Условия и уравнения равновесия пространственной системы сил. Написать уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил

Рассмотрим произвольную пространственную систему сил, дей­ствующих на твердое тело. Приведем эту систему сил к заданному цен­тру и остановимся на том случае, когда главный вектор и главный мо­мент данной системы сил равны нулю, т.е.

(1) Такая система сил эквивалентна нулю, т.е. уравновешена. Сле­довательно, равенства (1) являются достаточными условиями равнове­сия. Но эти условия также и необходимы, т.е. если система сил нахо­дится в равновесии, то равенства (1) также выполняются.В самом деле, если бы система находилась в равновесии, но, например то данная система привилась бы к равнодействующей в центре приведения и равновесия не было бы. Если бы но Мо =**О, данная система привилась бы к паре и равновесия также не было пара не могут уравновесить друг друга. Таким образом, мы доказали, что для равновесия произвольной пространственной системы сил необ­ходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы относительно произвольно выбранного центра приведенияравнялись нулю. Условия (1) называются условиями равновесия в векторной форме. Для получения более удобной для практических целей аналити­ческой формы условий равновесия спроецируем равенства (1) на оси декартовой системы координат. В результате получим:

(2)условия равновесия системы параллельных сил в пространстве Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на оси ко­ординат х, у и z, а также сумма моментов всех сил относительно этих же осей равнялись нулю.Пусть на твердое тело действует пространственная система па­раллельных сил. Так как выбор осей произволен, можно выбрать систе­му координат так, чтобы одна из осей была параллельна силам, а две

другие им перпендикулярны (рис. 1.38). При таком выборе координатных осей проекции каждой из сил на оси х и у и их моменты относительно оси z всегда будут равны ну­лю. Это означает,что

Эти равенства тождественно выполняются, независимо от того, находится ли данная система сил в равновесии или нет, т.е. перестают быть условиями рав­новесия. Поэтому в качестве условий равновесия останутся следующие:

Таким образом, для равновесия системы параллельных сил в пространстве необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы сулима их моментов относительно каждой из двух координатных осей, перпен­дикулярных силам, также равнялись нулю.

17,Теорема об эквивалентности 2ух пар сил а пространстве.

Приведение силы к заданному центру (метод Пуансо) – силу можно перенести параллельно самой себе в любую точку плоскости, если добавить соответствующую пару сил, момент которой равен моменту этой силы относительно рассматриваемой точки. Добавим к системе в точке A две силы, равные по величине между собой и величине заданной силы, направленные по одной прямой в противоположные стороны и параллельные заданной силе: Кинематическое состояние не изменилось (аксиома о присоединении). Исходная сила и одна из добавленных сил противоположно направленная образуют пару сил. Момент этой пары численно равен моменту исходной силы относительно центра приведения. Во многих случаях пару сил удобно изображать дуговой стрелкой. Приведение плоской произвольной системы сил к заданному центру – выбираем произвольную точку на плоскости и каждую из сил переносим по методу Пуансо в эту точку. Вместо исходной произвольной системы получим сходящуюся систему сил и систему пар. Сходящаяся система сил приводится к одной силе, приложенной в центре приведения, которая ранее называлась равнодействующей, но теперь эта сила не заменяет исходную систему сил, поскольку после приведения возникла система пар. Система пар приводится к одной паре (теорема о сложении пар), момент которой равен алгебраической сумме моментов исходных сил относительно центра приведения. В общем случае плоская произвольная система сил приводится к одной силе, называемой главным вектором и к паре с моментом, равным главному моменту всех сил системы относительно центра приведения: - главный вектор, - главный момент. A. A. Условием равновесия плоской произвольной системы сил является одновременное обращение главного вектора и главного момента системы в ноль: Уравнения равновесия (I форма) получаются в виде системы трех уравнений из условий равновесия с использованием выражений для проекций главного вектора: Существуют еще две формы уравнений Равновесия (II и III формы)

17.

27-28.зависимость между главными моментами сил относительно двух произвольно выбранных центров приведения. Инварианты системы сил

Пусть пространственная система сия приведена к центру О, т.е.

где Главный момент образует с направлением главного вектора не­который Угол а (рис 1.32)

Возьмем теперь новый центр приведения О1 и приведем все си­лы к этому центру. В результате снова получим главный вектор, равный главному вектору R, и новый главный момент, определяемый формулой где pк - радиус-вектор точки приложения силы Fk, проведенный из но­вого центра приведения О1 (см. рис. 1.32).Главный момент Мо1 относительно нового центра приведенияизменился и теперь образует с направлением главного вектора R неко­торый угол а1. Установим связь между моментами Мо и Мо1 .Из рисунка 1.32 видно, что (3) Подставляя (3) в равенство (2), получим (4)Далее, раскрывая скобки в правой части равенства (4) и вынося общий множитель О1О за знак суммы, имеем

( - проекции главного момента относительно точки О на координатные оси).

Приведение силы к заданному центру.

Чтобы привести силу, приложенную в какой-либо точке твердого тела к заданному центру необходимо:

1)Перенести силу параллельно самой себе в заданный центр не изменяя модуля силы.

2)В заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно нового центра. Эту пару сил называют присоединенной парой.

Действие силы на твердое тело не изменяется при переносе ее параллельно самой себе в другую точку твердого тела, если добавить пару сил.

34.Для плоской системы параллельных сил можно составить два уравнения равновесия.если силы параллельны оси У,то уравнения равновесия имеют вид.

Второе уравнение можно составить относительно любой точки.

35 для равновесия совершенно свободного тела, на которое действует пространственная произвольная система сил, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись шесть уравнений равновесия. Если тело закреплено в одной точке, то оно имеет три степени свободы. Двигаться поступательно такое тело не может, а может только вращаться вокруг любой оси, т. е. вокруг осей координат. Для того чтобы такое тело находилось в равновесии, нужно, чтобы оно не вращалось, а для этого достаточно потребовать равенства нулю трех уравнений моментов

Итак, для того чтобы абсолютно твердое тело с одной закрепленной точкой, на которое действует произвольная пространственная система сил, находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы суммы моментов всех сил относительно трех взаимно перпендикулярных осей равнялись нулю.

Три других уравнения служат для ля определения составляющих реакции шарнира в точке крепления Nx, Ny, Nz

37. Тело, имеющее две закрепленные точки, имеет одну степень свободы. Оно может вращаться только вокруг оси, проходящей через эти две закрепленные точки.Равновесие будет в том случае, если тело не будет вращаться вокруг этой оси. Поэтому для равновесия достаточно потребовать, чтобы сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно оси, проходящей через две закрепленные точки, равнялась нулю: ∑Mxx(Fi)=0

38/Система тел представляет собой несколько тел, соединенных между собой каким-то образом. Силы, действующие на тела сис­темы, делят на внешние и внутренние. Внутренними называют силы взаимодействия между телами одной и той же системы, а внешними называют силы, с которыми на тела данной систе­мы действуют тела, не входящие в нее.

Если система тел находится в равновесии, то рассматриваем равновесие каждого тела в отдельности, учитывая внутренние силы взаимодействия между телами. Если задана плоская произвольная система N тел, то для этой системы можно составить 3N уравне­ний равновесия. При решении задач на равновесие системы тел можно также рассмат­ривать равновесие как системы тел в целом, так и для любых со­четаний тел. В случае рассмотрения равновесия системы в целом внутренние силы взаимодействия между телами не учитываются на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия. Таким образом существует 2 типа нахождения равновесия систем тел…1сп В первую очередь рассматриваем всю конструкцию.а затем отсоединяем от этой системы какое-либо тело и рассм. Равновесие в нем. 2сп.Расчленяем сис-му на отдельные тела и сост.уравнение равновесия для каждого тела.

Статически определимые системы-это системы,в которых число неизвестных величин не превышает числанезависимых уравнений равновесия для данной системы сил.

Статически неопр. Системы-это системы в которых число неизвестных величин превышает число независимых уравнений равновесия для данной системы сил Kcт=R-Y где R-число реакций. Y-число независимых уравнений

41.После выхода тела из положения равновесия сила трения по­коя уменьшается и при движении ее называют силой трения скольжения, т. е. коэффициент трения скольжения несколько меньше коэффициента трения покоя. В технических расчетах принимают, что эти коэффициенты равны.С увеличением ско­рости движения для большинства материалов коэффициент тре­ния скольжения уменьшается. Коэффициент трения скольжения определяют экспериментально.

Сила трения скольжения направлена противоположно воз­можному движению тела.

Сила трения не зависит от площади соприкасающихся по­верхностей.

Максимальная сила трения пропорциональна нормальному давлению. Под нормальным давлением понимают полное давле­ние на всю площадь соприкосновения трущихся поверхностей: Fmax=fN

43.При наличии трения полная реакция шероховатой поверхно­сти отклонена от нормали к поверхности на некоторый угол <р, который в случае выхода тела из равновесия достигает максимума и называется углом трения tgφ=Fmax/N Fmax=fN тогда tgφ=f

Тангенс угла трения равен коэффициенту трения.

Конусом трения называют конус, описанный полной реакци­ей R вокруг направления нормальной реакции. Если коэффи­циент трения f во всех направлениях одинаков, то конус тре­ния будет круговым

Для равновесия тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая активных сил находилась внутри конуса трения или проходила по образующей конуса

30.Модуль главного вектора Ro=√Rx^2+Ry^2 где Rx= ƩFkx Ry= ƩFky (Rx,Ry проекции главного вектора на соответствующие оси координат)

Углы образованные главным вектором с соответствующей осью координат Сos(x^Ro)=Rx/Ro Сos(y^Ro)=Ry/Ro

Модуль главного момента относительно выбранного центра приведения О Mo√Mox^2+Moy^2 где Mox=∑Mx(Fk) Moy=∑My(Fk) Mox Moy-проекции главного момента относительно точки О на координатные оси)

Углы образованные главным моментом с соотв.осями координат Сos(x^Mo)=Mox/Mo Сos(y^Mo)=Moy/Mo

Если Ro не=0 Mo=0 система сил может быть заменена одной силой

Ro=0 Mo не=0 система сил заменяется парой сил

Roне=0 Mo не=0 но Ro перпендикулярноMo заменяется одной силой не проходящей через центр приведения

31.Плоская система сил. Все силы этой системы лежат в одной плоскости. Пусть, например, это будет плоскость XAY, где A произвольный центр приведения. Силы этой системы на ось AZ не проектируются и моментов относительно осей AX и AY не создают, так как лежат в плоскости XAY (п. 13). При этом выполняется равенство

Учитывая это, получим условия равновесия для плоской системы сил:

Таким образом, для равновесия твердого тела под действием плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю две суммы проекций сил на оси координат и сумма алгебраических моментов всех сил относительно любой точки плоскости.

39.распределенными называют силы, действующие на все точки данного объема или данной части поверхности, или линии. Рас­пределенные силы характеризуются интенсивностьюq , т. е. силой, приходящейся на единицу объема, поверхности или длины ли­нии. Распределенные силы обычно заменяют сосредоточенными.

Если распределенные силы действуют в плоскости на прямую линию, то их заменяют сосредоточенной силой следующим об­разом.

Равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q за­меняют сосредоточенной силой Q =qL которая приложена в середине участка. Равномерно распределенной нагрузкой назы­вают силы, имеющие одинаковые величины и направления на заданном участке тела.

Если распределенные силы изменяются по линейному закону

(по треугольнику), то сосредоточенная сила Q = qmaxL/2- прило­жена в центре тяжести треугольника, расположенного на рас­стоянии - от его основания……………….

44.Трение качения - сопротивление движению, возникающее при перекатывании тел друг по другу. Проявляется, например, между элементами подшипников качения, между шиной колеса автомобиля и дорожным полотном. Как правило, величина трения качения гораздо меньше величины трения скольжения, и потому качение является распространенным видом движения в технике.

Трение качения возникает на границе двух тел, и поэтому оно классифицируется как вид внешнего трения.

45.трение верчения. Предположим, что на горизонтальной плоскости лежит тяжелый шар, обозначим центр шара через О, а точку касания шара с плоскостью через С. Вращение шара вокруг прямой СО и называется верчением. Опыт показывает, что если момент пары, которая должна привести шар в верчение, очень мал, то шар в верчение не придет. Отсюда следует, что действие движущей пары парализуется какойто другой парой, от наличия которой и зависит трение верчения.

Один из методов расчета момента трения подшипника качения заключается в том, что момент трения делится на, так называемый, независимый от нагрузки момент M0 и зависимый от нагрузки момент M1, которые затем складываются и дают суммарный момент:

46две параллельные и направленные в одну сторону силы приводятся к одной силе – равнодействующей, приложенной в точке, делящей прямую на расстояния, обратно пропорциональные величинам сил. Последовательно складывая попарно параллельные силы приходим также к одной силе – равнодействующей R: Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то точка приложения силы (равнодействующей) по существу не определена. Если все силы повернуть на один и тот же угол и вновь провести сложение сил, то получаем другое направление линии действия равнодействующей. Точка пересечения этих двух линий действия равнодействующих может рассматриваться, как точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол. Такая точка называется центром параллельных сил. Центр параллельных сил –точка приложения равнодействующей, не изменяющей своего положения при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол

47Радиус-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец - с данной точкой.

Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат (рис. 17).

Центр параллельных сил, точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил Fk при любом повороте всех этих сил около их точек приложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол. Координаты Центр параллельных сил определяются формулами:

где xk, yk, zk - координаты точек приложения сил.

48 Центр тяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела при любом положении тела в пространстве. При этом поле тяжести считается однородным, т.е. силы тяжести частиц тела параллельны друг другу и сохраняют постоянную величину при любых поворотах тела. Координаты центра тяжести:

; ; , где Р=åр k , x k ,y k ,z k – координаты точек приложения сил тяжести р k . Центр тяжести – геометрическая точка и может лежать и вне пределов тела (например, кольцо). Центр тяжести плоской фигуры:

DF k – элементарная площадка, F – площадь фигуры. Если площадь нельзя разбить на несколько конечных частей, то . Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

49 Решение задач на определение положения (координат) центра тяжести однородной пластинки, системы тел находящихся на плоскости или пространстве сводится к составлению уравнений и дальнейшей подставки в него известных численных данных и вычисление результата:

Т.е. необходимо разбить систему на составляющие, найти положения центра тяжести этих составных элементов. Вычислить массу составных частей, выразив ее через удельную плотность – линейную, объемную или поверхностную, в зависимости от типа представленной системы. В конце решения удельная плотность сократиться, так что не стоит ее смущаться вводить (как правило она не дана, но в тексте задачи указывается, что пластина, стержни, плита однородны). Из особенностей этой задачи следует отметить две вещи: 1) определение центра тяжести у составляющей прямоугольной, квадратной формы или стержня, окружности не составляет труда – центр тяжести таких фигур находится по центру.

50. кругового сектора: ; Треугольник. Разбиением треугольника на тонкие линии,

параллельные каждой из его сторон, определяют, что поскольку центр

тяжести каждой линии лежит на ее геометрическом центре (в центре

симметрии), то центр тяжести треугольника лежит на пересечении его

медиан. Точка пересечения медиан делит их в соотношении (2:1).

Круговой сектор (рисунок 54). Центр тяжести лежит на оси

симметрии. Разбиением кругового сектора на элементарные треугольники

определяют дугу, образованную центрами тяжести треугольников. Радиус

дуги равен 2/3 радиуса сектора. Таким образом, координата центра

тяжести кругового сектора определяется

выражением xC = sin α .

51Полушар. Центр тяжести лежит на оси симметрии на расстоянии

3/8 от основания.

Пирамида (конус) (рисунок 55).

Центр тяжести лежит на линии,

соединяющей вершину с центром

тяжести основания на расстоянии ¾ от

Дуга окружности Центр тяжести лежит на оси симметрии и имеет

координаты xC = sin α ; уС = 0 .

Кинематика

1Кинематика , раздел теоретической механики, изучает движение материальных тел не интересуясь причинами, вызывающих или изменяющих это движение. Для нее важны лишь физическая обоснованность и математическая строгость в рамках принятых моделей Задачи кинематики Задать движение материальной точки (системы)- это значит дать способ определения положения точки (всех точек, образующих систему) в любой момент времени.
Задачи кинематики состоят в разработке способов задания движения точки (системы) и методов определения скорости, ускорения точки и других кинематических величин точек, составляющих механическую систему. траектория точки

Задать движение точки означает задать ее положение в каждый момент времени. Положение это должно определяться, как уже отмечалось, в какой-либо системе координат. Однако для этого не обязательно всегда задавать сами координаты; можно использовать величины, так или иначе с ними связанные. Ниже описаны три основных способа задания движения точки.

1. Естественный способ. Этим способом пользуются, если известна траектория движения точки. Траекторией называется совокупность точек пространства, через которые проходит движущаяся материальная частица. Это линия, которую она вычерчивает в пространстве. При естественном способе необходимо задать (рис. 1):

а) траекторию движения (относительно какой-либо системы координат);

б) произвольную точку на ней нуль, от которого отсчитывают расстояние S до движущейся частицы вдоль траектории;

в) положительное направление отсчета S (при смещении точки М в противоположном направлении S отрицательно);

г) начало отсчета времени t;

д) функцию S(t), которая называется законом движения**) точки.

2. Координатный способ. Это наиболее универсальный и исчерпывающий способ описания движения. Он предполагает задание:

а) системы координат (не обязательно декартовой) q1, q2, q3;

б) начало отсчета времени t;

в) закона движения точки, т.е. функций q1(t), q2(t), q3(t).

Говоря о координатах точки, мы всегда будем иметь в виду (если не оговорено противное) ее декартовы координаты.

3. Векторный способ. Положение точки в пространстве может быть определено также и радиус-вектором, проведенным из некоторого начала в данную точку (рис. 2). В этом случае для описания движения необходимо задать:

а) начало отсчета радиус-вектора r;

б) начало отсчета времени t;

в) закон движения точки r(t).

Поскольку задание одной векторной величины r эквивалентно заданию трех ее проекций x, y, z на оси координат, от векторного способа легко перейти к координатному. Если ввести единичные векторы i, j, k (i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z (рис. 2), то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде*)

r(t) = x(t)i +y(t)j+z(t)k. (1)

Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности.

Пример. На неподвижную проволочную полуокружность надето маленькое колечко М, через которое проходит еще прямолинейный прут АВ (рис. 3), равномерно вращающийся вокруг точки А (= t, где =const). Найти законы движения колечка М вдоль стержня АВ и относительно полуокружности.

Для решения первой части задачи воспользуемся координатным способом, направив ось х декартовой системы вдоль стержня и выбрав ее начало в точке А. Поскольку вписанный АМС прямой (как опирающийся на диаметр),

x(t) = AM = 2Rcos = 2Rcoswt,

где R радиус полуокружности. Полученный закон движения называется гармоническим колебанием (колебание это будет продолжаться, очевидно, лишь до того момента, пока колечко не дойдет до точки А).

Вторую часть задачи будем решать, используя естественный способ. Выберем положительное направление отсчета расстояния вдоль траектории (полуокружности АС) против часовой стрелки (рис. 3), а нуль совпадающим с точкой С. Тогда длина дуги СМ как функция времени даст закон движения точки М

S(t) = R2 = 2R t,

т.е. колечко будет равномерно двигаться по окружности радиусом R с угловой скоростью 2 . Как явствует из проведенного рассмотрения,

нуль отсчета времени в обоих случаях соответствовал моменту, когда колечко находилось в точке С.

2.Векторный способ задания движения точки

Скорость точки направлена по касательной к траектории (рис. 2.1) и вычисляется, согласно (1.2), по формуле

Рассмотрены методы решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил. Приводится пример решения задачи на равновесие плиты, поддерживаемой стержнями в трехмерном пространстве. Показано, как за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия, можно упростить решение задачи.

Порядок решения задач на равновесие с произвольной пространственной системой сил

Чтобы решить задачу на равновесие твердого тела с произвольной пространственной системой сил, надо выбрать прямоугольную систему координат и, относительно нее, составить уравнения равновесия.

Уравнения равновесия, для произвольной системы сил, распределенных в трехмерном пространстве, представляют собой два векторных уравнения:
векторная сумма сил, действующих на тело, равна нулю
(1) ;
векторная сумма моментов сил, относительно начала координат, равна нулю
(2) .

Пусть Oxyz - выбранная нами система координат. Спроектировав уравнения (1) и (2) на оси этой системы, получим шесть уравнений:
суммы проекций сил на оси xyz равны нулю
(1.x) ;
(1.y) ;
(1.z) ;
суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю
(2.x) ;
(2.y) ;
(2.z) .
Здесь мы считаем, что на тело действуют n сил, включая силы реакций опор.

Пусть произвольная сила , с компонентами , приложена к телу в точке . Тогда моменты этой силы относительно осей координат определяются по формулам:
(3.x) ;
(3.y) ;
(3.z) .

Таким образом, порядок решения задачи, на равновесие с произвольной пространственной системой сил, следующий.

1. Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций. Если опорой является стержень или нить, то сила реакции направлена вдоль стержня или нити.
2. Выбираем прямоугольную систему координат Oxyz .
3. Находим проекции векторов сил на оси координат, , и точек их приложения, . Точку приложения силы можно перемещать вдоль прямой, проведенной через вектор силы. От такого перемещения значения моментов не изменятся. Поэтому выбираем наиболее удобные для расчета точки приложения сил.
4. Составляем три уравнения равновесия для сил (1.x,y,z).
5. Для каждой силы, по формулам (3.x,y,z), находим проекции моментов силы на оси координат.
6. Составляем три уравнения равновесия для моментов сил (2.x,y,z).
7. Если число переменных больше числа уравнений, то задача статически неопределима. Методами статики ее решить нельзя. Нужно использовать методы сопротивления материалов.
8. Решаем полученные уравнения.

Упрощение расчетов

В некоторых случаях удается упростить вычисления, если вместо уравнения (2) использовать эквивалентное условие равновесия.
Сумма моментов сил относительно произвольной оси AA′ равна нулю :
(4) .

То есть можно выбрать несколько дополнительных осей, не совпадающих с осями координат. И относительно этих осей составить уравнения (4).

Пример решения задачи на равновесие произвольной пространственной системы сил

Равновесие плиты, в трехмерном пространстве, поддерживается системой стержней.

Найти реакции стержней, поддерживающих тонкую однородную горизонтальную плиту в трехмерном пространстве. Система крепления стержней показана на рисунке. На плиту действуют: сила тяжести G; и сила P, приложенная в точке A, направленная вдоль стороны AB.

Дано:
G = 28 kН ; P = 35 kН ; a = 7,5 м ; b = 6,0 м ; c = 3,5 м .

Решение задачи

Сначала мы решим эту задачу стандартным способом, применимым для произвольной пространственной системы сил. А затем получим более простое решение, основываясь на конкретной геометрии системы, за счет выбора осей при составлении уравнений равновесия.

Решение задачи стандартным способом

Этот метод хоть и приведет нас к довольно громоздким вычислениям, но он применим для произвольной пространственной системы сил, и может применяться в расчетах на ЭВМ.

Отбросим связи и заменим их силами реакций. Связями здесь являются стержни 1-6. Вводим вместо них силы , направленные вдоль стержней. Направления сил выбираем наугад. Если мы не угадаем с направлением какой-либо силы, то получим для нее отрицательное значение.

Проводим систему координат Oxyz с началом в точке O .

Находим проекции сил на оси координат.

Для силы имеем:
.
Здесь α 1 - угол между LQ и BQ . Из прямоугольного треугольника LQB :
м ;
;
.

Силы , и параллельны оси z . Их компоненты:
;
;
.

Для силы находим:
.
Здесь α 3 - угол между QT и DT . Из прямоугольного треугольника QTD :
м ;
;
.

Для силы :
.
Здесь α 5 - угол между LO и LA . Из прямоугольного треугольника LOA :
м ;
;
.

Сила направлена по диагонали прямоугольного параллелепипеда. Она имеет следующие проекции на оси координат:
.
Здесь - направляющие косинусы диагонали AQ :
м ;
;
;
.

Выбираем точки приложения сил. Воспользуемся тем, что их можно перемещать вдоль линий, проведенных через векторы сил. Так, в качестве точки приложения силы можно взять любую точку на прямой TD . Возьмем точку T , поскольку для нее x и z - координаты равны нулю:
.
Аналогичным способом выбираем точки приложения остальных сил.

В результате получаем следующие значения компонентов сил и точек их приложений:
; (точка B );
; (точка Q );
; (точка T );
; (точка O );
; (точка A );
; (точка A );
; (точка A );
; (точка K ).

Составляем уравнения равновесия для сил. Суммы проекций сил на оси координат равны нулю.

;

;

.

Находим проекции моментов сил на оси координат.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;

Составляем уравнения равновесия для моментов сил. Суммы моментов сил относительно осей координат равны нулю.


;


;


;

Итак, мы получили следующую систему уравнений:
(П1) ;
(П2) ;
(П3) ;
(П4) ;
(П5) ;
(П6) .

В этой системе шесть уравнений и шесть неизвестных. Далее сюда можно подставить численные значения и получить решение системы, используя математическую программу вычисления системы линейных уравнений.

Но, для этой задачи, можно получить решение без использования средств вычислительной техники.

Эффективный способ решения задачи

Мы воспользуемся тем, что уравнения равновесия можно составлять не единственным способом. Можно произвольным образом выбирать систему координат и оси, относительно которых вычисляются моменты. Иногда, за счет выбора осей, можно получить уравнения, которые решаются более просто.

Воспользуемся тем, что, в равновесии, сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю . Возьмем ось AD . Сумма моментов сил относительно этой оси равна нулю:
(П7) .
Далее заметим, что все силы, кроме пересекают эту ось. Поэтому их моменты равны нулю. Не пересекает ось AD только одна сила . Она также не параллельна этой оси. Поэтому, чтобы выполнялось уравнение (П7), сила N 1 должна равняться нулю:
N 1 = 0 .

Теперь возьмем ось AQ . Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П8) .
Эту ось пересекают все силы, кроме . Поскольку сила не параллельна этой оси, то для выполнения уравнения (П8) необходимо, чтобы
N 3 = 0 .

Теперь возьмем ось AB . Сумма моментов сил относительно нее равна нулю:
(П9) .
Эту ось пересекают все силы, кроме , и . Но N 3 = 0 . Поэтому
.
Момент от силы относительно оси равен произведению плеча силы на величину проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси. Плечо равно минимальному расстоянию между осью и прямой, проведенной через вектор силы. Если закручивание происходит в положительном направлении, то момент положителен. Если в отрицательном - то отрицательный. Тогда
.
Отсюда
kН .

Остальные силы найдем из уравнений (П1), (П2) и (П3). Из уравнения (П2):
N 6 = 0 .
Из уравнений (П1) и (П3):
kН ;
kН

Таким образом, решая задачу вторым способом, мы использовали следующие уравнения равновесия:
;
;
;
;
;
.
В результате мы избежали громоздких расчетов, связанных с вычислениями моментов сил относительно осей координат и получили линейную систему уравнений с диагональной матрицей коэффициентов, которая сразу разрешилась.

N 1 = 0 ; N 2 = 14,0 kН ; N 3 = 0 ; N 4 = -2,3 kН ; N 5 = 38,6 kН ; N 6 = 0 ;

Знак минус указывает на то, что сила N 4 направлена в сторону, противоположную той, которая указана на рисунке.

Силы, сходящиеся в точке. Силы, линии действия которых НС лежат в одной плоскости, образуют пространственную систему сил. Если линии действия сил пересекаются в одной точке, но не лежат в одной плоскости (рис. 1.59), то они образуют пространственную систему сходящихся сил. Главный момент такой системы сил относительно точки О, в которой пересекаются линии действия сил, всегда равен нулю, т.е. такая система сил в общем случае эквивалентна равнодействующей, линия действия которой проходит через точку О.

Рис. 1.59.

При использовании ОЗС (1.5) условия равновесия такой системы сил в рассматриваемом случае сводятся к выражению /? = (), и их можно записать в виде трех уравнений равновесия:

Если пространственная система сходящихся сил находится в равновесии, то суммы проекций всех сил на три декартовых оси координат равны нулю.

В случае пространственной системы сил может получиться так, что линия действия силы и ось являются скрещивающимися прямыми. В этом случае при составлении уравнений равновесия используется прием двойного проектирования (рис. 1.60).

Рис. 1.Б0. К приему двойного проектирования сил

Суть этого приема состоит в том, что для нахождения проекции силы на ось сначала проектируем ее на плоскость, содержащую эту ось, а затем уже непосредственно на саму ось: Ё ХУ = Я^пу; Е х = |Т^ гк |с05ф = / г 5туС08ф.

Произвольная пространственная система сил. Силы, линии действия которых не лежат в одной плоскости и не пересекаются в одной точке, образуют произвольную пространственную систему сил (рис. 1.61). Для такой системы отсутствует какая-либо предварительная информация о величинах, или направлениях главного вектора и главного момента. Поэтому необходимые условия равновесия, вытекающие из ОЗС, Я = 0; М 0 = 0, приводят к шести скалярным уравнениям:

Из ОЗС следует, что при равновесии произвольной пространственной системы сил три проекции главного вектора и три проекции главного момента внешних сил равны нулю.

Рис. 1.61.

Практическое использование этих соотношений не вызывает труда в случае нахождения проекций сил, требуемых для вычисления проекции главного вектора, тогда как вычисление проекций векторов моментов может оказаться весьма затруднительным, так как ни величины, ни направления этих векторов заранее не известны. Решение задач значительно упрощается, если использовать понятие «момент силы относительно оси».

Момент силы относительно оси - это проекция на эту ось вектора-момента силы относительно любой точки, лежащей на этой оси (рис. 1.62):

где /л 0 (/ 7) = г 0 х Т 7 - вектор-момент силы относительно точки О.

Рис. 1.Б2. К определению момента силы относительно оси

Модуль этого вектора равен |ал 0 (/ ;)| = 25 ДО/1й = /7?, где - площадь треугольника ОЛВ.

минуя определение вектора-момента т 0 (Р). Построим плоскость л, перпендикулярную оси, относительно которой определяется момент, и спроектируем силу на эту плоскость. По определению момент силы относительно оси:

с об ос - 28 ДО/)й АО, А 1 В ] - Р К И Х.

Таким образом, модуль момента силы относительно оси можно определить как произведение модуля проекции силы на плоскость л, перпендикулярную рассматриваемой оси, на расстояние от точки пересечения оси с плоскостью л до линии действия силы Р к, т.е. для определения момента силы относительно оси нет необходимости предварительно определять вектор т а (Р), а затем проектировать его на ось Ох.

Примечание. Заметим, что модуль момента относительно оси не зависит от выбора точки на оси, относительно которой вычисляют вектор момента, так как проекция площади АОАВ на плоскасть л не зависит от выбора точки О.

Из изложенного вытекает последовательность действий при определении момента силы относительно оси (см. рис. 1.61):

• строим плоскость л, перпендикулярную Ох, и отмечаем точку О;
• проектируем силу на эту плоскость;
• вычисляем модуль момента относительно оси и присваиваем полученному результату знак «+» или «-»:
• (1.28)

т ох (Р) = ±РЬ х.

Правило знаков следует из знака проекции вектора т ох (Р): если смотреть с «положительного конца» оси «поворот отрезка И х » силой Р п виден происходящим против хода часовой стрелки, то момент силы относительно оси считают положительным, в противном случае - отрицательным (рис. 1.63).

Рис. 1.63.

1 Р г - от фр. ргсуесйоп - проекция.

Примечание. Момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси или пересекает эту ось, т.е. момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости (рис. 1.64).

Рис. 1.В4. Случаи равенства нулю момента силы

относительно оси

С физической точки зрения момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект силы по отношению к оси.

Уравнения равновесия произвольной пространственной системы сил. Учитывая, что согласно ОЗС для пространственной системы сил, находящейся в равновесии, Я = 0; М а = 0. Выражая проекции главного вектора через суммы проекций сил системы, а проекции главного момента - через суммы моментов отдельных сил относительно осей, получаем шесть уравнений равновесия произвольной пространственной системы сил:

Таким образом, если произвольная пространственная система сил находится в равновесии, то сумма проекции всех сил на три оси декартовых координат и суммы моментов всех сил относительно этих осей равны нулю.

Пары сил в пространстве. В пространственной системе сил могут встречаться пары сил, расположенные в разных плоскостях, и при вычислении главного момента возникает необходимость нахождения моментов этих пар сил относительно разных точек пространства, не лежащих в плоскости пар.

Пусть силы пары расположены в точках/! и В (рис. 1.65). Тогда имеем: Р А = -Р в, а по модулю Р А = Р в = Р. Из рис. 1.65 следует, что г в = г л + Л В.

Рис. 1.В5. К определению вектора-момента пары сил относительно точки,

не лежащей в плоскости пары

Найдем главный момент пары сил относительно точки О:

Р а х К + р в х Р в = * л х + ? в х Л =

= (г в -?л)х Р в = х Р в = ВЛх Р А = т.

Поскольку положение точки О не вошло в конечный результат, отметим, что вектор-момент пары сил т не зависит от выбора мо-ментной точки О и определяется как момент одной из сил пары относительно точки приложения другой силы. Вектор-момент пары сил перпендикулярен плоскости действия пары и направлен так, чтобы с конца его видеть возможное вращение против хода часовой стрелки. Модуль вектора-момента пары сил равен произведению величины силы пары на плечо, т.е. ранее определенному значению момента пары в плоской системе сил:

т 0 (Р,-Р) = Рк = т. (1.31)

Вектор-момент пары сил является «свободным» вектором; его можно прикладывать в любой точке пространства, не изменяя модуля и направления, что соответствует возможности переноса пары сил в любую параллельную плоскость.

Момент пары сил относительно оси. Поскольку момент пары сил - вектор «свободный», то всегда пару сил, заданную векгором-момента,

можно расположить так, чтобы одна из сил пары (-^) пересекала заданную ось в произвольной точке О (рис. 1.66). Тогда момент

пары сил будет равен моменту силы Р относительно точки О:

т 0 (Р,-Р) = ОЛх Р = т.

Рис. 1.ББ. К определению момента пары сил относительно оси

Момент пары сил относительно оси определяют как проекцию на эту ось вектора-момента силы F относительно точки О, или, что то же самое, как проекцию вектора-момента пары сил m 0 (F,-F) на эту ось:

т х (F,-F) = tn cos ос = Рг х т. (1-32)

Некоторые примеры пространственных связей:

? сферический шарнир (рис. 1.67) позволяет осуществлять поворот вокруг точки в любом направлении. Поэтому, отбрасывая такую связь, нужно приложить силу /V, которая проходит через центр шарнира и неизвестна по величине и направлению в пространстве. Разлагая эту силу по направлениям трех координатных осей, получим три неизвестные реакции: Х А, Y a , Z a ;

Рис. 1.Б7. Сферический шарнир и схематическое изображение его реакций

? подшипник скольжения позволяет реализовать поворот вокруг своей оси и допускает свободу перемещения вдоль этой оси. Предполагая, что размер 8 очень мал и реактивными моментами относительно осей х и у можно пренебречь, получим одну неизвестную по величине и направлению реактивную силу N А или две неизвестные реакции: Х А, У А (рис. 1.68);

Рис. 1.Б8. Реакции подшипника со свободной осью

? подпятник (рис. 1.69) в отличие от подшипника позволяет осуществлять поворот вокруг своей оси, нс допуская перемещения вдоль нее, и имеет три неизвестные реакции: X А, ? Л, Z /1 ;

? глухая пространственная заделка (рис. 1.70). Поскольку при отбрасывании такой связи возникает произвольная пространственная реактивная система сил, характеризуемая главным вектором /? неизвестной величины и направления и главным моментом, например, относительно центра заделки А, также неизвестным по величине и направлению, то представим каждый из этих векторов в виде компонентов по осям: Я = X А + У А + 2 А; М А = т АХ + т АУ + т Аг.

Рис. 1.70.

Делаем вывод, что глухая пространственная заделка имеет шесть неизвестных реакций - три составляющих силы и три момента относительно осей, величины которых равны соответствующим проекциям сил и моментов на координатные оси: X А, У л 2 А, т АХ; т АУ т А/ .

Решение задач. При решении задач на равновесие пространственной системы сил весьма существенным является составление уравнений, которые можно решить простым способом. Для этих целей оси, относительно которых составляют уравнения моментов, следует выбирать так, чтобы они пересекли как можно больше неизвестных сил или были им параллельны. Желательно направлять оси проекций так, чтобы отдельные неизвестные были им перпендикулярны.

При затруднениях, возникающих в процессе определения момента силы относительно осей, следует заменить отдельные силы эквивалентными совокупностями двух сил , для которых вычисления упрощаются. В ряде случаев полезно отображать проекции рассматриваемой системы на координатные плоскости.

Заметим, опуская доказательства, что подобно тому, как это было в плоской системе сил, составляя уравнения равновесия для пространственной системы сил, можно увеличивать число уравнений моментов относительно осей вплоть до шести, соблюдая некоторые ограничения, накладываемые на направление осей, такие, чтобы уравнения моментов были бы линейно независимы.

Задача 1.3. Прямоугольная плита, опертая в точке В на сферический

шарнир и закрепленная в точках А и С с помощью стержней, поддер-

живается в равновесии нитью, как показано на рис. 1.71. Определить реакции связей плиты ЛВС.

Рис. 1.71.

Д а н о: G, т , Za, Z(3 = л/4.

Выбирая начало координат в точке В, выразим составляющие пространственно ориентированной реактивной силы Т по оси z и плоскости Вху :

Т 7 =Т cosa; T XY = Т sin a.

Условия равновесия для данной системы будут представлять систему последовательно решаемых уравнений, которые запишем, опуская пределы суммирования, в виде:

X m z = 0- -Х А а = 0;

=°’ ~T z a + G~m = 0;

X m xi = 0.

Х^ = о, X F n = 0;

T z a + Z c a = 0;

Если система сил находится в равновесии, то ее главный вектор и главный момент равны нулю:

Эти векторные равенства приводят к следующим шести скалярным равенствам:

которые называются условиями равновесия пространственной произвольной системы сил.

Первые три условия выражают равенство нулю главного вектора, следующие три - равенство нулю главного момента системы сил.

В этих условиях равновесия должны учитываться все действующие силы - как активные (задаваемые), так и реакции связей. Последние заранее неизвестны, и условия равновесия становятся уравнениями для определения этих неизвестных - уравнениями равновесия.

Поскольку максимальное число уравнений равно шести, то в задаче на равновесие тела под действием произвольной пространственной систе-мы сил можно определить шесть неизвестных реакций. При большем количестве неизвестных задача становится статически неопределенной.

И еще одно замечание. Если главный вектор и главный момент относительно некоторого центра О равны нулю, то они будут равны нулю относительно любого другого центра. Это прямо следует из материала о перемене центра приведения (доказать самостоятельно). Следовательно, если условия равновесия тела выполняются в одной системе координат, то они будут выполняться и в любой другой неподвижной системе координат. Иными словами, выбор координатных осей при составлении уравнений равновесия совершенно произволен.

Прямоугольная плита (рис. 51, а) весом удерживается в горизонтальном положении сферическим шарниром О, подшипником А и тросом BE, причем точки находятся на одной вертикали. В точке D к плите приложена сила , перпендикулярная стороне OD и наклоненная к плоскости плиты под углом 45°. Определить натяжение троса и реакции опор в точках Он А, если и .

Для решения задачи рассматриваем равновесие плиты. К активным силам Р, G добавляем реакции связей - составляющие реакции сферического шарнира, реакции , подшипника, реакцию троса. Одновременно вводим координатные оси Oxyz (рис. 51, б). Видно, что полученная совокупность сил образует произвольную пространственную систему, в которой силы неизвестны.

Для определения неизвестных составляем уравнения равновесия.

Начинаем с уравнения проекций сил на ось :

Поясним определение проекции вычисление осуществляется в два приема- вначале определяется проекция силы Т на плоскость , далее, проектируя на осъ х (удобнее на ось , параллельную ), находим (см. рис. 51,б):

Этим способом двойного проектирования удобно пользоваться, когда линия действия силы и ось не пересекаются. Далее составляем:

Уравнение моментов сил относительно оси имеет вид:

Моменты сил в уравнении отсутствуют, так как эти силы либо пересекают ось х(), либо ей параллельны . В обоих этих случаях момент силы относительно оси равен нулю (см. с. 41).

Вычисление момента силы часто облегчается, если силу разложить подходящим образом на составляющие и воспользоваться теоремой Вариньона. В данном случае это удобно сделать для силы . Разлагая ее на горизонтальную и вертикальную составляющие, можем написать.