи вроде “Пифагоровы штаны на все стороны равны”, рисовали карикатуры. Шаржи из учебника XVI века Ученический шарж XIX века

№ 483 6 8 ? С А В Дано: ∆АВС, С=90 º , а=6, b =8 Найти: с. Решение: ∆АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ. По теореме Пифагора АВ ² =АС ² +ВС ² с ² =а ² + b² с ² = 6² + 8² с ² = 36+64 с ² = 100 c=10 Ответ: 10

с ² = а 2 + b 2 8 6 5 10 8 6 c b а а в с С А В № 483 √61 с =√ а 2 + b 2

с ² = а 2 + b 2 а в с С А В № 484 2 3b 2b 12 13 5 12 c b а 13 ² = 12 2 + b 2 169 = 144 + b 2 b 2 =169-144= 25 b = 5 4 b ² = 12 2 + b 2 3b ² = 144 b ² = 48 b = √ 48 √ 48 а 2 + b 2 =c ² а 2 =c ²-b² b 2 =c ²-a² а = √ c ²-b² b = √ c ²-a² Запишем формулы для нахождения катетов прямоугольного треугольника:

с ² = а 2 + b 2 № 48 6 A C B D 5 13 AD ²=AC²-CD² AD =12

№ 487 Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см, АС=16 см, BD AC Найти: BD. Решение. 1. AD=DC=AC: 2=8 c м 2. Рассмотрим ∆ADB . BD²=AB²-AD² BD=√289-64 BD=15 (см) Ответ: 15 см А С B D

Провести самооценку собственной учебной деятельности по таблице Активность высокая средняя низкая тему Усвоил хорошо Усвоил частично Усвоил слабо Объяснить товарищу Могу сам Могу, но с подсказками затрудняюсь

Домашнее задание П.54, задачи 483 (в), 484 (б, г,), 486 (б). Подготовить сообщение «Египетский треугольник».

СПАСИБО ЗА УРОК!!!

Предварительный просмотр:

Слайд 13 (ученик). Интересна история теоремы Пифагора.

Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Но это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. Говорят, что он “запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы”. В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: “… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста”.

Предварительный просмотр:

Раздаточный материал

с²=а²+b²

№ 483

Решение :

Вывод:

№ 484

Решение:

Вывод:

С²=а²+b² № 486

Дано: АВСD – прямоугольник,
АВ=5 см, АС=13 см

Найти: АD.

Решение:

№ 487

Дано: ∆АВС, АВ=ВС=17 см,
АС=16 см, BD ⊥ AC

Найти: BD.

Решение:

Предварительный просмотр:

Провести самооценку собственной учебной деятельности по таблице.

Провести самооценку собственной учебной деятельности по таблице.