Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую. Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую Нахождение координат проекции точки на прямую – теория и примеры

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0) и прямая L :

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить прямую L 1 , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
• найти пересечение прямых L и L 1 (точка M 1)

Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0) имеет следующий вид:

Откроем скобки

(5)

Подставим значения x и y в (4):

где x 1 =mt" +x" , y 1 =pt" +y" .

Пример 1. Найти проекцию точки M 0 (1, 3) на прямую

Т.е. m =4, p =5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M" (x" , y" )=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x" =2, y" =-3. Подставим значения m, p, x 0 , y 0 , x", y" в (5"):

2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и прямая L :

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α , проходящую через точку M 0 и перпендикулярную прямой L ,
• найти пересечение плоскости α и прямой L (точка M 1)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) имеет следующий вид:

Откроем скобки

Подставим значения x и y в (9):

Данная статья рассматривает понятие проекции точки на прямую (ось). Мы дадим ему определение с использованием поясняющего рисунка; изучим способ определения координат проекции точки на прямую (на плоскости или в трехмерном пространстве); разберем примеры.

В статье «Проекция точки на плоскость, координаты» мы упоминали, что проецирование фигуры является обобщенным понятием перпендикулярного или ортогонального проецирования.

Все геометрические фигуры состоят из точек, соответственно проекция этой фигуры есть множество проекций всех ее точек. Поэтому, чтобы иметь возможность спроецировать фигуру на прямую, необходимо получить навык проецирования точки на прямую.

Определение 1

Проекция точки на прямую – это или сама точка, если она принадлежит заданной прямой, или основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.

Рассмотрим рисунок ниже: точка H 1 служит проекцией точки М 1 на прямую a , а точка М 2 , принадлежащая прямой, является проекцией сама себя.

Данное определение верно для случая на плоскости и в трехмерном пространстве.

Чтобы на плоскости получить проекцию точки М 1 на прямую a , проводится прямая b , проходящая через заданную точку M 1 и перпендикулярная прямой a . Таким образом, точка пересечения прямых a и b будет проекцией точки М 1 на прямую a .

В трехмерном пространстве проекцией точки на прямую будет служить точка пересечения прямой a и плоскости α , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a .

Нахождение координат проекции точки на прямую

Рассмотрим данный вопрос в случаях проецирования на плоскости и в трехмерном пространстве.

Пусть нам заданы прямоугольная система координат O x y , точка М 1 (x 1 , y 1) и прямая a . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Проложим через заданную точку М 1 (x 1 , y 1) прямую b перпендикулярно прямой a . Точку пересечения маркируем как H 1 . Точка Н 1 будет являться точкой проекции точки М 1 на прямую a .

Из описанного построения можно сформулировать алгоритм, который позволяет находить координаты проекции точки М 1 (x 1 , y 1) на прямую a:

Составляем уравнение прямой (если оно не задано). Для совершения этого действия необходим навык составления основных уравнений на плоскости;

Записываем уравнение прямой b (проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a). Здесь поможет статья об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой;

Определяем искомые координаты проекции как координаты точки пересечения прямых a и b . Для этого решаем систему уравнений, составляющие которой – уравнения прямых a и b .

Пример 1

На плоскости O x y заданы точки М 1 (1 , 0) и прямая a (общее уравнение – 3 x + y + 7 = 0). Необходимо определить координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Решение

Уравнение заданной прямой известно, поэтому, согласно алгоритму, переходим к шагу записи уравнения прямой b . Прямая b перпендикулярна прямой a , а значит нормальный вектор прямой a служит направляющим вектором прямой b . Тогда направляющий вектор прямой b запишем как b → = (3 , 1) . Запишем и каноническое уравнение прямой b , поскольку нам также заданы координаты точки М 1 , через которую проходит прямая b:

Заключительным шагом определяем координаты точки пересечения прямых a и b . Перейдем от канонических уравнений прямой b к общему ее уравнению:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 · (x - 1) = 3 · y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Составим систему уравнений из общих уравнений прямых a и b и решим ее:

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 · (- 3 x - 7) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 · (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

В конечном итоге мы получили координаты проекции точки М 1 (1 , 0) на прямую 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Ответ: (- 2 , - 1) .

Подробнее рассмотрим случай, когда необходимо определить координаты проекции заданной точки на координатные прямые и параллельные им прямые.

Пусть заданы координатные прямые O x и O y , а также точка М 1 (x 1 , y 1) . Понятно, что проекцией заданной точки на координатную прямую O x вида y = 0 будет точка с координатами (x 1 , 0) . Так и проекция заданной точки на координатную прямую O y будет иметь координаты 0 , y 1 .

Любую произвольную прямую, параллельную оси абсцисс, возможно задать неполным общим уравнением B y + C = 0 ⇔ y = - C B , а прямую, параллельную оси ординат - A x + C = 0 ⇔ x = - C A.

Тогда проекциями точки М 1 (x 1 , y 1) на прямые y = - C B и x = - C A станут точки с координатами x 1 , - C B и - C A , y 1 .

Пример 2

Определите координаты проекции точки М 1 (7 , - 5) на координатную прямую O y , а также на прямую, параллельную прямой O y 2 y - 3 = 0 .

Решение

Запишем координаты проекции заданной точки на прямую O y: (0 , - 5) .

Запишем уравнение прямой 2 y - 3 = 0 в виде y = 3 2 . Становится видно, что проекция заданной точки на прямую y = 3 2 будет иметь координаты 7 , 3 2 .

Ответ: (0 , - 5) и 7 , 3 2 .

Пусть в трехмерном пространстве заданы прямоугольная система координат O x y z , точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и прямая a . Найдем координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Построим плоскость α , проходящую через точку М 1 и перпендикулярную прямой a . Проекцией заданной точки на прямую a станет точка пересечения прямой a и плоскости α . Исходя из этого, приведем алгоритм для нахождения координат проекции точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на прямую a:

Запишем уравнение прямой а (если оно не задано). Для решения этой задачи необходимо ознакомиться со статьей об уравнениях прямой в пространстве;

Составим уравнение плоскости α , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной прямой a (см. статью «Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой»);

Найдем искомые координаты проекции точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на прямую a – это будут координаты точки пересечения прямой α и плоскости α (в помощь – статья «Координаты точки пересечения прямой и плоскости»).

Пример 3

Задана прямоугольная система координат O x y z , и в ней – точка М 1 (0 , 1 , - 1) и прямая a . Прямой a соответствуют канонические уравнения вида: x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 . Определите координаты проекции точки М 1 на прямую a .

Решение

Используем указанный выше алгоритм. Уравнения прямой a известны, поэтому первый шаг алгоритма пропускаем. Запишем уравнение плоскости α . Для этого определим координаты нормального вектора плоскости α . Из заданных канонических уравнений прямой a выделим координаты направляющего вектора этой прямой: (3 , - 4 , 1) , который будет являться нормальным вектором плоскости α , перпендикулярной прямой a . Тогда n → = (3 , - 4 , 1) – нормальный вектор плоскости α . Таким образом, уравнение плоскости α будет иметь вид:

3 · (x - 0) - 4 · (y - 1) + 1 · (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Теперь найдем координаты точки пересечения прямой а и плоскости α, для этого используем два способа:

1. Заданные канонические уравнения позволяют получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 · (x + 2) = 3 · (y - 6) 1 · (x + 2) = 3 · (z + 1) 1 · (y - 6) = - 4 · (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Чтобы найти точки пересечения прямой 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 и плоскости 3 x - 4 y + z + 5 = 0 , решим систему уравнений:

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

В данном случае используем метод Крамера, но возможно применить любой удобный:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

Таким образом, проекцией заданной точки на прямую a является точка c координатами (1 , 2 , 0)

1. На основе заданных канонических уравнений легко записать параметрические уравнения прямой в пространстве:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 · λ y = 6 - 4 · λ z = - 1 + λ

Подставим в уравнение плоскости, имеющее вид 3 x - 4 y + z + 5 = 0 , вместо x , y и z их выражения через параметр:

3 · (- 2 + 3 · λ) - 4 · (6 - 4 · λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 · λ = 0 ⇔ λ = 1

Вычислим искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости α по параметрическим уравнениям прямой a при λ = 1:

x = - 2 + 3 · 1 y = 6 - 4 · 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Таким образом, проекция заданной точки на прямую a имеет координаты (1 , 2 , 0)

Ответ: (1 , 2 , 0)

Напоследок отметим, что проекциями точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на координатные прямые O x , O y и O z буду являться точки с координатами (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0) и (0 , 0 , z 1) соответственно.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Проекция точки на прямую линию находится достаточно просто и при выполнении некоторых операций нулевое приближение вычисляется как проекция точки на касательную прямую. Рассмотрим этот частный случай общей задачи.

Пусть дана прямая

и точка . Будем считать, что вектор прямой w имеет произвольную длину. Прямая линия проходит через точку , в которой параметр t равен нулю, и имеет направление вектора w. Требуется найти проекцию точки на прямую линию . Эта задача имеет единственное решение. Построим вектор из точки прямой в точку и вычислим скалярное произведение этого вектора и вектора прямой w. На рис. 4.5.1 показаны направляющий вектор прямой w, ее начальная точка Со и проекция ; заданной точки. Если разделим это скалярное произведение на длину вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую линию.

Рис. 4.5.1. Проекция точки на прямую линию

Если же разделим это скалярное произведение на квадрат длины вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую в единицах длины вектора w, т. е. получим параметр t для проекции точки на прямую линию.

Таким образом, параметр проекции точки на прямую линию и радиус-вектор проекции ; вычисляются по формулам

(4.5.3)

Если длина вектора w равна единице, то в (4.5.2) не требуется выполнять деление на Расстояние от точки до ее проекции на кривую в общем случае вычисляется как длина вектора . Расстояние от точки до ее проекции на прямую линию можно определить, не вычисляя проекцию точки, а воспользовавшись формулой

Частные случаи.

Проекция точки на аналитические кривые также может быть найдена без привлечения численных методов. Например, чтобы найти проекцию точки на коническое сечение, нужно перевести проецируемую точку в местную систему координат конического сечения, спроецировать эту точку на плоскость конического сечения и найти параметр двухмерной проекции заданной точки.

Общий случай.

Пусть требуется найти все проекции точки на кривую линию Каждая искомая точка кривой удовлетворяет уравнению

(4.5.5)

Это уравнение содержит одну неизвестную величину - параметр t. Как было уже сказано, решение этой задачи разобьем на два этапа. На первом этапе определим нулевые приближения параметров проекций точки на кривую, а на втором этапе найдем точные значения параметров кривой, определяющие проекции заданной точки на кривую линию с