Числовой ряд сходимость расходимость. Признаки сходимости числовых рядов
Определение 1.1. Числовым рядом с общим членом называют последовательность чисел соединенных знаком сложения, т. е. выражение вида:
Такой ряд записывают также в виде
Пример 1.1. Если то ряд имеет вид:
Иногда при записи ряда выписывают только несколько его первых членов. Это делают лишь тогда, когда закономерность, характерная для членов ряда, легко усматривается. Строго говоря, такой способ задания ряда не является математически корректным, так как получение формулы общего члена по нескольким первым членам ряда - задача, не имеющая однозначного решения.
Пример 1.2. Напишем одну из возможных формул для общего члена ряда, зная его первые 4 члена:
Решение. Рассмотрим сначала последовательность числителей 2, 5, 8, 11. Они образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 2, а разность равна 3. Это позволяет в качестве общего выражения для числителя взять формулу общего члена арифметической прогрессии: Знаменатели 2, 6, 18, 54 образуют геометрическую прогрессию с
первым членом 2 и знаменателем 3. В качестве их общего выражения можно взять формулу общего члена геометрической прогрессии Итак, общий член ряда будет иметь следующий вид:
Следует отметить, что в качестве общего члена можно было бы принять и более сложное выражение
Определение числового ряда и его сходимости.
Необходимый признак сходимости
Пусть – бесконечная последовательность чисел.
Определение. Выражение
, (1)
или, что то же самое, , называется числовым рядом , а числа https://pandia.ru/text/79/302/images/image005_146.gif" width="53" height="31">– членами ряда. Член с произвольным номером называется n -м, или общим членом ряда .
Само по себе выражение (1) никакого определенного числового смысла не имеет, потому что, вычисляя сумму, мы каждый раз имеем дело лишь с конечным числом слагаемых. Определить смысл этого выражения наиболее естественно следующим образом.
Пусть дан ряд (1).
Определение. Сумма n первых членов ряда
называется n -й частичной суммой ряда. Образуем последовательность частичных сумм:
font-size:14.0pt">С неограниченным увеличением числа n в сумме учитывается все большее число членов ряда. Поэтому разумно дать такое определение.
Определение. Если при существует конечный предел последовательности частичных сумм https://pandia.ru/text/79/302/images/image011_76.gif" width="103" height="41"> называется его суммой .
Если последовательность https://pandia.ru/text/79/302/images/image013_77.gif" width="80" height="31">, 2) если колеблющаяся. В обоих случаях говорят, что ряд суммы не имеет.
Пример 1. Рассмотрим ряд, составленный из членов геометрической прогрессии:
, (2)
где – называется первым членом прогрессии, а font-size:14.0pt"> Частичная сумма этого ряда при font-size:14.0pt">font-size:14.0pt">Отсюда:
1) если , то
font-size:14.0pt">т. е. ряд геометрической прогрессии сходится и его сумма .
В частности, если 
, ряд 
сходится и его сумма .
При https://pandia.ru/text/79/302/images/image026_42.gif" width="307" height="59 src="> также сходится и его сумма .
2) если , то 
, т. е. ряд (2) расходится.
3) если , то ряд (2) принимает вид font-size:14.0pt"> и
, т. е. ряд расходится
(при font-size:18.0pt">)
.
4) если https://pandia.ru/text/79/302/images/image036_32.gif" width="265" height="37"> . Для этого ряда
https://pandia.ru/text/79/302/images/image038_28.gif" width="253" height="31 src=">,
т. е..gif" width="67" height="41"> не существует, следовательно, ряд также расходится (при ) .
Вычисление суммы ряда непосредственно по определению очень неудобно из-за трудности явного вычисления частичных сумм font-size:14.0pt"> и нахождения предела их последовательности. Но, если установлено, что ряд сходится, его сумму можно вычислить приближенно, т. к. из определения предела последовательности следует, что при достаточно больших . Поэтому при исследовании рядов достаточно
1) знать приемы, позволяющие констатировать сходимость ряда без нахождения его суммы;
2) уметь определить font-size:14.0pt">.gif" width="16 height=24" height="24"> с определенной точностью.
Сходимость числовых рядов устанавливается с помощью теорем, которые называются признаками сходимости.
Необходимый признак сходимости
Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т. е. font-size:14.0pt">.gif" width="61 height=63" height="63"> расходится.
Пример 2. Доказать, что ряд 0 " style="border-collapse:collapse">
;
;
;
.
Решение.
А) https://pandia.ru/text/79/302/images/image051_28.gif" width="176" height="81 src="> расходится.
и поэтому ряд расходится. При решении использовался второй замечательный
предел:
(подробнее см. ).
В) font-size:14.0pt">, т. е. последовательность
– бесконечно
малая. Так как при font-size:14.0pt">~ (см. ), то
~ .Учитывая это, получим:
значит, ряд расходится.
Г) font-size:14.0pt">,
следовательно, ряд расходится.
Условие
является необходимым,
но не достаточным
условием сходимости ряда: существует множество рядов, для которых
, но которые тем не менее расходятся.
Пример 3. Исследовать сходимость ряда font-size:14.0pt"> Решение. Заметим, что https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src=">, т. е. необходимое условие сходимости выполнено. Частичная сумма
left">
– раз
поэтому font-size:14.0pt">, а это значит, что ряд расходится по определению.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
Пусть . Тогда ряд font-size:14.0pt"> Признак сравнения
Пусть и – знакоположительные ряды. Если для всех выполняется неравенство , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда https://pandia.ru/text/79/302/images/image074_19.gif" width="55" height="60">.
Этот признак остается в силе, если неравенство https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, а лишь начиная с некоторого номера . Его можно проинтерпретировать следующим образом: если больший ряд сходится, то меньший тем более сходится; если расходится меньший ряд, то больший также расходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда 0 " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">
;
Решение.
А) Заметим, что
font-size:14.0pt"> для всех 
. Ряд с общим членом
сходится по признаку сравнения.
Б) Сравним ряд с рядом ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> расходится, значит, данный ряд также расходится.
Несмотря на простоту формулировки признака сравнения, на практике более удобна следующая теорема, являющаяся его следствием.
Предельный признак сравнения
Пусть https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – знакоположительные ряды. Если существует конечный и не равный нулю предел , то оба ряда и
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
В качестве ряда, используемого для сравнения с данным, часто выбирают ряд вида 
. Такой ряд называется рядом Дирихле
. В примерах 3 и 4 было показано, что ряд Дирихле с и расходится. Можно пока-
.
Если , то ряд
называется гармоническим
. Гармонический ряд расходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд с помощью предельного признака сравнения, если
|
|
|
;
;
;
Решение. а) Так как при достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, а
~ , то 
~ font-size:14.0pt">сравнения с данным гармонический ряд
font-size:14.0pt">, т. е. .
font-size:14.0pt"> Поскольку предел конечен и отличен от нуля и гармонический ряд расходится, то расходится и данный ряд.
Б) При достаточно больших https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31 src=">.gif" width="132" height="64 src="> – общий член ряда, с которым будем сравнивать данный:
Font-size:14.0pt">Ряд сходится (ряд Дирихле с font-size:16.0pt">) , поэтому данный ряд также сходится.
В) 
, поэтому бесконечно малую
font-size:14.0pt"> можно
заменить на эквивалентную ей при величину (https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> при font-size: 20.0pt">) . ;
;
;
г )
;
.
В данной теме рассмотрим некие критерии, с помощью которых можно сделать выбор между необходимым признаком сходимости ряда, признаками Д"Аламбера и Коши, а также признаками сравнения. Напомню, что признаки сравнения, а также интегральный и радикальный признаки Коши применяются лишь для положительных числовых рядов (т.е. рядов, общий член которых не меньше нуля, $u_n≥ 0$). Признак Д"Аламбера применяется для строго положительных рядов ($u_n > 0$).
Выбор признака, с помощью которого можно проверить сходимость числового ряда, - в общем случае задача непростая. Однако для тех рядов, которые используются в стандартных типовых расчётах и контрольных работах, можно дать некие общие рекомендации. Эти рекомендации я запишу в таблицу.
Пару слов насчёт самой таблицы. Второй столбец описывает сферу применения того или иного признака сходимости в большинстве стандартных контрольных работ. Третий столбец иллюстрирует информацию второго столбца наглядными примерами (все эти примеры решены в соответствующих темах). Четвёртый столбец содержит примеры рядов, которые несколько выбиваются из общей схемы или же встречаются в стандартных контрольных работах не так уж часто.
| Название | Основное применение | Примеры рядов | Дополнительное применение |
| Необходимый признак сходимости | Общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Или же могут присутствовать корни от многочленов. С помощью необходимого условия сходимости можно доказать расходимость произвольного числового ряда (не обязательно положительного). | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+7}{2n+3}\right)^{9n+1}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\sin n$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1-\cos\frac{1}{n}}{\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{17n^5+4\cos(n!)}{6n^5+2n^2-1}$. |
| Признаки сравнения | Общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Или же вместо многочленов (или вместе с ними) могут присутствовать корни от многочленов. Для рядов такого вида приходится выбирать между необходимым признаком сходимости и признаками сравнения. Общий член ряда может содержать не только многочлен, но и некий "отвлекающий элемент", который не влияет на сходимость. Иногда, чтобы увидеть ряд для сравнения, приходится использовать эвивалентные бесконечно малые функции. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{9n+7}{2n^3+5n^2-4}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n^3+2n+9}{n^2(3n+5)^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5n^2-3}{\sqrt{7n^{10}+2n^3-4}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arcsin\frac{7n-1}{9n}}{\sqrt{4n^2-3}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\arctg^2\sqrt{2n^3-1}}{\sqrt{3n^5-2}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\sin\left(\frac{2+(-1)^n}{6}\cdot\pi\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2^{3n}+\cos n!}{5^{2n+1}-n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}$. |
| Признак Д"Аламбера | В выражении общего члена ряда присутствуют многочлен (многочлен может быть и под корнем) и степень вида $a^n$ или $n!$. Или же общий член ряда содержит произведение такого вида: $3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{5^n\cdot(3n+7)}{2n^3-1}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n+5}}{(3n-2)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{3^n\cdot n!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{6^{2n+5}\left(3n^2-1\right)}{(n+3)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{(2n-1)!!}$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n}\sin\frac{2}{3^n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2n+1}-4}{2^{5n}(n+1)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(n!\right)^2}{2^{n^2}}$. |
| Радикальный признак Коши | В выражении общего члена ряда все элементы возведены в степень, которую можно сократить на $n$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3n^2-1}{5n^2+7n}\right)^{2n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+3}{7n-5}\right)^{n^2}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{n(3n+4)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(5n+4)^n}{7^{2n}\cdot n^n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\sin\frac{4}{n^2+2n}\right)^{\frac{n}{2}}$. | $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(3n^2+7\right)\cdot 5^{2n-1}}{4^n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{7^n\cdot n!}$. |
Перед началом работы с этой темой советую посмотреть раздел с терминологией для числовых рядов. Особенно стоит обратить внимание на понятие общего члена ряда. Если у вас есть сомнения в правильности выбора признака сходимости, советую глянуть тему "Выбор признака сходимости числовых рядов" .
Необходимый признак сходимости числовых рядов имеет простую формулировку: общий член сходящегося ряда стремится к нулю. Можно записать этот признак и более формально:
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ сходится, то $\lim_{n\to\infty}u_n=0$.
Часто в литературе вместо словосочетания "необходимый признак сходимости" пишут "необходимое условие сходимости". Однако перейдём к сути: что означает данный признак? А означает он следующее: если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, то ряд может сходиться. Если же $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$ (или же предела попросту не существует), то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.
Стоит обратить внимание, что равенство $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не означает сходимости ряда. Ряд может как сходиться, так и расходиться. А вот если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд гарантированно расходится. Если эти нюансы требуют детальных пояснений, то прошу раскрыть примечание.
Что означает словосочетание "необходимое условие"? показать\скрыть
Поясним понятие необходимого условия на примере. Для покупки ручки студенту необходимо иметь 10 рублей. Это можно записать так: если студент покупает ручку, то у него есть 10 рублей. Наличие десяти рублей - это и есть необходимое условие покупки ручки.
Пусть это условие выполнено, т.е. десятка у студента есть. Значит ли это, что он купит ручку? Вовсе нет. Он может купить ручку, а может приберечь деньги на потом. Или купить что-либо иное. Или подарить их кому-то, - вариантов масса:) Иными словами, выполнение необходимого условия покупки ручки (т.е. наличие денег) вовсе не гарантирует покупку этой ручки.
Точно так же и необходимое условие сходимости числового ряда $\lim_{n\to\infty}u_n=0$ вовсе не гарантирует сходимость этого самого ряда. Простая аналогия: если есть деньги, студент может купить ручку, а может и не купить. Если $\lim_{n\to\infty}u_n=0$, ряд может как сходиться, так и расходиться.
Однако что произойдет, если необходимое условие покупки ручки не выполнено, т.е. денег нет? Тогда студент ручку точно не купит. То же самое и с рядами: если необходимое условие сходимости не выполнено, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд точно будет расходиться.
Говоря кратко: если необходимое условие выполнено, то следствие может как произойти, так и не произойти. Однако если необходимое условие не выполнено, то следствие точно не произойдёт.
Для наглядности приведу пример двух рядов: $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ и $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$. Общий член первого ряда $u_n=\frac{1}{n}$ и общий член второго ряда $v_n=\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю, т.е.
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0;\; \lim_{n\to\infty}v_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0. $$
Однако гармонический ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, а ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится. Выполнение необходимого условия сходимости вовсе не гарантирует сходимости ряда.
Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимости числового ряда:
Если $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n$ расходится.
Чаще всего в стандартных примерах необходимый признак сходимости проверяется, если общий член ряда представлен дробью, числитель и знаменатель которой есть некие многочлены. Например, $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ (см. пример №1). Или же могут присутствовать корни от многочленов (см. пример №2). Бывают примеры, которые несколько выбиваются из данной схемы, но для стандартных контрольных работ это редкость (см. примеры во второй части этой темы). Подчеркну главное: с помощью необходимого признака нельзя доказать сходимость ряда. Этот признак используют, когда нужно доказать, что ряд расходится.
Пример №1
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$. Найдём предел общего члена ряда:
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{3n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{1}{n^2}}{\frac{5n^2}{n^2}+\frac{7}{n^2}}= \lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^2}}{5+\frac{7}{n^2}}=\frac{3+0-0}{5+0}=\frac{3}{5}. $$
"Предел отношения двух многочленов" . Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n=\frac{3}{5}\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.
Решение окончено, однако, полагаю, у читателя возникнет вполне резоннный вопрос: а как мы вообще увидели, что нужно проверить выполнение необходимого условия сходимости? Существует немало признаков сходимости числовых рядов, так почему же взяли именно этот? Данный вопрос совсем не праздный. Но так как ответ на него, возможно, будет интересен не всем читателям, то я скрыл его под примечание.
Почему мы начали применять именно необходимый признак сходимости? показать\скрыть
Если говорить нестрого, то вопрос сходимости этого ряда решается ещё до формального исследования. Я не буду касаться такой темы как порядок роста, просто приведу некие общие рассуждения. Давайте посмотрим на общий член ряда $u_n=\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ повнимательнее. Сначала обратимся к числителю. Число (-1), расположенное в числителе, можно отбросить сразу: если $n\to\infty$, то данное число будет пренебрежимо малым по сравнению с остальными слагаемыми.
Посмотрим на степени $n^2$ и $n$, имеющиеся в числителе. Вопрос: какой элемент ($n^2$ или $n$) будет расти быстрее прочих?
Ответ здесь прост: наиболее быстро будет увеличивать свои значения именно $n^2$. Например, когда $n=100$, то $n^2=10\;000$. И этот разрыв между $n$ и $n^2$ будет всё больше и больше. Поэтому все слагаемые, кроме тех, что содержат $n^2$, мы мысленно отбросим. После такого "отбрасывания" в числителе останется $3n^2$. А после проведения подобной процедуры для знаменателя, там останется $5n^2$. И дробь $\frac{3n^2+2n-1}{5n^2+7}$ теперь станет такой: $\frac{3n^2}{5n^2}=\frac{3}{5}$. Т.е. на бесконечности общий член явно не будет стремиться к нулю. Осталось лишь показать это формально, что и было сделано выше.
Частенько в записи общего члена ряда используют такие элементы, как, например, $\sin\alpha$ или $\arctg\alpha$ и тому подобное. Нужно просто помнить, что значения подобных величин не могут выходить за некие числовые границы. Например, каким бы ни было значение $\alpha$, значение $\sin\alpha$ останется в пределах $-1≤\sin\alpha≤ 1$. Т.е., к примеру, мы можем записать, что $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$. А теперь представьте, что в записи общего члена ряда расположено выражение вроде $5n+\sin(n!e^n)$. Сыграет ли синус, который может "колебаться" лишь от -1 до 1, хоть какую-либо значимую роль? Ведь значения $n$ устремляются в бесконечность, а синус не сможет превысить даже единицу! Поэтому при предварительном рассмотрении выражения $5n+\sin(n!e^n)$ синус можно просто отбросить.
Или, для примера, возьмём арктангенс. Каким бы ни было значение аргумента $\alpha$, значения $\arctg\alpha$ будут удовлетворять неравенству $-\frac{\pi}{2}<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.
Чтобы определить, какие элементы можно "отбрасывать", а какие нет, нужен небольшой навык. Чаще всего вопрос сходимости ряда можно решить ещё до формального исследования. А формальное исследование в стандартных примерах служит лишь подтверждением интуитивно полученного результата.
Ответ : ряд расходится.
Пример №2
Исследовать ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ на сходимость.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$. Найдём предел общего члена ряда:
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{4n^7}{n^7}+\frac{5n^3}{n^7}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9n^2}{n^{\frac{7}{3}}}-\frac{n}{n^{\frac{7}{3}}}+\frac{12}{n^{\frac{7}{3}}}}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{5}{n^4}-\frac{4}{n^7}}}{\frac{9}{n^\frac{1}{3}}-\frac{1}{n^\frac{4}{3}}+\frac{12}{n^\frac{7}{3}}}=+\infty. $$
Если метод решения данного предела вызывает вопросы, то советую обратиться к теме "Пределы с иррациональностями. Третья часть" (пример №7). Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.
Немного поговорим с позиции интуитивных рассуждений. В принципе, здесь верно всё то же самое, что было сказано в примечании к решению примера №1. Если мысленно "отбросить" все "несущественные" слагаемые в числителе и знаменателе общего члена ряда, то дробь $\frac{\sqrt{4n^7+5n^3-4}}{9n^2-n+12}$ примет вид: $\frac{\sqrt{4n^7}}{9n^2}=\frac{n^2\sqrt{4n}}{9n^2}=\frac{\sqrt{4n}}{9}$. Т.е. ещё до формального исследования становится ясным, что при $n\to\infty$ общий член ряда к нулю стремиться не станет. К бесконечности - станет, к нулю - нет. Поэтому остаётся лишь показать это строго, что и было сделано выше.
Ответ : ряд расходится.
Пример №3
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=5^n\sin\frac{8}{3^n}$. Найдём предел общего члена ряда:
$$ \lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\left(5^n\sin\frac{8}{3^n}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=\left|\frac{0}{0}\right|=\left|\begin{aligned}&\frac{8}{3^n}\to 0;\\&\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}. \end{aligned}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{8}{3^n}}{\frac{1}{5^n}}=8\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\frac{5}{3}\right)^n=+\infty. $$
Так как предел общего члена ряда не равен нулю, т.е. $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимый признак сходимости не выполнен. Следовательно, ряд расходится.
Пару слов насчёт тех преобразований, которые были осуществлены при вычислении предела. Выражение $5^n$ было помещено в числитель для того, чтобы выражения и в числителе, и в знаменателе стали бесконечно малыми. Т.е. при $n\to\infty$ имеем: $\sin\frac{8}{3^n}\to 0$ и $\frac{1}{5^n}\to 0$. А если мы имеем отношение бесконечно малых, то смело можем применять формулы, указанные в документе "Эквивалентные бесконечно малые функции" (см. таблицу в конце документа). Согласно одной из таких формул, если $x\to 0$, то $\sin x\sim x$. А у нас и есть как раз такой случай: так как $\frac{8}{3^n}\to 0$, то $\sin\frac{8}{3^n}\sim\frac{8}{3^n}$. Иными словами, мы просто-напросто заменяем выражение $\sin\frac{8}{3^n}$ выражением $\frac{8}{3^n}$.
Полагаю, может возникнуть вопрос, зачем же мы преобразовывали выражение $5^n\sin\frac{8}{3^n}$ к виду дроби, - ведь замену можно было сделать и без такого преобразования. Ответ тут таков: замену-то сделать можно, но вот правомерна ли она будет? Теорема про эквивалентные бесконечно малые функции даёт недвусмысленное указание, что подобные замены возможны лишь в выражениях вида $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}$ (при этом $\alpha(x)$ и $\beta(x)$ - бесконечно малые), расположенных под знаком предела. Вот мы и преобразовали наше выражение к виду дроби, подогнав его под требования теоремы.
Ответ : ряд расходится.
Пример №4
Исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3^n}{n^2}$.
Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac{3^n}{n^2}$. Вообще-то, вопрос со сходимостью этого ряда легко решается с помощью признака Д"Аламбера . Однако можно применить и необходимый признак сходимости.
Посмотрим повнимательнее на общий член ряда. В числителе расположено выражение $3^n$, которое с возрастанием $n$ увеличивается гораздо быстрее, нежели расположенный в знаменателе $n^2$. Сравните сами: например, если $n=10$, то $3^n=59049$, а $n^2=100$. И этот разрыв стремительно увеличивается с ростом $n$.
Вполне логично предположить, что если $n\to\infty$, то $u_n$ не станет стремиться к нулю, т.е. необходимое условие сходимости выполнено не будет. Осталось лишь проверить эту столь правдоподобную гипотезу и вычислить $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}$. Однако перед вычислением этого предела найдём вспомогательный предел функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ при $x\to +\infty$, т.е. вычислим $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}$. Зачем мы это делаем: дело в том, что в выражении $u_n=\frac{3^n}{n^2}$ параметр $n$ принимает лишь натуральные значения ($n=1,2,3,\ldots$), а аргумент $x$ функции $y=\frac{3^x}{x^2}$ принимает действительные значения. При нахождении $\lim_{x\to+\infty}\frac{3^x}{x^2}$ мы можем применить правило Лопиталя:
$$ \lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x^2\right)"}=\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{2x}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x} =\left|\frac{\infty}{\infty}\right|=|\text{применяем правило Лопиталя}|=\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(3^x\right)"}{\left(x\right)"}=\\ =\frac{\ln 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x\ln 3}{1}=\frac{\ln^2 3}{2}\cdot\lim_{x\to +\infty}3^x=+\infty. $$
Так как $\lim_{x\to +\infty}\frac{3^x}{x^2}=+\infty$, то $\lim_{n\to\infty}u_n=\lim_{n\to\infty}\frac{3^n}{n^2}=+\infty$. Так как $\lim_{n\to\infty}u_n\neq 0$, то необходимое условие сходимости ряда не выполнено, т.е. заданный ряд расходится.
Ответ : ряд расходится.
Иные примеры рядов, сходимость которых проверяется с помощью необходимого признака сходимости, находятся во второй части этой темы.
Определение . Числовой ряд (1.1) называется положительным, если все его слагаемые An – положительные числа. Частичная сумма Sn = а1+ а2 + …+ а N такого ряда при любом значении N тоже, естественно, положительна, причем с увеличением номера N она монотонно возрастает. Следовательно, имеются всего две возможности:
2) где S – некоторое положительное число.
В первом случае ряд расходится, во втором сходится. Какая из этих двух возможностей реализуется, зависит, очевидно, от поведения слагаемых ряда при N ® ∞. Если эти слагаемые стремятся к нулю, причем делают это достаточно быстро, то ряд будет сходиться. А если они не стремятся к нулю, или стремятся к нему, но недостаточно быстро, то ряд будет расходиться.
Например, у гармонического ряда (1.16) слагаемые хоть и убывают, стремясь к нулю, но делают это довольно медленно. Поэтому гармонический ряд оказался расходящимся. А вот у положительного ряда (1.6) слагаемые стремятся к нулю гораздо быстрее, поэтому он оказался сходящимся.
Еще пример. Ряд вида
(1.18)
Называется Обобщенным гармоническим рядом (при это будет обычный гармонический ряд). Если исследовать его на сходимость – расходимость аналогично тому, как исследовался гармонический ряд (1.16) (с помощью рисунка, подобного рисунку 7.1), то можно установить (попробуйте это сделать самостоятельно), что обобщенный гармонический ряд расходится при (его сумма ) и сходится при (его сумма S – конечное положительное число). И это понятно: при слагаемое обобщенного гармонического ряда убывают медленнее слагаемых гармонического ряда. А так как гармонический ряд расходится (скорость убывания его слагаемых недостаточна для сходимости), то тем более при будет расходиться и обобщенный гармонический ряд (1.18). А при слагаемые ряда (1.18) будут, очевидно, убывать быстрее, чем слагаемые гармонического ряда (1.16). И этой возросшей скорости убывания оказывается достаточно для сходимости ряда (1.18).
Можно эти соображения изложить строже, в виде так называемого Признака сравнения положительных числовых рядов .
Его суть в следующем. Пусть
(1.19)
(1.20)
Два произвольных положительных числовых ряда. И пусть для всех N =1,2,… . То есть (1.20) – ряд с бóльшими членами, чем ряд (1.19). Тогда очевидно, что:
1) Если ряд с бóльшими членами сходится, то и ряд с меньшими членами сходится.
2) Если ряд с меньшими членами расходится (его сумма равна +∞), то и ряд с бóльшими членами тоже расходится (его сумма тем более равна +∞).
3) Если ряд с бóльшими членами сходится (его сумма равна +∞), то про ряд с меньшими членами ничего сказать нельзя.
4) Если ряд с меньшими членами сходится (его сумма – число), то про ряд с бóльшими членами ничего сказать нельзя.
Замечание 1. В формулировке всех четырех пунктов признака сравнения можно условие , с помощью которого сравниваются ряды и которое должно выполняться для всех N =1,2,3,…, заменить на это же условие , справедливое не для всех N , а лишь начиная с некоторого номера N , то есть для N > N , ибо отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.
Замечание 2. Признак сравнения положительных числовых рядов допускает обобщение. А именно, если существует конечный и отличный от нуля предел
, (1.21)
То есть если
(Bn эквивалентны Lan при ), то положительные числовые ряды (1.19) и (1.20) сходятся или расходятся одновременно. Данное замечание оставим без доказательства.
Пример 5 . Ряд
(1.23)
Расходится (его сумма равна +∞). Действительно, сравнивая этот ряд с гармоническим (1.16), слагаемые которого меньше слагаемых ряда (1.23) для всех N >1, сразу приходим к этому выводу на основании пункта 2 признака сравнения. Его расходимость следует и из того, что это – обобщенный гармонический ряд (1.18) при .
Пример 6. Ряд
(1.24)
Это положительный ряд с меньшим для всех N >1 слагаемыми, чем ряд
(1.25)
Но ряд (1.25) представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем . Такой ряд, согласно (1.15), сходится и имеет сумму S =1. Но тогда сходится и меньший ряд (1.24), причем его сумма .
Пример 7 . Ряд - положительный числовой ряд, у которого слагаемые
при .
Но ряд 
расходится в силу (1.17). Значит, в соответствии с (1.22), расходится и данный ряд со слагаемыми An
.
Признак Даламбера . Этот признак состоит в следующем. Пусть - положительный числовой ряд. Найдем предел Q отношения последующего члена ряда к предыдущему:
(1.26)
Французский математик и механик 19-го века Даламбер доказал, что при Q <1 ряд Сходится; при Q >1 он расходится; при Q =1 вопрос о сходимости - расходимости ряда остается открытым. Доказательство признака Даламбера опускаем.
Пример 8. Исследовать на сходимость – расходимость положительный числовой ряд .
. Применим к этому ряду признак Даламбера. Для этого по формуле (1.26) вычислим Q :
Так как , то данный ряд сходится.
Интегральный признак Коши . Этот признак состоит в следующем. Если члены An положительного ряда монотонно убывают, то этот ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно. Здесь - непрерывная монотонно убывающая функция, принимающая при X = N значения An членов ряда.
