Приведение плоской системы сил к центру. Приведение плоской системы сил к данной точке Приведение плоской произвольной системы сил к центру

Теорема о приведении системы сил:

Любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, может быть заменена одной силой R , равной главному вектору этой системы сил и приложенной к произвольно выбранному центру О, и одной парой сил с моментом L O , равным главному моменту системы сил относительно центра О.

Такая эквивалентная замена данной системы сил силой R и парой сил с моментом L O называютприведением системы сил к центу О .

Рассмотрим здесь частный случай приведения плоской системы сил к центру О, лежащему в той же плоскости. В этом случае система сил заменяется одной силой и одной парой сил, лежащих в плоскости действия сил системы. Момент этой пары сил можно рассматривать как алгебраическую величину L O и изображать на рисунках дуговой стрелкой (алгебраический главный момент плоской системы сил).

В результате приведения плоской системы сил к центру возможны следующие случаи:

1. если R = 0, L O = 0, то заданная система является равновесной ;
2. если хотя бы одна из величин R или L O не равна нулю, то система сил не находится в равновесии .
   При этом:

16 вопрос. Уравнение равновесия

Для равновесия твердрго тела, находящегося под действием плоской системы сил,необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее алгебраический главный момент были равны нулю, то есть R = 0, L O = 0, где О - любой центр, расположенный в плоскости действия сил системы.

Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) плоской системы сил можно сформулировать в следующих трех формах:

1. Основная форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из координатных осей и сумма их алгебраических моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:

F ix = 0; F iy = 0; M O (F i) = 0. (I)

1. Вторая форма уравнений равновесия:

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно двух центров А и В и сумма их проекций на ось Ox, не перпендикулярную оси Ox, были равны нулю:

F ix = 0; M А (F i) = 0; M В (F i) = 0. (II)

1. Третья форма уравнений равновесия (уравнения трех моментов):

для равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов всех сил относительно любых трех центров А,В и С, не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

M А (F i) = 0; M В (F i) = 0; M С (F i) = 0. (III)

Уравнения равновесия в форме (I) считаются основными, так как при их использовании нет никаких ограничений на выбор координатных осей и центра моментов.

Вопрос

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки. Предположим, что система сил приводится к равнодействующей R, проходящей через точку О. Возьмем теперь в качестве центра при­ведения другую точку O 1 . Главный момент (5.5) относительно этой точки равен сумме моментов всех сил: M O1Z =åM o1z (F k) (5.11). С другой стороны, имеем M O1Z =M Olz (R), (5.12) так как главный момент для центра приведения О равен нулю (M Oz =0). Сравнивая соотношения (5.11) и (5.12), получаем M O1z (R)=åM OlZ (F k); (5.13) ч.т.д. При помощи теоремы Вариньона можно найти уравнение линии действия равнодействующей. Пусть равнодействующая R 1 приложена в какой-либо точке О 1 с координатами х и у (рис. 5.5) и известны главный вектор F o и главный момент М Оя при центре приведения в начале координат. Так как R 1 =F o , то составляющие равнодей­ствующей по осям х и у равны R lx =F Ox =F Ox i и R ly =F Oy =F oy j. Согласно теореме Вариньона мо­мент равнодействующей относительно на­чала координат равен главному моменту при центре приведения в начале коорди­нат, т. е. М оz =M Oz (R 1)=xF Oy –yF Ox . (5.14). Величины M Oz , F Ox и F oy при переносе точки приложения равнодействующей вдоль ее линии действия не изменяются, следовательно, на координаты х и ув уравнении (5.14) можно смотреть как на текущие координаты ли­нии действия равнодействующей. Таким образом, уравнение (5.14) есть уравнение линии действия равнодействующей. При F ox ≠0 его можно переписать в виде y=(F oy /F ox)x–(M oz /F ox).

Вопрос

Заделка одного тела в другое (например стержня в неподвижную стену) не позволяет данному телу перемещаться и поворачиваться относительно другого. В случае заделки силовая реакция R A не является единственным фактором взаимодействия между телом и опорой. Кроме этой силы реакцию заделки определяет также пара сил с неизвестным заранее моментом M A . Если силу R A представить ее составляющими X A , Y A , то для нахождения реакции заделки надо определить три неизвестные скалярные величины: X A , Y A , M A .

Приведем примеры замены плоских систем параллельных распределенных сил их равнодействующими.

Для такой системы сил интенсивность имеет постоянное значение: q = const.

При решении задач статики эту систему сил можно заменять сосредоточенной равнодействующей силой Q , равной по модулю произведению интенсивности q на длину отрезка AB = a (Q = q · a) и приложенной в середине отрезка AB.

Для такой системы сил интенсивность q является переменной величиной, изменяющейся от нуля до максимального значения q max по линейному закону.

Равнодействующая Q этой системы сил равна по модулю Q =0.5 · a · q max и приложена в точке K, делящей отрезок AB в отношении AK: KB = 2: 1.

19.Расчет составных конструкций
1.1. Расчет с разделением системы тел на отдельные тела
1.1.1. Систему тел по внутренней связи С разделяют на отдельные тела и рассматривают их равновесие.
1.1.2. От каждого из тел отбрасывают все связи, заменяя их действие реакциями . В заданных механизмах приложены следующие виды связей: неподвижный осевой шарнир (реакцию разлагают на составляющие, параллельные координатным осям X, Y); подвижныйосевой шарнир (реакция N перпендикулярна опорной поверхности, направлена от нее); жесткая заделка (реакция представляет собой комбинацию реакции неподвижного шарнираX, Y и пары сил с реактивным
моментом m).Составляющие реакции внутреннего шарнира С, приложенные к разным телам системы, по принципу действия и противодействия равны по модулю и направлены противоположно. Распределенную нагрузку заменяют сосредоточенной силой, приложенной посредине интервала и равной модулю произведения интенсивности нагрузки q на длину интервала.
1.1.3. Составляют уравнения равновесия, включающие уравнения проекций на стандартные оси и уравнения моментов (расчетное и проверочное). Центр расчетного уравнения моментов выбирают на пересечении линий действия максимального количества неизвестных реакций, проверочного уравнения – на пересечении линий действия известных сил, через которое не проходит ни одна из непроверенных неизвестных реакций. Рекомендуется уравнения равновесия составлять, рассматривая силы по очереди следующим образом: определяют угол острый α между линией силы и линией одной из осей; проекция силы на эту ось будет содержатьcos α, на вторую ось –sin α; проекция положительна, если угол совмещения вектора силы с осью острый, и отрицательна – если он тупой; определяют плечо силы, опуская перпендикуляр из центра на линию действия силы, и знак момента по направлению поворота плеча силой вокруг центра (при повороте плеча по часовой стрелке момент отрицателен, против - положителен). При произвольном положении силы для определения момента ее разлагают на составляющие, параллельные координатным осям (их величины равны соответствующим проекциям силы) и находят сумму моментов этих составляющих, используя теорему Вариньона .
Таким образом, для каждого из тел составляют по 3 расчетных и 1 проверочное уравнение.
1.1.4. Решают систему из 6 расчетных уравнений относительно неизвестных реакций.
Подставляют найденные реакции в проверочные уравнения, модуль полученной суммы не должен превышать 0,02 Rср, гдеRср – среднее значение модулей проверяемых реакций.
1.2. Расчет с использованием принципа отвердевания
1.2.1. Заменяют внутренний шарнир С жестким соединением и рассматривают равновесие полученного тела. Вторым рассматривают одно из тел системы (п.1.1.1).
1.2.2. Составляют чертеж для каждого из рассматриваемых тел аналогично п.1.1.2.
1.2.3. Для первого тела составляют 3 расчетные и 1 проверочное уравнение аналогично п.1.1.3. Для второго тела составляют одно расчетное уравнение моментов сил относительно центра С.
1.2.4.Решают систему из 4 расчетных уравнений и делают проверку аналогично п.1.1.4. 2.

2.Расчет с помощью принципа возможных перемещений.Реакции связей определяют, рассматривая их по очереди.

20.Условие равновесия рычага.Устойчивость тел при опрокидывании. Расстояние от точки опоры до прямой, вдоль которой действует сила, называют плечом этой силы. Обозначим F1 и F2 силы, действующие на рычаг со стороны грузов (см. схемы в правой части рис. 25.2). Плечи этих сил обозначим соответственно l1 и l2. Наши опыты показали, что рычаг находится в равновесии, если приложенные к рычагу силы F1 и F2 стремятся вращать его в противоположных направлениях, причем модули сил обратно пропорциональны плечам этих сил: F1/F2 = l2/l1.Устойчивость тел при опрокидывании. Это задачи, возникающие при конструировании различных грузоподъемных механизмов и при расчете безопасных условий их эксплуатации, оговариваемых в правилах по работе с этими механизмами. Особенностью решения этих не очень сложных задач на плоскую систему сил является то, что при их решении не составляются уравнения равновесия. Отдельно определяются:а) опрокидывающий момент (Мопр)- сумма моментов сил, которые стремятся опрокинуть рассматриваемый механизм относительно некоторой проектирующейся на чертеже в точку оси (точки опоры); в) удерживающий момент (Муд)- сумма моментов сил, препятствующих опрокидыванию. Для устойчивой работы механизма необходимо, чтобы удерживающий момент с некоторым запасом был больше опрокидывающего. Отношение Муд,/ Мопр =k принято называть коэффициентом устойчивости. Величина k должна быть, естественно, больше единицы. Для различных грузоподъемных механизмов и для разных условий их работы величина коэффициента устойчивости определяется из СНиП, ТУ и других источников. С учетом этого коэффициента приводятся расчеты величины груза противовеса или его положения на механизме, просчитываются варианты - при каком вылете стрелы и с какими грузами можно безопасно работать. Пример решения одной из задач на устойчивость приведен ниже. Особенно важно уметь выполнять элементарные расчеты на устойчивость в производственных условиях, когда приходится работать с предельными для имеющегося в распоряжении крана грузами.

21 Трение скольжения. Законы трения. Коэффициент трения. Между движущимися телами в плоскости их соприкосновения возникает сила трения скольжения. Обусловлено это прежде всего шероховатостью соприкасающихся поверхностей и наличием сцепления у прижатых тел. В инженерных расчетах обычно пользуются установленными опытным путем закономерностями, которые с некоторой степенью точности отражают действие силы трения. Эти закономерности называют законами трения скольжения (Кулона). Их можно сформулировать следующим образом.
1. При стремлении сдвинуть одно тело относительно другого в плоскости их соприкосновения возникает сила трения F , модуль которой может принимать любые значения от нуля до Fmax, т. е.0<=F<=Fmax . Сила трения приложена к телу и направлена в сторону, противоположную возможному направлению скорости точки приложения силы.
2. Максимальная сила трения равна произведению коэффициента трения f на силу нормального давления N: Fmax=fN.
Коэффициент трения f - безразмерная величина, зависящая от материалов и состояния поверхностей соприкасающихся тел (шероховатость, температура, влажность и т. п.). Определяют его опытным путем.
Различают коэффициенты трения покоя и трения скольжения, причем последний, как правило, зависит и от скорости скольжения. Коэффициент трения покоя соответствует такоймаксимальной силе трения Fmax, при которой имеется предельное состояние равновесия. Малейшее увеличение внешних сил может вызвать движение. Коэффициент трения покоя, как правило, немного больше коэффициента трения скольжения. С увеличением скорости скольжения значение коэффициента трения скольжения сначала незначительно уменьшается, а затем остается практически неизменным. Значения коэффициентов трения для некоторых пар трения следующие: дерево по дереву 0,4-0,7; металл по металлу 0,15-0,25; сталь по льду 0,027.
3. Максимальная сила трения в довольно широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей.
Силу трения скольжения иногда называют силой сухого трения.

Угол и конус трения

Реакция реальной (шерохо­ватой) связи будет слагаться из двух составляющих: из нормальной реакции и перпендикулярной к ней силы трения . Следовательно, полная реакция будет отклонена от нормали к поверхности на не­который угол. При изменении силы трения от нуля до F пр сила R будет меняться от N до R пр, а ее угол с нормалью будет расти от нуля до некото­рого предельного значения (рис. 26).

Рис.26

Наиболь­ший угол , который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью к поверхности, называется углом трения . Из чертежа видно, что

Так как , отсюда находим следующую связь между углом трения и коэффициентом трения:

При равновесии полная реакцияR, в зависимости от сдвигающих сил, может проходить где угодно внутри угла трения. Когда равно­весие становится предельным, реакция будет отклонена от нормали на угол .

Конусом трения называют конус, описанный предельной силой реакции шероховатой связи вокруг направления нормальной реакции.

Если к телу, лежащему на шероховатой поверх­ности, приложить силуР, образующую угол с нор­малью (рис. 27), то тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие Psin будет больше (мы считаем N=Pcos , пренеб­регая весом тела). Но неравенство , в котором , выполняется только при , т.е. при . Следовательно, ни­какой силой, образующей с нормалью угол , меньший угла трения , тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя. Этим объясняются известные явления заклинивания или само­торможения тел.

Рис.27

Для равновесия твёрдого тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на твёрдое тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину.

Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если её линия действия проходит внутри конуса трения.

Трение качения

происхождение трения качения можно наглядно представить себе так. Когда шар или цилиндр катится по поверхности другого тела, он немного вдавливается в поверхность этого тела, а сам немного сжимается. Таким образом, катящееся тело всё время как бы вкатывается на горку.

Рис.33

Вместе с тем происходит отрыв участков одной поверхности от другой, а силы сцепления, действующие между этими поверхностями, препятствуют этому. Оба эти явления и вызывают силы трения качения. Чем твёрже поверхности, тем меньше вдавливание и тем меньше трение качения.

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого.

Пока , каток находится в покое; при начинается качение.

Входящая в формулу линейная величина k называется коэф­фициентом трения качения. Измеряют величину k обычно в санти­метрах. Значение коэффициента k зависит от материала тел и опре­деляется опытным путем.

Коэффициент трения качения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости.

Для вагонного колеса по рельсу k=0,5 мм.

Рассмотрим движение ведомого колеса.

Качение колеса начнется, когда выполнится условие QR>M или Q>M max /R=kN/R

Скольжение колеса начнется, когда выполнится условие Q>F max =fN.

Обычно отношение и качение начинается раньше скольжения.

Если , то колесо будет скользить по поверхности, без качения.

Отношение для большинства материалов значительно меньше статического коэффициента трения . Этим объясняетсято, что в технике, когда это возможно, стремятся заменить скольжение качением (колеса, катки, шариковые подшипники и т. п.).

Метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в некото­рых точках тела (рис. 1.24) приложены силы F 1 F 2 , F 3 и F 4 . Тре­буется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу приложенную в точ­ке А. Приложим (см. § 16) в точке О две силы рав­ные порознь по значению заданной силе параллель­ные ей и направленные в про­тивоположные стороны. В ре­зультате приведения силы получим силу , приложен­ную в точке О, и пару сил с плечом . Поступив таким же образом с силой , приложенной в точке В, получим силу , приложенную в точке О, и пару сил с плечом и т. д. Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:

рис.1.24

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой равной геометрической сумме составляющих,

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают .

По величине проекций главного вектора на оси координат находим модуль главного вектора:

На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения

Таким образом, произвольная плоская система сил приводиться к одной силе (главному вектору системы сил) и одному моменту (главному моменту системы сил).

Необходимо усвоить, сто главный вектор не является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе . Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системе, то ни модуль, ни направление его не зависит от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента зависит от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра) относительно которой берутся моменты.

Частные случаи приведения системы сил:

1) ; система находиться в равновесии, т.е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.

Плоская система произвольно расположенных сил.

Условия равновесия пар сил.

Если на твердое тело действует несколько пар сил, как угодно расположенных в пространстве, то последовательно применяя правило параллелограмма к каждым двум моментам пар сил, можно любое количество пар сил заменить одной эквивалентной парой сил, момент которой равен сумме моментов заданных пар сил.

Теорема. Для равновесия пар сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций моментов пар сил на каждую из трех координатных осей была равна нулю.

Рассмотрим случай переноса силы в произвольную точку,не лежащую на линии действия силы.

Возьмем силу F, приложенную в точке С. Требуется перенести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О. Приложимв точке О две силы F" и F", противоположно направленные, равные по значению и параллельные заданной силе F, т. е. F" = F" = F. От приложения в точке О этих сил состояние тела не изменяется, так как они взаимно уравновешиваются. Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы F", приложенной в точке О, и пары сил FF" с моментом М = Fa. Эту пару сил называют присоединенной , а ее плечо а равно плечу силы F относительно точки О.

Таким образом, при приведении силы F к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по модулю и направлению, как и сила F, и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки приведения:

В качестве примера приведения силы рассмотрим действие силы F на конец С защемленного стержня (рис.28,б). После приведения силы F в точку О защемленного сечения обнаруживаем в нем силу F1 равную и параллельную заданной, и присоединенный момент М, равный моменту заданной силы F относительно точки приведения О,

1.4.2 Приведение плоской системы сил к данной точке

Описанный метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела А, В, С и D (рис. 30) приложены силы F1,F2,F3,F4.

Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу F1 , приложенную в точке А. Приложим в точке О две силы F1" и F1"", параллельные ей и направленные в противоположные стороны. В результате приведения силы F1 получим силу F1" , приложенную в точке О, и пару сил F1" F1"" с плечом a1. Поступив таким же образом с силой F2 , приложенной в точке В, получим силу F2", приложенную в точке О, и пару сил с плечом a2 т. д.

Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами F1,F2,F3,F4 , приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой F"гл, равной геометрической сумме составляющих,

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил и обозначают F"гл.

На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения

Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента).

Необходимо усвоить, что главный вектор F"гл является равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе F"гл. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения. Значение и знак главного момента Mгл зависят от положения центра приведения, так как плечи составляющих пар зависят от взаимного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.

Могут встретиться следующие случаи приведения системы сил:
1. - общий случай; система приводится главному вектору и к главному моменту.
2. ; система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.
3. ; система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.
4. ; система находится в равновесии, т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы ее главный вектор и главный момент одновременно были равны нулю.

Можно доказать, что в общем случае, когда, всегда есть точка, относительно которой главный момент сил равен нулю.

Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О, т. е. заменена главным вектором , приложенным в точке О, и главным моментом . Для определенности примем, что главный момент направлен по часовой стрелке, т. е. . Изобразим этот главный момент парой сил FF", модуль которых выберем равным модулю главного вектора, т. е. . Одну из сил, составляющих пару, приложим в центре приведения О, другую силу в точке С, положение которой определится из условия: . Следовательно .

Расположим пару сил так, чтобы сила F"" была направлена в сторону, противоположную главному вектору F"гл. В точке О имеем две равные взаимнопротивоположные силы F"гл и F"", направленные по одной прямой; их можно отбросить (согласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой системы сил равен нулю, и система приводится к равнодействующей .

Лекция 5

Краткое содержание: Приведение силы к заданному центру. Приведение системы сил к заданному центру. Условия равновесия пространственной системы параллельных сил. Условия равновесия плоской системы сил. Теорема о трех моментах. Статически определимые и статически неопределимые задачи. Равновесие системы тел.

ПРИВЕДЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ К ЗАДАННОМУ ЦЕНТРУ. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ

Приведение силы к заданному центру.

Равнодействующая системы сходящихся сил непосредственно находится с помощью сложения сил по правилу параллелограмма. Очевидно, что аналогичную задачу можно будет решить и для произвольной системы сил, если найти для них метод, позволяющий перенести все силы в одну точку.

Теорема о параллельном переносе силы . Силу, приложенную к абсолютно твердому телу, можно, не изменяя оказываемого ею действия, переносить из данной точки в любую другую точку тела, прибавляя при этом пару с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда сила переносится.

Пусть сила приложена в точке A. Действие этой силы не изменяется, если в точке B приложить две уравновешенные силы. Полученная система трех сил представляет собой силу равную , но приложенную в точке В и пару с моментом . Процесс замены силы силой и парой сил называется приведением силы к заданному центру В.

Приведение системы сил к заданному центру.

Основная теорема статики (Пуансо).

Любую произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. Этот процесс замены системы сил одной силой и одной парой сил называется приведением системы сил к заданному центру .

Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил.

Главным моментом системы сил относительно точки О тела, называется вектор, равный векторной сумме моментов всех сил системы относительно этой точки.

Формулы для вычисления главного вектора и главного момента

Формулы для вычисления модуля и направляющих косинусов

главного вектора и главного момента

Условия равновесия системы сил.

Векторная форма.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный момент системы сил относительно любого центра приведения также был равен нулю.

Алгебраическая форма.

Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат были равны нулю и три суммы моментов всех сил относительно трех осей координат также были равны нулю.

Условия равновесия пространственной системы

параллельных сил.

На тело действует система параллельных сил. Расположим ось Oz параллельно силам.

Уравнения

Для равновесия пространственной системы параллельных сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил была равна нулю и суммы моментов этих сил относительно двух координатных осей, перпендикулярным силам, также были равны нулю.

- проекция силы на ось Oz.

ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ.

Условия равновесия плоской системы сил.

На тело действует плоская система сил. Расположим оси Ox и Oy в плоскости действия сил.

Уравнения

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма моментов этих сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил также была равна нулю.

Теорема о трех моментах.

Для равновесия плоской системы сил, действующих на твердое тело, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов этих сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю.

Статически определимые и статически неопределимые задачи.

Для любой плоской системы сил, действующих на твердое тело, имеется три независимых условия равновесия. Следовательно, для любой плоской системы сил из условий равновесия можно найти не более трех неизвестных.

В случае пространственной системы сил, действующих на твердое тело, имеется шесть независимых условия равновесия. Следовательно, для любой пространственной системы сил из условий равновесия можно найти не более шести неизвестных.

Задачи, в которых число неизвестных не больше числа независимых условий равновесия для данной системы сил, приложенных к твердому телу, называются статически определимыми .

В противном случае задачи статически неопределимы.

Равновесие системы тел.

Рассмотрим равновесие сил, приложенных к системе взаимодействующих между собой тел. Тела могут быть соединены между собой с помощью шарниров или иным способом.

Силы, действующие на рассматриваемую систему тел, можно разделить на внешние и внутренние.

Внешними называются силы, с которыми на тела рассматриваемой системы действуют тела, не входящие в эту систему сил.

Внутренними называются силы взаимодействия между телами рассматриваемой системы.

При рассмотрении равновесия сил, приложенных к системе тел, можно мысленно расчленить систему тел на отдельные твердые тела и к силам, действующим на эти тела, применить условия равновесия, полученные для одного тела. В эти условия равновесия войдут как внешние, так и внутренние силы системы тел. Внутренние силы на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия в каждой точке сочленения двух тел образуют равновесную систему сил.

Покажем это на примере системы двух тел и плоской системы сил.

Если составить условия равновесия для каждого твердого тела системы тел, то для тела I

.

для тела II

Кроме того, из аксиомы о равенстве сил действия и противодействия для двух взаимодействующих тел имеем .

Представленные равенства и есть условия равновесия внешних сил, действующих на систему.

Реакция заделки.

Рассмотрим балку один конец которой АВ заделан в стену. Такое крепление конца балки АВ называется заделкой в точке В. Пусть на балку действует плоская система сил. Определим силы, которые надо приложить к точке В балки, если часть балки АВ отбросить. К сечению балки (В) приложены распределенные силы реакции. Если эти силы заменить элементарными сосредоточенными силами и затем привести их к точке В, то в точке В получим силу (главный вектор сил реакции) и пару сил с моментом М (главный вектор сил реакции относительно точки В) . Момент М называют моментом заделки или рективным моментом. Силу реакции можно заменить двумя составляющими и.

Заделка в отличие от шарнира создает не только неизвестную по величине и направлению реакцию , но еще и пару сил с неизвестным моментом М в заделке.

Теорема . Силу F , не изменяя её действие на тело, можно перенести из точки её приложения А в любой центр приведения О, присоединив при этом к телу пару сил с моментом М , геометрически равным моменту M О (F ) этой силы относительно центра приведения .

Пусть задана силаF , лежащая в горизонтальной плоскости OXY параллельно оси ОХ (рис. 1.41).

Согласно методу Пуансо вместо силы F , приложенной в точке А, получена сила F 1 , равная по величине силе F , но приложенная в точке О и присоединённая пара сил , векторный момент которой M = M О (F ).

По теореме об эквивалентности пар сил присоединённую пару сил можно заменить любой другой парой сил с таким же векторным моментом.

1.15. Приведение произвольной системы сил к заданному центру

Теорема . Любую произвольную систему сил, действующую на тело, можно привести в общем случае к силе и паре сил.

Такой процесс замены системы сил одной силой и парой сил называют приведением системы сил к заданному центру .

П

Последовательно применяя метод Пуансо к каждой из заданной системы сил, приведём её к произвольному центру О. В результате этого получим систему сил (F 1 , …, F n), приложенных в центре О, и присоединённую пару сил с моментом M = Σ M О (F i). Складывая силы F 1 , …, F n по правилу параллелограмма, получим их равнодействующую R * , равную геометрической сумме заданных сил и приложенную в центре приведения.

Геометрическую сумму всех сил системы называют главным вектором системы сил и, в отличие от равнодействующей R , обозначают R * .

Вектор M = Σ M О (F i) называют главным моментом системы сил относительно центра приведения.

Этот результат можно сформулировать следующим образом: силы, произвольно расположенные в пространстве, можно привести к одной силе, равной их главному вектору и приложенной в центре приведения и к паре сил с моментом, равным главному моменту всех сил относительно центра приведения.

Выбор центра приведения не отражается на модуле и направлении главного вектора R * , но влияет на модуль и направление главного момента М . Главный вектор R * является свободным вектором и может быть приложен в любой точке тела.

1.16. Аналитические условия равновесия плоской произвольной системы сил

Плоская произвольная система сил – система сил, линии действия которых произвольно расположены в одной плоскости.

Линии действия плоской произвольной системы сил пересекаются в различных точках.

Н

Последовательно применяя метод Пуансо для каждой из сил F i , осуществим параллельный перенос сил из точек A i в начало О системы отсчёта OXYZ. Согласно этому методу, сила F i будет эквивалентна силе F i ,приложенной в точке О, и присоединённой паре сил с моментом M i = M О (F i ) . При этом M i = ± F i h i , где h i – плечо силы F i относительно центра приведения О. По окончании этой работы получим сходящуюся систему сил (F i ,…, F n) и сходящуюся систему векторных моментов M i = M О (F i) присоединённых пар сил, приложенных в центре приведения. Сложив векторы сил, получим глав

ный вектор R * = ΣF i и главный момент эквивалентной пары сил M = Σ M О (F i).

Таким образом, плоская произвольная система сил (F i ,…, F n ) эквивалентна одной силе R* = Σ F i и паре сил с моментом M = Σ M О (F i ).

При решении задач статики используют проекции силы на координатные оси и алгебраические моменты сил относительно точки.

На рис. 1.44 изображена плоская произвольная система сил, приведённая к главному вектору сил, модуль которой R*=
и эквивалентной паре сил с алгебраическим моментом M = Σ M О (F i).

В

Геометрическое условие равновесия любой системы сил выражается векторными равенствами: R * = Σ F i = 0; M = Σ M О (F i) = 0.

При решении задач требуется определить реакции R i E внешних связей, наложенных на механическую систему. При этом активные силы F i E , приложенные к этой системе, известны. Так как активные силы F i E и реакции связей R i E относятся к разряду внешних сил, то геометрическое условие равновесия системы внешних сил целесообразно выразить векторными равенствами:

Σ F i E + Σ R i E = 0;

Σ M A (F i E) + Σ M A (R i E) = 0.

Для равновесия системы внешних сил необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма активных сил F i E и реакций R i E внешних связей и геометрическая сумма моментов активных сил M A ( F i E ) и реакций внешних связей M A ( R i E ) относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Проецируя эти векторные равенства на координатные оси системы отсчёта, получим аналитические условия равновесия системы внешних сил . Для плоской произвольной системы сил эти уравнения приобретают следующий вид:

Σ
+ Σ
= 0;

Σ
+ Σ
= 0;

Σ M A (F i E) + Σ M A (R i E) = 0,

где Σ
, Σ
– соответственно суммы проекций активных сил на координатные оси OX, OY; Σ
, Σ
– суммы проекций реакций внешних связей на координатные оси OX, OY; Σ M A (F i E) – сумма алгебраических моментов активных сил F i E относительно точки А; Σ M A (R i E) – сумма алгебраических моментов реакций R i E внешних связей относительно точки А.

Совокупность этих формул есть первая (основная) форма уравнений равновесия плоской произвольной системы внешних сил .

Таким образом , для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к механической системе, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций активных сил и реакций внешних связей на две координатные оси и сумма алгебраических моментов активных сил и реакций внешних связей относительно произвольной точки А равнялись нулю.

Существуют и другие формы уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.

Вторая форма выражается совокупностью формул:

Σ
+ Σ
= 0;

Σ M A (F i E) + Σ M A (R i E) = 0;

Σ M В (F i E) + Σ M В (R i E) = 0.

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил на координатную ось и суммы алгебраических моментов сил относительно произвольных точек А и В равнялись нулю.

Третья форма уравнений равновесия выражается совокупностью формул:

Σ M A (F i E) + Σ M A (R i E) = 0;

Σ M В (F i E) + Σ M В (R i E) = 0;

Σ M С (F i E) + Σ M С (R i E) = 0.

Для равновесия плоской произвольной системы внешних сил, приложенных к телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы алгебраических моментов этих сил относительно произвольных точек А, В и С равнялись нулю.

При использовании третьей формы уравнений равновесия точки А, В и С не должны лежать на одной прямой.