Изменение моментов энергии при параллельном переносе осей. Момент инерции при параллельном переносе осей Главные моменты инерции

Если оси являются центральными, то оси моментов будут иметь вид:

15.Зависимость между моментами инерции при повороте осей :

J x 1 =J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 =J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Угол a>0, если переход от старой системы координат к новой происходит против час.стр. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Экстремальные (максимальное и минимальное) значения моментов инерции называются главными моментами инерции . Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции . Главные оси инерции взаимно перпендикулярны. Центробежные моменты инерции относительно главных осей = 0, т.е. главные оси инерции - оси, относительно которых центробежный момент инерции = 0. Если одна из осей совпадает или обе совпадают с осью симметрии, то они главные. Угол, определяющий положение главных осей: , если a 0 >0 Þ оси поворачиваются против час.стр. Ось максимума всегда составляет меньший угол с той из осей, относительно которой момент инерции имеет большее значение. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями инерции . Моменты инерции относительно этих осей:

J max + J min = J x + J y . Центробежный момент инерции относительно главных центральных осей инерции равен 0. Если известны главные моменты инерции, то формулы перехода к повернутым осям:

J x 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 =J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min)sin2a;

Конечной целью вычисления геометрических характеристик сечения является определение главных центральных моментов инерции и положения главных центральных осей инерции. Радиус инерции - ; J x =F×i x 2 , J y =F×i y 2 .

Если J x и J y главные моменты инерции, то i x и i y - главные радиусы инерции . Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях, называется эллипсом инерции . При помощи эллипса инерции можно графически найти радиус инерции i x 1 для любой оси х 1 . Для этого надо провести касательную к эллипсу, параллельную оси х 1 , и измерить расстояние от этой оси до касательной. Зная радиус инерции, можно найти момент инерции сечения относительно оси х 1: . Для сечений, имеющих более двух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой, J xy =0, эллипс инерции обращается в круг инерции.

2. Статические моменты площади сечения относительно осей Oz и Оy (см 3 , м 3):

4. Центробежный момент инерции сечения относительно осей Oz и Oy (см 4 , м 4):

Так как , то

Осевые J z и J y и полярный J p моменты инерции всегда положительные, так как под знаком интеграла находятся координаты во второй степени. Статические моменты S z и S y , а также центробежный момент инерции J zy могут быть как положительными, так и отрицательными.

В сортаменте прокатной стали для уголков приводятся значения центробежных моментов по модулю. В расчет следует вводить их значения с учетом знака.

Для определения знака центробежного момента уголка (рис. 3.2) мысленно представим его в виде суммы трех интегралов, которые вычисляются отдельно для частей сечения, расположенных в четвертях системы координат. Очевидно, что для частей, расположенных в I и III четвертях будем иметь положительное значение этого интеграла, так как произведение zydA будет положительным, а интегралы, вычисляемые для частей, расположенных во II и IV четвертях будут отрицательными (произведение zydA будет отрицательным). Таким образом, для уголка на рис. 3.2,а значение центробежного момента инерции будет отрицательным.

Рассуждая подобным образом для сечения, имеющего хотя бы одну ось симметрии (рис. 3.2,б) можно прийти к заключению, что центробежный момент инерции J zy равен нулю, если одна из осей (Оz или Оy) является осью симметрии сечения. Действительно, для частей треугольника, расположенных в 1 и 2 четвертях центробежные моменты инерции будут отличаться только знаком. Тоже можно сказать относительно частей, которые находятся в III и IV четвертях.

Статические моменты. Определение центра тяжести

Вычислим статические моменты относительно осей Оz и Оy прямоугольника, показанного на рис. 3.3.

Рис 3.3. К вычислению статических моментов

Здесь: А – площадь сечения, y C и z C – координаты его центра тяжести. Центр тяжести прямоугольника находится на пересечении диагоналей.

Очевидно, что, если оси, относительно которых вычисляются статические моменты, проходят через центр тяжести фигуры, то его координаты равны нулю (z C = 0, y C = 0), и, в соответствии с формулой (3.6), статические моменты также будут равны нулю. Таким образом, центр тяжести сечения – это точка, обладающая следующим свойством: статический момент относительно любой оси, проходящей через нее , равен нулю .

Формулы (3.6) позволяют найти координаты центра тяжести z C и y C сечения сложной формы. Если сечение можно представить в виде n частей, для которых известны площади и положение центров тяжести, то вычисление координат центра тяжести всего сечения можно записать в виде:

.

(3.7)

Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Пусть известны моменты инерции J z , J y и J zy относительно осей Oyz . Необходимо определить моменты инерции J Z , J Y и J ZY относительно осей O 1 YZ , параллельных осям Oyz (рис. 3.4) и отстоящих от них на расстояния a (по горизонтали) и b (по вертикали)

Рис 3.4. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей

Координаты элементарной площадки dA связаны между собой следующими равенствами: Z = z + a ; Y = y + b .

Вычислим моменты инерции J Z , J Y и J ZY .

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Если точка O пересечения осей Oyz совпадает с точкой С – центром тяжести сечения (рис. 3.5) статические моменты S z и S y становятся равными нулю, и формулы упрощаютсяY i и Z i нужно брать с учетом знаков. На осевые моменты инерции знаки координат не повлияют (координаты возводятся во вторую степень), а вот на центробежный момент инерции знак координаты окажет существенное влияние (произведение Z i Y i A i может оказаться отрицательным).

Дано: моменты инерции фигуры относительно осей z, y; расстояния между этими и параллельными осями z 1 , y 1 – a, b.

Определить: моменты инерции относительно осей z 1 , y 1 (рис.4.7).

Координаты любой точки в новой системе z 1 Oy 1 можно выразить через координаты в старой системе так:

z 1 = z + b, y 1 = y + a.

Подставляем эти значения в формулы (4.6) и (4.8) и интегрируем почленно:

В соответствии с формулами (4.1) и (4.6) получим

,

, (4.13)

Если исходные данные оси zCy – центральные, то статические моменты S z и

S y равны нулю и формулы (4.13) упрощаются:

,

, (4.14)

.

Пример: определить осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z 1 , проходящей через основание (рис.4.6,а). По формуле (4.14)

4.4. Зависимость между моментами инерции при повороте осей

Дано: моменты инерции произвольной фигуры относительно координатных осей z, y; угол поворота этих осей α (рис.4.8). Считаем угол поворота против часовой стрелки положительным.

Определить: моменты инерции фигуры относительно z 1 , y 1 .

Координаты произвольной элементарной площадки dF в новых осях выражаются через координаты прежней системы осей следующим образом:

z 1 = OB = OE + EB = OE + DC = zcos α + ysin α,

y 1 = AB = AC – BC = AC – ED = ycos α – zsin α.

Подставим эти значения в (4.6) и (4.8) и проинтегрируем почленно:

,

,

Учитывая формулы (4.6) и (4.8), окончательно находим:

. (4.16)

Складывая формулы (4.15), получим: (4.17)

Таким образом, при повороте осей сумма осевых моментов инерции остаётся постоянной . При этом каждый из них меняется в соответствии с формулами (4.15). Ясно, что при каком-то положении осей моменты инерции будут иметь экстремальные значения: один из них будет наибольшим, другой – наименьшим.

4.5. Главные оси и главные моменты инерции

Наибольшее практическое значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю. Будем обозначать такие оси буквами u, υ. Следовательно, J uυ = 0. Начальную произвольную систему координат z, y надо повернуть на такой угол α 0 , чтобы центробежный момент инерции стал равным нулю. Приравняв нулю (4.16), получим

. (4.18)

Оказывается, что теория моментов инерции и теория плоского напряжённого состояния описываются одним и тем же математическим аппаратом, так как формулы (4.15) – (4.18) идентичны формулам (3.10), (3.11) и (3.18). Только вместо нормальных напряжений σ записываются осевые моменты инерции J z и J y , а вместо касательных напряжений τ zy – центробежный момент инерции J zy . Поэтому формулы для главных осевых моментов инерции приводим без вывода, по аналогии с формулами (3.18):

.(4.19)

Полученные из (4.18) два значения угла α 0 отличаются друг от друга на 90 0 , меньший из этих углов по абсолютной величине не превышает 45 0 .

Радиус инерции и момент сопротивления

Момент инерции фигуры относительно какой-либо оси можно представить в виде произведения площади фигуры на квадрат некоторой величины, называемой радиусом инерции :

, (4.20)

где i z – радиус инерции относительно оси z.

Из выражения (4.20) следует, что

,
. (4.21)

Главным центральным осям инерции соответствуют главные радиусы инерции

,
. (4.22)

Зная главные радиусы инерции, можно графическим способом найти радиус инерции (а, следовательно, и момент инерции) относительно произвольной оси.

Рассмотрим еще одну геометрическую характеристику, характеризующую прочность стержня при кручении и изгибе – момент сопротивления . Момент сопротивления равен моменту инерции, делённому на расстояние от оси (или от полюса) до наиболее удалённой точки сечения. Размерность момента сопротивления – единица длины в кубе (см 3).

Для прямоугольника (рис.4.6,а)
,
, поэтому осевые моменты сопротивления

,
. (4.23)

Для круга
(рис.4.6,б),
, поэтому полярный момент сопротивления

. (4.24)

Для круга
,
, поэтому осевой момент сопротивления

. (4.25)

Рассмотрим определение моментов инерции плоской фигуры (рис) относительно осей ${Z_1}$ и ${Y_1}$ при известных моментах инерции относительно оси $X$ и $Y$.

${I_{{x_1}}} = \int\limits_A {y_1^2dA} = \int\limits_A {{{\left({y + a} \right)}^2}dA} = \int\limits_A {\left({{y^2} + 2ay + {a^2}} \right)dA} = \int\limits_A {{y^2}dA} + 2a\int\limits_A {ydA} + {a^2}\int\limits_A {dA} = $

$ = {I_x} + 2a{S_x} + {a^2}A$,

где ${S_x}$ - статический момент фигуры относительно оси $X$.

Аналогично относительно оси ${Y_1}$

${I_{{y_1}}} = {I_y} + 2a{S_y} + {b^2}A$.

Центробежный момент инерции относительно осей ${X_1}$ и ${Y_1}$

${I_{{x_1}{y_1}}} = \int\limits_A {{x_1}{y_1}dA} = \int\limits_A {\left({x + b} \right)\left({y + a} \right)dA} = \int\limits_A {\left({xy + xa + by + ba} \right)dA} = \int\limits_A {xydA} + a\int\limits_A {xdA} + b\int\limits_A {ydA} + ab\int\limits_A {dA} = {I_{xy}} + a{S_x} + b{S_y} + abA$

Чаще всего используется переход от центральных осей (собственных осей плоской фигуры) в произвольных, параллельных. Тогда ${S_x} = 0$, ${S_y} = 0$, так как оси $X$ и $Y$ являются центральными. Окончательно имеем

где , - собственные моменты инерции, т. е. моменты инерции относительно собственных центральных осей;

$a$, $b$ - расстояния от центральных осей до рассматриваемых;

$A$ - площадь фигуры.

Следует отметить, что при определении центробежного момента инерции в величинах $a$ и $b$ должен быть учтен знак, то есть они являются по сути, координатами центра тяжести фигуры в рассматриваемых осях. При определении осевых моментов инерции эти величины подставляют по модулю (как расстояния), поскольку они все равно возвышаются до квадрата.

С помощью формул параллельного переноса возможно осуществлять переход от центральных осей к произвольным, или же наоборот - от произвольных центральных осей. Первый переход осуществляется со знаком "+". Второй переход осуществляется со знаком " - ".

Примеры использования формул перехода между параллельными осями

Прямоугольное сечение

Определим центральные моменты инерции прямоугольника при известных моментах инерции относительно осей $Z$ и $Y$.

${I_x} = \frac{{b{h^3}}}{3}$; ${I_y} = \frac{{h{b^3}}}{3}$.

.

Аналогично ${I_y} = \frac{{h{b^3}}}{{12}}$.

Треугольное сечение

Определим центральные моменты инерции треугольника при известном моменте инерции относительно основы ${I_x} = \frac{{b{h^3}}}{{12}}$.

.

Относительно центральной оси ${Y_c}$ треугольник имеет другую конфигурацию, поэтому рассмотрим следующее. Момент инерции всей фигуры относительно оси ${Y_c}$ равен сумме момента инерции треугольника $ABD$ относительно оси ${Y_c}$ и момента инерции треугольника $CBD$ относительно оси ${Y_c}$, то есть

.

Определение момента инерции составного сечения

Составленным считаем сечение, состоит из отдельных элементов, геометрические характеристики которых известны. Площадь, статический момент и моменты инерции составной фигуры равны сумме соответствующих характеристик их составляющих. Если составлен сечение можно образовать путем вырезания одной фигуры из другой, геометрические характеристики вырезанной фигуры вычитаются. Например, моменты инерции составной фигуры, показанной на рис. будут определяться так

$I_z^{} = \frac{{120 \cdot {{22}^3}}}{{12}} - 2 \cdot \frac{{50 \cdot {{16}^3}}}{{12}} = 72\,300$см 4 .

$I_y^{} = \frac{{22 \cdot {{120}^3}}}{{12}} - 2 \cdot \left({\frac{{16 \cdot {{50}^3}}}{{12}} + 50 \cdot 16 \cdot {{29}^2}} \right) = 1\,490\,000$см 4

Оси, проходящие через центр тяжести плоской фигуры, называют центральными осями.
Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

Теорема

Момент инерции относительно какой-либо оси равен сумме момента инерции относительно центральной оси, параллельной данной, и произведения площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим произвольную плоскую фигуру, площадь которой равна А , центр тяжести расположен в точке С , а центральный момент инерции относительно оси x будет I x .
Вычислим момент инерции фигуры относительно некоторой оси x 1 , параллельной центральной оси и отстоящей от нее на расстоянии а (рис) .

I x1 = Σ y 1 2 dA + Σ (y + a) 2 dA =
= Σ y 2 dA + 2a Σ y dA + a 2 Σ dA .

Анализируя полученную формулу, отмечаем, что первое слагаемое - осевой момент инерции относительно центральной оси, второе слагаемое - статический момент площади этой фигуры относительно центральной оси (следовательно, он равен нулю), а третье слагаемое после интегрирования может быть представлено в виде произведения a 2 A , т. е. в результате получим формулу:

I x1 = I x + а 2 А - теорема доказана.

На основании теоремы можно сделать вывод, что из ряда параллельных осей осевой момент инерции плоской фигуры будет наименьшим относительно центральной оси .

Главные оси и главные моменты инерции

Представим себе плоскую фигуру, моменты инерции которой относительно осей координат I x иI y , а полярный момент инерции относительно начала координат равен I ρ . Как было установлено ранее,

I x + I y = I ρ .

Если оси координат поворачивать в своей плоскости вокруг начала координат, то полярный момент инерции останется неизменным, а осевые моменты будут изменяться, при этом их сумма останется величиной постоянной. Поскольку сумма переменных величин постоянна, то одна из них уменьшается, а другая увеличивается, и наоборот.
Следовательно, при определенном положении осей один из осевых моментов достигнет максимального значения, а другой - минимального.

Оси, относительно которых моменты инерции имеют минимальное и максимальное значения, называют главными осями инерции.
Момент инерции относительно главной оси называется главным моментом инерции.

Если главная ось проходит через центр тяжести фигуры, она называется главной центральной осью, а момент инерции относительно такой оси - главным центральным моментом инерции.
Можно сделать вывод, что если фигура симметрична относительно какой-нибудь оси, то эта ось всегда будет одной из главных центральных осей инерции этой фигуры.

Центробежный момент инерции

Центробежным моментом инерции плоской фигуры называют взятую по всей площади сумму произведений элементарных площадок на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей:

I xy = Σ xy dA ,

где x , y - расстояния от площадки dA до осей x и y .
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Центробежный момент инерции входит в формулы для определения положения главных осей несимметричных сечений.
В таблицах стандартных профилей содержится характеристика, которая называется радиусом инерции сечения , вычисляемая по формулам:

i x = √ (I x / A) , i y = √ (I y / A) , (здесь и далее знак "√" - знак корня)

где I x , I y - осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей; А - площадь сечения.
Эта геометрическая характеристика используется при изучении внецентрального растяжения или сжатия, а также продольного изгиба.

Деформация кручения

Основные понятия о кручении. Кручение круглого бруса.

Кручением называют такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент , т. е. силовой фактор, вызывающий круговое перемещение сечения относительно оси, перпендикулярной этому сечению, либо препятствующий такому перемещению. Другими словами - деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных его оси приложить пару или пары сил.
Моменты этих пар сил называют скручивающими или вращающими. Вращающий момент обозначают Т .
Такое определение условно разделяет силовые факторы деформации кручения на внешние (скручивающие, вращающие моменты Т ) и внутренние (крутящие моменты М кр ).

В машинах и механизмах кручению наиболее часто подвергаются круглые или трубчатые валы, поэтому расчеты на прочность и жесткость чаще всего производят для таких узлов и деталей.

Рассмотрим кручение круглого цилиндрического вала.
Представьте резиновый цилиндрический вал у которого жестко закреплен один из концов, а на поверхности нанесена сетка из продольных линий и поперечных окружностей. К свободному концу вала приложим пару сил, перпендикулярно оси этого вала, т. е. закрутим его вдоль оси. Если внимательно рассмотреть линии сетки на поверхности вала, то можно заметить, что:
- ось вала, которую называют осью кручения, останется прямолинейной;
- диаметры окружностей останутся такими же, а расстояние между соседними окружностями не изменится;
- продольные линии на валу обратятся в винтовые линии.

Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндрического бруса (вала) справедлива гипотеза плоских сечений, а также предположить, что радиусы окружностей остаются при деформации прямыми (поскольку их диаметры не изменились). А поскольку в сечениях вала отсутствуют продольные силы, то расстояние между ними сохраняется.

Следовательно, деформация кручения круглого вала заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения - чем дальше от закрепленного конца вала находится какое-либо сечение, тем на больший угол относительно оси вала оно закручивается.
Для каждого сечения вала угол поворота равен углу закручивания части вала, заключенного между этим сечением и заделкой (закрепленным концом).


Угол (рис. 1 ) поворота свободного конца вала (концевого сечения) называется полным углом закручивания цилиндрического бруса (вала).
Относительным углом закручивания φ 0 называется отношение угла закручивания φ 1 к расстояниюl 1 от данного сечения до заделки (закрепленного сечения).
Если цилиндрический брус (вал) длиной l имеет постоянное сечение и нагружен скручивающим моментом на свободном конце (т. е. состоит из однородного геометрического участка), то справедливо утверждение:
φ 0 = φ 1 / l 1 = φ / l = const - величина постоянная.

Если мы рассмотрим тонкий слой на поверхности вышеупомянутого резинового цилиндрического бруса (рис. 1 ), ограниченный ячейкой сетки cdef , то заметим, что эта ячейка при деформации перекашивается, и ее сторона, удаленная от закрепленного сечения, смещается в сторону закручивания бруса, занимая положение cde 1 f 1 .

Следует отметить, что аналогичная картина наблюдается при деформации сдвига, только в этом случае поверхность деформируется из-за поступательного перемещения сечений друг относительно друга, а не из-за вращательного перемещения, как при деформации кручения. На основании этого можно сделать вывод, что при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы (напряжения), образующие крутящий момент.

Итак, крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении.