Какие данных точек принадлежат окружности. Касательная к окружности

«Окружность 7 класс» - Построение биссектрисы угла. Вводная беседа «В мире окружностей». Работа с учебником по изучению материала. Построения циркулем и линейкой. Любые две точки окружности делят ее на две части. У круга есть одна подруга. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Окружность произвольного радиуса.

«Окружность и круг» - Круг. МАТЕМАТИКА-5 Тематическое планирование Ход урока Автор Ресурсы. Любимое занятие-чтение. Часть окружности называется дугой. Тренировочные упражнения. Точку называют центром окружности. Дуга. Категория - высшая.

«Длина окружности» - Эйлер. R – радиус окружности. Окружность. Великий ученый Древней Греции Архимед. Длина окружности. Чем больше я знаю, Тем больше умею. Великий математик Эйлер. Древний Египет. D – диаметр окружности. В Древнем Риме считали, что?? 3,12. Архимед. Древний Рим. Практическая работа «Измерение кофейных банок».

«Касательная к окружности» - Точка касания. Признак касательной. Докажем, что если AK и AM – отрезки касательных, то AK = AM, ?OAK = ? OAM. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Доказательство. Пусть d – расстояние от центра O до прямой KM. KM – касательная? d = R. Свойство касательной.

«Уравнение окружности» - Начертите окружность, для которой CD является радиусом. Заполните таблицу. Координаты центра: (;) R = уравнение окружности: Начертите окружность, для которой CD является диаметром. Пусть дана окружность. Проверьте, лежат ли на окружности, заданной уравнением (х + 3)2 + (у? 4)2 = 25, точки А(1;?1), В(0;8), С(?3;?1).

«Окружность 8 класс» - Следствия: Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам?АВС. Теорема. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. В любой треугольник можно вписать окружность. Вписанная окружность.

Всего в теме 21 презентация

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

Для любой точки L , лежащей на окружности, действует равенство OL=R . (Длина отрезка OL равняется радиусу окружности).

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой .

Хорда, проходящая прямо через центр окружности, является диаметром этой окружности (D) . Диаметр можно вычислить по формуле: D=2R

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга : S=\pi R^{2}

Дугой окружности называется та ее часть, которая располагается между двух ее точек. Эти две точки и определяют две дуги окружности. Хорда CD стягивает две дуги: CMD и CLD . Одинаковые хорды стягивают одинаковые дуги.

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

Длину дуги можно найти по формуле:

1. Используя градусную меру: CD = \frac{\pi R \alpha ^{\circ}}{180^{\circ}}
2. Используя радианную меру: CD = \alpha R

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

В случае, если хорды AB и CD окружности имеют пересечение в точке N , то произведения отрезков хорд, разделенные точкой N , равны между собой.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей .

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

AC = CB

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

AC^{2} = CD \cdot BC

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^{\circ}

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ {\circ}

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ {\circ} .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ {\circ}

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac{1}{2} \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac{1}{2} \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

S = pr ,

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

r = \frac{S}{p}

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

AB + DC = AD + BC

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = \frac{S}{p} ,

где p = \frac{a + b + c}{2}

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника .

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Радиус можно найти, вычислив его как радиус окружности, которая описана около треугольника, определенного любыми 3 -мя вершинами многоугольника.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^{ \circ} .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ {\circ}

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}

R = \frac{abc}{4 S}

a , b , c — длины сторон треугольника,

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Математика

На рисунке изображена окружность (о, 2) и неск-о отрезков. Назовите радиус, хорды и диаметр этой окружности на данном рисунке. Принадлежит ли окружность её центр? Принадлежит ли кругу её центр? Укажите, верны ли следующие утверждения: а) все радиусы данной окружности равны б) радиус окружности является её хордой в) хорда окружности содержит ровно две её точки г) диаметр круга является его диаметром д) хорда круга является его диаметром. Сколько радиусов имеет окружность? Сколько диаметров имеет круг? Сколько диаметров можно провести из данной точки окружности? Сколько хорд можно провести из данной точки круга? Всякая ли хорда окружности является её диаметром?

Ответ(ы) на вопрос:

Радиусы: OC, OD, OA Диаметры: CD Хорды: AB, CD Принадлежит ли окружности её центр? Нет Принадлежит ли кругу её центр? Да Укажите, верны ли следующие утверждения: а) все радиусы данной окружности равны в) хорда окружности содержит ровно две её точки г) диаметр круга является его диаметром Сколько радиусов имеет окружность? Неограниченное количество Сколько диаметров имеет круг? Неограниченное количество Сколько диаметров можно провести из данной точки окружности? Один Сколько хорд можно провести из данной точки круга? Неограниченное количество Всякая ли хорда окружности является её диаметром? Нет (AB - хорда, но не диаметр)

Диктант 1

1. Закончите предложение.

1) Все точки окружности удалены на одинаковое расстояние от...(от его центра ).

2) Радиусом окружности называют отрезок, соединяющий...(его центр с точкой на окружности).

3) Хордой называют отрезок...(соединяющий две точки на окружности ).

4) Диаметром называют...(самую большую хорду ).

5) Диаметр больше радиуса в...(два раза ).

6) Дугой окружности называют каждую из частей, на которые делят её …(точка на окружности).

7) Кругом называют часть плоскости...(ограниченную окружностью или как пишут дети - вместе с окружностью).

8) Точка принадлежит кругу, если она удалена от его центра на расстояние меньшим, чем...(радиус ).

9) Сектором называют каждую из частей круга, на которые делят его...(два радиуса ) .

10) Полукругом называют каждую из двух частей после проведения...(диаметра ) .

2. Запишите, чему равен диаметр окружности, если расстояние от центра окружности до точки, принадлежащей окружности, равно 8 см (16 см ).

3. Принадлежит ли окружности её центр?(нет )

4. Принадлежит ли кругу его центр?(да )

5. Начертите произвольную окружность. Проведите радиус окружности,

её диаметр, на котором не лежит проведённый радиус, и хорду, отличную от диаметра.

6. Внутри окружности отметили точку, отличную от её центра. Сколько

через эту точку можно провести:

1) диаметров( одну ); 2) хорд, отличных от диаметра?(бесконечно много )

7. На окружности отметили произвольную точку. Сколько можно про-

вести: 1) диаметров с концом в этой точке (одну ); 2) хорд, отличных от диаметра, с концом в этой точке (бесконечно много ).

Диктант 2

Калибр – внутренний диаметр канала ствола любого оружия. Калибр автомата Калашникова АК-74 – 5,45 мм, у американского автомата М-16 – 5,56 мм. На сколько процентов калибр АК-74 меньше, чем у американского автомата?(≈ 2% ).

Если калибр орудия самоходной установки «Мста - С» 152 мм, то сколько сантиметров составляет диаметр орудия? (15,2 см ).

На сколько процентов дешевле современный российский танк Т-14 «Армата» от американского танка «Абрамс», если российский стоит 5 миллионов долларов, а американский – 10 миллионов? (50% ).

На сколько процентов «Абрамс» тяжелее «Арматы», если Т-14 весит 48 тонн, а «Абрамс» - 63 тонны? (≈ 31% ).

Калибр автомата Калашникова АКМ – 7,62 мм. Сколько это будет в метрах? (0,00762 м ).

Если диаметр круга 50, 6 см, то чему равен его радиус? (25,3 см ).

Начертите отрезок длиной 6 см. Постройте окружность так, чтобы этот отрезок был диаметром.

Начертите окружность произвольного радиуса. Отметьте три точки, лежащие на окружности и три точки, не лежащие на ней.

Отметьте на плоскости произвольную точку О. Отметьте четыре точки, удалённые от точки О на 3 см. Сколько ещё можно отметить таких точек? (бесконечно много – они образуют окружность радиуса 3 см ).

Сколько осей симметрии у окружности? Круга? (бесконечно много ).

Что является осью симметрии для окружности? (любой её диаметр ).

Можно ли построить треугольник со сторонами 2 см, 6 см и 9 см? (нет ).