Модуль числа (абсолютная величина числа), определения, примеры, свойства. Что такое модуль числа в математике Случаи значение модуля числа

Цели урока

Познакомить школьников с таким математическим понятием, как модуль числа;
Научить школьников навыкам нахождения модулей чисел;
Закрепить изученный материал с помощью выполнения различных заданий;

Задачи

Закрепить знания детей о модуле числа;
С помощью решения тестовых заданий проверить, как усвоили ученики изученный материал;
Продолжать прививать интерес к урокам математики;
Воспитывать у школьников логическое мышление, любознательность и усидчивость.

План урока

1. Общие понятия и определение модуля числа.
2. Геометрический смысл модуля.
3. Модуль числа его свойства.
4. Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа.
5. Историческая справка о термине «модуль числа».
6. Задание на закрепление знаний пройденной темы.
7. Домашнее задание.

Общие понятия о модуле числа

Модулем числа принято называть само число, если оно не имеет отрицательного значения, или это же число отрицательное, но с противоположным знаком.

То есть, модулем неотрицательного действительного числа a является само это число:

А, модулем отрицательного действительного числа х будет противоположное число:

В записи это будет выглядеть так:

Для более доступного понимания приведем пример. Так, например, модулем числа 3 будет 3, и также модулем числа -3, является 3.

Из этого следует, что под модулем числа подразумевается абсолютная величина, то есть, ее абсолютное значение, но без учета его знака. Если говорить еще более просто, то необходимо от числа отбросить знак.

Обозначаться и выглядеть модуль числа может так: |3|, |х|, |а| и т.д.

Так, например, модуль числа 3 обозначается |3|.

Также, следует помнить, что модуль числа никогда не бывает отрицательным: |a|≥ 0.

|5| = 5, |-6| = 6, |-12,45| = 12,45 и т.д.

Геометрический смысл модуля

Модулем числа называют расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до точки. В этом определении раскрывается модуль с геометрической точки зрения.

Возьмем координатную прямую и обозначим на ней две точки. Пускай этим точкам будут соответствовать такие числа, как −4 и 2.

Теперь давайте обратим внимание на данный рисунок. Мы видим, что обозначенная на координатной прямой точка А соответствует числу -4 и если вы внимательно посмотрите, то увидите, что эта точка находится от точки отсчета 0 на расстоянии 4 единичных отрезков. Отсюда следует, что длина отрезка OA равняется четырем единицам. В этом случае, длина отрезка ОА, то есть число 4 будет модулем числа -4.

Обозначается и записывается в данном случае модуль числа таким образом: |−4| = 4.

Теперь возьмем, и на координатной прямой обозначим точку В.

Эта точка В будет соответствовать числу +2, и находится она, как мы видим, от начала отсчета на расстоянии двух единичных отрезков. Из этого следует, что длина отрезка OB равняется двум единицам. В этом случае число 2 будет модулем числа +2.

В записи это будет выглядеть так: |+2| = 2 или |2| = 2.

А теперь подведем итог. Если мы с вами возьмем какое-то неизвестное число а и обозначим его на координатной прямой точкой А, то в этом случае расстояние от точки A до начала отсчёта, то есть длинна отрезка ОА, как раз и является модулем числа «a».

В записи это будет выглядеть так: |a| = OA.

Модуль числа его свойства

А теперь давайте попробуем выделить свойства модуля, рассмотреть всевозможные случаи и записать их с помощью буквенных выражений:

Во-первых, модулем числа является число неотрицательное, а значит модуль положительного числа, равен самому числу: |a| = a, если a > 0;

Во-вторых, модули, которые состоят из противоположных чисел, равны: |а| = |–а|. То есть это свойство говорит нам о том, что противоположные числа всегда имеют равные модули, та как на координатной прямой, хотя они и имеют противоположные числа, но они находятся на одинаковом расстоянии от точки отсчета. Из этого следует, что и модули этих противоположных чисел равны.

В-третьих, модуль нуля равняется нулю в том случае, если это число является нулем: |0| = 0, если a = 0. Здесь можно с уверенностью сказать, что модулем нуля является ноль по определению, так как ему соответствует начало отсчета координатной прямой.

Четвертым свойством модуля является то, что модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел. Теперь подробнее рассмотрим, что это значит. Если следовать определению, то мы с вами знаем, что модуль произведения чисел a и b будет равен a b, или −(a b), если, а в ≥ 0, или же – (а в), если, а в больше 0. В записи это будет выглядеть так: |а b| = |а| |b|.

Пятым свойством является то, что модуль частного от деления чисел равен отношению модулей этих чисел: |а: b| = |а| : |b|.

И следующие свойства модуля числа:

Решение уравнений и неравенств, которые содержат модуль числа

Приступив к решению задач, которые имеют модуль числа, следует помнить, что чтобы решить такое задание, необходимо раскрыть знак модуля, используя знания свойств, которым эта задача соответствует.

Задание 1

Так, к примеру, если под знаком модуля стоит выражение, которое зависит от переменной, то раскрывать модуль следует в соответствии с определением:

Конечно же, при решении задач бывают случаи, когда модуль раскрывается однозначно. Если, например, взять

, здесь мы видим, что такое выражение под знаком модуля неотрицательно при любых значениях х и у.

Или, же для примера берем

, мы видим, что это выражение под модулем не положительно при любых значениях z.

Задание 2

Перед вами изображена координатная прямая. На этой прямой необходимо отметить числа, модуль которых будет равен 2.

Решение

В первую очередь, мы должны начертить координатную прямую. Вам уже известно, что для этого, вначале на прямой необходимо выбрать начало отсчета, направление и единичный отрезок. Далее, нам нужно от начала отсчета поставить точки, которые равны расстоянию двух единичных отрезков.

Как видим, таких точек на координатной прямой две, одна из которых соответствует числу -2, а другая числу 2.

Историческая справка о модуле числа

Термин «модуль» произошел от латинского названия modulus, что в переводе обозначает слово «мера». Ввел в обращение этот термин английский математик Роджер Котес. А вот знак модуля был введен благодаря немецкому математику Карлу Вейерштрассу. При написании модуль обозначается с помощью такого символа: | |.

Вопросы на закрепление знаний материала

На сегодняшнем уроке мы с вами познакомились с таким понятием, как модуль числа, а теперь давайте проверим, как вы усвоили эту тему, ответив на поставленные вопросы:

1. Как называется число, которое противоположно положительному числу?
2. Какое название носит число, которое противоположно отрицательному числу?
3. Назовите число, которое является противоположным нулю. Существует ли такое число?
4. Назовите то число, которое не может являться модулем числа.
5. Дайте определение модулю числа.

Домашнее задание

1. Перед вами изображены числа, которые вам нужно расположить в порядке убывания модулей. Если вы правильно выполните задание, то узнаете фамилию человека, который впервые ввел в математику термин «модуль».

2. Начертите координатную прямую и найдите расстояние от М(-5) и К (8) до начала отсчета.

Аналогично, разности z 1 - z 2 комплексных чисел z 1 и z 2 соответствует разность векторов, Соответствующих числам z 1 и z 2 .Модуль двух комплексных чисел z 1 и z 2 по определению модуля есть длина вектора z 1 - z 2 .Построим вектор, как сумму двух векторов z 2 и (- z 1). Получим вектор , равный вектору.Следовательно,есть длина вектора,то есть модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками комплексной плоскости, которые соответствуют этим числам.

6. Аргументы комплексного числа. Аргументом комплексного числа z= a + ibназывается величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором z; величина угла считается положительной если отсчет производится против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет производится по часовой стрелке.

Для обозначения того факта, что число j является аргументом числа z= a+ ib, пишут j=argz или j=arg (a+ib).

Для числа z=0 аргумент не определяется. Поэтому во всех последующих рассуждениях, связанных с понятием аргумента будем считать, что.Заметим, что заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно; число z=0 – единственное число, которое определяется заданием только его модуля.

С другой стороны, если задано комплексное число, то, очевидно, модуль этого числа всегда определён единственным образом в отличие от аргумента, который всегда определяется неоднозначно: если j - некоторый аргумент числа z,то углы j+2pk, тоже являются аргументами числа z.

Из определения тригонометрических функций следует, что если j=arg (a+ib),то имеет место следующая система

Пример 4. Сколько решений имеет система уравнений

а) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 3 и 1

найдём модуль1-i : .

Заметим, что никакая точка большей окружности не

приближена к меньшей на расстояние, равное ,

откуда и следует, что система корней не имеет.

При сдвиге на 3i только одной точки меньшей окружности мы получаем что эта точка попадает на

другую окружность.

Эта точка и будет решением системы.

в) Изобразим в одной комплексной плоскости числа, модули которых равны 1.

Заметим, что при сдвиге только двух точек на единицу в влево мы попадаем на ту же самую окружность, а значит эти два числа и будут решениями системы.

7.Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Запись комплексного числа z в виде a +ib называется алгебраической формой комплексного числа.

Рассмотрим другие формы записи комплексных чисел. Пусть r- модуль, а j - какой-либо из аргументов комплексного числа z= a+ ib, то есть r = ,j=arg (a+ib). Тогда из формулы (5) следует, что, и, значит,

Запись комплексного числа в виде называется еётригонометрической формой.

Для того чтобы перейти от алгебраической формы комплексного числа a+ib к тригонометрической, достаточно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 5. Какое множество точек комплексной плоскости задаётся условием

а) Мы должны построить точки, которые при сдвигании вниз на i и вправо на 1 поучались бы равноудалёнными от начала координат, откуда

чтобы построить множество точек, удовлетворяющих данному условию, мы должны:

1) построить множество точек, равноудалённых от начала координат на 2

2) сдвинуть его на 1 влево и на i вверх

б) Мы должны построить точки, которые располагались бы ближе к точке -i чем к 2i , аэти точки указаны на рисунке.

в) Данное уравнение равносильно уравнению

То есть эти числа будут удалены на расстояние

на 1 вправо. При этом при выполнении второго условия, у на получится угол, показанный на рисунке.

То есть это будут точки удалённые от начала координат не более чем на 1 и при этом исключая число 0. Учитывая второе и третье условие, получим:

е) Чтобы построить точки, удовлетворяющие первому условию, надо сдвинуть точки, удалённые на расстояние 1,

на 1 вправо. При этом, учитывая другие условия, получим

искомое множество точек.

Пример 6. Будет ли тригонометрической формой числа следующие выражения

Тригонометрической формой записи числа только будет выражение а), так как только оно удовлетворяет определению тригонометрической формы записи числа(и при всех тригонометрических функциях углы должны быть равны, а также если подсчитать значение выражения, то оно должно быть равно).

8. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть

Таким образом, модуль и произведение двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей, а сумма аргументов сомножителей является аргументом произведения.

Пусть,тогда

Таким образом, модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частого.

9. Возведение в степень и извлечение корня. Формула (6) для произведения двух комплексных чисел может быть обобщена на случай сомножителей. Используя метод математической индукции, нетрудно показать, что если-аргументы чиселсоответственно, то

Отсюда, как частный случай, получается формула, дающая правило возведение комплексного числа в целую положительную степень:

Таким образом, при возведении комплексного числа в степень с натуральным показателем его модуль возводится в степень с тем же показателем, а аргумент умножается на показатель степени.

Формула (8) называется формулой Муавра.

Число называется корнем степени,из числаw (обозначается ,если

Если w=0 , то при любом n уравнение имеет одно и только одно решениеz= 0.

Пусть теперь .Представимz иw в тригонометрической форме:

Тогда уравнение примет вид

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на число, кратное 2p. Следовательно,

Таким образом, все решения уравнения даются формулой

В самом деле, придавая числу k в формуле (9)целые значения, отличные от 0, 1, …, (n -1), мы не получаем других комплексных чисел.

Формула (9) называется второй формулой Муавра.

Таким образом, если , то существует ровноn корней степени n из числа w : все они содержатся в формуле(9).

В частности, если =2, то уравнениеимеет два корня:

то есть эти корни симметричны относительно начала координат.

Также из формулы (9) нетрудно получить, что еслито точки, изображающие все корни уравнения, являются вершинами правильногоn- угольника, вписанного в окружность с центром в точке z =0 и радиусом .

Из сказанного выше следует, что символ не имеет однозначного смысла. Поэтому, употребляя его, следует четко представлять себе, что под этим подразумевается. Например, используя запись, следует позаботиться о том, чтобы было ясно, понимается ли под этим пара комплексных чиселi и-i ,или одно, и, если одно, то какое именно.

Пример 7. Запишите в тригонометрической форме:

б) Так как , то, откуда.

Так как , то, откуда

в) Так как , то, откуда.

10.Квадратные уравнения. В школьном курсе алгебры рассматривались квадратные уравнения

с действительными коэффициентамиa, b, c. Тамбыло показано, что если дискриминант уравнения (10) неотрицателен, то решения такого уравнения даются формулой

В случае, если , говорилось, что, уравнение не имеет решений.

Для вывода формулы (11) использовался приём выделения квадрата трёхчлена с последующим разложением левой части на линейные множители:

откуда и получалась формула (11). Очевидно, что все эти выкладки остаются справедливыми и в том случае, когда a, b, c являются комплексными числами, а корни уравнения отыскиваются во множестве комплексных чисел.

Таким образом, во множестве комплексных чисел уравнение

всегда разрешимо. Если уравнение имеет один корень;, уравнение имеет два корня. Во всех случаях для корней квадратного уравнения справедлива формула

где подподразумеваются все значения корня.

Пример 8. Решить уравнение

а) Данное уравнение является квадратным.

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и y

Заметим, что x

При получим:

Решим уравнение (*): x 4 +15x 2 -16 =0 –квадратное уравнение относительно x 2 , откуда

Вернёмся к системе:

б) Данное уравнение является квадратным.

По формуле корней квадратного уравнения имеем:

Для определения всех значений положим

и, следовательно, x и y удовлетворяют системе

причём x и y действительные числа. Решим систему:

Заметим, что x =0 решением системы не является.

При получим:

Решим уравнение (*): x 4 -16x 2 -225=0 –квадратное уравнение относительно x 2 , откуда

Вернёмся к системе:

Пример 9. Решить уравнение

а) Пусть , тогда уравнение примет вид:

Откуда по теореме, обратной теореме Виета получим

Возвращаясь к z , получим

1) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

2) . Заметим, что. Используя вторую формулу Муавра, получим:

Следовательно,

б)Преобразуем уравнение:

Заметим, что . Используя вторую формулу Муавра, получим:

Пример10. Решите уравнение:

Решим уравнение как квадратное относительно z 2: D=

Пусть z=a+ib, тогда , а уравнение имеет вид

Пусть , тогда, откуда

Пусть , тогда, а значит получим, ачит получим, что

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.

Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)

Немного теории

Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $\left| -5 \right|=5$. Или $\left| -129,5 \right|=129,5$.

Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5$ и т.д.

Получается любопытная вещь: разные числа могут иметь один тот же модуль. Например: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5 \right|=129,5$. Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: эти числа противоположны. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:

\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным . Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Таким образом, если рассмотреть функцию $y=\left| x \right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:

График модуля и пример решения уравнения

Из этой картинки сразу видно, что $\left| -m \right|=\left| m \right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, но об этом мы поговорим позже.:)

Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$. В этом случае выражение $\left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)

Основная формула

Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?

Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:

\[\left| x \right|=3\]

Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:

\[\left| 3 \right|=3\]

А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $\left| -3 \right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $\left| x \right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.

Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $f\left(x \right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Ну и как такое решать? Напомню: $f\left(x \right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.

А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$\left| 2x+1 \right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:

Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:

\[\left\{ \begin{align}& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end{align} \right.\Rightarrow -2x-1=5\Rightarrow 2x+1=-5\]

Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 \lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:

Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $\left| x \right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?

Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $\left| f\left(x \right) \right|=a$, причём $a\ge 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

\[\begin{align}& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac{6}{5}=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac{14}{5}=-2,8. \\\end{align}\]

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

\[\begin{align}& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac{6}{5}=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end{align}\]

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Случай переменной правой части

А теперь рассмотрим вот такое уравнение:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $f\left(x \right)$ и $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end{align} \right.\]

Применительно к нашему уравнению получим:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\{ \begin{align}& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end{align} \right.\]

Ну, с требованием $2x\ge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.

Поэтому решим-ка само уравнение:

\[\begin{align}& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac{4}{3}; \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end{align}\]

Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2x\ge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x={4}/{3}\;$ и $x=0$. Вот и всё решение.:)

Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:

\[\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right|=x-{{x}^{3}}\]

Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

И решается оно точно так же:

\[\left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x \right|=x-{{x}^{3}}\Rightarrow \left\{ \begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=\pm \left(x-{{x}^{3}} \right), \\& x-{{x}^{3}}\ge 0. \\\end{align} \right.\]

С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:

\[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}\]

Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:

\[\begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}; \\& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0; \\\end{align}\]

Выносим общий множитель ${{x}^{2}}$ за скобку и получаем очень простое уравнение:

\[{{x}^{2}}\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& {{x}^{2}}=0 \\& 2x-3=0 \\\end{align} \right.\]

\[{{x}_{1}}=0;\quad {{x}_{2}}=\frac{3}{2}=1,5.\]

Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:

\[\begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-\left(x-{{x}^{3}} \right); \\& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-x+{{x}^{3}}; \\& -3{{x}^{2}}+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end{align}\]

Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:

\[\left[ \begin{align}& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end{align} \right.\]

Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x={2}/{3}\;$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:

Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:

\[\begin{align}& x=0\Rightarrow x-{{x}^{3}}=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-{{x}^{3}}=1,5-{{1,5}^{3}} \lt 0; \\& x=\frac{2}{3}\Rightarrow x-{{x}^{3}}=\frac{2}{3}-\frac{8}{27}=\frac{10}{27}\ge 0; \\\end{align}\]

Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:

\[{{x}_{1}}=0;\quad {{x}_{2}}=\frac{2}{3}.\]

Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ или даже более простому $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Рассмотрим отдельно каждый случай:

\[\begin{align}& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end{align}\]

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: $x=1$.

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

\[\left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|\]

Опять у нас уравнение вида $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

\[{{x}^{2}}-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.

Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:

\[\left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|\Rightarrow \left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)

В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:

\[\begin{align}& {{x}^{2}}-3x+2=x-1\Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0; \\& {{x}^{2}}-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0. \\\end{align}\]

Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:

\[{{x}^{2}}-2x+1={{\left(x-1 \right)}^{2}}\]

Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:

\[{{x}_{1}}=3;\quad {{x}_{2}}=1.\]

Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)

Важное замечание . Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:

\[\begin{align}& \left| x-1 \right|=\left| {{x}^{2}}-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end{align}\]

Одно из свойств модуля: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:

\[\begin{align}& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end{align}\]

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

\[\left[ \begin{align}& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end{align} \right.\]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

Итак, уравнение:

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|+\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\]

Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)

В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:

\[\begin{align}& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end{align}\]

Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:

\[\left| x-{{x}^{3}} \right|+\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}& \left| x-{{x}^{3}} \right|=0, \\& \left| {{x}^{2}}+x-2 \right|=0. \\\end{align} \right.\]

А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:

\[{{x}^{2}}+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin{align}& x=-2 \\& x=1 \\\end{align} \right.\]

Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.

Метод расщепления

Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:

\[\left| a \right|=\left\{ \begin{align}& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end{align} \right.\]

Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.

Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 \gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:

Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:

Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 \gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=\frac{5}{3}$ в это условие и проверим:

Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(

Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 \lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 \lt 0$:

Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:

Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!

А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:

Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:

Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):

Но тогда исходное уравнение $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ перепишется следующим образом:

Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 \gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)

Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:

Итого окончательный ответ: $x\in \left(-\infty ;\frac{5}{3} \right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.

Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:

1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
3. Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.

Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:

Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:

1. Самый левый: $x \lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
2. Центральный: $1\le x \lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
3. Самый правый: $x\ge 5$ — пятёрка входит только сюда!

Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.

На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.

На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)

Уравнения с модулями, методы решений. Часть 1.

Прежде чем приступать к непосредственному изучению техник решения таких уравнений, важно понять суть модуля, его геометрическое значение. Именно в понимании определения модуля и его геометрическом смысле, заложены основные методы решения таких уравнений. Так называемый, метод интервалов при раскрытии модульных скобок, настолько эффективен, что используя его возможно решить абсолютно любое уравнение или неравенство с модулями. В этой части мы подробно изучим два стандартных метода: метод интервалов и метод замены уравнения совокупностью.

Однако, как мы убедимся, эти методы, всегда эффективные, но не всегда удобные и могут приводить к долгим и даже не очень удобным вычислениям, которые естественно потребуют большего времени на их решение. Поэтому важно знать и те методы, которые решение определенных структур уравнений значительно упрощают. Возведение обеих частей уравнения в квадрат, метод введения новой переменной, графический метод, решение уравнений, содержащих модуль под знаком модуля. Эти методы мы рассмотрим в следующей части.

Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля.

Первым делом познакомимся с геометрическим смыслом модуля:

Модулем числа а (|а|) называют расстояние на числовой прямой от начала координат (точки 0) до точки А(а) .

Исходя из этого определения рассмотрим некоторые примеры:

|7| - это расстояние от 0 до точки 7, конечно оно равно 7. → | 7 |=7

|-5|- это расстояние от 0 до точки -5 и оно равно: 5. → |-5| = 5

Все мы понимаем расстояние не может быть отрицательным! Поэтому |х| ≥ 0 всегда!

Решим уравнение: |х |=4

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки 0 до точки x равно 4. Ага, получается, от 0 мы можем двигаться как влево так и вправо, значит двигаясь влево на расстояние равное 4 мы окажемся в точке: -4, а двигаясь вправо окажемся в точке: 4. Действительно, |-4 |=4 и |4 |=4.

Отсюда ответ х=±4.

При внимательном изучении предыдущего уравнения можно заметить, что: расстояние вправо по числовой прямой от 0 до точки равно самой точке, а расстояние влево от 0 до числа равно противоположному числу! Понимая, что вправо от 0 положительные числа, а влево от 0 отрицательные, сформулируем определения модуля числа: модулем (абсолютной величиной) числа х (|х|) называется само число х , если х ≥0, и число –х , если х <0.

Здесь нам надо найти множество точек на числовой прямой расстояние от 0 до которых будет меньше 3, давайте представим числовую прямую, на ней точка 0, идем влево и считаем один (-1), два (-2) и три (-3), стоп. Дальше пойдут точки, которые лежат дальше 3 или расстояние до которых от 0 больше чем 3, теперь идем вправо: один, два, три, опять стоп. Теперь выделяем все наши точки и получаем промежуток х:(-3;3).

Важно, чтобы вы это четко видели, если пока не получается, нарисуйте на бумаге и посмотрите, чтобы эта иллюстрация была вам полностью понятна, не поленитесь и попробуйте в уме увидеть решения следующих заданий:

|х |=11, х=? |х|=-5, х=?

|х | <8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, х-? |x|> -3, х-?

|π-3|=? |-х²-10|=?

|√5-2|=? |2х-х²-3|=?

|х²+2|=? |х²+4|=0

|х²+3х+4|=? |-х²+9| ≤0

Обратили внимание на странные задания во втором столбце? Действительно, расстояние не может быть отрицательным поэтому: |х|=-5- не имеет решений, конечно же оно не может быть и меньше 0, поэтому: |х| <-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|> -3 являются все числа.

После того как вы научитесь быстро видеть рисунки с решениями читайте дальше.

В этой статье мы детально разберем модуль числа . Мы дадим различные определения модуля числа, введем обозначения и приведем графические иллюстрации. При этом рассмотрим различные примеры нахождения модуля числа по определению. После этого мы перечислим и обоснуем основные свойства модуля. В конце статьи поговорим о том, как определяется и находится модуль комплексного числа.

Навигация по странице.

Модуль числа – определение, обозначение и примеры

Сначала введем обозначение модуля числа . Модуль числа a будем записывать как , то есть, слева и справа от числа будем ставить вертикальные черточки, образующие знак модуля. Приведем пару примеров. Например, модуль −7 можно записать как ; модуль 4,125 записывается как , а модуль имеет запись вида .

Следующее определение модуля относится к , а следовательно, и к , и к целым, и к рациональным, и к иррациональным числам, как к составляющим частям множества действительных чисел. О модуле комплексного числа мы поговорим в .

Определение.

Модуль числа a – это либо само число a , если a – положительное число, либо число −a , противоположное числу a , если a – отрицательное число, либо 0 , если a=0 .

Озвученное определение модуля числа часто записывают в следующем виде , эта запись означает, что , если a>0 , , если a=0 , и , если a<0 .

Запись можно представить в более компактной форме . Эта запись означает, что , если (a больше или равно 0 ), и , если a<0 .

Также имеет место и запись . Здесь отдельно следует пояснить случай, когда a=0 . В этом случае имеем , но −0=0 , так как нуль считают числом, которое противоположно самому себе.

Приведем примеры нахождения модуля числа с помощью озвученного определения. Для примера найдем модули чисел 15 и . Начнем с нахождения . Так как число 15 – положительное, то его модуль по определению равен самому этому числу, то есть, . А чему равен модуль числа ? Так как - отрицательное число, то его модуль равен числу, противоположному числу , то есть, числу . Таким образом, .

В заключение этого пункта приведем один вывод, который очень удобно применять на практике при нахождении модуля числа. Из определения модуля числа следует, что модуль числа равен числу под знаком модуля без учета его знака , а из рассмотренных выше примеров это очень отчетливо видно. Озвученное утверждение объясняет, почему модуль числа называют еще абсолютной величиной числа . Так модуль числа и абсолютная величина числа – это одно и то же.

Модуль числа как расстояние

Геометрически модуль числа можно интерпретировать как расстояние . Приведем определение модуля числа через расстояние .

Определение.

Модуль числа a – это расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, соответствующей числу a.

Данное определение согласуется с определением модуля числа, данного в первом пункте. Поясним этот момент. Расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует положительное число, равно этому числу. Нулю соответствует начало отсчета, поэтому расстояние от начала отсчета до точки с координатой 0 равно нулю (не нужно откладывать ни одного единичного отрезка и ни одного отрезка, составляющего какую-нибудь долю единичного отрезка, чтобы от точки O попасть в точку с координатой 0 ). Расстояние от начала отсчета до точки с отрицательной координатой равно числу, противоположному координате данной точки, так как равно расстоянию от начала координат до точки, координатой которой является противоположное число.

Например, модуль числа 9 равен 9 , так как расстояние от начала отсчета до точки с координатой 9 равно девяти. Приведем еще пример. Точка с координатой −3,25 находится от точки O на расстоянии 3,25 , поэтому .

Озвученное определение модуля числа является частным случаем определения модуля разности двух чисел.

Определение.

Модуль разности двух чисел a и b равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами a и b .

То есть, если даны точки на координатной прямой A(a) и B(b) , то расстояние от точки A до точки B равно модулю разности чисел a и b . Если в качестве точки В взять точку O (начало отсчета), то мы получим определение модуля числа, приведенное в начале этого пункта.

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень

Иногда встречается определение модуля через арифметический квадратный корень .

Для примера вычислим модули чисел −30 и на основании данного определения. Имеем . Аналогично вычисляем модуль двух третьих: .

Определение модуля числа через арифметический квадратный корень также согласуется с определением, данным в первом пункте этой статьи. Покажем это. Пусть a – положительное число, при этом число −a – отрицательное. Тогда и , если же a=0 , то .

Свойства модуля

Модулю присущ ряд характерных результатов - свойства модуля . Сейчас мы приведем основные и наиболее часто используемые из них. При обосновании этих свойств мы будем опираться на определение модуля числа через расстояние.

Начнем с самого очевидного свойства модуля – модуль числа не может быть отрицательным числом . В буквенном виде это свойство имеет запись вида для любого числа a . Это свойство очень легко обосновать: модуль числа есть расстояние, а расстояние не может выражаться отрицательным числом.

Переходим к следующему свойству модуля. Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль . Модуль нуля есть нуль по определению. Нулю соответствует начало отсчета, никакая другая точка на координатной прямой нулю не соответствует, так как каждому действительному числу поставлена в соответствие единственная точка на координатной прямой. По этой же причине любому числу, отличному от нуля, соответствует точка, отличная от начала отсчета. А расстояние от начала отсчета до любой точки, отличной от точки O , не равно нулю, так как расстояние между двумя точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Приведенные рассуждения доказывают, что нулю равен лишь модуль нуля.

Идем дальше. Противоположные числа имеют равные модули, то есть, для любого числа a . Действительно, две точки на координатной прямой, координатами которых являются противоположные числа, находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчета, значит модули противоположных чисел равны.

Следующее свойство модуля таково: модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел , то есть, . По определению модуль произведения чисел a и b равен либо a·b , если , либо −(a·b) , если . Из правил умножения действительных чисел следует, что произведение модулей чисел a и b равно либо a·b , , либо −(a·b) , если , что доказывает рассматриваемое свойство.

Модуль частного от деления a на b равен частному от деления модуля числа a на модуль числа b , то есть, . Обоснуем это свойство модуля. Так как частное равно произведению , то . В силу предыдущего свойства имеем . Осталось лишь воспользоваться равенством , которое справедливо в силу определения модуля числа.

Следующее свойство модуля записывается в виде неравенства: , a , b и c – произвольные действительные числа. Записанное неравенство представляет собой ни что иное как неравенство треугольника . Чтобы это стало понятно, возьмем точки A(a) , B(b) , C(c) на координатной прямой, и рассмотрим вырожденный треугольник АВС , у которого вершины лежат на одной прямой. По определению модуля разности равен длине отрезка АВ , - длине отрезка АС , а - длине отрезка СВ . Так как длина любой стороны треугольника не превосходит сумму длин двух других сторон, то справедливо неравенство , следовательно, справедливо и неравенство .

Только что доказанное неравенство намного чаще встречается в виде . Записанное неравенство обычно рассматривают как отдельное свойство модуля с формулировкой: «Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел ». Но неравенство напрямую следует из неравенства , если в нем вместо b положить −b , и принять c=0 .

Модуль комплексного числа

Дадим определение модуля комплексного числа . Пусть нам дано комплексное число , записанное в алгебраической форме , где x и y – некоторые действительные числа, представляющие собой соответственно действительную и мнимую части данного комплексного числа z , а – мнимая единица.