Момент инерции полукруга. Момент инерции и момент сопротивления

Рассматривая в предыдущих разделах простейшие виды деформаций - осевое растяжение и сжатие, смятие, скалывание - мы выяснили, что их сопротивление действующей силе пропорционально только размерам площади поперечного сечения элемента, на который действует сила. Так, при одинаковой площади сечения, одном и том же материале и одинаковой силе, действующей на каждый из стержней, изображенный на рис. 9.14, в них возникнут равные напряжения.
Переходя далее к изучению других более сложных видов деформаций (кручение, изгиб, внецентренное сжатие и др.) мы увидим, что в этих случаях сопротивление элемента конструкции внешним силам зависит не только от площади его поперечного сечения, но и от распределения этой площади в плоскости сечения, т. е. от формы сечения.
Из обыденного опыта ясно, что согнуть стержень 4 в вертикальном направлении труднее, чем стержень 5, а стержень 6 имеет еще большую жесткость, хотя площади сечений всех этих стержней одинаковые (рис. 9.14).

Параметрами, характеризующими геометрические свойства различных плоских фигур, кроме площади, являются: статические моменты, моменты инерции, моменты сопротивления и радиусы инерции.
Статический момент площади . Представим брус с произвольной формой поперечного сечения площадью F , в плоскости которого проведена ось х (рис. 9.15). Выделим элемент площади dF , расположенный на расстоянии у от оси х .. Статическим моментом элементарной площадки , относительно оси х называют произведение этой площадки на ее расстояние до оси:

Статический момент всей площади F относительно оси х равен сумме статических моментов всех элементарных площадок, которые могут быть выделены на рассматриваемой площади:

Из теоретической механики известно, что координаты центра тяжести площади фигуры определяют по формулам:

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции» .

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела . Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm , то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m , вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Решение:

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r , а масса – dm . Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Решение:

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач .

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе . Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

§ 4.5. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЙ ПРОСТОЙ ФОРМЫ

Как указано в § 1.5, геометрические характеристики сложных сечений определяются путем расчленения их на ряд простых фигур, геометрические характеристики которых можно вычислить по соответствующим формулам или определить по специальным таблицам. Эти формулы получаются в результате непосредственного интегрирования выражений (8.5)-(10.5). Приемы их получения рассматриваются ниже на примерах прямоугольника, треугольника и круга.

Прямоугольное сечение

Определим осевой момент инерции прямоугольника высотой h и шириной b относительно оси проходящей через его основание (рис. 11.5, а). Выделим из прямоугольника линиями, параллельными оси элементарную полоску высотой и шириной b.

Площадь этой полоски расстояние от полоски до оси равно их. Подставим эти величины в выражение момента инерции (8.5):

Аналогичным путем для момента инерции относительно оси можно получить выражение

Для определения центробежного момента инерции выделим из прямоугольника линиями, параллельными осям (рис.

11.5, б), элементарную площадку величиной. Определим сначала центробежный момент инерции не всего прямоугольника, а лишь вертикальной полоски высотой h и шириной расположенной на расстоянии от оси

Произведение вынесено за знак интеграла, так как для всех площадок, принадлежащих рассматриваемой вертикальной полоске, оно постоянно.

Проинтегрируем затем выражение в пределах от до

Определим теперь осевые моменты инерции прямоугольника относительно осей у и, проходящих через центр тяжести параллельно сторонам прямоугольника (рис. 12.5). Для этого случая пределы интегрирования будут от до

Центробежный момент инерции прямоугольника относительно осей (рис. 12.5) равен нулю, так как эти оси совпадают с его осями симметрии.

Треугольное сечение

Определим осевые моменты инерции треугольника относительно трех параллельных осей, проходящих через его основание (рис. 13.5, а), центр тяжести (рис. 13.5,б) и вершину (рис. 13.5, е).

Для случая, когда ось проходит через основание треугольника (рис. 13.5, а),

Для случая, когда ось проходит через центр тяжести треугольника параллельно его основанию (рис. 13.5, б),

В случае, когда ось проходит через вершину треугольника параллельно его основанию (рис. 13.5, в),

Момент инерции значительно больше (в три раза), чем момент инерции так как основная часть площади треугольника более удалена от оси чем от оси

Выражения (17.5) - (19.5) получены для равнобедренного треугольника. Однако они верны и для неравнобедренных треугольников. Сравнивая, например, треугольники, показанные на рис. 13.5, а и 13.5, г, из которых первый равнобедренный, а второй неравнобедренный, устанавливаем, что размеры площадки и пределы, в которых изменяется у (от 0 до) для обоих треугольников одинаковы. Следовательно, моменты инерции для них также одинаковы. Аналогично можно показать, что осевые моменты инерции всех сечений, изображенных на рис. 14.5, одинаковы. Вообще смещение частей сечения параллельно некоторой оси не влияет на величину осевого момента инерции относительно этой оси.

Очевидно, что сумма осевых моментов инерции треугольника относительно осей показанных на рис. 13.5, а и 13.5, в, должна быть равна осевому моменту инерции прямоугольника относительно оси показанной на рис. 11.5, а. Это следует из того, что прямоугольник можно рассматривать как два треугольника, для одного из которых ось проходит через основание, а для другого - через вершину параллельно его основанию (рис. 15.5).

Действительно, по формулам (17.5) и (19.5)

что совпадает с выражением прямоугольника по формуле (12.5).

Сечение в форме круга

Определим осевой момент инерции круга относительно любой оси, проходящей через его центр тяжести. Из рис. 16.5, а следует

Очевидно, что относительно любой оси, проходящей через центр круга, осевой момент инерции будет равен и, следовательно,

По формуле (11.5) находим полярный момент инерции круга относительно его центра:

Формулу осевого момента инерции круга можно получить более простым путем, если предварительно вывести формулу для его полярного момента инерции относительно центра (точки О). Для этого выделим из круга элементарное кольцо толщиной радиусом и площадью (рис. 16.5,б).

Полярный момент инерции элементарного кольца относительно центра круга так как все элементарные площадки из которых состоит это кольцо, расположены на одинаковом расстоянии от центра круга. Следовательно,

Этот результат совпадает с полученным выше.

Моменты инерции (полярный и осевые) сечения, имеющего форму кругового кольца с наружным диаметром d и внутренним (рис. 17.5), можно определить как разности между соответствующими моментами инерции наружного и внутреннего кругов.

Полярный момент инерции кольца на основании формулы (21.5)

или, если обозначить

Аналогично, для осевых моментов инерции кольца

Момент инерции и момент сопротивления

При определении сечения строительных конструкций очень часто необходимо знать момент инерции и момент сопротивления для рассматриваемого поперечного сечения конструкции. Что такое момент сопротивления и как он связан с моментом инерции изложено отдельно. Кроме того, для сжимаемых конструкций также нужно знать значение радиуса инерции. Определить момент сопротивления и момент инерции, а иногда и радиус инерции для большинства поперечных сечений простой геометрической формы можно по давно известным формулам:

Таблица 1. Формы сечения, площади сечений, моменты инерции и моменты сопротивления для конструкций достаточно простых геометрических форм.

Обычно, этих формул достаточно для большинства расчетов, но случаи бывают всякие и сечение конструкции может быть не такой простой геометрической формы или положение осей, относительно которых нужно определить момент инерции или момент сопротивления, может быть не таким, тогда можно воспользоваться следующими формулами:

Таблица 2. Формы сечения, площади сечений, моменты инерции и моменты сопротивления для конструкций более сложных геометрических форм

Как видно из таблицы 2, высчитывать момент инерции и момент сопротивления для неравнополочных уголков достаточно сложно, да нет в этом необходимости. Для неравнополочных и равнополочных прокатных уголков, а также для швеллеров, двутавров и профильных труб есть сортаменты. В сортаментах значения момента инерции и момента сопротивления приводятся для каждого профиля.

Таблица 3. Изменения моментов инерции и моментов сопротивления в зависимости от положения осей.

Формулы из таблицы 3 могут понадобиться для расчета наклонных элементов кровли.

Было бы неплохо объяснить на наглядном примере для особо одаренных, типа меня, что такое момент инерции и с чем его едят. На специализированных сайтах как-то всё очень запутанно, а у Дока есть явный талант довести информацию, быть может не самую сложную, но очень грамотно и понятно

В принципе, что такое момент инерции и откуда он взялся, достаточно подробно объяснено в статье “Основы сопромата, расчетные формулы”, здесь лишь повторюсь: “W – это момент сопротивления поперечного сечения балки, другими словами, площадь сжимаемой или растягиваемой части сечения балки, умноженная на плечо действия равнодействующей силы”. Момент сопротивления необходимо знать для расчетов конструкции на прочность, т.е. по предельным напряжениям. Момент инерции необходимо знать для определения углов поворота поперечного сечения и прогиба (смещения) центра тяжести поперечного сечения, так как максимальные деформации возникают в самом верхнем и в самом нижнем слое изгибаемой конструкции, то определить момент инерции можно, умножив момент сопротивления на расстояние от центра тяжести сечения до верхнего или нижнего слоя, поэтому для прямоугольных сечений I=Wh/2. При определении момента инерции сечений сложных геометрических форм сначала сложная фигура разбивается на простейшие, затем определяются площади сечения этих фигур и моменты инерции простейших фигур, затем площади простейших фигур умножаются на квадрат расстояния от общего центра тяжести сечения до центра тяжести простейшей фигуры. Момент инерции простейшей фигуры в составе сложного сечения равен моменту инерции фигуры + квадрат расстояния умноженный на площадь. Затем полученные моменты инерции суммируются и получается момент инерции сложного сечения. Но это максимально упрощенные формулировки (хотя, соглашусь, все равно выглядит достаточно мудрено).

Момент инерции и момент сопротивления - Доктор Лом

Глава 5. МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Любое плоское сечение характеризуется рядом геометрических характеристик: площадью, координатами центра тяжести, статическим моментом, моментом инерции и др.

Статические моменты относительно осей х и y равны:

Статические моменты обычно выражаются в кубических сантиметрах или метрах и могут иметь как положительные, так и отрицательные значения. Ось, относительно которой статический момент равен нулю, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения . Формулы для определения координат центра тяжести x c и y c сложного сечения, разбитого на простейшие составные части, для которых известны площади А i и положение центра тяжести x ci и y ci ,имеют вид

Величина момента инерции характеризует сопротивляемость стержня деформации (кручения, изгиба) в зависимости от размеров и формы поперечного сечения. Различают моменты инерции:

– осевые, определяемые интегралами вида

Осевые и полярные моменты инерции всегда положительны и не

обращаются в нуль. Полярный момент инерции I p равен сумме осевых моментов инерции I х и I у относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей х и у :

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Размерность моментов инерции - см 4 или м 4 . Формулы для определения моментов инерции простых сечений относительно центральных осей приведены в справочниках. При вычислении моментов инерции сложных сечений часто используют формулы перехода от центральных осей простых сечений к другим осям, параллельным центральным.

где – моменты инерции простых сечений относительно центральных осей;

m, n – расстояния между осями (рис. 18).

Рис. 18. К определению моментов инерции относительно осей,

Важное значение имеют главные центральные оси сечения. Главными центральными называются две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции имеют экстремальные значения. Главные моменты инерции обозначаются I u (max) и I v (min) и определяются по формуле

Положение главных осей определяется углом α , который находится из формулы

Угол α откладывается от оси с большим неглавным моментом инерции; положительное значение – против часовой стрелки.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось является главной. Другая главная ось перпендикулярна оси симметрии. На практике часто используются сечения, составленные из нескольких прокатных профилей (двутавр, швеллер, уголок). Геометрические характеристики этих профилей приведены в таблицах сортамента. Для неравнобокого и равнобокого уголков центробежный момент инерции относительно центральных осей, параллельных полкам, определяется по формуле

Обратите внимание на обозначение главных центральных осей в таблице сортамента для уголков. Знак I xy для уголка зависит от положения его в сечении. На рис.19 показаны возможные положения уголка в сечении и приведены знаки для I xy .

Рис. 19. Возможные положения уголка в сечении

Определить I u , I v и положение главных центральных осей сечения

Сложное сечение состоит из двух прокатных профилей. Выписка из таблиц сортамента (прил. 5) приведена на рис. 21.

В качестве вспомогательных примем оси, проходящие по внешним

сторонам швеллера (оси x B , y B , см. рис. 20).Координаты центра тяжести сечения:

(вычислите самостоятельно).

Рис. 20. Положение главных центральных осей инерции

U и V сложного сечения

В качестве вспомогательных можно было бы выбрать, например, центральные оси швеллера. Тогда несколько сократится объем вычислений.

Осевые моменты инерции:

Обратите внимание, что неравнобокий уголок в сечении расположен

иначе, чем показано в таблице сортаментов. Значение вычислите самостоятельно.

№ 24 180 x 110 x 12

Рис. 21. Значения геометрических характеристик прокатных профилей:

а – швеллера № 24; б – неравнобокого уголка 180 x 110 x 12

Центробежные моменты инерции:

– для швеллера (есть оси симметрии);

– для уголка,

знак минус – в связи с положением уголка в сечении;

– для всего сечения:

Проследите назначение знаков у n и m . От центральных осей швеллера переходим к общим центральным осям сечения, поэтому + m 2

Главные моменты инерции сечения:

Положение главных центральных осей сечения:

; α = 55 о 48 ′ ;

Проверка правильности вычисления величин I u , I v и α производится по формуле

Угол α для этой формулы отсчитывается от оси u .

Рассмотренное сечение имеет наибольшую сопротивляемость изгибу относительно оси u и наименьшую – относительно оси v .

I = ∑r i 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

В принципе и определение и формула, его описывающая, не сложные и запомнить их намного легче, чем вникнуть в суть. Но все-таки попробуем разобраться, что же такое момент инерции и откуда он взялся.

Понятие момент инерции пришло в сопромат и строительную механику из другого раздела физики, изучающего кинематику движения, в частности вращательное движение. Но все равно начнем издалека.

Я точно не знаю, упало ли Исааку Ньютону на голову яблоко, упало оно рядом, или вообще не падало, теория вероятности допускает все эти варианты (к тому же в этом яблоке слишком много от библейской легенды о древе познания), однако я уверен, что Ньютон был наблюдательным человеком, способным делать выводы из своих наблюдений. Так наблюдательность и воображение позволили Ньютону сформулировать основной закон динамики (второй закон Ньютона), согласно которому масса тела m , умноженная на ускорение a , равна действующей силе Q (вообще-то более привычным для силы является обозначение F, но так как дальше мы будем иметь дело с площадью, которая также часто обозначается как F, то я использую для внешней силы, рассматриваемой в теоретической механике как сосредоточенная нагрузка, обозначение Q, сути дела это не меняет):

Q = ma (1.2)

По мне величие Ньютона именно в простоте и понятности данного определения. А еще, если учесть, что при равноускоренном движении ускорение а равно отношению приращения скорости ΔV к периоду времени Δt , за который скорость изменилась:

a = Δv/Δt = (v - v о)/t (1.3.1)

при V о = 0 a = v/t (1.3.2)

то можно определить основные параметры движения, такие как расстояние, скорость, время и даже импульс р , характеризующий количество движения:

p = mv (1.4)

Например, яблоко, падающее с разной высоты под действием только силы тяжести, будет падать до земли разное время, иметь разную скорость в момент приземления и соответственно разный импульс. Другими словами, яблоко, падающее с бóльшей высоты, будет дольше лететь и сильнее треснет по лбу незадачливого наблюдателя. И все это Ньютон свел к простой и понятной формуле.

А еще Ньютон сформулировал закон инерции (первый закон Ньютона): если ускорение а = 0 , то в инерциальной системе отсчета невозможно определить, находится ли наблюдаемое тело, на которое не действуют внешние силы, в состоянии покоя или движется прямолинейно с постоянной скоростью. Это свойство материальных тел сохранять свою скорость, пусть даже и нулевую, называется инертностью. Мерой инертности является инерционная масса тела. Иногда инерционная масса называется инертной, но сути дела это не меняет. Считается, что инерционная масса равна гравитационной массе и потому часто не уточняется, какая именно масса имеется в виду, а упоминается просто масса тела.

Не менее важным и значимым является и третий закон Ньютона, согласно которому сила действия равна силе противодействия, если силы направлены по одной прямой, но при этом в противоположные стороны . Не смотря, на кажущуюся простоту, и этот вывод Ньютона гениален и значение этого закона трудно переоценить. Об одном из применений этого закона чуть ниже.

Однако данные положения справедливы только для тел, движущихся поступательно, т.е. по прямолинейной траектории и при этом все материальные точки таких тел двигаются с одинаковой скоростью или одинаковым ускорением. При криволинейном движении и в частности при вращательном движении, например, когда тело вращается вокруг своей оси симметрии, материальные точки такого тела перемещаются в пространстве с одинаковой угловой скоростью w , но при этом линейная скорость v у различных точек будет разная и эта линейная скорость прямо пропорциональна расстоянию r от оси вращения до этой точки:

v = wr (1.5)

при этом угловая скорость равна отношению приращения угла поворота Δφ к периоду времени Δt , за который угол поворота изменился:

w = Δφ/Δt = (φ - φ о)/t (1.6.1)

при φ о = 0 w = φ/t (1.7.2)

соответственно нормальное ускорение а n при вращательном движении равно:

a n = v 2 /r = w 2 r (1.8)

И получается, что для вращательного движения мы не можем прямо использовать формулу (1.2), так как при вращательном движении одного только значения массы тела недостаточно, требуется еще знать распределение этой массы в теле. Получается, что чем ближе материальные точки тела к оси вращения, тем меньшую силу требуется приложить, чтобы заставить тело вращаться и наоборот, чем дальше материальные точки тела от оси вращения, тем большую силу нужно приложить, чтобы заставить тело вращаться (в данном случае речь идет о приложении силы в одной и той же точке). К тому же при вращении тела более удобно рассматривать не действующую силу, а вращающий момент, так как при вращательном движении точка приложения силы также имеет большое значение.

Поразительные свойства момента нам известны со времен Архимеда и если применить понятие момента к вращательному движению, то значение момента М будет тем больше, чем больше расстояние r от оси вращения до точки приложения силы F (в строительной механике внешняя сила часто обозначается как Р или Q ):

М = Qr (1.9)

Из этой также не очень сложной формулы выходит, что если сила будет приложена по оси вращения, то никакого вращения не будет, так как r = 0, а если сила будет приложена на максимальном удалении от оси вращения, то и значение момента будет максимальным. А если мы подставим в формулу (1.9) значение силы из формулы (1.2) и значение нормального ускорения и формулы (1.8), то получим следующее уравнение:

М = mw 2 r·r = mw 2 r 2 (1.10)

В частном случае когда тело является материальной точкой, имеющей размеры намного меньше, чем расстояние от этой точки до оси вращения, уравнение (1.10) применимо в чистом виде. Однако для тела, вращающегося вокруг одной из своих осей симметрии, расстояние от каждой материальной точки составляющей данное тело, всегда меньше одного из геометрических размеров тела и потому распределение массы тела имеет большое значение, в этом случае требуется учесть эти расстояния отдельно для каждой точки:

M = ∑r i 2 w 2 m i (1.11.1)

М с = w 2 ∫r 2 dm

И тогда получается, что согласно третьему закону Ньютона в ответ на действие вращающего момента будет возникать так называемый момент инерции I . При этом значения вращающего момента и момента инерции будут равны, а сами моменты направлены в противоположные стороны. При постоянной угловой скорости вращения, например w = 1, основными величинами, характеризующими вращающий момент или момент инерции будут масса материальных точек, составляющих тело, и расстояния от этих точек до оси вращения. В итоге формула момента инерции примет следующий вид:

[- М] = I = ∑r i 2 m i (1.12.1)

I c = ∫r 2 dm (1.11.2) - при вращении тела вокруг оси симметрии

где I - общепринятое обозначение момента инерции, I c - обозначение осевого момента инерции тела, кг/м 2 . Для однородного тела, имеющего одинаковую плотность ρ по всему объему тела V формулу осевого момента инерции тела можно записать так:

I c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Таким образом момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении .

Все круг замкнулся. И тут может возникнуть вопрос, какое отношение все эти законы динамики и кинематики имеют к расчету статических строительных конструкций? Оказывается, что ни на есть самое прямое и непосредственное. Во-первых потому, что все эти формулы выводились физиками и математиками в те далекие времена, когда таких дисциплин, как "Теоретическая механика" или "Теория сопротивления материалов" попросту не существовало. А во-вторых потому, что весь расчет строительных конструкций и построен на основе указанных законов и формулировок и пока ни кем не опровергнутом утвержении о равенстве гравитационной и инертой масс. Вот только в теории сопротивления материалов все еще проще, как ни парадоксально это звучит.

А проще потому, что при решении определенных задач может рассматриваться не все тело, а только его поперечное сечение, а при необходимости несколько поперечных сечений. Но в этих сечениях действуют такие же физические силы, правда имеющие несколько иную природу. Таким образом, если рассматривать некое тело, длина которого постоянна, а само тело является однородным, то если не учитывать постоянные параметры - длину и плотность (l = const, ρ = const ) - мы получим модель поперечного сечения. Для такого поперечного сечения с математической точки зрения будет справедливым уравнение:

I р = ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

где I p - полярный момент инерции поперечного сечения, м 4 . В итоге мы получили формулу, с которой начинали (а вот стало ли понятнее, что такое момент инерции сечения, не знаю).

Так как в теории сопротивления материалов часто рассматриваются прямоугольные сечения, да и прямоугольная система координат более удобна, то при решении задач обычно рассматриваются два осевых момента инерции поперечного сечения:

I z = ∫y 2 dF (2.2.1)

I y = ∫z 2 dF (2.2.2)

Рисунок 1 . Значения координат при определении осевых моментов инерции.

Тут может возникнуть вопрос, почему использованы оси z и у , а не более привычные х и у ? Так уж сложилось, что определение усилий в поперечном сечении и подбор сечения, выдерживающего действующие напряжения, равные приложенным усилиям - две разные задачи. Первую задачу - определение усилий - решает строительная механика, вторую задачу - подбор сечения - теория сопротивления материалов. При этом в строительной механике рассматривается при решении простых задач достаточно часто стержень (для прямолинейных конструкций), имеющий определенную длину l , а высота и ширина сечения не учитываются, при этом считается, что ось х как раз и проходит через центры тяжести всех поперечных сечений и таким образом при построении эпюр (порой достаточно сложных) длина l как раз и откладывается по оси х , а по оси у откладываются значения эпюр. В то же время теория сопротивления материалов рассматривает именно поперечное сечение, для которого важны ширина и высота, а длина не учитывается. Само собой при решении задач теории сопротивления материалов, также порой достаточно сложных используются все те же привычные оси х и у . Мне такое положение дел кажется не совсем правильным, так как не смотря на разницу, это все же смежные задачи и потому будет более целесообразным использование единых осей для рассчитываемой конструкции.

Значение полярного момента инерции в прямоугольной системе координат будет:

I р = ∫r 2 dF = ∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

Так как в прямоугольной системе координат радиус - это гипотенуза прямоугольного треугольника, а как известно квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А еще существует понятие центробежного момента инерции поперечного сечения:

I xz = ∫xzdF (2.4)

Среди осей прямоугольной системы координат, проходящих через центр тяжести поперечного сечения, есть две взаимно-перпендикулярные оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают максимальное и минимальное значение, при этом центробежный момент инерции сечения I zy = 0 . Такие оси называют главными центральными осями поперечного сечения, а моменты инерции относительно таких осей - главными центральными моментами инерции

Когда в теории сопротивления материалов речь заходит о моментах инерции, то как правило в виду имеются именно главные центральные моменты инерции поперечного сечения. Для квадратных, прямоугольных, круглых сечений главные оси будут совпадать с осями симметрии. Моменты инерции поперечного сечения также называют геометрическими моментами инерции или моментами инерции площади, но суть от этого не изменяется.

В принципе самому определять значения главных центральных моментов инерции для поперечных сечений наиболее распространенных геометрических форм - квадрата, прямоугольника, круга, трубы, треугольника и некоторых других - большой необходимости нет. Такие моменты инерции давно определены и широко известны. А при расчете осевых моментов инерции для сечений сложной геометрической формы справедлива теорема Гюйгенса-Штейнера:

I = I c + r 2 F (2.5)

таким образом, если известны площади и центры тяжести простых геометрических фигур, составляющих сложное сечение, то определить значение осевого момента инерции всего сечения не составит труда. А для того, чтобы определить центр тяжести сложного сечения, используются статические моменты поперечного сечения. Более подробно статические моменты рассматриваются в другой статье, здесь лишь добавлю. Физический смысл статического момента следующий: статический момент тела - это сумма моментов для материальных точек, составляющих тело, относительно некоторой точки (полярный статический момент) или относительно оси (осевой статический момент), а так как момент - это произведение силы на плечо (1.9), то и определяется статический момент тела соответственно:

S = ∑M = ∑r i m i = ∫rdm (2.6)

и тогда полярный статический момент поперечного сечения будет:

S р = ∫rdF (2.7)

Как видим, определение статического момента сходно с определением момента инерции. Но есть и принципиальная разница. Статический момент потому и называется статическим, что для тела, на которое действует сила тяжести, статический момент равен нулю относительно центра тяжести. Другими словами такое тело находится в состоянии равновесия, если опора приложена к центру тяжести тела. А согласно первому закону Ньютона такое тело или находится в состоянии покоя или движется с постоянной скоростью, т.е. ускорение = 0. А еще с чисто математической точки зрения статический момент может быть равен нулю по той простой причине, что при определении статического момента необходимо учитывать направление действия момента. Например относительно осей координат, проходящих через центр тяжести прямоугольника, площади верхней части и нижней части прямоугольника будут положительными так как символизируют силу тяжести, действующую в одном направлении. При этом расстояние от оси до центра тяжести можно рассматривать как положительное (условно: момент от силы тяжести верхней части прямоугольника пытается вращать сечение по часовой стрелке), а до центра тяжести нижней части - как отрицательное (условно: момент от силы тяжести нижней части прямоугольника пытается вращать сечение против часовой стрелки). А так как такие площади численно равны и равны расстояния от центров тяжести верхней части прямоугольника и нижней части прямоугольника, то сумма действующих моментов и составит искомый 0.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

А еще этот великий ноль позволяет определять опорные реакции строительных конструкций. Если рассматривать строительную конструкцию, к которой приложена например сосредоточенная нагрузка Q в некоторой точке, то такую строительную конструкцию можно рассматривать, как тело с центром тяжести в точке приложения силы, а опорные реакции в этом случае рассматриваются, как силы приложенные в точках опор. Таким образом зная значение сосредоточенной нагрузки Q и расстояния от точки приложения нагрузки до опор строительной конструкции, можно определить опорные реакции. Например для шарнирно опертой балки на двух опорах значение опорных реакций будет пропорционально расстоянию до точки приложения силы, а сумма реакций опор будет равна приложенной нагрузке. Но как правило при определении опорных реакций поступают еще проще: за центр тяжести принимается одна из опор и тогда сумма моментов от приложенной нагрузки и от остальных опорных реакций все равно равна нулю. В этом случае момент от опорной реакции относительно которой составляется уравнение моментов, равен нулю, так как плечо действия силы = 0, а значит в сумме моментов остаются только две силы: приложенная нагрузка и неизвестная опорная реакция (для статически определимых конструкций).

Таким образом принципиальная разница между статическим моментом и моментом инерции в том, что статический момент характеризует сечение, которое сила тяжести как бы пытается сломать пополам относительно центра тяжести или оси симметрии, а момент инерции характеризует тело, все материальные точки которого перемещаются (или пытаются переместиться в одном направлении). Возможно, более наглядно представить себе эту разницу помогут следующие достаточно условные расчетные схемы для прямоугольного сечения:

Рисунок 2 . Наглядная разница между статическим моментом и моментом инерции.

А теперь вернемся еще раз к кинематике движения. Если проводить аналогии между напряжениями, возникающими в поперечных сечениях строительных конструкций, и различными видами движения, то в центрально растягиваемых и центрально сжатых элементах возникают напряжения равномерные по всей площади сечения. Эти напряжения можно сравнить с действием некоторой силы на тело, при котором тело будет двигаться прямолинейно и поступательно. А самое интересное, это то, что поперечные сечения центрально-растянутых или центрально сжатых элементов действительно движутся, так как действующие напряжения вызывают деформации. И величину таких деформаций можно определить для любого поперечного сечения конструкции. Для этого достаточно знать значение действующих напряжений, длину элемента, площадь сечения и модуль упругости материала, из которого изготовлена конструкция.

У изгибаемых элементов поперечные сечения также не остаются на месте, а перемещаются, при этом перемещение поперечных сечений изгибаемых элементов подобно вращению некоего тела относительно некоторой оси. Как вы уже наверное догадались, момент инерции позволяет определить и угол наклона поперечного сечения и перемещение Δl для крайних точек сечения. Эти крайние точки для прямоугольного сечения находятся на расстоянии, равном половине высоты сечения (почему - достаточно подробно описано в статье "Основы сопромата. Определенение прогиба "). А это в свою очередь позволяет определить прогиб конструкции.

А еще момент инерции позволяет определить момент сопротивления сечения . Для этого момент инерции нужно просто разделить на расстояние от центра тяжести сечения до наиболее удаленной точки сечения, для прямоугольного сечения на h/2. А так как исследуемые сечения не всегда симметричны, то значение момента сопротивления может быть разным для разных частей сечения.

А началось все с банального яблока... хотя нет, начиналось все со слова.

Базовый курс лекций по сопромату, теория, практика, задачи.

1.3. Моменты инерции простых сечений.

1. Прямоугольник (рис. 1.5,а). Вычислим момент инерции сечения относительно оси Х0 , проходящей через центр тяжести параллельно основанию.

За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy. Тогда

Итак,
(1.11)

Аналогично, получим
(1.12)

2. Круг (рис. 1.5,б). Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга

За dA принимаем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dp

тогда

Следовательно,
(1.13)

Теперь легко найдем Ixo . Действительно, для круга согласно формуле (1.9.), имеем Iр = 2Iхо = 2Iуо , откуда
(1.14)

2. Кольцо (рис. 1.5,в). Осевой момент инерции в этом случае равен разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов
(1.15)
где c = d/D.

Аналогично полярный момент инерции
(1.16)

2. Треугольник (рис. 1.5,г). Определим момент инерции относительно оси x1 , параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника

За dA примем площадь бесконечно тонкой трапеции KBDE, площадь которой можно считать равной площади прямоугольника:

DA = by dy,

Где by - длина прямоугольника.