Геометрические характеристики поперечного сечения круг мора. Круг мора для объемного напряженного состояния

Зависимость напряжений σ n и τ n , действующих на площадку с нормалью n, проходящую через рассматриваемую точку, можно представить наглядно графически при помощи круговой диаграммы Мора (кругов Мора).

ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . Заданы главные напряжения σ 1 и σ 2 (см. рис. 2) . Откладываются отрезки ОA=σ 1 и ОВ=σ 2 с учетом знаков (рис. 1). На отрезке АВ, как на диаметре, строится окружность. Из точки В проводится прямая под углом α к оси σ. Координаты точки D пересечения этой прямой с окружностью дают напряжения по наклонной площадке: ОЕ=σ n , ED=τ n .

Рисунок 1.

Заданы напряжения α х, σ y , τ ху (рис. 2). Откладываются отрезки ОЕ=σ х и OF=σ y с учетом знаков. Из точки Е (независимо от ее положения) откладывается отрезок ED=τ xy также с учетом знака. Из точки С, делящей отрезок EF пополам, как из центра строится окружность радиусом CD. Прямая BD определяет направление действия вектора главного напряжения σ 1 , а абсциссы точек пересечения окружности с осью σ дают величины главных напряжений: OА=σ 1 , ОВ=σ 2 .

Рисунок 2.

ОБЪЕМНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ . Строятся три полуокружности на отрезках, изображающих разности главных напряжений σ 1 -σ 3 , σ 2 -σ 3 , σ 1 -σ 2 , как на диаметрах (рис. 3). Напряжения σ n и τ n по наклонной площадке, нормаль к которой образует углы α, β и γ с направлениями трех главных напряжений, определяются путем следующего построения. Проводятся линии АЕ и BF соответственно под углами α и γ от вертикали. Через полученные точки пересечения Е и F проводятся дуги радиусами С 2 Е и C 1 F до пересечения в точке D, координаты которой и дают величины напряжений σ n и τ n . Точки, изображающие напряженные состояния по разным площадкам, не выходят из области, заключенной между тремя полуокружностями (заштрихована на рисунке).

Круги мора - круговые диаграммы, дающие наглядное представление о напряжениях в разных сечениях, проходящих через данную точку. В системе координат τ n - σ n - три (полу)окружности, которых по оси абсцисс являются разностью главных нормальных напряжений σ 1 , σ 2 , σ 3 (рис.). Максимальная окружность радиусом (σ 1 -σ 3)/2 охватывает две внутренние окружности радиусами (σ 1 -σ 2)/2 и (σ 2 -σ 3)/2, касающихся в точке σ 2 . Координаты точек в пространстве между дугами этих окружностей - нормальные и касательные в произвольно ориентированных площадках. На осях окружностей находятся соответственно . Положение точки σ 2 определяется коэффициентом Лоде - Надаи. Аналогично кругам Мора в координатах γ - ε строят для исследования деформированного состояния, где R 1 = (ε 2 -ε 1)/2 = 0,5γ 23 , R 2 = (ε 1 -ε 3)/2 = 0,5γ 31 , R 3 = (ε 1 -ε 2)/2 = 0,5γ 12

Круги Мора (круговая напряжений)

Энциклопедический словарь по металлургии. - М.: Интермет Инжиниринг . Главный редактор Н.П. Лякишев . 2000 .

Смотреть что такое "Круги мора" в других словарях:

круги Мора - Круговые диаграммы, дающие наглядное представление о напряжениях в разных сечениях, проходящих через данную точку. В системе координат тл—ал — три (полу)окружности, диам. к рых по оси абсцисс являются разностью главных нормальных… … Справочник технического переводчика

Круги - Круги: Содержание 1 Населённые пункты 1.1 Белоруссия 1.2 Россия 1.3 Украина … Википедия

Круги (значения) - Населённые пункты: Круги (укр. Круги) село, входит в Вышгородский район Киевской области Украины. Круги (укр. Круги) село на Украине, находится в Тывровском районе Винницкой области. Круги (белор. Кругі) деревня в… … Википедия

ВЕЛИКОБРИТАНИЯ - (Great Britain) гос во в Зап. Европе, расположено на Британских о вах. Офиц. назв. В. Соединенное Королевство Великобритании и Северной Ирландии (United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland); часто всю В. неточно именуют Англией (по назв … Советская историческая энциклопедия

Великобритания - I Великобритания (Great Britain) остров в Атлантическом океане, входящий в группу Британских островов (См. Британские острова). См. Великобритания (государство). II Великобритания (Great Britain) официальное название Соединённое… …

Великобритания (государство) - Великобритания (Great Britain); официальное название ‒ Соединённое Королевство Великобритании и Северной Ирландии (The United Kingdom of Great Britain and Northern Ireland). I. Общие сведения В. ‒ островное государство на С. З. Европы; занимает… … Большая советская энциклопедия

Франция - (France) Французская Республика (République Française). I. Общие сведения Ф. государство в Западной Европе. На С. территория Ф. омывается Северным морем, проливами Па де Кале и Ла Манш, на З. Бискайским заливом… … Большая советская энциклопедия

Коммунизм - Словом К. обозначают: во первых, такой общественный порядок, при котором в сфере имущественных отношений отсутствует частная собственность (всякая или только на недвижимость), а в сфере отношений семейных место брака занимает беспорядочное… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

История коммунистических учений - Коммунизм общее название учений, провозглашающих целью отмену частной собственности и освобождение человека и общества от экономического и социального гнета. Слово «коммунизм» объединяет те религиозные, нравственные и экономические учения,… … Википедия

Обратная задача.

Прямая задача

Построение кругов Мора

Графический метод исследования напряженного состояния в точке.

Можно оказать, что уравнения , представляют уравнение окружности в параметрической форме. Поэтому для графического метода исследования напряженного состояния используются круги напряжений, называемые кругами Мора.

В теории напряженного состояния можно разграничить две основные задачи:

Прямая задача: в точке известны положение главных площадок и соответствующие им главные напряжения, требуется определить нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным к главным под углом a.

Обратная задача: в точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку, требуется определить главные напряжения и положение главных площадок.

Рассмотрим решение этих задач графическим методом

Аналитическое решение прямой задачи определяется формулами (4.6) – (4.9).

Для графического решения строится на плоскости в координатах s-t круг Мора

(рис. 4.9) в следующей последовательности.

Из крайней левой точки (В) круга проводим луч, параллельный внешней нормали к рассматриваемой площадке, т.е. под углом a к оси s. Точка пересечения этого луча с окружностью (D a) имеет своими координатами отрезки D a K a и OK a , численно равные касательному t a и нормальному s a напряжениям, действующим на рассматриваемой площадке.

Точка D b , лежащая на противоположном конце диаметра от точки D a , характеризует напряжения s β и t b , действующие по наклонной площадке, перпендикулярной к первой.

Выполненные преобразования проведены с учетом, что 1+cos2α = 2cos 2 α., 1-cos2α = 2sin 2 α.

Полученные выражения для s a , s b , τ α и τ β полностью совпадают с аналитическими формулами (4.6) - (4.9).

В заключение следует отметить, что каждая точка круга Мора имеет своими координатами напряжения, действующие на соответствующей площадке, следовательно, зная главные напряжения для плоского напряженного состояния, можно с помощью круга Мора определить напряжения, действующие на различных площадках, проходящих через данную точку. Максимальное касательное напряжение соответствует точке D c и равно радиусу круга.

Довольно часто приходится решать обратную задачу, т. е. по напряжениям на произвольных площадках s a , t a , s b , t b определять величину и направление главных напряжений. Проще эта задача решается графически, т. е. с помощью круга Мора (рис. 4.10). Рассмотрим порядок его построения.

Прямоугольную систему координат s, t выберем так, чтобы ось абсцисс была параллельна большему из нормальных напряжений (пусть s a >

параллельна большему из нормальных напряжений (пусть s a > s b). На оси s отложим в выбранном масштабе отрезки ОК a , ОК b , численно равные s a и s b . Из точек К a и К b проведем перпендикуляры К a D a , К b D b , которые численно равны соответственноt a и τ β (К a D a = t a , К b D b = τ β = - t a). На отрезке D a D b , как на диаметре, построим круг с центром в точке С. Крайнюю правую точку пересечения круга с осью s обозначим буквой А, крайнюю левую – буквой В. Касательные напряжения в этих точках равны нулю, следовательно, ОА=s 1 , ОВ=s 2 – главные напряжения (.в соответствии с прямой задачей).

Из рис.6.10 определим радиус круга R и величину отрезка ОС (4.12)

C учетом выражений (4.12) , (4.13) получим следующие формулы для главных напряжений

ОА= σ I = ОС + R = + (4.14)

ОВ = σ II = ОС – R = - (4.15)

Для определения направления главного напряжения s 1 проведем луч через крайнюю левую точку круга В и точку D a ¢, которая симметрична точке D a относительно оси s. Направление луча ВD a ¢ совпадает с направлением s 1 , направление s 2 перпендикулярно ему. Угол a 0 определится из треугольника ВК a D a ¢ (рис. 6.10):

Угол a 0 считается положительным, если его откладывают от оси s против часовой стрелки.

В элементарном параллелепипеде, по граням которого действуют все три главных напряжения, рассмотрим произвольную площадку a, нормаль к которой составляет с координатными осями 1,2,3 углы α 1 α 2 α 3 .(рис. 4. 11). На этой площадке будет действовать полное напряжение р α , составляющее с нормалью n угол α. Определим его проекции на нормаль к площадке - σ α и на саму площадку – τ α .

где- напряжение на рассматриваемой площадке, вызванное действием , а ,- соответственно от напряжений и.Для вычисления этих величин воспользуемся формулой для линейного напряжённого состояния: =, =, =.

С учетом этих значений нормальные напряжения на произвольной площадке определятся равенством

Для вывода формулы касательных напряжений τ α следует рассмотреть его векторную величину . Так как , то .

Опуская выводы, которые следуют из уравнений равновесия рассматриваемой трёх- гранной пирамиды (рис. 3.11), запишем формулу в окончательном виде для вектора полного напряжения на площадке n α:

С учётом этого выражения

В качестве примера рассмотрим напряжения на площадке, равнонаклонённой ко всем главным площадкам. Такая площадка называется октаэдрической, а напряжения, действующие на этой площадке, называются октаэдрическими.

Так как для такой площадки , а учитывая, что всегда

То . Следовательно (4.20)

Так же, как и в случае плоского напряженного состояния, при объемном напряженном состоянии сумма нормальных напряжений по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку, есть величина постоянная.

Рассмотрим графический метод анализа напряженного состояния в точке при объемном напряженном состоянии.

Прежде всего определим напряжения на площадках, параллельных одному из главных напряжений (рис. 4.12)

Прямая задача в плоском напряженном состоянии. Круг напряжений (круг Мора)

Аналитическое решение прямой задачи дается формулами (3.2) - (3.5).

Проанализируем напряженное состояние, воспользовавшись простым графическим построением. Для этого введем в рассмотрение геометрическую плоскость и отнесем ее к прямоугольным координатным осям и. Порядок расчета опишем на примере напряженного состояния, изображенного на рис. 3.5, а.

Выбрав для напряжений некоторый масштаб, откладываем на оси абсцисс (рис 3.5, б) отрезки

На как на диаметре строим окружность с центром в точке. Построенный круг носит название круга напряжений или круга Мора .

Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Так, для определения напряжения на площадке, проведенной под углом (рис. 3.5, а). из центра круга (рис 3.5, б) проводим луч под углом до пересечения с окружностью в точке (положительные углы откладываем против часовой стрелки). Абсцисса точки (отрезок) равна нормальному напряжению, а ордината ее (отрезок) - касательному напряжению.

Напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем, проведя луч под углом и получив в пересечении с окружностью точку. Очевидно, ордината точки соответствует касательному напряжению, а абсцисса точки - нормальному напряжению.

Проведя из точки линию, параллельную (в нашем случае горизонталь), до пересечения с кругом, найдем полюс - точку. Линия, соединяющая полюс с любой точкой круга, параллельна направлению нормального напряжения на площадке, которой эта точка соответствует. Так, например, линия параллельна главному напряжению. Очевидно, что линия параллельна направлению главного напряжения.

Обратная задача в плоском напряженном состоянии.

При практических расчетах обычно определяют нормальные и касательные напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных площадках. Пусть, например, известны напряжения , (рис. 3.6, а). По этим данным требуется определить величины главных напряжений и положение главных площадок.

Сначала решим эту задачу графически. Примем, что >, а >.

В геометрической плоскости в системе координат нанесем точку, с координатами, и точку с координатами,(рис. 3.6, б). Соединив точки и, находим центр круга - точку - и радиусом проводим окружность. Абсциссы точек ее пересечения с осью - отрезки и - дадут соответственно величины главных напряжений и.

Для определения положения главных площадок найдем полюс и воспользуемся его свойством. Проведем из точки линию параллельно линии действия напряжения, т. е. горизонталь. Точка пересечения этой линии с окружностью и является полюсом. Соединяя полюс с точками и, получим направления главных напряжений. Главные площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжений.

Рис. 3.6

Используем построенный круг для получения аналитических выражений главных напряжений и:

Формула (3.10) определяет единственное значение угла, на который нужно повернуть нормаль, чтобы получить направление алгебраически большего главного напряжения. Отрицательному значению соответствует поворот по часовой стрелке.

Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать и. Если оба главных напряжения окажутся отрицательными, то их следует обозначать и.

Круг Мора (рис. 8.2 ) вычерчивается в прямоугольной системе координат. Полагается, что σ 1 ≥σ 2

Рис. 8.2. Графическое представление напряженного состояния грунта (круг Мора)

Построение круга Мора производится в следующей последовательности. От начала координат откладываем значения σ 1 и σ 3 . Из точки В проводят окружность радиусомт R . Любая точка E на окружности характеризует напряженное состояние грунта в плоскости, проходящей через рассматриваемую точку. Угол наклона α линии ЕА - это угол наклона рассматриваемой площадки к главной. Центральный угол наклона отрезка EB равен 2α. Нормальные напряжения по этой площадке а представляются по горизонтальной оси отрезком ОЕ", касательные τ - перпендикулярным отрезком ЕЕ" .

Значения σ и τ могут быть определены через σ 1 и σ 3 по формулам (8.1) и (8.2).

Максимальные и минимальные касательные напряжения соответствуют sin 2α = 1 и sin 2α = -1, т.е. углам 2α=π/2 или 3π/2 (α=45° или 135°).

Полное результирующее напряжение на рассматриваемой площадке

Угол отклонения σ n от нормали к площадке

(8.4)

Значение угла θ при изменении угла α от 0 до 90° сначала возрастает от нуля до некоторого θ max , а затем убывает до нуля.

Угол θ максимален, когда линия ОE станет касательной к кругу напряжений. Из треугольника ОBЕ :

(8.5)

Максимальное отклонение полного (результирующего) напряжения на угол θmax нормали к площадке имеет место при:

Следовательно, отклонения площадки скольжения от направления наибольшего главного напряжения σ 1

(8.7)

Таким образом, в предельном состоянии в каждой точке грунта имеются две сопряженные площадки скольжения, наклоненные под углом 45°- φ/2 к линии действия максимального и 45° + φ/2 - минимального главного напряжения (рис. 8.3 ).

Рис. 8.3. Ориентация площадок скольжения относительно главных напряжений: 1, 2 - площадки скольжения

Для сыпучих грунтов во всех случаях θ max не может быть больше угла внутреннего трения φ. А разрушение сыпучих грунтов наступает, когда угол отклонения полного(результирующего) напряжения равен углу внутреннего трения:

θ max = φ (8.8)

Выражение (8.8) является условием прочности грунта. Тогда уравнение предельного равновесия можно записать в следующем виде:

(8.9)

Выражение (8.9) известно в механике грунтов как условие прочности (предельного равновесия) для песчаных (сыпучих) грунтов. После несложных тригонометрических преобразований это выражение можно записать в следующем виде:

(8.10)

(8.11)

Это выражение часто используют в теории давления грунтов на ограждения (глава 10). Для связных грунтов также можно записать условие предельного равновесия, предварительно построив круги Мора (рис. 8.4 ) по результатам испытания в стабилометре (см. рис. 5.7).

Рис. 8.4. Круги Мора, построенные по результатам испытания образцов грунта на сжатие в стабилометре

Радиус круга

ВД = (σ 1 - σ 3)/2 (8.12)

а отрезок О"Д можно найти из выражения

Отрезок О"О , отсекаемый наклонной линией на оси абсцисс (см. рис. 8.4), называют давлением связности, которое можно представить в виде

(8.14)

Давление связности (8.14) можно условно считать начальным давлением связного грунта, которое необходимо преодолеть при испытании на сдвиг. Зная ВД (8.12) и О"Д (8.13), а также используя (8.14), найдем

(8.15)

Выражение (8.15), связывающее главные напряжения в момент разрушения образца с углом внутреннего трения, принято называть уравнением предельного равновесия для связных грунтов.

Уравнение (8.15) в некоторых случаях удобно использовать не в главных напряжениях, а в компонентах, записанных относительно координатных осей. Из сопротивления материалов известно, что:

(8.16)

Тогда, рассматривая совместно уравнения (8.15) и (8.16), можно записать уравнение предельного равновесия в следующем виде:

(8.17)

Аналогичным образом можно выразить и уравнение (8.9).