Характеристика рассеяния. Вариационный ряд и его числовые характеристики: положения, рассеяния, формы

Для выборки можно определить ряд числовых характеристик, которые аналогичны основным числовым характеристикам случайных величин в теории вероятностей (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана) и являются в некотором смысле (который будет ясен дальше) их приближенным значением.

Пусть дано статистическое распределение выборки объема n для частот и относительных частот:

Если внести множитель под знак суммы, то получим формулу для выборочного среднего через относительные частоты:

.

Отметим, что в случае интервального ряда выборочное среднее вычисляется по тем же формулам, если в качестве чисел х 1 , … , х k взять середины интервалов: , … ,.

Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от их выборочного среднего:

Снова внося множитель под знак суммы, получим формулу для выборочной дисперсии через относительные частоты:

Несложные преобразования приводят к более удобной формуле для вычисления выборочной дисперсии

,

где есть выборочное среднее квадрата изучаемой случайной величины, т.е.

Если выборка представлена интервальным статистическим рядом, то формулы для выборочной дисперсии остаются те ми же, где, как обычно, в качестве чисел х 1 , … , х k берутся середины интервалов: , … ,.

Выборочным средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из выборочной дисперсии

.

Размахом вариации R называется разность между максимальным и минимальным значением в выборке. Если варианты в выборке ранжированы (размещены в возрастающем порядке), то

.

Коэффициент вариации определяется по формуле

.

Модой М о вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту (или относительную частоту).

Медианой М е вариационного ряда называется число, являющееся его серединой. Для дискретного ряда с нечетным числом вариант медиана равна его серединному варианту. Если же число вариант четно, то Медина равна среднему (т.е. полусумме) двух серединных вариант.

К основным статистическим характеристикам ряда измерений (вариацион­ного ряда) относятся характеристики положения(средние характе­ристики, или центральная тенденция выборки); характеристики рассеяния(ва­риации, или колеблемости) и характеристики формыраспределения.

К характеристикам положения относятся среднее арифметическое значе­ние (среднее значение), мода и медиана.

К характеристикам рассеяния (вариации, или колеблемости) относятся: размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, ошибка средней арифметической (ошибка средней), коэффициент вариации и др.

К характеристикам формы относятся коэффициент асимметрии, мера ско­шенности и эксцесс.

51. Оценка параметров генеральной совокупности. Точечная и интервальная оценка. Доверительный интервал. Уровень значимости

Оценка параметров генеральной совокупности

Существуют точечные и интервальные оценки генеральных параметров.

Точечной одним числом . К таким оценкам относятся, например,

Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие» приближения оцениваемых параметров, они должны быть:

несмещенными;

эффективными;

состоятельными.

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание ее выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.

Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками, т.е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию.

Точечная оценка называется состоятельной, если при увеличении объема выборочной совокупности она стремиться к величине генерального параметра.

Например, выборочная средняя есть состоятельная, несмещённая оценка генеральной средней. Для выборки из нормальной генеральной совокупности эта оценка является также и эффективной.

При выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине при небольшом объеме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала – доверительного интервала .

Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Для оценки генерального параметра с помощью доверительного интервала необходимы три величины:

Например, доверительный интервал для генеральной средней находится по формуле:при уровне значимости.

Доверительный интервал - термин, используемый в математической статистике при интервальной оценке статистических параметров, более предпочтительной при небольшом объёме выборки, чем точечная.

Уровень значимости - это вероятность того, что мы сочли различия существенными, а они на самом деле случайны.

Когда мы указываем, что различия достоверны на 5%-ом уровне значимости, или при р < 0,05 , то мы имеем виду, что вероятность того, что они все-таки недостоверны, составляет 0,05.

Когда мы указываем, что различия достоверны на 1%-ом уровне значимости, или при р < 0,01 , то мы имеем в виду, что вероятность того, что они все-таки недостоверны, составляет 0,01.

Если перевести все это на более формализованный язык, то уровень значимости - это вероятность отклонения нулевой гипотезы, в то время как она верна.

Ошибка, состоящая в той, что мы отклонили нулевую гипотезу, в то время как она верна, называется ошибкой 1 рода. (См. Табл. 1)

Табл. 1. Нулевая и альтернативные гипотезы и возможные состояния проверки.

Вероятность такой ошибки обычно обозначается как α. В сущности, мы должны были бы указывать в скобках не р< 0,05 или р< 0,01, а α< 0,05 или α< 0,01.

Если вероятность ошибки - это α , то вероятность правильного решения: 1-α. Чем меньше α, тем больше вероятность правильного решения.

Исторически сложилось так, что в психологии принято считать низшим уровнем статистической значимости 5%-ый уровень (р≤0,05): достаточным – 1%-ый уровень (р≤0,01) и высшим 0,1%-ый уровень (р≤0,001), поэтому в таблицах критических значений обычно приводятся значения критериев, соответствующих уровням статистической значимости р≤0,05 и р≤0,01, иногда - р≤0,001. Для некоторых критериев в таблицах указан точный уровень значимости их разных эмпирических значений. Например, для φ*=1,56 р=О,06.

До тех пор, однако, пока уровень статистической значимости не достигнет р=0,05, мы еще не имеем права отклонить нулевую гипотезу. Мы будем придерживаться следующего правила отклонения гипотезы об отсутствии различий (Но) и принятия гипотезы о статистической достоверности различий (Н 1).

Для математико-статистического анализа результатов выборки знать только характеристики положения недостаточно. Одна и та же величина среднего значе­ния может характеризовать совершенно различные выборки.

Поэтому кроме них в статистике рассматривают также характеристики рассеяния (вариации, или колеблемости ) результатов .

1. Размах вариации

Определение. Размахом вариации называется разница между наибольшим и наименьшим результатами выборки, обозначается R и определяется

R =X max - X min .

Информативность этого показателя невелика, хотя при малых объёмах вы­борки по размаху легко оценить разницу между лучшим и худшим результатами спортсменов.

2. Дисперсия

Определение. Дисперсией называется средний квадрат отклонения значений признака от среднего арифметического.

Для несгруппированных данных дисперсия определяется по формуле

где Х i – значение признака, - среднее арифметическое.

Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле

,

где х i – среднее значение i интервала группировки, n i – частоты интервалов.

Для упрощения расчётов и во избежание погрешностей вычисления при округ­лении результатов (особенно при увеличении объёма выборки) используются также другие формулы для определения дисперсии. Если среднее арифметическое уже вычислено, то для несгруппированных данных используется следующая фор­мула:

 2 =
,

для сгруппированных данных:

.

Эти формулы получаются из предыдущих раскрытием квадрата разности под знаком суммы.

В тех случаях, когда среднее арифметическое и дисперсия вычисляются од­новременно, используются формулы:

для несгруппированных данных:

 2 =
,

для сгруппированных данных:

.

3. Среднее квадратическое (стандартное ) отклонение

Определение. Среднее квадратическое (стандартное ) отклонение характе­ризует степень отклонения результатов от среднего значения в абсолютных единицах, т. к. в отличие от дисперсии имеет те же единицы измерения, что и результаты измерения. Иначе говоря, стандартное отклонение показывает плотность распределения результатов в группе около среднего значения, или однородность группы.

Для несгруппированных данных стандартное отклонение можно определить по формулам

 =
,

 =
или =
.

Для данных, сгруппированных в интервалы, стандартное отклонение определяется по формулам:

,

или
.

4. Ошибка средней арифметической (ошибка средней)

Ошибка средней арифметической характеризует колеблемость средней и вычисляется по формуле:

.

Как видно из формулы, с увеличением объёма выборки ошибка средней уменьшается пропорционально корню квадратному из объёма выборки.

5. Коэффициент вариации

Коэффициент вариации определяется как отношение среднего квадратического отклонения к среднему арифметическому, выраженное в процентах:

.

Считается, что если коэффициент вариации не превышает 10 %, то выборку можно считать однородной, то есть полученной из одной генеральной совокупности.

Математическая статистика – это раздел математики, изучающий приближенные методы отыскания законов распределения и числовых характеристик по результатам эксперимента.

Генеральная совокупность – это множество всех мыслимых значений наблюдений (объектов), однородных относительно некоторого признака, которые смогли быть сделаны.

Выборка – это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) для непосредственного изучения из генеральной совокупности.

Статистическое распределение – это совокупность вариант x i и соответствующих им частот n i .

Гистограмма частот – это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных га оной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине класса, а высота равна или частоте попадания в интервал n i или относительной частоте n i /n. Ширину интервала i можно определить по формуле Стерджеса :

I=(x max -x min)/(1+3,32lgn),

Где x max – максимальное; x min – минимальное значение вариант, а их разность носит название вариационный размах ; n – объем выборки.

Полигон частот – ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами x i , n i .

5. Характеристики положения (мода, медиана, выборочное среднее) и рассеяния (выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение).

Мода (М о ) – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним значения имеют меньшие частоты встречаемости.

Для одномодальных распределений мода – это наиболее часто встречающаяся варианта в данной совокупности.

Для определения моды интервальных рядов служит формула:

M 0 =x ниж +i*((n 2 -n 1 )/(2n 2 -n 1 +n 3 )),

где х ниж – нижняя граница модального класса, т.е. класса с наибольшей частотой встречаемости n 2 ; n 2 – частота модального класса; n 1 – частота класса, предшествующего модальному; n 3 – частота класса, следующего за модальным; i – ширина классового интервала.

Медиана (М е )- это значение признака. Относительно которого ряд распределения делится на 2 равные по объему части.

Выборочная средняя – это среднее арифметическое значение вариант статистического ряда

Выборочная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения:

Среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень из выборочной дисперсии:

S в =√(S в 2 )

6. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке (точечная и интервальная). Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Числовые значения, характеризующие генеральную совокупность, называются параметрами.

Статистическое оценивание может выполняться двумя способами:

1)точечная оценка – оценка, которая дается для некоторой определенной точки;

2)интервальная оценка – по данным выборки оценивается интервал, в котором лежит истинное значение с заданной вероятностью.

Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке.

Точечная оценка называется состоятельной , если при увеличении объема выборки выборочная характеристика стремится к соответствующей характеристике генеральной совокупности.

Точечная оценка называется эффективной , если она имеет наименьшую дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными оценками.

Точечную оценку называют несмещенной , если ее математическое ожидание равно оценивающему параметру при любом объеме выборки.

Несмещенной оценкой генеральной средней (математического ожидания) служит выборочная средняя в:

в = i n i ,

где x i – варианты выборки; n i – частота встречаемости вариант x i ; n – объем выборки.

Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами – границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.

Доверительная вероятность p – это такая вероятность, что событие вероятности (1-р) можно считать невозможным. α=1-р – это уровень значимости. Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это р≥0,95, р≥0,99, р≥0,999.

Для выборки малого объема (n<30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:

в - m t≤≤ в + m t (р≥0,95),

где – генеральное среднее; в – выборочное среднее; t – нормированный показатель распределения Стьюдента с(n-1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал; m – ошибка выборочной средней.

Характеристики положения дают усредненное представление о характерных значениях, принимаемых случайными величинами. Информации в этих характеристиках тем больше, чем меньшие отклонения от них могут наблюдаться в реальном эксперименте. Показатели, описывающие возможные отклонения значений случайной величины от «средних», называются характеристиками рассеяния. К ним относятся дисперсия, среднеквадратичное отклонение, срединное отклонение, коэффициент вариации и некоторые другие. 2.1. Дисперсия и ее свойства Важнейшей из них является дисперсия. Дисперсией случайной величины £ (обозначение #[£]) называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины (от своего среднего Отметим некоторые свойства дисперсии. используя свойства математического ожидания, получаем Отметим, что если случайные величины - независимы, то из свойства 3 математического ожидания следует, что и указанное свойство выглядит так: 6. Если д^(х) - обобщенная плотность распределения случайной величины f, то £>[£] может быть вычислена из соотношения Характеристики рассеяния Дисперсия и ее свойства Неравенство Чебышёва в частности, если £ - непрерывная случайная величина с плотностью ж), то если же £ - дискретная случайная величина с рядом распределения Пример t (дисперсия бернуллиевой случайной величины). Пусть (- беонуллиева случайная величина, . В соответствие с соотношением (4), получаем (М= р) Пример 2 (дисперсия биномиальной случайной величины). Если £ - биномиальная с параметрами (п, р), то, как было отмечено выше, (представима в виде где - независимые одинаково распределенные бернуллиевы с параметром р случайные величины. Поэтому (свойство дисперсии 5) Одновременно доказано комбинаторное тождество Пример 3 (дисперсия равномерной на (и, случайной величины). Пусто Имеем Характеристикой рассеяния, тесно связанной с дисперсией, является среднее ква-дратическое отклонение случайной величины". Обладая тем же качественным наполнением (содержа в себе ту же информацию), что и дисперсия, среднее квадратическое отклонение имеет то преимущество, что измеряется в тех же единицах, что и рассматриваемая случайная величина. Отметим, что из свойств дисперсии с очевидностью следует: если только - независимы. В заключение заметим, что если у случайной величины £ существуют то можно построить случайную величину £, обладающую теми же свойствами, что и £, но имеющую стандартные числовые характеристики: М = 0 и D = 1. Достаточно положить Переход от (к £ - т носит название центрирование случайной величины а переход от- нормирование. Таким образом, соотношение (6) описывает процедуру нормирования и центрирования случайной величины Очевидно, что центрирование) не меняет дисперсии, в то время как нормирование, носящее характер масштабного преобразования, изменяет математическое ожидание в о раз. 2.2. Неравенство Чебышёва Из определения дисперсии (1) ясно, что она призвана качественно описывать рассеяние значений случайной величины относительно математического ожидания. Точный вероятностный смысл этого описания дается неравенством Чебышёва, которое мы здесь рассмотрим. Теорема. Пусть случайная величина £ обладает математическим ожиданием А/(£| = т и дисперсией /?(£) = а2. Тогда каково бы ни было е > О Рассмотрим вспомогательную случайную величину г/, заданную соотношением Заметим, что и потому По теореме о математическом ожидании функции от случайной величины получаем откуда или чем и завершается доказательство. Отметим, что неравенство (7) часто используется в эквивалентной форме получающейся из (7) применением очевидного соотношения Неравенство Чебышёва показывает, что чем меньше дисперсия, тем реже значения случайной величины £ «сильно» (больше чем на е) отклоняются от среднего т. При фиксированной дисперсии вероятности отклонений на величину, большую, чем е,тем меньше, чем больше е. Неравенство (7) универсально. Оно не предъявляет никаких требований к характеру распределения случайной величины f - достаточно существования т и а. В силу своей универсальности оно малоинформативно количественно - для разумных значений е оценки вероятностей крайне фубы. Пример. Для нормальной случайной величины с параметрами (0, 1) имеем Характеристики рассеяния Дисперсия и ее свойства Неравенство Чебышёва в то время как неравенство Чебышёва дает что верно, но тривиально. Для этой же случайной величины при е = 3 точное значение вероятности, а соотношение (8) приводит к оценке которая уже значительно лучше предыдущей. Несмотря на достаточно грубый характер оценок (7)-(8), без дополнительных предположений о характере распределения случайной величины неравенство Чебышёва, как показывает следующий пример, улучшить нельзя - оно точное1*. Пример. Пусть (-дискретная случайная величина, принимающая значения вероятностями соответственно. Легко видеть, что. Положим е = I и найдем значение вероятности Имеем Неравенство (7) в этой ситуации дает оценку которая совпадает с точным значением оцениваемой вероятности. 2.3. Другие характеристики рассеяния Из других характеристик рассеяния, часто используемых в приложениях, отметим коэффициент вариации и срединное отклонение (среднее арифметическое отклонение). Пусть у случайной величины £ существует А/[£) = m и = о2. Коэффициентом вариации случайной величины £ называется величина Из (9) легко усмотреть, что описывает рассеяние случайной величины £ в долях по отношению к среднему. Как абсолютный показатель рассеяния коэффициент вариации не очень удобен, однако для совместно центрированных случайных величин (т.е. имеющих одинаковые математические ожидания) он позволяет эффективно сравнивать диапазоны изменения. Пусть у случайной величины £ существует Срединным отклонением Срединное отклонение (/[£] качественно имеет тот же смысл, что и среднеква-дратическос отклонение - чем больше срединное отклонение, тем больше рассеяние, чем меньше срединное отклонение - тем меньше рассеяние. В том смысле, что существует случайная величина для которой в неравенствах (7)-(8) при некотором е достигается знак равенства. Для конкретных классов распределений связь между этими показателями может быть установлена, однако в общем случае удобных для использования на практике соотношений между U и а нет. Пример 1. Пусть (- нормально распределенная случайная величина. Тогда В этом случае Пример 2. Пусть { = Л[-о, о| - равномерно распределенная случайная величина. Тогда U = а/2. Характеристики рассеяния Дисперсия и ее свойства Неравенство Чебышёва Отметим, что и в этом случае Замеченное свойство U неслучайно -оно имеет место для любых случайных величин (конечно, обладающих дисперсией). Теорема. Если у случайной величины £ существует D£ = а2, то М В неравенстве Коши-Буняковского (свойство 6 математического ожидания) положим Ь Тогда откуда

ЭФФЕКТИВНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ (ПЛОЩАДЬ) РАССЕЯНИЯ - характеристика отражающей способности цели, выражаемая отношением мощности эл. магн. энергии, отражаемой целью в направлении приёмника, к поверхностной плотности потока энергии, падающей на цель. Зависит от… … Энциклопедия РВСН

Квантовая механика … Википедия

- (ЭПР) характеристика отражающей способности цели, облучаемой электромагнитными волнами. Значение ЭПР определяется как отношение потока (мощности) электромагнитной энергии, отражаемой целью в направлении радиоэлектронного средства (РЭС), к… … Морской словарь

полоса рассеяния - Статистическая характеристика экспериментальных данных, отражающая их отклонение от средних значения. Тематики металлургия в целом EN desperal band … Справочник технического переводчика

- (функция передачи модуляции), ф ция, с помощью к рой оценивают «резкостные» св ва изображающих оптич. систем и отд. элементов таких систем. Ч. к. х. есть преобразование Фурье т. н. функции рассеяния линии, описывающей характер «расплывания»… … Физическая энциклопедия

Функция передачи модуляции, функция, с помощью которой оценивают «резкостные» свойства изображающих оптических систем и отдельных элементов таких систем (см., например, Резкость фотографического изображения). Ч. к. х. есть Фурье… …

полоса рассеяния - статистическая характеристика экспериментальных данных, отражающая их отклонение от среднего значения. Смотри также: Полоса полоса скольжения полоса сброса полоса прокаливаемости … Энциклопедический словарь по металлургии

ПОЛОСА РАССЕЯНИЯ - статистическая характеристика экспериментальных данных, отражающая их отклонение от средних значения … Металлургический словарь

Характеристика рассеяния значений случайной величины. М. т. h связана с квадратичным отклонением (См. Квадратичное отклонение) σ формулой Этот способ измерения рассеяния объясняется тем, что в случае нормального… … Большая советская энциклопедия

ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА - ВАРИАЦИОННАЯ СТАТИСТИКА, термин, объединяющий группу приемов статистического анализа, применяющихся преимущественно в естественных науках. Во второй половине XIX в. Кетле (Quetelet, «Anthro pometrie ou mesure des differentes facultes de 1… … Большая медицинская энциклопедия

Математическое ожидание - (Population mean) Математическое ожидание – это распределение вероятностей случайной величины Математическое ожидание, определение, математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, выборочное, условное матожидание, расчет,… … Энциклопедия инвестора