16. Основные гипотезы науки о сопротивлении материалов. Стержень, внутренние силы, метод сечений

Сопротивление материалов (в обиходе - сопромат) - часть механики деформируемого твёрдого тела которая рассматривает методы инженерных расчётов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость при одновременном удовлетворении требований надежности и экономичности. Гипотеза сплошности и однородности - материал представляет собой однородную сплошную среду ; свойства материала во всех точках тела одинаковы и не зависят от размеров тела.Гипотеза об изотропности материала - физико -механические свойства материала одинаковы по всем направлениям.Гипотеза об идеальной упругости материала - тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения причин, вызвавших его деформацию.Гипотеза (допущение) о малости деформаций - деформации в точках тела считаются настолько малыми, что не оказывают существенного влияния на взаимное расположение нагрузок, приложенных к телу.Допущение о справедливости закона Гука - перемещения точек конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения.Принцип независимости действия сил - принцип суперпозиции ; результат воздействия нескольких внешних факторов равен сумме результатов воздействия каждого из них, прикладываемого в отдельности, и не зависит от последовательности их приложения.Гипотеза Бернулли о плоских сечениях - поперечные сечения , плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации.Принцип Сен-Венана - в сечениях, достаточно удаленных от мест приложения нагрузки, деформация тела не зависит от конкретного способа нагружения и определяется только статическим эквивалентом нагрузки.Стержнем, или брусом, называется тело, у которого один размер (длина) значительно превышает два других (поперечных) размера В инженерном деле встречаются стержни с прямолинейной, и криволинейной осями. Примерами прямых стержней являются балки, оси, валы. Примерами кривых стержней могут служить грузоподъемные крюки, звенья цепей и т. п. Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характе­ризуется внутренними силами , которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмоле­кулярного воздействия. Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений , суть которого заключается в следующем. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.

18. Растяжение и сжатие. Гипотеза плоских сечений при растяжении и сжатии. Напряжения, деформации, закон Гука. Принцип Сен-Венана. Модуль упругости, коэффициент Пуассона.

Растяжение-сжатие - в сопротивлении материалов - вид продольной деформации стержня или бруса , возникающий в том случае, если нагрузка к нему прикладывается по его продольной оси (равнодействующая сил, воздействующих на него, нормальна поперечному сечению стержня и проходит через его центр масс ). Гипотеза Бернулли о плоских сечениях - поперечные сечения , плоские и нормальные к оси стержня до приложения к нему нагрузки, остаются плоскими и нормальными к его оси после деформации Напряжения. Сила N, приложенная в центре тяжести произвольного сечения стержня является равнодействующей внутренних сил, действующих на бесконечно малой площади dA поперечного сечения площади А и. Тогда, В пределах действия закона Гука () плоские поперечные сечения стержня при деформации смещаются параллельно начальному положению, оставаясь плоскими (гипотеза плоских сечений), тогда норм. напряжение во всех точках сечения одинаково, т.е. (гипотеза Бернулли) и тогда При сжатии стержня напряжение имеют лишь другой (отрицательный) знак (нормальная сила направлена в тело стержня). Деформация. Стержень постоянного сечения площадью А под действием осевых растягивающих сил удлиняется на величину, где - длины стержня в деформированном и не деформированном состоянии. Это приращение длины называется полным или абсолютным удлинением .. Закон Гука. Удлинение стержня. Между напряжением и малой деформацией существует линейная зависимость, называемая законом Гука. Для растяжения (сжатия) она имеет вид σ=Еε, где Е – коэффициент пропорциональности, модуль упругости .Е – напряжение, которое вызывает деформацию.Закон Гука для растяжения (сжатия) стержня.Δl=Fe/EA=λF, где λ – коэффициент продольной податливости стержня.ЕА – жесткость сечения стержня при растяжении.Сен-Венана принцип в теории упругости, принцип, согласно которому уравновешенная система сил, приложенная к какой-либо части сплошного тела, вызывает в нём напряжения, очень быстро убывающие по мере удаления от этой части. Так, на расстояниях, больших, чем наибольшие линейные размеры области приложения нагрузок, напряжения и деформации оказываются пренебрежимо малыми. Следовательно, С.-В. п. устанавливает локальность эффекта самоуравновешенных внешних нагрузок. Модуль упругости - общее название нескольких физических величин , характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к ним силы . В области упругой деформации модуль упругости тела определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона диаграммы напряжений-деформаций ):где λ (лямбда) - модуль упругости; p - напряжение , вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы); - упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению размера образца после деформации к его первоначальному размеру).

19. Закон распределений напряжений по сечению при растяжении-сжатии. Напряжения на наклонных площадках. Закон парности касательных напряжений.Закон парности касательных напряжений. Закон парности касательных напряжений устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элементарного параллелепипеда..Напряжения на наклонных взаимно перпендикулярных плоскостях. В наклонных сечениях действуют одновременно нормальные и касательные напряжения, Которые зависят от угла наклона α. На площадках при α=45 и 135 градусов. При α=90 как нормальные, так и касательные напряжения отсутствуют. Легко показать, что перпендикулярное сечение при Вывод: 1) в 2-х взаимно перпендикулярных плоскостях алгебраическая сумма нормальных напряжений равна нормальному напряжении в поперечном сечении 2) касательные напряжения равны между собой по абсолютной величине и пропорциональны по направлению (знаку) закон парности напряжений

20. Продольная и поперечная деформация, коэффициент Пуассона. Условие прочности при растяжении и сжатии. Виды расчетов на прочностьРастяжение - такой вид нагружения, когда в поперечных сечениях бруса возникают только внутренние продольные силы N. Деформацию при растяжении характеризуют 2 величины: 1. относительная продольная деформация ε=∆l/l; 2. относительная поперечная деформация : ε 1 =∆d/d. В пределах упругих деформаций между нормальным напряжением и продольной деформацией сущ. прямопропорциональная зависимость (Закон Гука): σ=Ε ε, где Е - модуль упругости I рода (модуль Юнга), характеризует жёсткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям. Т.к. σ=F/S, то F/S=Е∆l/l , откуда ∆l= Fl/Е S. Произведение Е S наз. жёсткостью сечения . => абсолют. удлинение стержня прямо ~ величине продольной силы в сечении, длине стержня и обратно ~ площади поперечного сечения и модулю упругости. Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация ~ продольной: |ε 1 |=μ|ε|, где μ=ε 1 /ε - коэфф. относительной деформации (Пуассона) - характеризует пластичность материала, μ ст =0,25…0,5 (для пробки - 0, для резины - 0,5).

Условие прочности при растяжении (сжатии) призматического стержня для стержня из пластического материала (т. е. материала, одинаково работающего на растяжение и сжатие) будет иметь вид:. Для стержней из хрупких материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак напряжения имеет принципиальное значение, и условие прочности приходится формулировать отдельно для растяжения и сжатия .В практике инженерных расчетов, исходя из условия прочности, решаются три основные задачи механики материалов конструкций. В применении к случаю растяжения (сжатия) призматического стержня эти задачи формулируются следующим образом.Проверка прочности (поверочный расчет). Этот расчет проводится, если нагрузка сечение стержня F и его материал заданы.Необходимо убедиться, что выполняется условие прочности Проверочный расчет заключается в том, что определяется фактический коэффициент запаса прочности n и сравнивается с нормативным коэффициентом запаса [n] : Коэффициент Пуассона (обозначается как ν или μ) характеризует упругие свойства материала. При приложении к телу растягивающего усилия оно начинает удлиняться (то есть продольная длина увеличивается), а поперечное сечение уменьшается. Коэффициент Пуассона показывает, во сколько раз изменяется поперечное сечение деформируемого тела при его растяжении или сжатии. Для абсолютно хрупкого материала коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно упругого - 0,5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3, для резины он примерно равен 0,5. (Измеряется в относительных единицах: мм/мм, м/м).

21. Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения. Механические характеристики материала. Характеристики пластичности. Понятие хрупких и пластичных материалов. Истинные и условные напряжения. Если нагрузка статическая, то основным является испытание на растяжение , при котором обнаруживаются наиболее важные свойства материалов. Для этого из испытуемого материала изготовляют специальные образцы. Чаще всего их делают цилиндрическими (рис.4.1,а), a из листового металла обычно изготовляют плоские образцы (рис.4.1,б).

где - площадь поперечного сечения образца, получим для длинного образца

для короткого образца

Характеристики пластичности, существенно влияющие на разрушающие амплитуды деформаций и числа циклов до разрушения, не являются расчетными при оценке статической прочности с использованием указанных выше запасов прочности по пределам текучести и прочности. Поэтому в практике роектирования циклически нагружаемых конструкций выбор материалов по характеристикам статической прочности (пределу текучести и прочности) осуществляется на стадии определения основных размеров. арактеристикой пластичности металла является глубина лунки до появления первой трещины.Характеристикой пластичности металла является глубина лунки до разрушения металла.Характеристикой пластичности металлов являются относительное удлинение и относительное q жение.Характеристикой пластичности металлов являются относительное удлинение и относительное сужение.Прибор для пробы листового металла на глубину выдавливания. Характеристикой пластичности металла является глубина лунки до появления первой трещины.Характеристикой пластичности металла является глубина лунки до разрушения металла.Характеристикой пластичности металла и способности его к вытяжке служит глубина выдавленной лунки к моменту образования трещины и уменьшение усилия выдавливания.

По виду деформаций все строительные материалы делят на пластичные и хрупкие . Первые при статических испытаниях до разрушения получают значительные остаточные деформации, вторые разрушаются без видимой остаточной деформации. Примеры пластичных материалов большинство металлов, металлических сплавов, пластмасс. К хрупким материалам относятся естественные и искусственные (на основе минеральных вяжущих) каменные материалы, чугун, стекло, керамика, некоторые термореиктивные пластмассы.

Пластичность - свойство твердых материалов изменять без разрушения форму и размеры под влиянием нагрузки или внутренних напряжений, устойчиво сохраняя образовавшуюся форму после прекращения этого влияния.

В отличие от пластичности хрупкость - свойство твердых материалов разрушаться под действием возникающих в них механических напряжений без заметной пластической деформации - характеризует неспособность материала к релаксации (ослаблению) напряжений, вследствие чего при достижении предела прочности в материале проявляются трещины и он быстро разрушается.

Напряжения могут быть: истинными - когда силу относят к сечению, существующему в данный момент деформации; условными - когда силу относят к исходной площади сечения. Истинные касательные напряжения обозначают t и нормальные S, а условные соответственно t и s. Нормальные напряжения подразделяют на растягивающие (положительные) и сжимающие (отрицательные).

22. Энергия деформации при растяжении. Теорема Кастилиано. Применение теоремы Кастилиано

Энергия деформации - энергия, вносимая в тело при его деформировании. При упругом характере деформации носит потенциальный характер и создает поле напряжений. В случае пластической деформации частично диссипирует в энергию дефектов кристаллической решетки и в конечном итоге рассеивается в виде тепловой энергии

23. Плоское напряженное состояние. Двухосное напряжение-сжатие. Закон парности касательных напряжений. Чистый сдвиг. Потенциальная энергия при чистом сдвиге

Плоское напряженное состояние. Плоским или двухосным называется напряженное состояние, при котором одно из трех главных напряжений равно нулю Для плоского напряженного состояния различают две задачи - прямую и обратную. В прямой задаче гранями рассматриваемого элемента являются главные площадкиИзвестны s 1 ¹0, s 2 ¹0 , s 3 = 0 и требуется определить напряжения s a и t a и s b и t b на произвольных площадках. В обратной задаче известны напряжения на двух взаимно произвольных перпендикулярных площадках s x , s y , t yx и t xy и требуется определить положение главных площадок и величины главных напряжений.

Прямая задача . Для решения этой задачи воспользуемся принципом независимости действия сил. Представим плоское напряженное состояние в виде суммы двух независимых линейных напряженных состояний: первое - при действии только напряжений, второе - при действии только напряжений. От каждого из напряжений и напряжения и в произвольной площадке равны Обратная задача . Определим сначала напряжения на наклонной площадке, наклоненной к исходной, при заданныхнапряжения на двух взаимно произвольных перпендикулярных площадках s x , s y , t yx и t xy Функции Kc и бP - прочности бетона при двухосном сжатии и двухосном растяжении. Значения Kc И бр Будем связывать с коэффициентом Лоде - НадаиMб=(2б2 - б1 - б3 ) : (б1 - б3 ) , Функции Kc И бр устанавливаются на основе обработки экспериментальных данных О Прочности бетона соответственно при двуосном сжатии - напряжениями Б1 и б2 И двухосном растяжении - напряжениями Б, б2. В построениях, как уже указывалось, используются относительные значения напряжений Б1,б2, б3 Определяемые выражениями (2.14). Укажем сначала на общие схемы обработки экспериментов и полученные выражения для Kc И 6р , а затем уже представим результаты экспериментальных исследований.Функция Kc Выбрана так, что в условиях двухосного сжатия ее значения совпадают с предельными значениями Бу В связи с этим при ее определении можно поступать обычным образом: в безразмерных координатахЗУ32 Наносить опытные точки, соответствующие исчерпанию прочности опытных образцов в условиях двухосного сжатия, а затем устанавливать для них аппроксимации вида бЪ = Kc = F(б2/б3) (см. 5 на рис. 2.5, А). Они носят промежуточный характер. Вид промежуточной аппроксимации здесь оговаривается специально, так как функции такого вида могут быть легко преобразованы затем в окончательные функции вида Кс = f1(Mб), Учитывая формулу (2.28). Промежуточную стадию построения функций Kc Можно опустить, если построения с самого начала выполнять в координатах Б3, MбЗакон парности касательных напряжений устанавливает зависимость между величинами и направлениями пар касательных напряжений, действующих по взаимно перпендикулярным площадкам элементарного параллелепипеда.Рассмотрим элементарный параллелепипед размеров dx, dy, dz (рис. 12). Запишем уравнение равновесия параллелепипеда в виде суммы моментов относительно оси, получим: откуда получаем Аналогично можно плучить Это и есть закон парности касательных напряжений.Касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по знаку. ЧИСТЫМ СДВИГОМ НАЗЫВАЕТСЯ ТАКОЙ СЛУЧАЙ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СО-

СТОЯНИЯ, ПРИ КОТОРОМ В ОКРЕСТНОСТИ ДАННОЙ ТОЧКИ МОЖНО ВЫДЕЛИТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД С БОКОВЫМИ ГРАНЯМИ, НАХОДЯЩИМИСЯ ПОД ДЕЙ-

СТВИЕМ ОДНИХ ЛИШЬ КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ.

25. Кручение. Крутящие и скручивающие моменты. Правило знаков. Статические дифференциальные и интегральные соотношения при кручении .

Круче́ние - один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

Момент силы (синонимы: крутящий момент; вращательный момент; вертящий момент; вращающий момент) - векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, т.к в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» - внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

28. Моменты инерции. Главные оси инерции. Изменение моментов инерции при параллельном переносе осей координат. ПримерыМомент инерции - скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м². Обозначение: I или J.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси: где: mi - масса i-й точки, ri - расстояние от i-й точки до оси.

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:где x, y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.Формулы для моментов инерции при параллельному переносе осей:Jx1= (y+a)2dA=Jx+2aSx+a2A; Jy1= (x+b)2dA=Jy+2bSy+b2A; Jx1y1= (y+a)(x+b)dA=Jxy+aSy+bSx+abA

29. Изменение моментов инерции при повороте осей координат. Положение главных осей инерции.

Изменение моментов инерции сечения при повороте осей координат. Найдем зависимость между моментами инерции относительно осей х, у и моментами инерции относительно осей х1, у1, повернутых на угол a . Пусть Jx > Jy и положительный угол a отсчитывается от оси х против часовой стрелки. Пусть координаты точки М до поворота – x, y , после поворота – x1, y1 (рис. 4.12).

Из рисунка следует: Теперь определим моменты инерции относительно осей х1 и у1:

или Аналогично:

Сложив почленно уравнения (4.21), (4.22), получим: т.е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей остается постоянной и не изменяется при повороте системы координат.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения называются главными осями . Если эти оси являются также и центральными, то они называются главными центральными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.

30. Понятие прямого, чистого и косого изгиба. Правила знаков для внутренних силовых факторов при изгибе. Статические дифференциальные и интегральные соотношения при изгибе

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается момент, лежащий в плоскости проходящей через продольную ось. В поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Изгиб называется плоским , если плоскость действия момента проходит через главную центральную ось инерции сечения. Если изгибающий момент является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым. При наличии поперечной силы изгиб называется поперечным. Под косым изгибом понимается такой случай изгиба, при котором плоскость изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных осей поперечного сечения (рис. 5.27, а). Косой изгиб удобнее всего рассмотреть как одновременный изгиб бруса относительно главных осей x и y поперечного сечения бруса. Для этого общий вектор изгибающего момента М, действующего в поперечном сечении бруса, раскладывается на составляющие момента относительно этих осей (рис. 5.27, б):Mx = M×sina; My = M×cosa Брус, работающий при изгибе, называется балкой.Правило знаков для: условимся считать поперечную силу в сечении положительной, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, стремится повернуть данное сечение по часовой стрелке и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде: Изгибающий момент в сечении численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси x , проходящей через данное сечение. Правило знаков для : условимся считать изгибающий момент в сечении положительным, если внешняя нагрузка, приложенная к рассматриваемой отсеченной части, приводит к растяжению в данном сечении нижних волокон балки и отрицательной - в противном случае.

Схематически это правило знаков можно представить в виде:

Следует отметить, что при использовании правила знаков для в указанном виде, эпюра всегда оказывается построенной со стороны сжатых волокон балки. Дифференциальные зависимости при изгибе:

Геометрические характеристики сложных составных поперечных сечений

Если поперечное сечение образовано совокупностью простейших, то в соответствии со свойствами определенных интегралов геометрическая характеристика такого сечения равна сумме соответствующих характеристик отдельных составных сечений (рис. 3.10).

Рис. 10.

Таким образом, для вычисления моментов инерции сложной фигуры необходимо разбить её на ряд простых фигур, вычислить моменты инерции этих фигур и затем просуммировать эти моменты инерции

Изменение моментов инерции при повороте осей

Найдем зависимость межу моментами инерции относительно осей и моментами инерции относительно осей, повернутых на угол (рис. 3.11). Пусть и положительный угол отсчитывается от оси против часовой стрелки.

Рис. 11. Поворот осей координат

Для решения поставленной задачи найдем зависимость между координатами бесконечно малой площадки в исходных и повернутых осях

Теперь определим моменты инерции относительно осей

Аналогично

Для центробежного момента

Складывая (3.28) и (3.29), получаем

Вычитая (3.28) из (3.29), получаем

Формула (3.31) показывает, что сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей не меняется при их повороте.

Формула (3.32) может быть использована для вычисления центробежного момента инерции относительно осей по известным осевым моментам инерции относительно осей и.

Главные оси инерции и главные моменты инерции

При изменении угла (рис. 3.10) моменты инерции (3.280 - (3.31) изменяются. Найдем значение угла, при котором и имеют экстремальное значение. Для этого возьмем от и первую производную по и приравниваем ее нулю:

Эта формула определяет положение двух осей, относительно которых осевой момент инерции максимален, а относительно другой минимален. Такие оси называют главными. Моменты инерции относительно главных осей называют главными моментами инерции.

Значения главных моментов инерции найдем из формул (3.28) и (3.29, подставив в них из формулы (3.33), при этом используем известные формулы тригонометрии для функций двойных углов. После преобразования получим формулу для определения главных моментов инерции:

Покажем теперь, что относительно главных осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, приравнивая по формуле (3.30) нулю, получаем

откуда для вновь получается формула (3.33)

Таким образом, главными осями называют оси, обладающие следующими свойствами:

Центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю.

Моменты инерции относительно главных осей имеют экстремальные значения (относительно одной - максимум, относительно другой - минимум).

Главные оси, приходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Это следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

Вычислим моменты инерции J u , J v и J uv :

Сложив первые две формулы (3.14), получим J u + J v = J z + J y , т.е. при любом повороте взаимно перпендикулярных осей сумма осевых моментов инерции остается величиной постоянной (инвариантом).

Главные оси и главные моменты инерции

Исследуем функцию J u (a) на экстремум. Для этого приравняем нулю производную J u (a) по a.

Ту же самую формулу получим, приравнивая нулю центробежный момент инерции

.

Главными осями называют оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают экстремальные значения, а центробежный момент инерции равен нулю.

Главных осей инерции можно провести бесчисленное множество, взяв в качестве начала координат любую точку на плоскости. Для решения задач сопротивления материалов нас интересуют только главные центральные оси инерции. Главные центральные оси инерции проходят через центр тяжести сечения.

Формула (3.17) дает два решения, отличающихся на 90°, т.е. позволяет определить два значения угла наклона главных осей инерции относительно первоначальных осей. Относительно какой из осей получается максимальный осевой момент инерции J 1 = J max , а относительно какой – минимальный J 2 = J min , придется решать по смыслу задачи.

Более удобными оказываются другие формулы, которые однозначно определяют положение главных осей 1 и 2 (даются без вывода). При этом положительный угол отсчитывается от оси Оz против часовой стрелки.

В формуле (3.19) знак «+» соответствует максимальному моменту инерции, а знак «–» минимальному.

Замечание. Если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то относительно этой оси и любой другой, ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю. В соответствии с определением главных осей инерции можно заключить, что эти оси являются главными осями инерции, т.е. ось симметрии – всегда главная центральная ось.

Для симметричных профилей, представленных в сортаменте, швеллера или двутавра, главными центральными осями инерции будут вертикальная и горизонтальная оси, пересекающиеся на половине высоты профиля.

Главные оси и главные моменты инерции

При повороте осей координат центробежный момент инерции меняет знак, а следовательно, существует такое положение осей, при котором центробежный момент равен нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, называются главными осями , а главные оси, проходящие через центр тяжести сечения - главными центральными осями инерции сечения .

Моменты инерции относительно главных осей инерции сечения называются главными моментами инерции сечения и обозначаются через I1 и I2 причем I1>I2 . Обычно, говоря о главных моментах, подразумевают осевые моменты инерции относительно главных центральных осей инерции.

Предположим, что оси u и v главные. Тогда

Отсюда

Уравнение (6.32) определяет положение главных осей инерции сечения в данной точке относительно исходных осей координат. При повороте осей координат изменяются также и осевые момента инерции. Найдем положение осей, относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений. Для этого возьмем первую производную от Iu по α и приравняем ее нулю:

отсюда

.

К тому же результату приводит и условие dIv / dα. Сравнивая последнее выражение с формулой (6.32), приходим к заключению, что главные оси инерции являются осями, относительно которых осевые моменты инерции сечения достигают экстремальных значений.

Для упрощения вычисления главных моментов инерции формулы (6.29) - (6.31) преобразовывают, исключая из них с помощью соотношения (6.32) тригонометрические функции:

Знак плюс перед радикалом соответствует большему I1 , а знак минус - меньшему I2 из моментов инерции сечения.

Укажем на одно важное свойство сечений, у которых осевые моменты инерции относительно главных осей одинаковы. Предположим, что оси y и z главные (Iyz =0), а Iy = Iz . Тогда согласно равенствам (6.29) - (6.31) при любом угле поворота осей α центробежный момент инерции Iuv =0, а осевые Iu=Iv.

Итак, если моменты инерции сечения относительно главных осей одинаковы, то все оси, проходящие через ту же точку сечения, являются главными и осевые моменты инерции относительно всех этих осей одинаковы: Iu=Iv=Iy=Iz. Этим свойством обладают, например, квадратные, круглые, кольцевые сечения.

Формула (6.33) аналогична формулам (3.25) для главных напряжений. Следовательно, и главные моменты инерции можно определять графическим способом методом Мора.

Изменение моментов инерции при повороте осей координат

Предположим, что задана система осей координат и известны моменты инерции Iz , Iy и Izy фигуры относительно этих осей. Повернем оси координат на некоторый угол α против часовой стрелки и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей координат u и v.

Рис. 6.8.

Из рис. 6.8 следует, что координаты какой-либо точки в обеих системах координат связаны между собой соотношениями

Момент инерции

Следовательно,

Центробежный момент инерции

Из полученных уравнений видно, что

,

т. е. сумма осевых моментов инерции при повороте осей координат остается величиной постоянной. Поэтому, если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение.