Теорема о вычислении двойного интеграла доказательство. Двойной интеграл

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла. К понятию двойного интеграла мы приходим, решая конкретную задачу вычисления объема цилиндрического тела. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью хОу, некоторой поверхностью и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси (см. рис.1). Область D изменения переменных х и у называется основанием цилиндрического тела. При определении объема тела будем исходить из двух принципов: !) если разбить тело на части, то его объем равен сумме объемов всех частей (свойство аддитивности); 2) объем прямого цилиндра, ограниченного плоскостью z = const, параллельной плоскости хОу, равен площади основания, умноженной на высоту. В дальнейшем мы будем предполагать, что область D является связной (состоящей из одного куска), квадрируемой (т. е. имеющей площадь) и ограниченной (т. е. расположенной внутри некоторого круга с центром в начале координат). Пусть - непрерывная функция точки Р(х, у) в области всюду в области Z>, т. е. что рассматриваемая цилиндрическая поверхность целиком лежит над плоскостью хОу. Обозначим объем цилиндрического тела через V. Разобьем область D - основание цилиндрического тела - на некоторое число п непересекающихся квадрируемых областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, площади - через соответственно. Назовем диаметром частичной области Dk величину Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах где символ р{Р; Q) означает расстояние между точками Р и Q. Обозначим через d наибольший из диаметров частичных областей Dk (к = 1,2,..., п). Проведем через границу каждой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. В результате цилиндрическое тело окажется разбитым на п частичных цилиндричесжх тел. Заменим к-ое частичное тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной аппликате какой-нибудь точки заменяемой поверхности (рис. 2). Объем такого цилиндра равен где точка - площадь области Dk. Проделав описанные построения для каждого частичного цилиндрического тела, получим п-ступенчатое тело, объем которого (о Интуитивно ясно, что Vn тем точнее выражает искомый объем V, чем меньше размеры частичных областей Dk. Принимаем объем V цилиндрического тела равным пределу, к которому стремится объем (1) п-ступенчатого тела при n-юои стремлении к нулю наибольшего диаметра d частичных областей Dk. Естественно, предел не должен зависеть от вида разбиения области D на частичные области Dk и от выбора точек Рк в частичных областях. Пусть /(х, у) - произвольная функция, заданная в области D. Сумма п (1) называется интегральной суммой для функции f(x}y) по области D, соответствующей данному разбиению этой области на п частичных областей и данному выбору точек Ж®*,!/*) на частичных областях Dk. Определение. Если при d -* О существует предел интегральных сумм п не зависящий ни от способа разбиения области D на частичные области, ни от выбора точек Рк в частичных областях, то он называется двойным интегралом от функции f(P) (или f(x, у)) по области D и обозначается символом ИЛИ Итак, (2) Самафункция f(x, у) при этом называется интегрируемой в области D (f(P) - подынтегральная функция, f(P) dS - подынтегральное выражение, dS - дифференциал (или элемент) площади, область D - область интегрирования; точка Р(®, у) - переменная тонка интегрирования). ,.. Возвращаясь к цилиндрическому телу, заключаем: объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью хОу, поверхностью, и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ог, равен двойному интегралу от функции /(х, у) по области D, являющейся основанием цилиндрического тела./ ИЛИ Здесь dx dy - элемент площади в декартовых координатах. Таков геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции. Если то объем Если в области D функции f(P) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то интеграл представляет алгебраическую сумму объемов тех частей тела, которые расположены над плоскостью хОу (берутся со знаком «+»), и тех частей тела, которые расположены под плоскостью хОу (берутся со знаком «-»). К составлению сумм вида (1) для функции двух независимых переменных и к последующему предельному переходу приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме цилиндрического тела. Сформулируем достаточные условия интегрируемости. Теорема 1. Всякая функция у), непрерывная в ограниченной замкнутой области D, интегрируема в этой области. Требование непрерывности подынтегральной функции часто оказывается слишком стеснительным. Для приложений важна следующая теорема, гарантирующая существование двойного интеграла для некоторого класса разрывных функций. Будем говорить, что некоторое множество точек плоскости, имеет площадь нуль, если его можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади. Теорема 2. Если функция /(ж, у) ограничена в замкнутой ограниченной области D и непрерывна всюду в D, кроме некоторого множества точек площади нуль, то эта функция интегрируема в области D. §2. Основные свойства двойного интеграла Двойные интегралы обладают рядом свойств, аналогичных свойствам определенного интеграла для функций одной независимой переменной. 2.1. Линейное свойство Если функции) интегрируемы в области D, а а и р - любые вещественные числа, то функция af) также интегрируема в области D, причем о) 2.2. Интегрирование неравенств Если функции) интегрируемы в области D и всюду в этой области то (2) т. е. неравенства можно интегрировать. В частности, интегрируя очевидные неравенства получим Площадь плоской области Площадь плоской области D равна двойному интегралу по этой области от функции, тождественно равной единице. Действительно, интегральная сумма для функции /(Р) = 1 в области D имеет вид и при Любом разбиении области D на частичные области Dt, равна ее площади S. Но тогда и предел этой суммы, т. е. двойной интеграл, равен площади S области D: или, что то же, (3) 2.4. Оценка интеграла Пусть функция /(Р) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, пусть М и тп - наибольшее и наименьшее значения /(Р) в области D и 5 - ее площадь. Тогда (4) 2.5. Аддитивность: Если функция /(Р) интегрируема в области D и область Z) разбита на две области D\ и Di без общих внутренних точек, то /(Р) интегрируема на каждой из областей D\ и Di, причем (5) 2.6. Теорема о среднем значении Теорема 3 (о среднем значении). Если функция /(Р) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то найдется по крайней мере одна точка Рс области D такая, что будет справедлива формула и где S - площадь области D В самом деле, так как /(Р) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она принимает в D свое наибольшее значение М и свое наименьшее значение т. По свойству 4 об оценке интеграла имеем Таким образом, число заключено между наибольшим и наименьшим значениями функции /(Р) в области D. В силу непрерывности функции /(Р) в области D она принимает в некоторой точке Рс G D значение, равное этому числу, откуда S Значение f(Pc), определяемое поформуле (7), называется средним значением функции f(P) в области D. Геометрически й смысл теоремы о среднем значении Если в области D функция /(Р) ^ О, то формула (6) означает, что существует прямой цилиндр с основанием D (площадь которого равна 5) и высотой Н = /(Рс), объем которого равен объему цилиндрического тела (рис. 3). § 3. Сведение двойного интеграла к повторному Одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла является сведение его к повторному. 3.1. Случай прямоугольника Пусть область D - замкнугый прямоугольник П со сторонами, параллельными осям координат. Пусть функция f{x, у) непрерывна в прямоугольнике П. Двойной интеграл можно интерпретировать как (алгебраический) объем цилиндрического тела с основанием П, ограниченного поверхностью Рассмотрим соответствующее цилиндрическое тело. Проведем плоскость перпендикулярную оси Оу (рис.4). Эта плоскость рассечет цилиндрическое тело по криволинейной трапеции, ограниченной сверху плоской линией z, описываемой уравнениями Площадь трапеции АВВ\А\ выражается интегралом где интегрирование производится по х, а уо - второй аргумент подынтегральной функции - рассматривается при этом как постоянный (с ^ Уо ^ d). Величина интеграла (1) зависит от выбора значения уо. Положим (2) Выражение (2) дает площадь поперечного сечения цилиндрического тел а как функции от у. Поэтому объем цилиндрического тела можно вычислить по формуле С другой стороны, этот объем выражается двойным интегралом от функции /(ж, у) по прямоугольнику П. Значит, Заменяя S(y) его выражением (2), получим Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах Последнее соотношение обычно записывается так Объем цилиндрического тела можно отыскать также по площадям сечений плоскостями х = х0. Это приводит к формуле (4) Каждое из выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (4), содержит две последовательные операции обыкновенного интегрирования функции /(ж, у). Они называются повторными интегралами от функции /(ж, у) по области П. Если /(ж, у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, то переход к повторным интегралам всегда возможен и (5) т. е. значения повторных интегралов от непрерывной функции /(ж, у) не зависят от порядка интегрирования. Пример 1. Найти двойной интеграл от функции по области Имеем (см. рис. 5): 3.2. Случай произвольной области Предположим теперь, что областью интегрирования является произвольная ограниченная квадрируемая зам к нута я область D на плоскости хОу, удовлетворяющая следующему условию: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области D не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 6 а). Заключим область D внутрь прямоугольника так, как показано на рис. 66. Отрезок [а, 6] является ортогональной проекцией области D на ось Оху а отрезок [с, dj - ортогональной проекцией области D на ось Оу. Точками А и С граница области D разбивается на две кривые ABC и АЕС. Каждая из этих кривых пересекается с произвольной прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной точке. Поэтому их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно у: Пусть f{x, у) - некоторая функция, непрерывная в области D. Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело плоскостью. В сечении получим криволинейную трапецию PQMN (рис.7), площадь которой выражается обыкновенным интегралом от функции /(х, у), рассматриваемой как функция одной переменной у. При этом переменная у изменяется от ординаты точки Р до ординаты точки Q\ точка Р естьто*!-ка «входа» прямой х = const (в плоскости) в область - точка ее «выхода» из этой области. Так как уравнение кривой ABC есть, а кривой то эти ординаты при взятом х соответственно равны. Следовательно, интеграл дает нам выражение для площади плоского сечения цилиндрического тела как функции положения секущей плоскости х = const. Объем всего тела будет равен интегралу от этого выражения по ж в промежутке изменения. Таким образом, В частности, для площади S области D получим Предположим теперь, что каждая прямая пересекает границу области D не более чем в двух точках Р и Q, абсциссы которых равны соответственно (или по целому отрезку) (рис. 8). Проводя аналогичные рассуждения, приходим к формуле также сводящей вычисление двойного интеграла к повторному. Пример 2. Вычислить двойной интеграл от функции по области D. ограниченной линиями ^ Первый способ. Изобразим область интегрирования D. Прямая у = х и парабола у = х2 пересекаются в точках). Значит, х изменяется 8 пределах от 0 Любая прямая х = const) пересекает границу области не более чем в двух точках. Поэтому применима формула (8): Второй способ (рис. 10). Применяя формулу (10). получим тот же результат: Пример 3. Вычислить обьем тела, ограниченного поверхностью пересекается с плоскостью хОу по линии эллипс с полуосями в силу симметрии данного тела относительно координатных плоскостей жОж и у Ох получаем: Замечание. Если область D такова, что некоторые прямые (осртекальны е или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках, то для вычисления двойного интеграла по области D следует разбитьее подходящим образом на части, свссгм к повторному каяцый из интегралов поэтом частям и полученные результаты сложить. Пример 4. Вычислить двойной интеграл по области D, заключенной между двумя квадратами с центрам и в начале координат и сторонами, параллельными осям координат, если сторона внутреннего квадрата равна 2, а внешнего - 4. непрерывна как в большом квадрате Q, сторона которого равна 4, так и в малом квадрате Р. сторона которого равна 2 (рис. 12). Согласно теореме 1, интегралы от функции е*** по указанным квадратам существуют, так что величина искомого интеграла §4. Замена переменных в двойном интеграле 4.1. Понятие криволинейных координат точки Пусть в области D* плоскости uOv задана пара фунмдий которые м ы будем считать непрерывными в этой области и имеющими непрерывные частные производные. В силу уравнения (1) кажд ой точке М*(«, v) области D* отвечает одна определенная точка М(х, у) в плоскости хОу и тем самым точкам области D* отвечает некоторое множество D точек (ж, у) в плоскости хОу (рис. 13). При этом говорят, что функции (1) осуществляют отображение области D4 на множество D. Предположим, что различным точкам (u, v) отвечают различные точки (х,у). Это равносильно однозначной разрешимости уравнений (1) относительно u, v: В этом случае отображение называется взаимно однозначным отображением области D* на область D. При таком преобразовании любая непрерывная кривая L*, лежащая в области D*, перейдет в непрерывную кривую L, лежащую в области D. Если функции д(х} у) и h(x, у) также непрерывны, то любая непрерывная линия LCD с помощью преобразования (2) перейдете непрерывную линию L* С D*. По заданной паре Щ, Vo значений переменных и, v из области D* можнооднознач-ноопределитьнетолькоположениеточки M*(u<)> Vq) в самой области £)*,нои положение соответствующей точии М(хо, уо) в области D, хо = 4>(ио, v0), 3/0 = o,vo). Это дает основание рассматривать числа u, v как некоторые новые координаты точки D области М на плоскости хОу. Их называют криволинейными координатами точки М. Множество точек области D, у которых одна из коорди нат сохраняет постоянное значение, называют координатной линией. Полагая в формуле (1) и = vq, получим параметрические уравнения координатной линии, Здесь роль параметра играет переменная и. Придавая координате v различные (возможные для нее) постоянные значения, получим семейство координатных линий (v = const) на плоскости хОу. Аналогично получаем и другое семейство координатных линий (и = const). При наличии взаимно однозначного соответств ия между областями D* и D различные координатные линии одного и того же семейства не пересекаются между собой, и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства. Сетка криволинейных координатных линий на плоскости хОр является образом прямоугольной сетки на плоскости uOv (см. рис. 13). 4.2. Элемент площади в криволинейных координатах. Якобиан и его геометрический смысл Выделим в области D* на плоскости Uo*V малый прямоугольник P*P?P$Pl со сторонами, параллельными осям координат 0*и и О" v и длинами сторон Аи и Av (для определенности считаем, что А) соответс твенно (рис. 14 а). Его площадь Прямоугольник переходит в криволинейный четырехугольник * в области D (рис. 146). Если вершины Р) имеют координаты, то,согласно формулам (1), соответствующие им вершины Pi имеют координаты), Пользуясь формулой Тейлора для функции двух переменных и ограничиваясь членами первого поря/рса огносительно Аи и Av, получим следующие приближенные значения координат для вершин четырехугольника где функции все их производные вычислены в точке). Найденные выражения для координат точек показывают, что с точностью до малых высшего порядка четырехугольник P\PiPiPa есть параллелограмм. Это следует изтого, что Тогда площадь ДS четырехугольника можно приближенно выразить через длину векторного произведения, Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах Определитель Из формул (7) и (8) видео, что абсолютная величина якобиана играет роль локального коэффициента растяжения области D" (в данной точке (tx, v)) при отображении ее на область D при помощи формул преобразования (1). 4.3. Формула замены переменных в двойном интеграле Пусть непрерывные функции осуществляют взаимнооднозначное отображение области D* на D и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Пусть в области D на плоскости хОу задана непрерывная функция Каждому значению функции) в области D соответствует равное значение функции г = в области D", где. Разобьем область D* на частичные области и построим соответствующее разбиение области D. Выберем в соответствующих частичных областях точки (и, v) и (ж, у) так, чтобы значения функций в них совпадали, и составим интегральные суммы для функций z = /(ж, у) и v) по областям D и D*. Получим якобиан функций. Переходя в равенстве (9) к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра d* частичных областей D\ (в силу непрерывности отображения (I) будет стремиться к нулю и наибольший из диаметров d частичных областей в D), будем иметь где Условие J Ф 0 является условием локальной взаимнооднозначности отображения, осуществляемого функциями Теорема 4. Дгя того чтобы преобразовать двойной интеграл, заданный в декартовых координатах, в двойной интеграл в криволинейных координатах, нужно заменить в подынтегральной функции /(ж, у) переменные ж и у соответственно через а элемент площади dx dy - его выражением в криволинейных координатах: Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболами м Отыскание площади указанной фигуры сводупся к вычислению двойного интеграла по области О. Введем новые, криволинейные координаты и и о формулами Из условия аадачи ясио, что. Значит, в плоскости uOv мы получили прямоугольник (рис. 156) - фигуру более простую, чем заданная фигура D. Выразим х и у из соотношений (11) через и и t>: Рис.15 Тогда Двойной интеграл в полярных координатах Вычисление двойного интеграла часто упрощается заменой прямоугольных координат х и у полярными координатами по формулам Элемент площади в полярных координатах имеет вид и формулу перехода от интеграла в декартовых координатах к интегралу в полярных координатах можно записать так: В этом случае (13) Элемент площади в полярных координатах можно получить и из геометрических соображений (см. рис. 16). Площадь заштрихованной на рисунке области А = пл. сектора. сектора Отбрасывая бесконечно малую величину высшего порядка, получаем и принимаем за элемент площади в полярных координатах. Итак, чтобы преобразовать двойной интеграл в декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно а: и у в подынтегральной функции заменить соответственно через р costp и psiny, а элементплощади в декартовых координатах dx dy заменить элементом площади в полярных координатах р dp dip. Займемся теперь вычислением двойного интеграла в полярных координатах. Как и в случае прямоугольных декартовых координат, вычисление интеграла в полярных координатах осуществляется путем сведения его к повторному интегралу. Рассмотрим сначала случай, когда полюс О лежит вне заданной области D. Пусть область D обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координатная линия у пересекает ее границу не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 17). Отметим крайние значения i полярного угла являются пределами внешнего интегрирования. Луч ц> = проходит через точку А контура области D, а луч через точку В. Точки Aw В разбивают контур области D на две части: АСВ и AFB. Пусть - их полярные уравнения, причем) - однозначные непрерывные функции удовлетворяющие условию Функции являются пределами внутреннего интегрирования. Переходя к повторным интегралам, получаем следующую формулу В частности, для площади S области D при F(p, г 1 получаем Пустьтеперьполюс О расположен внутри области D. Предположим, чтообласть D является звездной относительно полюса, т. е. любой луч tp = const пересекает границу области только в одной точке или по целрму отрезку (рис. 18). Пусть - уравнение границы области в полярных координатах. Тогда Рис. 18 Пример. Вычислить интеграл где область - четверть единичного круга, расположенная в первом квадранте. Перейдем к полярным координатам Тогда областью интегрирования будет прямоугольник Преобразованный интеграл / легко вычисляется: г Замечание. Если якобиан отличен от нуля в области D, то отображение в некоторой окрестности каждой точки этой области является взаимнооднозначным. При этом может, однако, случиться, что отображение всей области не будет взаимнооднозначным. Рассмотрим отображение, определяемое функциями Якобиан этих функций равен и, следовательно, везде отличен от нуля. Несмотря на это, для мы получим, так что это отображение не является взаимнооднозначным. С другой стороны, если якобиан отображения обращается в нуль в какой-нибудь точке, то, тем не менее, отображение в окрестности этой точки может оказаться взаимно однозначным. Например, для отображения, определяемого функциями якобиан равен нулю и при, но отображение является взаимнооднозначным. Обратное отображение определяется функциями

Касательная и нормаль к поверхности

Определение. Нормалью к поверхности в точке N 0 называется прямая, проходящая через точку N 0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М 0 (х 0 , у 0), касательная плоскость в точке N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) существует и имеет уравнение:

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 +Dх, у 0 +Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Пусть область D ограничена линией r = r() и лучами = и = , где и r – полярные координаты точки на плоскости, связанные с ее декартовыми координатами x и y

Соотношениями (рис. 5). В этом случае

Замечание. Если область D в декартовых координатах задается уравнением, содержащим бином , например, и т.д., то вычисление двойного интеграла по такой области удобнее производить в полярных координатах.

Двойной интеграл. Основные определения и свойства.

Двойные интегралы.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх i , а по оси у – на Dу i . Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S i = Dx i × Dy i .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х i , y i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D i , тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S i стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

С учетом того, что S i = Dx i × Dy i получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р i , то, считая все площади S i одинаковыми, получаем формулу:

Условия существования двойного интеграла.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует

Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

Свойства двойного интеграла.

3) Если D = D 1 + D 2 , то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .

6) Если f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), то .

№43 Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

Представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).
В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox , Oy и Oz , соответственно.

Введем векторную функцию , определенную на кривой C , так, чтобы для скалярной функции

Существовал криволинейный интегра Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

где − единичный вектор касательной к кривой C .
Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:

Где.
Если кривая C лежит в плоскости Oxy , то полагая R = 0, получаем

Свойства криволинейногоинтеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами: Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B . Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A . Тогда

Если C − объединение кривых C 1 и C 2 (рисунок 2 выше), то Если кривая C задана параметрически в виде , то Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнениTм (предполагается, что R = 0 и t = x ), то последняя формула записывается в виде

№49Поверхность F задана явно z = z(x,y), (x,y)Î D (компакт),

где z(x,y) имеет в D непрерывные частные производные первого порядка, фунуция f(x,y,z) определена и непрерывна на F. Тогда существует интеграл , равный

Доказательство. Для площадей получаем

Тогда интегральные суммы будут равны

Первая из сумм является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Последнее следует из равномерной непрерывности функции f(x,y,z(x,y)) на D.

№40(продолжение) Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.

СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА

1. , где – длина кривой .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла I рода, т.е.

3. Криволинейный интеграла I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов I рода от этих функций, т.е.

4. Если кривая разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то

(свойство аддитивности криволинейного интеграла I рода).

5. Если всюду на кривой функция (), то

6. Если всюду на кривой (),

7. (следствие свойств 6 и 1) Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на кривой , то

где – длина кривой .

8. (теорема о среднем для криволинейного интеграла I рода) Если функция непрерывна на кривой , то найдется такая точка , что справедливо равенство

где – длина кривой .

№42Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области: -

статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

· моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

№38(2) Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1.Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

2.Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U" в пространстве uvw;

3.Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.

№38 Тройные интегралы в сферических координатах

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;

φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;

θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).

Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:

Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем

Соответственно, абсолютное значение якобиана равно

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x2 + y2 + z2).

Поверхность

Выберем на гладкой поверхности (замк-нутой или ограниченной гладким контуром) точку М0 и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке М0. Рассмотрим точку М, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке М0 в перво-начальное положение при любом выборе точки М0 на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторон-ней (примером односторонней поверхности служит лист Мебиуса).Из вышесказанного следует, что выбор направления нормали в одной точке одно-значно определяет направление нормали во всех точках поверхности.

Определение

Совокупность всех точек поверхности содинаковымнаправлени-ем нормали называется стороной поверхности.

Ориентация поверхности.

Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверх-ности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Поток векторного поля.

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Определение 13.3. Поверхностный интеграл 1-го рода , (13.1)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Замечание 1.

Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.

Замечание 2.

Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (13.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).

№53 Поверхностный интеграл второго рода. Определение и св-ва.

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом

(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость

Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где суть функции от , определенные в точках поверхности .

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

Где - единичный вектор нормали поверхности - орт.

Свойства

1. Линейность: ;

2. Аддитивность: ;

3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

№60 Опера́торна́бла (оператор Гамильтона) - векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом: где - единичные векторы по осям x, y, z.

Свойства оператора набла. Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.Если умножить вектор на скаляр φ, то получится вектор который представляет собой градиент функции. Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

то есть дивергенция вектора . Если умножить на векторно, то получится ротор вектора :

Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использованными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо нередко пишут , а вместо пишут ; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом: Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле. Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку: Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

№61 Векторными дифференциальными операциями второго порядка называются следующие пять операций:

1. где - оператор Лапласа.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Здесь - это векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к каждой проекции вектора .

- - - - - - - - - - - - - - -

ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ЛЕКЦИЯ 1

Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f (x,y ) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y =f (x ) или x =g(y ), где f (x ) и g (y ) – непрерывные функции.

Разобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i -го участка обозначим символом Ds i . На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку P i , и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (x i ,y i ). Составим интегральную сумму для функции f (x,y ) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках P i , умножим их на площади соответствующих участков Ds i и просуммируем все полученные результаты:

Назовем диаметром diam (G ) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Двойным интегралом функции f (x,y ) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом ). Это записывают следующим образом

Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек P i . Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f (x,y ) была интегрируемой в области D), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования .

Пусть функция f (x,y ) интегрируема в области D . Поскольку предел соответствующих интегральных сумм для таких функций не зависит от способа разбиения области интегрирования, то разбиение можно производить при помощи верти­кальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид, площадь которых равна Ds i =Dx i Dy i . Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy . Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде

Замечание . Если подынтегральная функция f (x,y )º1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:

Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.

Свойства двойных интегралов.

1 0 . Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов :

и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла :

2 0 . Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части :

3 0 . Теорема о среднем. Если функция f(x,y ) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (x,h), что :

Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.

Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Отметим лишь основные из них:

1. Если функции и
интегрируемы в области
, то интегрируемы в ней их сумма и разность, причем

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3. Если
интегрируема в области
, а эта область разбита на две непересекающиеся областии
, то

.

4. Если
и
интегрируемы в области
, в которой

, то

.

5. Если в области
функция
удовлетворяет неравенствам


,где
и
некоторые действительные числа, то

,

где – площадь области
.

Доказательства этих свойств аналогичны доказательству соответствующих теорем для определенного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах

Пусть требуется вычислить двойной интеграл
, где область- прямоугольник, определяемый неравенствами,.

Предположим, что
непрерывна в этом прямоугольнике и принимает в нем неотрицательные значения, тогда данный двойной интеграл равен объему тела с основанием, ограниченного сверху поверхностью
, с боков - плоскостями
,
,
,
:

.

С другой стороны, объем такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

,

где
- площадь сечения данного тела плоскостью, проходящей через точкуи перпендикулярной к оси
. А так как рассматриваемое сечение является криволинейной трапецией
, ограниченной сверху графиком функции
, гдефиксировано, а, то

.

Из этих трех равенств следует, что

.

Итак, вычисление данного двойного интеграла свелось к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в скобках) считается постоянным.

Замечание. Можно доказать, что последняя формула верна и при
, а также в случае, когда функция
меняет знак в указанном прямоугольнике.

Правая часть формулы называется повторным интегралом и обозначается так:

.

Аналогично можно показать, что

.

Из выше сказанного следует, что

.

Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

Чтобы рассмотреть более общий случай, введем понятие стандартной области. Стандартной (или правильной) областью в направлении данной оси называется такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси пересекает границу области не более, чем в двух точках. Другими словами, пересекает саму область и ее границу только по одному отрезку прямой.

Предположим, что ограниченная область

и ограничена сверху графиком функции
, снизу - графиком функции
. ПустьR{,} - минимальный прямоугольник, в котором заключена данная область
.

Пусть в области
определена и непрерывна функция
. Введем новую функцию:

,

тогда в соответствии со свойствами двойного интеграла

.

И, следовательно,

.

Поскольку отрезок
целиком принадлежит области
то, следовательно,
при


, а еслилежит вне этого отрезка, то
.

При фиксированном можем записать:

.

Так как первый и третий интегралы в правой части равны нулю, то

.

Следовательно,

.

Из чего получаем формулу для вычисления двойного интеграла по области, стандартной относительно оси
путем сведения к повторному интегралу:

.

Если область
является стандартной в направлении оси
и определяется неравенствами,

, аналогично можно доказать, что

.

Замечание. Для области
, стандартной в направлении осей
и
, будут выполнены оба последних равенства, поэтому

По этой формуле осуществляется изменение порядка интегри­рования при вычислении соответствующего двойного интеграла.

Замечание. Если область интегрирования не является стандартной (правильной) в направлении обеих осей координат, то ее разбивают на сумму стандартных областей и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим областям.

Пример . Вычислить двойной интеграл
по области
, ограниченной линиями:
,
,
.

Решение.

Данная область является стандартной как относительно оси
, так и относительно оси
.

Вычислим интеграл, считая область стандартной относительно оси
.

.

Замечание. Если вычислить интеграл, считая область стандартной относительно оси
, мы получим тот же результат:

.

Пример . Вычислить двойной интеграл
по области
, ограниченной линиями:
,
,
.

Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

Данная область является стандартной относительно оси
.

.

Пример . Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

Решение. Изобразим на рисунке область интегрирования.

Из пределов интегрирования находим линии, ограничивающие область интегрирования: ,
,
,
. Для изменения порядка интегрирования выразимкак функции оти найдем точки пересечения:

,
,
.

Так как на одном из интервалов функция выражена двумя аналитическими выражениями, то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов.

.

1.1 Определение двойного интеграла

1.2 Свойства двойного интеграла

Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.

1°. Аддитивность. Если функция f(x, y) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D 1 и D 2 , то функция f(x, y) интегрируема в каждой из областей D 1 и D 2 , причем

2°. Линейное свойство. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, а? и? - любые вещественные числа, то функция [? · f(x, y) + ?· g(x, y)] также интегрируема в области D, причем

3°. Если функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то и произведение этих функций интегрируемо в D.

4°. Если функции f(x, y) и g(x, y) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f(x, y) ? g(x, y), то

5°. Если функция f(x, y) интегрируема в области D, то и функция |f(x, y)| интегрируема в области D, причем

(Конечно, из интегрируемости |f(x, y)| в D не вытекает интегрируемость f(x, y) в D.)

6°. Теорема о среднем значении. Если обе функции f(x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, функция g(x, y) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f(x, y) в области D, то найдется число?, удовлетворяющее неравенству m ? ? ? M и такое, что справедлива формула

В частности, если функция f(x, y) непрерывна в D, а область D связна, то в этой области найдется такая точка (?, ?), что? = f(?, ?), и формула принимает вид

7°. Важное геометрическое свойство. равен площади области D

Пусть в пространстве дано тело T (рис. 2.1), ограниченное снизу областью D , сверху - графиком непрерывной и неотрицательной функции) z=f (x, y ,) которая определена в области D , с боков - цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области D , а образующие параллельны оси Оz. Тело такого вида называется цилиндрическим телом.

1.3 Геометрическая интерпретация двойного интеграла

1.4 Понятие двойного интеграла для прямоугольника

Пусть произвольная функция f(x, y) определена всюду на прямоугольнике R = ? (см. Рис. 1).

Разобьем сегмент a ? x ? b на n частичных сегментов при помощи точек a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Этому разбиению при помощи прямых, параллельных осям Ox и Oy, соответствует разбиение прямоугольника R на n · p частичных прямоугольников R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Указанное разбиение прямоугольника R обозначим символом T. В дальнейшем в этом разделе под термином "прямоугольник" будем понимать прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.

На каждом частичном прямоугольнике R kl выберем произвольную точку (? k , ? l). Положив?x k = x k - x k-1 , ?y l = y l - y l-1 , обозначим через?R kl площадь прямоугольника R kl . Очевидно, ?R kl = ?x k ?y l .

называется интегральной суммой функции f(x, y), соответствующей данному разбиению T прямоугольника R и данному выбору промежуточных точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках разбиения T.

Диагональ будем называть диаметром прямоугольника R kl . Символом? обозначим наибольший из диаметров всех частичных прямоугольников R kl .

Число I называется пределом интегральных сумм (1) при? > 0, если для любого положительного числа? можно указать такое положительное число?, что при? < ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - I | < ?.

Функция f(x, y) называется интегрируемой (по Риману) на прямоугольнике R, если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при? > 0.

Указанный предел I называется двойным интегралом от функции f(x, y) по прямоугольнику R и обозначается одним из следующих символов:

Замечание. Точно также, как и для однократного определенного интеграла, устанавливается, что любая интегрируемая на прямоугольнике R функция f(x, y) является ограниченной на этом прямоугольнике.

Это дает основание рассматривать в дальнейшем лишь ограниченные функции f(x, y).