Построение центра окружности только с помощью циркуля. Деление окружности на любое число равных частей
§ 1 Окружность. Основные понятия
В математике встречаются предложения, в которых разъясняется смысл того или иного названия или выражения. Такие предложения называют определениями.
Дадим определение понятию окружность. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка, назовем ее точка О, называется центром окружности.
Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусомокружности. Таких отрезков можно провести много, например, ОА, ОВ, ОС. Все они будут иметь одну и ту же длину.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. MN - хорда окружности.
Хорда, проходящая через цент окружности, называется диаметром. АВ - диаметр окружности. Диаметр состоит из двух радиусов, значит, длина диаметра в два раза больше радиуса. Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Эти части называются дугами окружности.
АNВ и АМВ - дуги окружности.
Часть плоскости, которая ограничена окружностью, называют кругом.
Для изображения окружности на чертеже пользуются циркулем. Окружность можно провести и на местности. Для этого достаточно воспользоваться веревкой. Один конец веревки закрепить на вбитый в землю колышек, а другим концом описать окружность.
§ 2 Построения циркулем и линейкой
В геометрии многие построения можно выполнить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.
С помощью только линейки можно провести произвольную прямую, а также произвольную прямую, проходящую через данную точку, или прямую, проходящую через две данные точки.
Циркуль позволяет провести окружность произвольного радиуса, также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.
Отдельно каждый из этих инструментов дает возможность сделать простейшие построения, а вот с помощью этих двух инструментов можно уже выполнить более сложные операции, например,
решить такие задачи на построение, как
Построить угол, равный данному,
Построить треугольник с данными сторонами,
Разделить отрезок пополам,
Через данную точку провести прямую перпендикулярную к данной прямой и т.д.
Рассмотрим задачу.
Задача: На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному.
Даны луч ОС и отрезок АВ. Необходимо построить отрезок ОD, равный отрезку АВ.
С помощью циркуля построим окружность радиуса, равного длине отрезка АВ, с центром в точке О. Эта окружность пересечет данный луч ОС в некоторой точке D. Отрезок ОD - искомый отрезок.
Список использованной литературы:
- Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение, 2013. – 383 с.: ил.
- Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 7 класс. - М.: «ВАКО», 2004. - 288с. – (В помощь школьному учителю).
- Белицкая О.В. Геометрия. 7 класс. Ч.1. Тесты. – Саратов: Лицей, 2014. – 64 с.
Окружностью называется замкнутая кривая линия, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от одной точки О, называемой центром.
Прямые линии, соединяющие любую точку окружности с её центром, называют радиусами R.
Прямая АВ, соединяющая две точки окружности и проходящая через её центр О, называется диаметром D.
Части окружностей называются дугами .
Прямая СD, соединяющая две точки на окружности, называется хордой .
Прямая МN,которая имеет только одну общую точку с окружностью называется касательной .
Часть круга, ограниченная хордой СD и дугой, называется сигментом .
Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой, называется сектором .
Две взаимно перпендикулярные горизонтальная и вертикальная линии, пересекающиеся в центре окружности, называются осями окружности .
Угол, образованный двумя радиусами КОА, называется центральным углом .
Два взаимно перпендикулярных радиуса составляют угол в 90 0 и ограничивают 1/4 окружности.
Проводим окружность с горизонтальной и вертикальной осями, которые делят её на 4-ре равные части. Проведённые с помощью циркуля или угольника под 45 0 , две взаимно перпендикулярные линии делят окружность на 8-мь равных частей.
Деление окружности на 3 и 6 равных частей (кратные 3 трём)
Для деления окружности на 3, 6 и кратное им количество частей, проводим окружность заданного радиуса и соответствующие оси. Деление можно начинать от точки пересечения горизонтальной или вертикальной оси с окружностью. Заданный радиус окружности последовательно откладывается 6-ть раз. Затем полученные точки на окружности последовательно соединяются прямыми линиями и образуют правильный вписанный шести-угольник. Соединение точек через одну даёт равносторонний треугольник, и деление окружности на три равные части.
Построение правильного пятиугольника выполняется следующим образом. Проводим две взаимно перпендикулярные оси окружности равные диаметру окружности. Делим правую половину горизонтального диаметра пополам с помощью дуги R1. Из полученной точки "а" в середине этого отрезка радиусом R2 проводим дугу окружности до пересечения с горизонтальным диаметром в точке "b". Радиусом R3 из точки "1" проводят дугу окружности до пересечения с заданной окружностью (т.5) и получают сторону правильного пятиугольника. Расстояние "b-О" даёт сторону правильного десятиугольника.
Деление окружности на N-ное количество одинаковых частей (построение правильного многоугольника с N сторон)
Выполняется следующим образом. Проводим горизонтальную и вертикальную взаимно перпендикулярные оси окружности. Из верхней точки "1" окружности проводим под произвольным углом к вертикальной оси прямую линию. На ней откладываем равные отрезки произвольной длины, число которых равно числу частей на которое мы делим данную окружность, например 9. Конец последнего отрезка соединяем с нижней точкой вертикального диаметра. Проводим линии, параллельные полученной, из концов отложенных отрезков до пересечения с вертикальным диаметром, разделив таким образом вертикальный диаметр данной окружности на заданное количество частей. Радиусом равным диаметру окружности, из нижней точки вертикальной оси проводим дугу MN до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности. Из точек M и N проводим лучи через чётные (или нечётные) точки деления вертикального диаметра до пересечения с окружностью. Полученные отрезки окружности будут являться искомыми, т.к. точки 1, 2, …. 9 делят окружность на 9-ть (N) равных частей.
Цели:
закрепить у обучающихся понятия «окружность», «круг»; вывести понятия «радиус окружности»; научиться строить окружности заданного радиуса; развивать умение рассуждать, анализировать.
Личностные УУД:
формировать положительное отношение к урокам математики;
интерес к предметно-исследовательской деятельности;
Метапредметные задачи
Регулятивные УУД:
принимать и сохранять учебную задачу;
в сотрудничестве с учителем и классом находить несколько вариантов решений;
Познавательные УУД:
постановка и решение проблем:
самостоятельно выделять и формулировать проблему;
общеучебные:
находить необходимую информацию в учебнике;
строить окружность заданного радиуса с помощью циркуля;
логические:
формировать понятие «радиус»;
проводить классификацию, сравнение;
самостоятельно формулировать выводы;
Коммуникативные УУД:
активно участвовать в коллективной работе, используя при этом речевые средства;
аргументировать свою точку зрения;
Предметные умения:
выявлять существенные признаки понятий « радиус окружности» ;
строить окружности с разными радиусами;
распознавать радиусы на чертеже.
Ход урока
Мотивация учебной деятельности
- Давайте проверим, все ли готовы к уроку?
«Эмоциональное вхождение в урок»:
Улыбнитесь как солнышки.
Нахмурьтесь как тучки
Заплачьте как дождики
Удивитесь, как будто увидели радугу
А теперь повторите за мной
Игра «Дружное эхо»
2.Актуализация знаний
Устный счет
а) 60-40 36+12 10+20 58-12 90-50 31+13
Разгадайте закономерность. Продолжите ряд.
Ответ: 20, 48,30,46,40,44 50,42
б) Реши задачу:
1. В первый день в магазине продали 42 кг фруктов, а во второй на 2 кг больше. Сколько килограммов продали во второй день?
Что нужно изменить, чтобы задача решалась в 2 действия.
Мячей- 16шт.
Скакалок – 28 шт.
Найдите решение к данной задаче.
28-16 28+16
Измените вопрос так, чтобы задача решалась вычитанием.
3. Постановка учебной задачи
1. Назовите геометрические фигуры
Круг окружность овал шар
Какая фигура лишняя?
Что общего у фигур? (Круг, окружность, шар имеют одинаковую форму)
Чем отличаются?
2. В
Какие точки принадлежат окружности? Какие точки вне окружности?
Что обозначает точка О? (центр окружности)
Как называется отрезок ОВ?
Сколько радиусов можно провести в окружности?
Какой отрезок не является радиусом? Почему?
Какой можно сделать вывод?
Вывод: все радиусы имеют одинаковую длину .
3. Сколько окружностей на рисунке?
Чем отличаются окружности? (размером)
Что определяет размер окружности?
Какой можно сделать вывод?
Вывод: чем больше окружность, тем больше ее радиус.
Определите тему урока.
Тема: Построение окружности данного радиуса с помощью циркуля.
Какие задачи мы можем поставить перед собой на этот урок?
4. Работа над темой
а) Построение окружности.
Что нужно знать, чтобы начертить окружность заданного размера?
Начертите окружность с радиусом 3 см.
б) Подготовка к проектной деятельности
1) Рассмотрите рисунок
Из каких фигур состоит бабочка? Окружности с одинаковым радиусом?
2) Работа в парах.
Восстановите порядок этапов над проектом.
Презентация или демонстрация проекта
Замысел (сделать набросок)
Построить фигуры, для осуществления замысла
Обдумать, какой радиус должен быть у фигур
в) Работа над проектом.
Работа в группах по составленному алгоритму
При изготовлении или обработке деталей из древесины в некоторых случаях требуется определить, где находится их геометрический центр. Если деталь имеет квадратную или прямоугольную форму, то сделать это не представляет никакого труда. Достаточно соединить противоположные углы диагоналями, которые при этом пересекутся точно в центре нашей фигуры.
Для изделий, имеющих форму круга, такое решение не подойдет, поскольку у них нет углов, а значит и диагоналей. В этом случае необходим какой-то другой подход, основанный на иных принципах.
И они существуют, причем в многочисленных вариациях. Одни из них достаточно сложные и требуют нескольких инструментов, другие – легкие в реализации и для их осуществления не нужен целый набор приспособлений.
Сейчас мы рассмотрим один из самых простых способов нахождения центра круга с помощью только обычной линейки и карандаша.
Последовательность нахождения центра круга:
1. Для начала нам надо вспомнить, что хордой называют прямую линию, соединяющую две точки окружности, и не проходящую через центр круга. Воспроизвести ее совсем нетрудно: необходимо лишь положить линейку на круг в любом месте так, чтобы она пересекала окружность в двух местах, и провести карандашом прямую линию. Отрезок внутри окружности и будет хордой.В принципе можно обойтись одной хордой, но мы для повышения точности установления центра круга нарисуем хотя бы пару, а еще лучше – 3, 4 или 5 разных по длине хорд. Это позволит нам нивелировать погрешности наших построений и точнее справиться с поставленной задачей.
2. Далее, используя ту же линейку, находим середины воспроизведенных нами хорд. Например, если общая длина одной хорды равна 28 см, то ее центр будет находиться в точке, которая отстоит по прямой от места пересечения хорды с окружностью на 14 см.
Определив таким способом центры всех хорд, проводим через них перпендикулярные прямые, используя, например, прямоугольный треугольник.
3. Если мы теперь продолжим эти перпендикулярные к хордам прямые в направление к центру окружности, то они пересекутся примерно в одной точке, которая и будет искомым центром круга.
4. Установив местоположение центра нашего конкретного круга, мы можем использовать этот факт в различных целях. Так, если в эту точку поместить ножку столярного циркуля, то можно начертить идеальную окружность, а затем и вырезать круг, используя соответствующий режущий инструмент и определенную нами точку центра круга.
