Оси инерции. Главные оси и главные моменты инерции Главные центральные оси инерции

Главная / Н. В. Гоголь

Из формул (6.22) – (6.25) следует, что при повороте осей моменты инерции изменяются, но сумма осевых моментов остается постоянной .

Следовательно, если относительно одной оси значение момента инерции будет наибольшим , то относительно другой – наименьшим . В этом случае центробежный момент относительно этих осей оказывается равным нулю .

Главными центральными осями называются оси, проходящие через центр тяжести и относительно которых центробежный момент равен нулю, а осевые моменты относительно них (осей) обладают свойствами экстремальности и называются главными центральными моментами инерции. Относительно одной главной оси момент инерции имеет наименьшее значение – , относительно другой – наибольшее .

Будем обозначать эти оси буквами u и v . Докажем приведенное утверждение. Пусть оси x и y – центральные оси несимметричного сечения (рис. 6.12).

Определим положение главных осей путем поворота центральных осей на угол , при котором центробежный момент становится равным нулю.

Тогда из формулы (6.25)

. (6.26)

Формула (6.26) определяет положение главных осей, где – угол, на который нужно повернуть центральные оси, чтобы они стали главными. Отрицательные углы откладываются по ходу часовой стрелки от оси x .

Теперь покажем, что относительно главных осей осевые моменты инерции обладают свойством экстремальности. Вычислим производную от выражения (формула 6.22) и приравняем ее к нулю:

(6.27)

Сравнивая выражения (6.27) с (6.25) устанавливаем, что

Отсюда следует, что производная обращается в нуль, когда , а это значит, что экстремальные значения имеют моменты инерции относительно главных осей u и v . Тогда по формулам (6.22) и (6.23):

(6.28)

По формулам (6.28) определяются главные центральные моменты инерции.

Если сложить почленно формулы (6.28), то, очевидно, . Если исключить из формул (6.28) угол , то получим более удобную формулу для главных центральных моментов инерции:

Знак «+» перед вторым слагаемым в (6.29) относится к , знак «-» – к .

Полезно иметь в виду частные случаи:

Если фигура имеет две оси симметрии , то эти оси являются главными центральными осями.

2. Для правильных фигур – равносторонний треугольник, квадрат, круг и т.п., имеющих более двух осей симметрии, все центральные оси являются главными, а моменты инерции относительно них равны между собой.

Умение находить положение главных центральных осей и вычислять и необходимо для определения плоскости наибольшей жесткости сечения (след которой совпадает с осью ) при расчетах на изгиб (глава 7).

35. Общий порядок определения главных центральных

Моментов.

Пусть требуется найти положение главных центральных осей и вычислить относительно них моменты инерции для плоского сечения, состоящего из швеллера и полосы (рис. 6.13):

Проводят произвольную систему координат xOy .

Разбивают сечение на простые фигуры и по формулам (6.5) определяют положение центра тяжести С .

Находят моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей, используя сортамент или по формулам.

Через точку С проводят центральные оси x c и y c параллельно осям простых фигур.

Определяют моменты инерции простых фигур относительно центральных осей сечения, используя формулы параллельного переноса (6.13).

Определяют центральные моменты инерции всего сечения как сумму соответствующих моментов простых фигур, найденных в пункте 5.

Вычисляют угол по формуле (6.26) и, поворачивая оси x c и y c на угол , изображают главные оси u и v .

По формулам (6.29) вычисляют и .

Делают проверку:

б) , если ;

36) Общий прядок определения главных центральных моментов инерции. Пример:

1. Если фигура имеет две оси симметрии, то эти оси и будут ГЦО.

2. Для правельных фигур (у которых больше 2- х оссей) все оси будут главными

3. Проводим вспомогательные оси(Х’ O’ Y’)

4. Разбиваем данное сечение на простые фигуры и показываем их собственные ЦО.

5. Находим положение ГЦО по формуле(21)

6. Вычисляем значения ГЦМ по формуле (23)

· Imax + Imin = Ix + Iy

· Imax >Ix>Iy>Iminесли Ix>Iy

· Iuv = Ix-Iy/2 sin2a + Ixycos2a +0

Формула 21:Tg2a = - 2Ixy/Ix - Iy

Формула23: Imax, Imin = *

37) Изгиб. Классификация видов изгиба. Прямой и чистый изгиб. Картина деформирования балки. Нейтральный слой и ось. Основные допущения .

Изгиб – деформирование при котором в поперечном сечении возникает изгибающий момент Мх. Брус, который работает на изгиб-балка

Виды изгиба:

Чистый изгиб имеет место, если в сечении возникает только изгибающий момент

Поперечный изгиб- если одновременно с моментом возникает поперечная сила

Плоский - все нагрузки лежат в одной плоскости

Пространственный - если все нагрузки лежат в разных продольных плоскостях

Прямой - если силовая плоскость совпадает с одной из главных осей инерции

Косой - если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных осей

В результате деформирования на участке чистого изгиба можно видеть:

Продольные волокна искривляются по дуге окружности: одни- укорачиваются, другие-удлиняются; между ними есть слой волокон, которые не меняют своей длины- нейтральный слой (н.с.), линию его пересечения с плоскостью поперечного сечения называют нейтральной осью (н.о.)

Расстояние между продольными волокнами не меняется

Поперечные сечения, оставаясь прямыми, поворачиваются на некоторый угол

Допущения:

1.Оненадавливании продольных волокон друг на друга, т.е. каждое волокно находиться в состоянии простого растяжения или сжатия, что сопровождается возникновением нормальных напряжений Ϭ

2.О справедливости гипотезы Бернули, т.е. сечения балки, плоские и нормальные к оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ее оси после деформации

Формулы (31.5), (32.5) и (34.5) позволяют установить, как изменяются величины моментов инерции сечения при повороте осей на произвольный угол а. Для некоторых значений угла a величины осевых моментов инерции достигают максимума и минимума. Экстремальные (максимальные и минимальные) значения осевых моментов инерции сечения называются главными моментами инерции. Оси, относительно которых осевые моменты инерции имеют экстремальные значения, называются главными осями инерции.

Из формулы (33.5) следует, что если осевой момент инерции относительно некоторой оси является максимальным (т. е. эта ось главная), то осевой момент инерции относительно перпендикулярной к ней оси является минимальным (т. е. эта ось также главная), так как сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла а.

Таким образом, главные оси инерции взаимно перпендикулярны.

Для нахождения главных моментов инерции и положения главных осей инерции определим первую производную по углу а от момента инерции [см. формулу (31.5) и рис. 19.5]:

Приравниваем этот результат нулю:

где - угол, на который надо повернуть координатные оси у чтобы они совпали с главными осями.

Сравнивая выражения (35.5) и (34.5), устанавливаем, что

Следовательно, относительно главных осей инерции центробежный момент инерции равен нулю. Поэтому главными осями инерции можно называть оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю.

Как уже известно, центробежный момент инерции сечения относительно осей, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии, равен нулю.

Следовательно, взаимно перпендикулярные оси, из которых одна или обе совпадают с осями симметрии сечения, всегда являются главными осями инерции. Это правило позволяет во многих случаях непосредственно (без расчета) устанавливать положение главных осей.

Решим уравнение (35.5) относительно угла

Уравнению (36.5) в каждом конкретном случае удовлетворяет ряд значений Из них выбирается одно любое. Если оно положительно, то для определения по нему положения одной из главных осей инерции ось следует повернуть на угол против вращения часовой стрелки, а если отрицательное - то по вращению часовой стрелки; другая главная ось инерции перпендикулярна к первой. Одна из главных осей инерции является осью максимум (относительно нее осевой момент инерции сечения максимален), а другая - осью минимум (относительно нее осевой момент инерции сечения минимален).

Ось максимум всегда составляет меньший угол с той из осей (у или ), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение. Это обстоятельство позволяет легко устанавливать, какая из главных осей инерции является осью максимум, а какая - осью минимум. Так, например, если а главные оси инерции и и v расположены, как это показано на рис. 20.5, то ось и является осью максимум (так как образует с осью у меньший угол, чем с осью ), а ось v - осью минимум.

При решении конкретной числовой задачи для определения главных моментов инерции можно выбранное значение угла и значение подставить в формулу (31.5) или (32.5).

Решим эту задачу в общем виде. По формулам из тригонометрии, используя выражение (36.5), найдем

Подставив эти выражения в формулу (31.5), после простых преобразований получим

Главные оси инерции можно провести через любую точку, взятую в плоскости сечения. Однако практическое значение для расчетов элементов конструкции имеют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, т. е. главные центральные инерции. Моменты инерции относительно этих осей (главные центральные моменты инерции) в дальнейшем будем обозначать

Рассмотрим несколько частных случаев.

1. Если то формула (34.5) дает значение центробежного момента инерции относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей, равное нулю, и, следовательно, любые оси, полученные путем поворота системы координат являются главными осями инерции (так же как оси ). В этом случае

2. Для фигур, имеющих более двух осей симметрии, осевые моменты инерции относительно всех центральных осей равны между собой. Действительно, направим одну из осей () по одной из осей симметрии, а другую - перпендикулярно к ней. Для этих осей Если фигура имеет более двух осей симметрии, то какая-либо из них составляет острый угол с осью . Обозначим такую ось а перпендикулярную к ней ось

Центробежный момент инерции так как ось является осью симметрии. По формуле же (34.5).

Момент инерции относительно оси, параллельной центральной (теорема Штейнера)

ПРЕДИСЛОВИЕ

Лекция № 1 «Геометрические характеристики

Предисловие …………………………………………………………………….4

плоских сечений» ……………………………………………………………….5

2. Лекция № 2 «Главные оси и главные моменты инерции» ..………………………………………….…………………………...13

3. Лекция №3 «Кручение. Расчёты на прочность и жёсткость при кручении» ………………………………………………………………………16

4. Лекция №4 «Срез и смятие. Расчёты на прочность» …….………………………………………………………………..32

5. Вопросы для проверки пройденного материала… ……………………..36

6. Список литературы …………………………………………………………37

В части 2 конспекта лекций содержаться основные теоретические положения и расчётные формулы по следующим темам: Геометрические характеристики плоских сечений, Кручение, Срез и смятие.

Целью конспекта лекций является оказание помощи студентам при изучении предмета, при решении и защите расчетно-графических работ по сопротивлению материалов.

Лекция №1 «Геометрические характеристики плоских сечений»

К геометрическим характеристикам плоских сечений относятся:

· площадь сечения F ,

· статические моменты площади S x , S y ,

· осевые моменты инерции J x , J y ,

· центробежный момент инерции J xy ,

· полярный момент инерции J ρ ,

· момент сопротивления кручению W ρ ,

· момент сопротивления изгибу W x

1.1. Статические моменты площади S x , S y

Статический момент площади сечения относительно данной оси равен сумме произведений элементарных площадок на расстояние до соответствующей оси.

Единицы измерения S x и S y : [см 3 ], [мм 3 ]. Знак «+» или «-» зависит от расположения осей.

Свойство: Статические моменты площади сечения равны нулю (S x =0 и S y =0), если точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения. Ось, относительно которой статический момент равен, называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

Где F - суммарная площадь сечения.

Пример 1:

Определить положение центра тяжести плоского сечения, состоящего из двух прямоугольников с вырезом.

Отрицательная площадь вычитается.

1.2. Осевые моменты инерции J x ; J y

Осевой момент инерции равен сумме произведений элементарных площадок на квадрат расстояния до соответствующей оси.

Знак всегда «+».

Не бывает равным 0.

Свойство: Принимает минимальное значение, когда точка пересечения координатных осей совпадает с центром тяжести сечения.

Осевой момент инерции сечения применяют при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость.

1.3. Полярный момент инерции сечения J ρ

Взаимосвязь полярного и осевого моментов инерции:

Полярный момент инерции сечения равен сумме осевых моментов.

Свойство:

при повороте осей в любую сторону, один из осевых моментов инерции возрастает, а другой убывает (и наоборот). Сумма осевых моментов инерции остается величиной постоянной.

1.4. Центробежный момент инерции сечения J xy

Центробежный момент инерции сечения равен сумме произведений элементарных площадок на расстояния до обеих осей

Единица измерения [см 4 ], [мм 4 ].

Знак «+» или «-».

Если координатные оси являются осями симметрии (пример – двутавр, прямоугольник, круг), или одна из координатных осей совпадает с осью симметрии (пример – швеллер).

Таким образом для симметричных фигур центробежный момент инерции равен 0.

Координатные оси u и v , проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент равен нулю, называются главными центральными осями инерции сечения. Главными они называются потому, что центробежный момент относительно них равен нулю, а центральными – потому, что проходят через центр тяжести сечения.

У сечений, не обладающих симметрией относительно осей x или y , например у уголка, не будет равен нулю. Для этих сечений определяют положение осей u и v с помощью вычисления угла поворота осей x и y

Центробежный момент относительно осей u и v -

Формула для определения осевых моментов инерции относительно главных центральных осей u и v :

где - осевые моменты инерции относительно центральных осей,

Центробежный момент инерции относительно центральных осей.

Теорема Штейнера:

Момент инерции относительно оси, параллельной центральной, равен центральному осевому моменту инерции плюс произведение площади всей фигуры на квадрат расстояния между осями.

Доказательство теоремы Штейнера.

Согласно рис. 5 расстояние у до элементарной площадки dF

Подставляя значение у в формулу, получим:

Слагаемое , так как точка С является центром тяжести сечения (см. свойство статических моментов площади сечения относительно центральных осей).

Для прямоугольника высотой h и шириной b :

Осевой момент инерции:

Момент сопротивления изгибу:

момент сопротивления изгибу равен отношению момента инерции к расстоянию наиболее удаленного волокна от нейтральной линии:

Для круга:

Полярный момент инерции:

Осевой момент инерции:

Момент сопротивления кручению:

Момент сопротивления изгибу:

Пример 2. Определить момент инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси Сx .

Решение. Разобьём площадь прямоугольника на элементарные прямоугольники с размерами b (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого прямоугольника (на рис. 6 заштрихована) равна dF =bdy . Вычислим значение осевого момента инерции J x

По аналогии запишем

Осевой момент инерции сечения относительно центральной

Центробежный момент инерции

Так как оси Сx и Сy являются осями симметрии.

Пример 3. Определить полярный момент инерции круглого сечения.

Решение. Разобьём круг на бесконечно тонкие кольца толщиной радиусом , площадь такого кольца . Подставляя значение в выражение для полярного момента инерции интегрируя, получим

Учитывая равенство осевых моментов круглого сечения и

Получаем

Осевые моменты инерции для кольца равны

с – отношение диаметра выреза к наружному диаметру вала.

Рассмотрим, как изменяются моменты инерции при повороте координатных осей. Положим, даны моменты инерции некоторого сечения относительно осей 0х , 0у (не обязательно центральных)-, - осевые моменты инерции сечения. Требуется определить, - осевые моменты относительно осей u , v , повёрнутых относительно первой системы на угол (рис. 8)

Так как проекция ломаной линии ОАВС равна проекции замыкающей, находим:

Исключим u и v в выражениях моментов инерции:

Рассмотрим два первых уравнения. Складывая их почленно, получим

Таким образом, сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей не зависит от угла и при повороте осей остается постоянной. Заметим при этом, что

Где - расстояние от начала координат до элементарной площадки (см. рис.5). Таким образомпо углу и приравнивая производную к нулю, находим

При этом значении угла один из осевых моментов будет наибольшим, а другой - наименьшим. Одновременно центробежный момент инерции обращается в нуль, что можно легко проверить, приравнивая к нулю формулу для центробежного момента инерции .

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Если они к тому же являются центральными (точка начала координат совпадает с центром тяжести сечения), то тогда они называются главными центральными осями (u; v). Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции - и

И их значение определяется по следующей формуле:

Знак плюс соответствует максимальному моменту инерции, знак минус - минимальному.

Существует ещё одна геометрическая характеристика – радиус инерциисечения. Эта величина часто используется в теоретических выводах и практических расчётах.

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, например 0x, называется величина , определяемая из равенства

F – площадь поперечного сечения,

Осевой момент инерции сечения,

Из определения следует, что радиус инерции равен расстоянию от оси 0х до той точки, в которой следует сосредоточить (условно) площадь сечения F, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего сечения. Зная момент инерции сечения и его площадь, можно найти радиус инерции относительно оси 0х :

Радиусы инерции, соответствующие главным осям, называются главными радиусами инерции и определяются по формулам