Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы. Достаточные признаки существования экстремума (доказать одну из теорем) Второй достаточный признак экстремума

Теорема 12. {Первый достаточный признак экстремума) Пусть х 0 - критическая точка непрерывной функции f(х). Если f" (х) при переходе через точку x 0 меняет знак с «+» на «-», то x 0 - точка локального максимума. Если f "(х) при переходе через точку х 0 меняет знак с «-» на «+», то х 0 - точка локального минимума. Если f "(х) при переходе через точку x 0 не меняет знак, то х 0 не является точкой локального экстремума.

Доказательство. Пусть x 0 - точка возможного экстремума функции, причем

f "(x)>0 для xx Э U (x 0 ,Дельта);

f "(x) х 0 , A x Э U (x 0 ,Дельта). Тогда

при f "(x)>0 для xx Э U (x 0 ,Дельта); => f(x 0 )>f(x),

При f "(x) х 0 , A x Э U (x 0 ,Дельта). => f(x 0 )
следовательно A x Э U (x 0 ,Дельта): f (x 0 )> f (x ), т. е. точка х 0 является точка локального максимума.

Аналогично доказывается и существование точки локального минимума. Если f `(x ) сохраняет знак в окрестности точки х 0 , то в этой окрестности функция монотонна, т. е. точка х 0 не является точкой локального экстремума.

Аннотация
Данная работа преследует несколько целей. Первая из которых заключается в изложении нового подхода к Платоновым телам (ПТ) Второй, не менее важной, целью являет освещение роли Платоновых тел в контексте развития математики и науки в целом.

Платоновы тела также рассматриваются и с более общих позиций – их симметрия, связь с «золотым сечением», их влияния на развитие математики и всего теоретического естествознания. Обсуждаются результаты их использования в науке прошлых веков («Божественная пропорция» Пачоли, «Космический кубок» Кеплера, «икосаэдрическая идея» Клейна). Приводятся примеры современных научных открытий, основанных на ПТ (квазикристаллы, фуллерены, новый подход к созданию теории элементарных частиц).

Уделяется внимание и роли Платоновых тел в создании «Начал» Евклида. Согласно «гипотезе Прокла» развитие математики, начиная с Евклида, осуществлялось в двух направлениях: «Классическая математика» (позаимствовала в «Началах» аксиоматический подход, теорию чисел и теорию иррациональностей) и «Математика гармонии» (основана на ПТ и «золотом сечении»).

На основании проделанной работы делается вывод: по своему влиянию на развитие математики и науки в целом Платоновы тела вместе с «золотым сечением» можно поставить в один ряд не только с теоремой Пифагора (Кеплер), но и с натуральными и иррациональными числами.
Содержание:

1. 
   Платоновы тела
2. 
   Симметрия Платоновых тел
3. 
   Связь Платоновых тел с «золотым сечением»
4. 
   Гипотеза Прокла: с какой целью Евклид написал свои «Начала»?
5. 
   Новый взгляд на развитие математики, вытекающий из гипотезы Прокла
6. 
   «Космический кубок» Иоганна Кеплера
7. 
   Платоновы тела и «золотое сечение» в «Божественной пропорции» Луки Пачоли
8. 
   Икосаэдрическая идея Феликса Клейна
9. 
   Квазикристаллы Дана Шехтмана
10. 
    Фуллерены (Нобелевская Премия по химии - 1996)
11. 
    Новые подходы в теории элементарных частиц
12. 
    Экспериментальное доказательство проявления «золотого сечения» в квантовом мире
13. 
    Сюрпризы для теоретического естествознания
14. 
    Заключение: Платоновы тела как уникальные геометрические объекты науки и природы
15. 
    Литература

их прогресс был медленным, а приложения ограниченными.

Но когда эти науки объединили свои усилия, они

позаимствовали друг у друга новые жизненные силы

и с тех пор быстрыми шагами направились к совершенству

(Жозеф Луи Лагранж)

1. Платоновы тела

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Но почему правильные многогранники называют Платоновыми телами?

Платон (428-348 до н.э.) в своих трудах много внимания уделил взглядам пифагорейцев на правильные тела, поскольку и сам считал, что вся Вселенная имеет форму додекаэдра, а материя состоит из атомов четырех типов, которые имеют форму тетраэдров, кубов, октаэдров и икосаэдров. Он первым воспел красоту правильных выпуклых многогранников, обладающих удивительной симметрией в трёхмерном пространстве. Грани этих многогранников – это правильные многоугольники с одинаковым числом сторон; в каждой вершине многогранников сходится одинаковое число рёбер. Примечательно, что все пять Платоновых тел в разные времена использовались в качестве игральных костей.

^ Теэтет Афинский (417 - 369 до н. э. ), современник Платона, дал математическое описание правильных многогранников и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

После них эстафету принял Евклид (365-300 до н.э.). В заключительной книге знаменитых «Начал» Евклид дал не только полный, подробный анализ Платоновых тел, но и простейшее геометрическое доказательство существования не более пяти правильных тел.

Теории многогранников посвящено много книг. Одной из наиболее известных является книга английского математика М. Венниджера «Модели многогранников». В русском переводе эта книга опубликована издательством «Мир» в 1974 г. Эпиграфом к книге выбрано высказывание Бертрана Рассела: « Математика владеет не только истиной, но и высокой красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Эта мысль Бертрана Рассела, прежде всего, может быть отнесена к правильным многогранникам, с которых и начинается книга М. Венниджера. Эти многогранники принято называть Платоновыми телами, названными так в честь древнегреческого философа Платона, который использовал правильные многогранники в своей космологии. Начнем наше рассмотрение с правильных многогранников, гранями которых являются равносторонние треугольники.

Первый из них – это тетраэдр (Рис.1-а). В тетраэдре три равносторонних треугольника встречаются в одной вершине; при этом их основания образуют новый равносторонний треугольник. Тетраэдр имеет наименьшее число граней среди Платоновых тел и является трехмерным аналогом плоского правильного треугольника, который имеет наименьшее число сторон среди правильных многоугольников.

(а)

(г) (д)

Рисунок 1. Платоновы тела: (а) тетраэдр («Огонь»), (б) гексаэдр или куб («Земля»), (в) октаэдр («Воздух»), (г) икосаэдр («Вода»), (д) додекаэдр («Вселенский разум»)

Следующее тело, которое образуется равносторонними треугольниками, называется октаэдром (Рис.1-б). В октаэдре в одной вершине встречаются четыре треугольника; в результате получается пирамида с четырехугольным основанием. Если соединить две такие пирамиды основаниями, то получится симметричное тело с восемью треугольными гранями – октаэдр.

Теперь можно попробовать соединить в одной точке пять равносторонних треугольников. В результате получится фигура с 20 треугольными гранями – икосаэдр (Рис.1-г). Следующая правильная форма многоугольника – квадрат. Если соединить три квадрата в одной точке и затем добавить еще три, мы получим совершенную форму с шестью гранями, называемую гексаэдром или кубом (Рис. 1-в).

Наконец, существует еще одна возможность построения правильного многогранника, основанная на использовании следующего правильного многоугольника –

пентагона. Если собрать 12 пентагонов таким образом, чтобы в каждой точке встречалось три пентагона, то получим еще одно Платоново тело, называемое додекаэдром (Рис.1-д).

Следующим правильным многоугольником является шестиугольник. Однако если соединить три шестиугольника в одной точке, то мы получим плоскость, то есть, из шестиугольников нельзя построить объемную фигуру. Любые другие правильные многоугольники выше шестиугольника не могут образовывать тел вообще. Из этих рассуждений вытекает, что существует только пять правильных многогранников, гранями которых могут быть только равносторонние треугольники, квадраты и пентагоны.

2. Симметрия Платоновых тел

С давних времен Платоновы тела привлекали внимание исследователей своими исключительными симметрическими свойствами. Обычно для характеристики симметрии некоторого объекта приводится полная совокупность элементов симметрии. Например, группа симметрий снежинки имеет вид L 6 6Р. Это означает, что снежинка имеет одну ось симметрии шестого порядка L 6 , то есть, может 6 раз «самосовмещаться» при повороте вокруг оси, и 6 плоскостей симметрии. Группа симметрий цветка ромашки, имеющего 24 лепестка, имеет вид L 24 24Р, то есть, цветок имеет одну ось 24-го порядка и 24 плоскости симметрии. В таблице 1 приведены группы симметрий всех «Платоновых Тел».

Таблица 1. Группы симметрий Платоновых тел

^ 3. Связь Платоновых тел с « золотым сечением».

Анализ Платоновых тел на Рис. 1 показывает, что два Платоновых тела - додекаэдр и двойственный ему икосаэдр непосредственно связаны с «золотым сечением». Действительно, гранями додекаэдра (Рис. 1-д) являются пентагоны, т.е., правильные пятиугольники, основанные на золотом сечении. Если внимательно посмотреть на икосаэдр (Рис. 1-г), то можно увидеть, что в каждой вершине икосаэдра сходится пять треугольников, внешние стороны которых образуют пентагон. Уже этих фактов достаточно, чтобы убедиться в том, что «золотое сечение» играет существенную роль в конструкции этих двух Платоновых тел.

Но существуют более глубокие математические подтверждения фундаментальной роли, которую играет золотое сечение в икосаэдре и додекаэдре. Известно, что эти тела имеют три специфические сферы. Первая (внутренняя) сфера вписана в тело и касается его граней. Обозначим радиус этой внутренней сферы через R i . Вторая или средняя сфера касается ее ребер. Обозначим радиус этой сферы через R m . Наконец, третья (внешняя) сфера описана вокруг тела и проходит через его вершины. Обозначим ее радиус через R c . В геометрии доказано, что значения радиусов указанных сфер для додекаэдра и икосаэдра,

имеющего ребро единичной длины, выражается через золотую пропорцию:
(Табл.2).

Таблица 2. Золотая пропорция в сферах додекаэдра и икосаэдра

Заметим, что отношение радиусов одинаково, как для икосаэдра, так и

для додекаэдра. Таким образом, если додекаэдр и икосаэдр имеют одинаковые вписанные сферы, то их описанные сферы также равны между собой. Доказательство этого математического результата дано в Началах Евклида.

В геометрии известны и другие соотношения для додекаэдра и икосаэдра, подтверждающие их связь с золотой пропорцией. Таким образом, существует огромное количество соотношений, полученных еще античными математиками, подтверждающих замечательный факт, что именно золотое сечение является главной пропорцией додекаэдра и икосаэдра, и этот факт является особенно интересным с точки зрения так называемой « додекаэдро- икосаэдрической доктрины» .

Чтобы исследовать поведение функции , нужно:

2) Приравнять эту производную к нулю и решить полученное уравнение
Его корни
являются стационарными точками.

3) Подвергнуть стационарные точки дополнительному исследованию, для чего нанести их на числовую ось и определить знаки
на получившихся участках. Зная эти знаки, можно определить характер каждой стационарной точки. Если при прохождении через стационарную точку производная
меняет знак с плюса на минус, то стационарная точка является точкой максимума. Если при прохождении через стационарную точку знак производной меняется с минуса на плюс, то стационарная точка является точкой минимума. Если при прохождении через стационарную точку производная
знак не меняет, то стационарная точка не является точкой экстремума.

Иногда при нахождении экстремумов используются другие достаточные условия, в которых характер точки экстремума определяется знаком второй производной в стационарной точке.

Теорема (второе достаточное условие существования экстремума).Пусть --- стационарная точка функции(то есть
иимеет вторую производную, непрерывную в окрестности точки.Тогда

1)если
, то--- точка максимума функции;

2)если
, то--- точка минимума функции.

Пример 3. Найти экстремум функции .

Решение. Поскольку
периодическая функция с периодом
, достаточно рассмотреть лишь промежуток от 0 до
. Найдем
и
:

,
.

Приравнивая
к нулю, найдем стационарные точки:

или
. На промежутке
лежат два корня этого уравнения:
и
. Определим знак
в этих точках:
, следовательно
--- точка максимума:

, следовательно
--- точка минимума.

Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Рассмотрим на плоскости кривую Г, являющуюся графиком дифференцируемой функции
.

Определение 1 . Кривая называется выпуклой вверх (выпуклой) на (a,b), если на этом интервале все точки кривой лежат не выше любой ее касательной.

Определение 2. Кривая называется выпуклой вниз (вогнутой) на
, если на этом интервале все точки кривой лежат не ниже любой ее касательной.

Направление выпуклости кривой является важной характеристикой ее формы. Установим признаки, с помощью которых определяют интервалы, на которых график функции является выпуклым (вогнутым). Таким признаком служит, например, знак второй производной функции
(если она существует).

Теорема 1.
вторая производная функцииотрицательна, то кривая
на этом интервале выпукла вверх.

Теорема 2. Если во всех точках интервала
вторая производная функции
положительна, то кривая
на этом интервале вогнута (выпукла вниз).

Пример 1. Найти интервалы выпуклости-вогнутости функции

Решение. При

следовательно, функция при этихвыпукла; при

, следовательно, при этихфункция вогнута.

Определение 3 . Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекает кривую, так как с одной стороны от этой точки кривая лежит под касательной, а с другой стороны - над ней.

Теорема 3. (Необходимое условие перегиба). Если есть точка перегиба кривой
и в ней существует вторая производная
то
.

Откуда следует, что проверять на перегиб надо лишь те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

Теорема 4. Если при переходе через точку вторая производная
меняет знак, то точка кривой
с абсциссойесть точка перегиба.

Пример 2.Найти точки перегиба кривой
.

Решение. Область допустимых значений:
.

Находим производные:

;
.

Вторая производная нигде не обращается в ноль, но при
не существует.

Определим знаки
слева и справа от точки
:

при
, следовательно на интервале
функция вогнута;

при
, следовательно на интервале
функция выпукла.

Таким образом, при
существует точка перегиба
.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

Другими словами:

Алгоритм.

• Находим область определения функции.

Находим производную функции на области определения.

Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума , проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x = 2 .
Находим производную:

Нулями числителя являются точки x = -1 и x = 5 , знаменатель обращается в ноль при x = 2 . Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x = -2, x = 0, x = 3 и x = 6 .

Следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.
В точке x = -1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x = -1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .
В точке x = 5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x = -1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .
Графическая иллюстрация.

Ответ: .

Второй достаточный признак экстремума функции.
Пусть ,

если , то - точка минимума;

если , то - точка максимума.

Как видите, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке .
Пример. Найти экстремумы функции .
Решение.
Начнем с области определения:

Продифференцируем исходную функцию:

Производная обращается в ноль при x = 1 , то есть, это точка возможного экстремума.
Находим вторую производную функции и вычисляем ее значение при x = 1 :Причем,

Необходимый признак экстремума можно сформулировать и так: если точка M (x 0 , y 0 ) является точкой локального экстремума диффе­ренцируемой функции z = f (x , y ), то вектор градиента этой функции в этой точке будет нулевым вектором, т.е. .

Точки, в которых частные производные первого порядка функции двух переменных равны нулю, называются стационар­ными точками.

Для формулировки достаточного признака экстремума функции двух переменных нам понадобится матрица дифференциала второго порядка этой функции, записанного в виде квадратичной формы:

А также определитель этой матрицы, который можно записать в следующем виде:

Достаточный признак экстремума

Замечание. Если в стационарной точке М : Δ = АВ – С 2 = 0, то наличие экстремума возможно, но для этого требуется проведение дополнительных исследований.

ПРИМЕР: Найти экстремумы функции

Вычислим частные производные первого и второго порядка данной функции:

Для нахождения стационарных точек приравняем к нулю частные производные первого порядка и получим систему уравнений:

или:

Решая эту систему, получим две стационарные точки М (0, 0) и N (1, 1/2).

Для выяснения наличия экстремумов и их характеров в этих точках вычислим значения частных производных второго порядка последовательно в каждой точке.

Для стационарной точки М (0, 0) получим:

Поскольку: Δ = АВ – С 2 = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстре­му­ма нет.

Для стационарной точки N (1, 1/2) получим:

Поскольку Δ = АВ – С 2 = 108 > 0 и A = 6 > 0, заключаем, что в этой стационарной точке будет локальный минимум данной функции. Причем значение функции в точке минимума будет равно 0.

Метод наименьших квадратов

В практических приложениях, в том числе и экономических, часто возникает задача сглаживания некоторых экспериментально полученных зависи­мостей. То есть задача по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x , исключив случайные отклонения от этой общей тенденции, обусловленные неизбежными погрешностями экспериментальных или статисти­ческих данных. Такую сглаженную зависимость обычно ищут в виде формулы. При этом формулы, служащие для аналитического представления зависимостей опытных или экспериментальных данных, принято называть эмпирическими.

Задача поиска подходящей эмпирической формулы обычно разбивается на два основных этапа. На первом этапе устанавливают, или выбирают, общий вид такой зависимости y = f (x ), т.е. решают, является ли данная зависимость линейной, квадратич­ной, показательной, логарифмической и т.д. При таком выборе часто привлекаются дополнительные соображения, как правило, нематематического характера. На втором этапе находят неизвестные параметры выбранной эмпирической функции, используя только массив экспериментально получен­ных данных.

Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров эмпиричес­кой функции f (x ) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов “невязок” δ i (отклонений “теоретических” значений функции от экспериментально полу­ченных значений) была бы минимальной, т.е.:

где и - экспериментальные данные, а n – общее количество пар этих данных.

Рассмотрим простейшую задачу такого рода. Пусть в качестве эмпири­чес­кой функции выбрана линейная функция, т.е. (рис. 22), и необ­ходимо найти такие значения параметров a и b , которые доставят минимум функции: .

Очевидно, функция будет функцией двух переменных a и b до тех пор, пока не найдены и не зафиксированы их “наилучшие” значе­ния, поскольку все и есть постоянные числа, найденные экспериментально. Поэтому для нахождения параметров прямой, наилучшим образом согласован­ной с опытными данными, достаточно решить систему уравнений:

После соответствующих вычислений производных и тождест­венных преобразований эта система может быть пред­став­­лена в виде системы нормальных уравнений :

Эта система линейных уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера:

;

Таким образом, наилучшим линейным приближением экспериментальной зависимости по методу наименьших квадратов будет являться прямая .

ПРИМЕР: Зависимость между прибылью предприятия Y и стои­мостью основных фондов Х , выраженных в условных единицах, задается таблицей.

Для выяснения вида эмпирической формулы связи построим график экспериментальной зависимости (кружки на рис. 23). По расположению экспериментальных точек на графике можно предположить, что зависимость между Х и Y является линейной, т.е. имеет вид:

Для определения числовых значений параметров а и b проведем расчет коэффициентов системы нормальных уравнений, а для удобства сведем вычисления в таблицу.

По данным таблицы:

Подставляя найденные значения (с учетом того, что n = 7) в формулы для расчета параметров а и b , найдем:

Таким образом, эмпирическая зависимость имеет вид (на рис. 23 изображена сплошной прямой): y = 0,557x – 5,143.

ВОПРОСЫ для самоконтроля знаний по теме 6:

1. Задает ли уравнение функцию нескольких переменных?