Тригонометрические ряды. Ряды фурье тригонометрические ряды ортогональность тригонометрической системы тригонометрический ряд фурье достаточные условия разложимости функции в ряд фурье
Тригонометрические ряды Определение. Функция /(ж), определенная на неограниченном множестве D, называется периодической, если существует число Т Ф 0 такое, что для каждого ж.€ D выполняется условие. Наименьшее из таких чисел Т называется периодом функции f(x). Пример 1. Функция определенная на интервале является периодической, так как существует число Т = 2* ф О такое, что для всех х выполняется условие. Таким образом, функция sin х имеет период Т = 2ж. То же самое относится и к функции Пример 2. Функция определенная на множестве D чисел является периодической, так как существует число Т Ф 0, а именно, Т = такое, что для х 6 D имеем Определение. Функциональный ряд вида ао РЯДЫ ФУРЬЕ Тригонометрические ряды Ортогональность тригонометрической системы Тригонометрический ряд Фурье Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье называется тригонометрическим рядом, а постоянные а0, а„, Ьп (n = 1, 2,...) называются коэффициентами тригонометрического ряда (1). Частичные суммы 5п(ж) тригонометрического ряда (1) являются линейными комбинациями функций из системы функций которая называется тригонометрической системой. Так как членами этого ряда являются периодические функции с периодом 2л-, то в случае сходимости ряда (I) его сумма S(x) будет периодической функцией с периодом Т = 2тт: Определение. Разложить периодическую функцию f(x) с периодом Т = 2п в тригонометрический ряд (1) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма которого равна функции /(х). . Ортогональность тригонометрической системы Определение. Функции f(x) и д(х), непрерывные на отрезке [а, 6], называются ортогональными на этом отрезке, если выполнено условие Например, функции ортогональны на отрезке [-1,1], так как Определение. Конечная или бесконечная система функций, интегрируемых на отрезке [а, Ъ], называется ортогональной системой на отрезке [а, 6), если для любых номеров тип таких, что т Ф п, выполняется равенство Теорема 1. Тригонометрическая система ортогональна на отрезке При любом целом п Ф О имеем С помощью известных формул тригонометрии для любых натуральных m и n, m Ф n, находим: Наконец, в силу формулы для любых целых тип получаем Тригонометрический ряд Фурье Поставим себе задачей вычислить коэффициенты тригонометрического ряда (1), зная функцию Теорема 2. Пусть равенство имеет место для всех значений х, причем ряд в правой части равенства сходится равномерно на отрезке [-зг, х]. Тогда справедливы формулы Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и интегрируемость функции /(х). Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1) можно почленно интегрировать. Имеем откуда и следует первая из формул (2) для п = 0. Умножим теперь обе части равенства (1) на функцию cos mi, где т - произвольное натуральное число: Ряд (3), как и ряд (1), сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно, Все интегралы в правой части, кроме одного, который получается при п = т, равны нулю в силу ортогональности тригонометрической системы. Поэтому откуда Аналогично, умножая обе части равенства (1) на sinmx и интегрируя от -тг до т, получим откуда Пусть дана произвольная периодическая функция f(x) периода 2*, интегрируемая на отрезке *]. Можно ли ее представить в виде суммы некоторого сходящегося тригонометрического ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно вычислить постоянные а„ и Ьп. Определение. Тригонометрический ряд коэффициенты oq, ап, Ь„ которого определяются через функцию f(x) по формулам РЯДЫ ФУРЬЕ Тригонометрические ряды Ортогональность тригонометрической системы Тригонометрический ряд Фурье Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье называется тригонометрическим рядом Фурье функции f(x), а коэффициенты а„, bnt определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции /(ж). Каждой интегрируемой на отрезке [-тг, -к] функции f(x) можно поставить в соответствие ее ряд Фурье т.е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого определяются по формулам (2). Однако если от функции f(x) не требовать ничего, кроме интегрируемости на отрезке [--я*, тг], то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря, нельзя заменить знаком равенства. Замечание. Часто требуется разложить в тригонометрический ряд функцию /(х), определенную только на отрезке (-*, п\ и, следовательно, не являющуюся периодической. Так как в формулах (2) для коэффициентов Фурье интегралы вычисляются по отрезку *], то для такой функции тоже можно написать тригонометрический ряд Фурье. Вместе с тем, если продолжить функцию f(x) периодически на всю ось Ох, то получим функцию F(x), периодическую с периодом 2п, совпадающую с /(х) на интервале (-ir, л): . Эту функцию F(x) называют периодически.^ продагжением функции /(х). При этом функция F(x) не имеет однозначного определения в точках х = ±п, ±3гг, ±5тг,.... Ряд Фурье для функции F(x) тождествен ряду Фурье для функции /(х). К тому же, если ряд Фурье для функции /(х) сходится к ней, то его сумма, являясь периодической функцией, дает периодическое продолжение функции /(х) с отрезка |-jt, п\ на всю ось Ох. В этом смысле говорить о ряде Фурье для функции /(х), определенной на отрезке (-я-, jt|, равносильно тому, что говорить о ряде Фурье для функции F(x), являющейся периодическим продолжением функции /(х) на всю ось Ох. Отсюда следует, что признаки сходимости рядов Фурье достаточно сформулировать для периодических функций. §4. Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье Приведем достаточный признак сходимости ряда Фурье, т. е. сформулируем условия на заданную функцию, при выполнении которых построенный по ней ряд Фурье сходится, и выясним, как при этом ведет себя сумма этого ряда. Важно подчеркнуть, что хотя приведенный ниже класс кусочно-монотонных функций и является достаточно широким, функции, ряд Фурье для которых сходится, им не исчерпываются. Определение. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [а, 6], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на интервалы, на каждом из которых f(x) монотонна, т.е. либо не убывает, либо не возрастает (см. рис. 1). Пример 1. Функция является кусочно-монотонной на интервале (-оо,оо), так как этот интервал можно разбить на два интервала (-сю, 0) и (0, +оо), на первом из которых она убывает (и значит, не возрастает), а на втором возрастает (и значит, не убывает). Пример 2. Функция кусочно-монотонна на отрезке [-зг, jt|, так как этот отрезок можно разбить на два интервала на первом из которых cos я возрастает от -I до +1, а на втором убывает от. Теорема 3. Функция f(x), кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке (а, Ь], может иметь на нем только точки разрыва первого рода. Л Пусть, например, - точка разрыва функции /(ж). Тогда в силу ограниченности функции f(x) и монотонности по обе стороны отточки с существуют конечные односторонние пределы Это означает, что точка с есть точка разрыва первого рода (рис. 2). Теорема 4. Если периодическая функция /(ж) с периодом 2тг кусочно-монотонна и ограничена на отрезке [-т, т), то ее ряд Фурье сходится в каждой точке х этого отрезка, причем для суммы этого ряда выполняются равенства: ПрммерЗ. Функция /(z) периода 2jt, определяемая на интервале (-*,*) равенством (рис. 3), удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье. Находим для нее коэффициенты Фурье: Ряд Фурье для данной функции имеет вид Пример 4. Разложить функцию в ряд Фурье (рис.4) на интервале Данная функция удовлетворяет условиям теоремы. Найдем коэффициенты Фурье. Используя свойство аддитивности определенного интеграла, будем иметь РЯДЫ ФУРЬЕ Тригонометрические ряды Ортогональность тригонометрической системы Тригонометрический ряд Фурье Достаточные условия разложимости функции в ряд Фурье Следовательно, ряд Фурье имеет следующий вид: На концах отрезка (-я, ir], т. е. в точках х = -х и х = х, которые являются точками разрыва первого рода, будем иметь Замечание. Если в найденном ряде Фурье положить х = 0, то получим откуда
Напомним, что в действительном анализе тригонометрический ряд - это ряд по косинусам и синусам кратных дуг, т.е. ряд вида
Немного истории. Начальный период теории таких рядов относят к середине 18-го века в связи с задачей о колебании струны, когда искомая функция искалась в виде суммы ряда (14.1). Вопрос о возможности такого представления вызвал у математиков острые споры, продолжавшиеся несколько десятилетий. Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитическим заданием, а здесь появилась необходимость представить рядом (14.1) функцию, графиком которой является достаточно произвольная кривая. Но значение этих споров больше. Фактически в них возникли вопросы, связанные со многими принципиально важными идеями математического анализа.
И в дальнейшем, как и в этот начальный период, теория тригонометрических рядов служила источником новых идей. Именно в связи с ними, например, возникли теория множеств и теория функций действительного переменного.
В этой заключительной главе рассмотрим материал, в очередной раз связывающий действительный и комплексный анализ, но мало отраженный в учебных пособиях по ТФКП. В курсе анализа исходили из наперед заданной функции и разлагали ее в тригонометрический ряд Фурье. Здесь рассматривается обратная задача: по заданному тригонометрическому ряду установить его сходимость и сумму. Для этого Эйлер и Лагранж с успехом применяли аналитические функции. По-видимому, Эйлер впервые (1744) получил равенства
Ниже мы пройдемся по следам Эйлера, ограничиваясь только частными случаями рядов (14.1), а именно, тригонометрическими рядами
Замечание. Будет существенно использоваться следующий факт: если последовательность положительных коэффициентов а п монотонно стремится к нулю, то указанные ряды сходятся равномерно на любом замкнутом промежутке, нс содержащем точек вида 2лк (к gZ). В частности, на интервале (0,2л -) будет поточечная сходимость. Смотрите об этом в работе , стр. 429-430.
Идея Эйлера суммирования рядов (14.4), (14.5) состоит в том, что с помощью подстановки z = е а переходят к степенному ряду
Если внутри единичного круга его сумму удается найти в явном виде, то выделением из нее действительной и мнимой частей задача обычно и решается. Подчеркнем, что, применяя метод Эйлера, следует проверять сходимость рядов (14.4), (14.5).
Рассмотрим некоторые примеры. Во многих случаях окажется полезным геометрический ряд
а также ряды, получающиеся из него почленным дифференцированием или интегрированием. Например,
Пример 14.1. Найти сумму ряда
Решение. Введем аналогичный ряд с косинусами
Оба ряда сходятся всюду, т.к. мажорируются геометрическим рядом 1 + г + г 2 +.... Полагая z = е" х , получим
Здесь дробь приводится к виду
откуда получаем ответ на вопрос задачи:
Попутно мы установили равенство (14.2): Пример 14.2. Просуммировать ряды
Решение. Согласно вышеприведенному замечанию оба ряда на указанном интервале сходятся и служат рядами Фурье для определяемых ими функций f(x) 9 g(x). Что это за функции? Для ответа на вопрос в соответствии с методом Эйлера составим ряд (14.6) с коэффициентами а п = -. Соглас-
но равенству (14.7) получим
Опуская подробности (читателю их следует воспроизвести), укажем, что выражение под знаком логарифма можно представить в виде
Модуль этого выражения равен -, а аргумент (точнее, главное его зна-
- 2sin -
чение)равен Поэтому In ^ = -ln(2sin Следовательно,
Пример 14.3. При -л просуммировать ряды
Решение. Оба ряда сходятся везде, так как мажорируются сходящимся
рядом с общим членом -! . Ряд (14.6)
п{п + 1)
непосредственно
J__\_ __1_
/?(/? +1) п /1 + 1
нс даст известной суммы. На основе представим его в виде
равенства
Здесь выражение в круглых скобках равно ln(l + z), а выражение в квадратных скобках - это ^ ^ + ** ^--. Следовательно,
= (1 + -)ln(1 + z). Теперь надо подставить сюда z = e LX
и выполнить действия, аналогичные проведенным в предыдущем примере. Опуская детали, укажем, что Осталось раскрыть скобки и записать ответ. Предоставляем выполнить это читателю. Задачи к главе 14 Вычислить суммы следующих рядов. 3.1.а).Если w=u + iv,
то и
= -г- -v = -^-^.Отсюда л: 2 +(1-.г) 2 .т 2 +(1-д:) 2 Из этой окружности следует исключить начало координат, так как (м, v) 9* (0;0) V* е R,
ton и
= lim v = 0. x-yx>
.v->oo а = 1,а = 2.
z „ =-! + -> z,=-l - них w
= 2х
; голоморфной нигде не является; St St
зависят от переменной „т. Из условий Коши-Римана вытекает независимость этих функций и от у. 4.5. Рассмотрим, например, случай Re f(z)
= и(х,у)
= const
. С помощью условий Коши-Римана вывести отсюда, что Im/(z) = v(x 9 y)
= const
. аргумент производной равен нулю, то ее мнимая часть нулевая, а действительная часть положительная. Отсюда вывести ответ: прямая у
= -х
-1 (х *
0). б) окружность z + i=j2.
выражение в круглых скобкых приняло одно и то же значение, то имели бы что противоречит иррациональности а
. у
= 0, -1 х 1 имеем и =
--е [-1,1]» v = 0. Рассмотрим второй участок границы - полуокружность z =
e u
,t g
. На этом участке выражение
преобразуется к виду w=u =
-- ,/* -. На промежутке . Согласно (8.6) искомый интеграл равен
б). Уравнение нижней полуокружности имеет вид z(t) = e“,t е[л, 2я).
По формуле (8.8) интеграл равен z = t + i,te
. Ответ: - + -i.
.1 .t+2/r
е 2 ,е
2 .Из условия задачи следует, что речь идет о главном значении корня: Vz, т.е. о первом из указанных. Тогда интеграл равен 8.3. В решении задачи чертеж умышленно не приводится, но читателю его следует выполнить. Используется уравнение прямолинейного отрезка, соединяющего две заданные точки я, /> е С (а -
начало, Ь -
конец): z = (l - /)fl+ /?,/€ . Разобьем искомый интеграл на четыре: I = I AB + I BC + I CD
+1
DA . На отрезке АВ
имеем z -
(1 -1)
? 1 +1
/, поэтому интеграл но этому отрезку, согласно (8.8), равен Поступая аналогичным образом, найдем области D, содержащей Г и нс содержащей а
. По интегральной теореме, примененной к /),/], искомый интеграл равен нулю. геометрическим рядом 1 + q + q 2
(|| представить в виде /(z) = /(-^z). Не умаляя общности, можно считать, что радиус сходимости ряда Тейлора функции с центром в точке 0 более единицы. Имеем: Значения функции одинаковы на дискретном множестве с предельной точкой, принадлежащей кругу сходимости. По теореме единственности /(z) = const
. 11.3. Предположим, что искомая аналитическая функция /(z) существует. Сравним ее значения с функцией {z) = z 2
на множестве Е,
состоящем из точек z n
= - (п =
2,3,...). Их значения одинаковы, а так как Е
имеет предельную точку, принадлежащую данному кругу, то по теореме единственности /(z) = z 2 для всех аргументов данного круга. Но это противоречит условию /(1) = 0. Ответ: нс существует. 12.2. а). Представьте функцию в виде
и раскройте скобки. простых полюса 1,-1,/. Сумма вычетов в них равна --, а интеграл равен в). Среди полюсов 2Trki(kGZ)
подынтегральной функции лишь два лежат внутри данной окружности. Это 0 и 2я
оба они простые, вычеты в них равны по 1. Ответ: 4я7. умножить его на 2/г/. Опуская детали, укажем ответ: / = -i . 13.2. а). Положим e"=z, тогда e"idt =
dz
, dt
= - .
Ho e“ - e~“ z-z~ x
sin / =-=-, интефал сведется к виду Здесь знаменатель разлагается на множители (z-z,)(z-z 2), где z, = 3 - 2 V2 / лежит внутри окружности у
, a z,=3 + 2V2 / лежит вис се. Осталось найти вычет относительно простого полюса z, по формуле (13.2) и б) . Полагая, как и выше, е" = z
, сведем интефал к виду Подынтефальная функция имеет три простых полюса (каких?). Предоставляя читателю вычисления вычетов в них, укажем ответ: I =
. равен 2(^-1-ч-dt).
Стоящий в скобках интеграл обозначим через /. Применением равенства cos"/ = - (1 + cos2f) получим, что / = [-cit
. По аналогии со случаями а), б) сделать подстановку e 2,t
= z, свести интеграл к виду где кривая интегрирования - та же единичная окружность. Далее рассуждения те же, что и в случае а). Ответ: исходный, искомый интеграл равен /г(2-л/2). 13.3. а). Рассмотрим вспомогательный комплексный интеграл /(/?)= ff(z)dz,
где f(z) = -
р-, Г(Я) - контур, составленный из полуокружности y(R
): | z
|= R
> 1, Imz > 0 и се диаметра (сделайте чертеж). Разобьем этот интеграл на два - по о трезку [-/?,/?] и по y(R
). к. Ъя.
Внутри контура лежат лишь простые полюсы z 0 = е 4
, z, = е
4 (рис. 186). Найдем относительно их вычеты: Остается проверить, что интеграл по y(R)
стремится к нулю с ростом R
. Из неравенства |д + Л|>||я|-|/>|| и из оценки интеграла при z е y(R)
вытекает, что
В науке и технике часто приходится иметь дело с периодическими явлениями, т.е. такими, которые воспроизводятся через определённый промежуток времени T , называемый периодом. Простейшей из периодических функций (если не считать постоянной) является синусоидальная величина: Asin (x + ), гармоническое колебание, где есть «частота», связанная с периодом соотношением: . Из таких простейших периодических функций могут быть составлены более сложные. Очевидно, что составляющие синусоидальные величины должны быть разных частот, так как сложение синусоидальных величин одной и той же частоты приводит к синусоидальной величине той же частоты. Если сложить несколько величин вида
Для примера мы воспроизводим здесь сложение трех синусоидальных величин: . Рассмотрим график этой функции
Этот график значительно отличается от синусоиды. Еще в большей степени это имеет место для суммы бесконечного ряда, составленного из слагаемых этого вида. Поставим вопрос: можно ли данную периодическую функцию периода Т представить в виде суммы конечного или хотя бы бесконечного множества синусоидальных величин? Оказывается, по отношению к большому классу функций на этот вопрос можно дать утвердительный ответ, но это только если привлечь именно всю бесконечную последовательность таких слагаемых. Геометрически это означает, что график периодической функции получается путем наложения ряда синусоид. Если же рассматривать каждую синусоидальную величину как некоторое гармоническое колебательное движение, то можно сказать, что это сложное колебание, характеризуемое функцией или просто ее гармониками (первой, второй и т. д.). Процесс разложения периодической функции на гармоники носит название гармонического анализа.
Важно отметить, что подобные разложения часто оказываются полезными и при исследовании функций, заданных лишь в определенном конечном промежутке и вовсе не порожденных никакими колебательными явлениями.
Определение. Тригонометрическим рядом называется ряд вида:
Или 
(1).
Действительные числа называются коэффициентами тригонометрического ряда. Этот ряд можно записать и так:
Если ряд представленного выше типа сходится, то его сумма является периодической функцией с периодом 2p.
Определение.
Коэффициентами Фурье тригонометрического ряда называются: 
(2)
(3)
(4)
Определение. Рядом Фурье для функции f(x) называется тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье.
Если ряд Фурье функции f(x) сходится к ней во всех ее точках непрерывности, то говорят, что функция f(x) разлагается в ряд Фурье.
Теорема. (Теорема Дирихле) Если функция имеет период 2p и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них функция монотонна, то ряд Фурье для функции сходится при всех значениях х , причем в точках непрерывности функции его сумма S(x) равна , а в точках разрыва его сумма равна , т.е. среднему арифметическому предельных значений слева и справа.
При этом ряд Фурье функции f(x) сходится равномерно на любом отрезке, который принадлежит интервалу непрерывности функции .
Функция, удовлетворяющая условиям этой теоремы, называется кусочно – гладкой на отрезке .
Рассмотрим примеры на разложение функции в ряд Фурье.
Пример 1 . Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1-x , имеющую период 2p и заданную на отрезке .
Решение . Построим график этой функции
Эта функция непрерывна на отрезке , то есть на отрезке длиной в период, поэтому допускает разложение в ряд Фурье, сходящейся к ней в каждой точке этого отрезка. По формуле (2) найдем коэффициент этого ряда: .
Применим формулу интегрирования по частям и найдем и по формулам (3) и (4) соответственно:
Подставляя коэффициенты в формулу (1), получаем 
или .
Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек и (точки склейки графиков). В каждой из этих точек сумма ряда равна среднему арифметическому ее предельных значений справа и слева, то есть .
Приведем алгоритм разложения функции в ряд Фурье.
Общий порядок решения поставленной задачи сводится к следующему.
По косинусам и синусам кратных дуг, т. е. ряд вида
или в комплексной форме
где a k
, b k
или, соответственно, c k
наз. коэффициентами Т. р.
Впервые Т. р. встречаются у Л. Эйлера (L. Euler, 1744). Он получил разложения
В сер. 18 в. в связи с исследованиями задачи о свободном колебании струны возник вопрос о возможности представления функции, характеризующей начальное положение струны, в виде суммы Т. р. Этот вопрос вызвал острые споры, продолжавшиеся несколько десятилетий, лучших аналитиков того времени - Д. Бернулли (D. Bernoulli), Ж. Д"Аламбера (J. D"Alembert), Ж. Лагранжа (J. Lagrange), Л. Эйлера (L. Eu1ег). Споры относились к содержанию понятия функции. В то время функции обычно связывались с их аналитич. аданием, что приводило к рассмотрению только аналитических или кусочно аналитических функций. А здесь появилась необходимость для функции, графиком к-рой является достаточно произвольная , построить Т. р., представляющий эту функцию. Но значение этих споров больше. Фактически в них обсуждались или возникли в связи с ними вопросы, связанные со многими принципиально важными понятиями и идеями математич. анализа вообще,- представление функций рядами Тейлора и аналитич. родолжение функций, использование расходящихся рядов, пределов, бесконечные системы уравнений, функций многочленами и др.
И в дальнейшем, как и в этот начальный , теория Т. р. служила источником новых идей математи. интеграл Фурье, почти периодические функции, общие ортогональные ряды, абстрактный . Исследования по Т. р. послужили исходным пунктом при создании теории множеств. Т. р. являются мощным средством представления и исследования функций.
Вопрос, приведший к спорам математиков 18 в., был решен в 1807 Ж. Фурье (J. Fourier), указавшим формулы для вычисления коэффициентов Т. р. (1), к-рый должен. представлять на функцию f(x):
и применившим их при решении задач теплопроводности. Формулы (2) получили название формул Фурье, хотя они встречались ранее у А. Клеро (A. Clairaut, 1754), а Л. Эйлер (1777) приходил к ним с помощью почленного интегрирования. Т. р. (1), коэффициенты к-рого определяются по формулам (2), наз. рядом Фурье функции f, а числа а k , b k
- коэффициентами Фурье.
Характер получаемых результатов зависит от того, как понимается представление функции рядом, как понимается интеграл в формулах (2). Современный теория Т. р. приобрела после появления интеграла Лебега.
Теорию Т. р. можно условно разделить на два больших раздела - теорию Фурье рядов,
в к-рой предполагается, что ряд (1) является рядом Фурье нек-рой функции, и теорию общих Т. р., где такое предположение не делается. Ниже указываются основные результаты, полученные в теории общих Т. р. (при этом множеств и измеримость функций понимаются по Лебегу).
Первым систематич. исследованием Т. р., в к-ром не предполагалось, что эти ряды являются рядами Фурье, была диссертация В. Римана (В. Riemann, 1853). Поэтому теорию общих Т. р. наз. иногда римановской теорией Т. р.
Для изучения свойств произвольного Т. р. (1) со стремящимися к нулю коэффициентами Б. Риман рассматривал непрерывную функцию F(х),
являющуюся суммой равномерно сходящегося ряда
полученного после двукратного почленного интегрирования ряда (1). Если ряд (1) сходится в нек-рой точке хк числу s, то в этой точке существует и равна s вторая симметрич. функции F:
то это приводит к суммированию ряда (1), порождаемому множителями 
наз. методом суммирования Римана. С помощью функции Fформулируется принцип локализации Римана, согласно к-рому поведение ряда (1) в точке хзависит только от поведения функции Fв произвольно малой окрестности этой точки.
Если Т. р. сходится на множестве положительной меры, то его коэффициенты стремятся к нулю ( Кантора - Лебега). Стремление к нулю коэффициентов Т. р. следует также из его сходимости на множестве второй категории (У. Юнг, W. Young, 1909).
Одной из центральных проблем теории общих Т. р. является задача о представлении произвольной функции Т. р. Усилив результаты Н. Н. Лузина (1915) о представлении функций Т. р., суммируемыми методами Абеля - Пуассона и Римана, Д. Е. Меньшов доказал (1940) следующую теорему, относящуюся к наиболее важному случаю, когда представление функции f понимается как Т. р. к f
(x)почти всюду. Для каждой измеримой и конечной почти всюду функции f существует Т. р., сходящийся к ней почти всюду (теорема Меньшова). Следует отметить, что если даже f интегрируема, то в качестве такого ряда нельзя, вообще говоря, взять ряд Фурье функции f, т. к. существуют ряды Фурье, расходящиеся всюду.
Приведенная теорема Меньшова допускает следующее уточнение: если функция f измерима и конечна почти всюду, то существует такая что 
почти всюду и почленно продифференцированный ряд Фурье функции j сходится к f(х)почти всюду (Н. К. Бари, 1952).
Неизвестно (1984), можно ли в теореме Меньшова опустить условие конечности функции f почти всюду. В частности, неизвестно (1984), может ли Т. р. сходиться почти всюду к
Поэтому задача о представлении функций, к-рые могут принимать бесконечные значения на множестве положительной меры, была рассмотрена для случая, когда заменяется на более слабое требование - . Сходимость по мере к функциям, к-рые могут принимать бесконечные значения, определяется так: частных сумм Т. p. s n
(x)сходится по мере к функции f(х).
если где f n
(x)сходятся к / (х)почти всюду, а последовательность сходится по мере к нулю. В этой постановке вопрос о представлении функций решен до конца: для каждой измеримой функции существует Т. р., сходящийся к ней по мере (Д. Е. Меньшов, 1948).
Много исследований посвящено проблеме единственности Т. р.: могут ли два разных Т. расходиться к одной и той же функции; в др. формулировке: если Т. р. сходится к нулю, то следует ли отсюда, что все коэффициенты ряда равны нулю. Здесь можно иметь в виду сходимость во всех точках или во всех точках вне нек-рого множества. Ответ на эти вопросы существенно зависит от свойств того множества, вне к-рого сходимость не предполагается.
Установилась следующая терминология. Множество наз. единственности множеством
или U-
множеством, если из сходимости Т. р. к нулю на всюду, кроме, быть может, точек множества Е,
следует, что все коэффициенты этого ряда равны нулю. В противном случае Еназ. М-множеством.
Как показал Г. Кантор (G. Cantor, 1872), а также любое конечное являются U-множествами. Произвольное также является U-множеством (У. Юнг, 1909). С др. стороны, каждое множество положительной меры является М-множеством.
Существование М-множеств меры было установлено Д. Е. Меньшовым (1916), к-рый построил первый пример совершенного множества, обладающего этими свойствами. Этот результат имеет принципиальное значение в проблеме единственности. Из существования М-множеств меры нуль следует, что при представлении функций Т. р., сходящимися почти всюду, эти ряды определяются заведомо неоднозначно.
Совершенные множества могут быть и U-множествами (Н. К. Бари; А. Райхман, A. Rajchman, 1921). В проблеме единственности существенную роль играют весьма тонкие характеристики множеств меры нуль. Общий вопрос о классификации множеств нулевой меры на М-
и U-множества остается (1984) открытым. Он не решен даже для совершенных множеств.
К проблеме единственности примыкает следующая задача. Если Т. р. сходится к функции 
то должен ли этот ряд быть рядом Фурье функции /. П. Дюбуа-Реймон (P. Du Bois-Reymond, 1877) дал положительный ответ на этот вопрос, если f интегрируема в смысле Римана, а ряд сходится к f(х)во всех точках. Из результатов III. Ж. Bалле Пуссена (Ch. J. La Vallee Poussin, 1912) следует, что ответ положителен и в том случае, когда всюду, кроме счетного множества точек, ряд сходится и его сумма конечна.
Если Т. р, в нек-рой точке x 0 сходится абсолютно, то точки сходимости этого ряда, а также точки его абсолютной сходимости расположены симметрично относительно точки x 0
(П. Фату, P. Fatou, 1906).
Согласно Данжуа - Лузина теореме
из абсолютной сходимости Т. р. (1) на множестве положительной меры следует сходимость ряда 
и, следовательно, абсолютная сходимость ряда (1) для всех х.
Этим свойством обладают и множества второй категории, а также нек-рые множества меры нуль.
Приведенный обзор охватывает только одномерные Т. р. (1). Имеются отдельные результаты, относящиеся к общим Т. р. от нескольких переменных. Здесь во многих случаях нужно еще найти естественные постановки задач.
Лит.
: Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1-2, М., 1965; Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951; Риман Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948, с. 225-61.
С. А. Теляковский.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Стандартными методами, но зашли в тупик с очередным примером.
В чём состоит трудность и где может быть загвоздка? Отложим в сторону намыленную верёвку, спокойно проанализируем причины и ознакомимся с практическими приёмами решения.
Первое, и самое главное : в подавляющем большинстве случаев для исследования сходимости ряда необходимо применить какой-нибудь знакомый способ, но общий член ряда набит настолько хитрой начинкой, что совершенно не очевидно, что с ней делать. И вы ходите по кругу: не срабатывает первый признак, не годится второй, не получается третьим, четвёртым, пятым методом, потом черновики отбрасываются в сторону и всё начинается заново. Обычно это связано с недостатком опыта или пробелами в других разделах математического анализа. В частности, если запущены пределы последовательностей и поверхностно разобраны пределы функций , то придётся туго.
Иными словами, человек просто не видит нужный приём решения в силу недостатка знаний или опыта.
Бывает виновато и «затмение», когда, например, элементарно не выполнен необходимый признак сходимости ряда, но по незнанию, невнимательности либо небрежности это выпадает из поля зрения. И получается как в той байке, где профессор математики решил детскую задачку с помощью диких рекуррентных последовательностей и числовых рядов =)
В лучших традициях сразу живые примеры: ряды 
и их родственники – расходятся, так как в теории доказаны пределы последовательностей
. Скорее всего, в первом семестре из вас вытрясут душу за доказательство на 1-2-3 страницы, но сейчас вполне достаточно показать невыполнение необходимого условия сходимости ряда, сославшись на известные факты. Известные? Если студент не знает, что корень энной степени – штука чрезвычайно мощная, то, скажем, ряды 
поставят его в тупик. Хотя решение, как дважды два: , т.е. по понятной причине оба ряда расходятся. Скромного комментария «данные пределы доказаны в теории» (или даже вовсе его отсутствия) вполне хватит для зачёта, всё-таки выкладки достаточно тяжёлые и относятся они точно не к разделу числовых рядов.
А изучив ближайшие примеры, вы будете только удивляться краткости и прозрачности многих решений:
Пример 1
Исследовать сходимость ряда
Решение : прежде всего, проверяем выполнение необходимого признака сходимости . Это не формальность, а отличный шанс расправиться с примером «малой кровью».
«Осмотр места происшествия» наводит на мысль о расходящемся ряде (случай обобщенного гармонического ряда), но опять же возникает вопрос, как учесть логарифм в числителе?
Примерные образцы оформления задач в конце урока.
Не редкость, когда приходится проводить двухходовое (а то и трёхходовое) рассуждение:
Пример 6
Исследовать сходимость ряда
Решение
: сначала аккуратно разбираемся с тарабарщиной числителя. Последовательность – ограничена: . Тогда:
Сравним наш ряд с рядом . В силу только что полученного двойного неравенства, для всех «эн» будет выполнено:
Теперь сравним ряд с расходящимся гармоническим рядом .
Знаменатель дроби меньше
знаменателя дроби , поэтому сама дробь
– больше
дроби (распишите несколько первых членов, если не понятно). Таким образом, для любого «эн»:
А значит, по признаку сравнения ряд 
расходится
вместе с гармоническим рядом.
Если немного видоизменить знаменатель: 
, то первая часть рассуждений будет аналогична: 
. Но вот для доказательства расходимости ряда уже применим только предельный признак сравнения, так как неравенство неверно.
Ситуация со сходящимися рядами «зеркальна», то есть, например, для ряда можно использовать оба признака сравнения (неравенство справедливо), а для ряда – только предельный признак (неравенство неверно).
Продолжаем наше сафари по дикой природе, где на горизонте замаячило стадо грациозных и сочных антилоп:
Пример 7
Исследовать сходимость ряда
Решение : необходимый признак сходимости выполняется, и мы снова задаёмся классическим вопросом: что делать? Перед нами нечто напоминающее сходящийся ряд , однако, чёткого правила тут нет – такие ассоциации зачастую обманчивы.
Зачастую, да не в этот раз. С помощью предельного признака сравнения
сравним наш ряд со сходящимся рядом . В ходе вычисления предела используем замечательный предел
, где в качестве бесконечно малой величины
выступает :
сходится вместе с рядом .
Вместо применения стандартного искусственного приёма домножения и деления на «тройку», можно было изначально провести сравнение со сходящимся рядом .
Но здесь желательна оговорка, что константа-множитель общего члена не влияет на сходимость ряда. И как раз в таком стиле оформлено решение следующего примера:
Пример 8
Исследовать сходимость ряда
Образец в конце урока.
Пример 9
Исследовать сходимость ряда
Решение : в предыдущих примерах мы пользовались ограниченностью синуса, но сейчас это свойство оказывается вне игры. Знаменатель дроби более высокого порядка роста , чем числитель, поэтому при аргумент синуса и весь общий член бесконечно малЫ . Необходимое условие сходимости, как понимаете, выполнено, что не позволяет нам отлынивать от работы.
Проведём разведку: в соответствии с замечательной эквивалентностью
, мысленно отбросим синус и получим ряд . Ну а уж такое-то….
Оформляем решение:
Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Заменим бесконечно малую эквивалентной: при 
.
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом.
Пример 10
Исследовать сходимость ряда
Это пример для самостоятельного решения.
Для планирования дальнейших действий в подобных примерах здОрово помогает мысленное отбрасывание синуса, арксинуса, тангенса, арктангенса. Но помните, такая возможность существует лишь при бесконечно малом аргументе, не так давно мне попался провокационный ряд:
Пример 11
Исследовать сходимость ряда
.
Решение
: здесь бесполезно использовать ограниченность арктангенса, и эквивалентность тоже не работает. Выход неожиданно прост:
Исследуемый ряд расходится
, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Вторая причина «затыка на задании» состоит в приличной навороченности общего члена , что вызывает затруднения уже технического характера. Грубо говоря, если рассмотренные выше ряды относятся к разряду «фиг догадаешься», то эти – к категории «хрен решишь». Собственно, это и называют сложностью в «обычном» понимании. Далеко не каждый правильно разрулит несколько факториалов, степеней, корней и прочих обитателей саванны. Больше всего проблем доставляют, конечно же, факториалы:
Пример 12
Исследовать сходимость ряда
Как возвести факториал в степень? Легко. По правилу действий со степенями, необходимо возвести в степень каждый множитель произведения:
И, конечно же, внимание и ещё раз внимание, сам-то по себе признак Даламбера работает традиционно:
Таким образом, исследуемый ряд сходится .
Напоминаю рациональную методику устранения неопределённости : когда понятен порядок роста числителя и знаменателя – совсем не обязательно мучаться и раскрывать скобки.
Пример 13
Исследовать сходимость ряда
Зверь очень редкий, но встречается, и было бы несправедливым обойти его объективом камеры.
Что такое факториал с двойным восклицательным знаком? Факториал «накручивает» произведение положительных чётных чисел:
Аналогично, факториал «накручивает» произведение положительных нечётных чисел:
Проанализируйте, в чём состоит отличие от и
Пример 14
Исследовать сходимость ряда
А в этом задании постарайтесь не запутаться со степенями, замечательными эквивалентностями и замечательными пределами .
Образцы решений и ответы в конце урока.
Но студент достаётся на корм не только тиграм – свою добычу выслеживают и хитрые леопарды:
Пример 15
Исследовать сходимость ряда
Решение
: практически мгновенно отпадают необходимый признак сходимости, предельный признак, признаки Даламбера и Коши. Но хуже всего, что бессилен неоднократно выручавший нас признак с неравенствами. Действительно, сравнение с расходящимся рядом невозможно, так как неравенство 
неверно – множитель-логарифм только увеличивает знаменатель, уменьшая саму дробь 
по отношению к дроби . И другой глобальный вопрос: а почему мы вообще изначально уверены, что наш ряд 
непременно обязан расходиться и его нужно сравнивать с каким-либо расходящимся рядом? Вдруг он вообще сходится?
Интегральный признак? Несобственный интеграл
навевает траурное настроение. Вот если бы у нас был ряд 
… тогда да. Стоп! Так и рождаются идеи. Оформляем решение в два шага:
1) Сначала исследуем сходимость ряда 
. Используем интегральный признак
:
Подынтегральная функция непрерывна на
Таким образом, ряд 
расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом.
2) Сравним наш ряд с расходящимся рядом 
. Используем предельный признак сравнения:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится
вместе с рядом 
.
И в таком решении нет ничего необычного или творческого – так и надо решать!
Предлагаю самостоятельно оформить следующую двухходовку:
Пример 16
Исследовать сходимость ряда
Студент с некоторым опытом в большинстве случаев сразу видит, сходится ряд или расходится, но, бывает, что хищник ловко маскируется в кустах:
Пример 17
Исследовать сходимость ряда
Решение
: на первый взгляд вообще не понятно, как ведёт себя этот ряд. А если перед нами туман, то логично начать с черновой проверки необходимого условия сходимости ряда. В целях устранения неопределённости используем непотопляемый метод умножения и деления на сопряженное выражение
:
Необходимый признак сходимости не сработал, но вывел на чистую воду нашего тамбовского товарища. В результате выполненных преобразований получен эквивалентный ряд 
, который в свою очередь сильно напоминает сходящийся ряд .
Записываем чистовое решение:
Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Используем предельный признак сравнения:
Умножим и разделим на сопряженное выражение:
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом .
Возможно, у некоторых возник вопрос, откуда на нашем африканском сафари появились волки? Не знаю. Завезли, наверное. Следующую трофейную шкуру добывать вам:
Пример 18
Исследовать сходимость ряда
Примерный образец решения в конце урока
И, наконец, ещё одна мысль, которая в отчаянии посещает многих студентов: а не использовать ли более редкий признак сходимости ряда ? Признак Раабе, признак Абеля, признак Гаусса, признак Дирихле и прочие неведомые зверушки. Идея рабочая, но в реальных примерах осуществляется очень редко. Лично я за все годы практики лишь 2-3 раза прибегнул к признаку Раабе , когда действительно ничего не помогло из стандартного арсенала. Полностью воспроизвожу ход своего экстремального квеста:
Пример 19
Исследовать сходимость ряда
Решение
: Безо всяких сомнений признак Даламбера. В ходе вычислений активно использую свойства степеней, а также второй замечательный предел
:
Вот тебе и раз. Признак Даламбера не дал ответа, хотя ничего не предвещало такого исхода.
Пошерстив справочник, я нашёл доказанный в теории малоизвестный предел и применил более сильный радикальный признак Коши:
Вот тебе и два. И, главное, совершенно не понятно, сходится ряд или расходится (крайне редкая для меня ситуация). Необходимый признак сравнения? Без особых надежд – даже если немыслимым образом разберусь с порядком роста числителя и знаменателя, то это ещё не гарантирует вознаграждения.
Полный даламбер, но самое скверное, что ряд нужно решить. Нужно. Ведь это будет первый случай, когда я сдамся. И тут мне вспомнилось, что вроде существуют ещё какие-то более сильные признаки. Передо мной был уже не волк, не леопард и не тигр. Это был огромный слон, размахивающий большим хоботом. Пришлось взять в руки гранатомёт:
Признак Раабе
Рассмотрим положительный числовой ряд .
Если существует предел 
, то:
а) При ряд расходится
. Причём полученное значение может быть нулевым или отрицательным
б) При ряд сходится
. В частности, ряд сходится при .
в) При признак Раабе не даёт ответа
.
Составляем предел и бережно-аккуратно упрощаем дробь:
Да, картина, мягко говоря, неприятная, но я уже не удивился.Подобные пределы раскалываются с помощью правила Лопиталя
, и первая мысль, как потом выяснилась, оказалось правильной. Но сначала я где-то час крутил-вертел предел «обычными» методами, однако неопределённость не желала устраняться. А ходьба по кругу, как подсказывает опыт – типичный признак того, что выбран неверный способ решения.
Пришлось обратиться к русской народной мудрости: «Если ничего не помогает, прочитайте инструкцию». И когда я открыл 2-й том Фихтенгольца, то к великой радости обнаружил исследование идентичного ряда . И дальше пошло решение по образцу.
