Исследование аксиом теории целых чисел. Аксиоматика вещественных чисел Аксиоматическое определение системы целых чисел

Главная / Иван Бунин

Аксиоматический метод в математике.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального ряда. Определение натурального числа.

Сложение натуральных чисел.

Умножение натуральных чисел.

Свойства множества натуральных чисел

Вычитание и деление натуральных чисел.

Аксиоматический метод в математике

При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила :

1. Некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения.

2. Формулируются аксиомы , которые в данной теории принимаются без доказательства, в них раскрываются свойства основных понятий.

3. Каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, даётся определение , в нём разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятию.

4. Каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом, должно быть доказано. Такие предложения называют теоремами и доказывают их на основе аксиом и теорем, предшествующих рассматриваемой.

Система аксиом должна быть:

а) непротиворечивой: мы должны быть уверены,что, делая всевозможные выводы из данной системы аксиом, никогда не придем к противоречию;

б) независимой : никакая аксиома не должна быть следствием других аксиом этой системы.

в) полной , если в ее рамках всегда можно доказать или данное утверждение, или его отрицание.

Первым опытом аксиоматического построения теории можно считать изложение геометрии Евклидом в его "Началах"(3 в. до н.э.). Значительный вклад в развитие аксиоматического метода построения геометрии и алгебры внесли Н.И. Лобачевский и Э.Галуа. В конце 19 в. итальянским математиком Пеано была разработана система аксиом для арифметики.

Основные понятия и отношения аксиоматической теории натурального числа. Определение натурального числа.

В качестве основного(неопределяемого) понятия в некотором множестве N выбирается отношение , а также используются теоретико-множественные понятия, а также правила логики.

Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а".

Отношения «непосредственно следовать за» удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиомы Пеано :

Аксиома 1 . В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1 .

Аксиома 2 . Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а" , непосредственно следующий за а .

Аксиома 3 . Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а .

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает с N , если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М ; 2) из того, что а содержится в М , следует, что и а" содержится в М.

Определение 1 . Множество N , для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за », удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел , а его элементы - натуральными числами .

В данном определении ничего не говорится о природе элементов множества N . Значит, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества N некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, мы получим модель данной системы аксиом.

Стандартной моделью системы аксиом Пеано является возникший в процессе исторического развития общества ряд чисел: 1,2,3,4,... Натуральный ряд начинается с числа 1 (аксиома 1); за каждым натуральным числом непосредственно следует единственное натуральное число (аксиома 2); каждое натуральное число непосредственно следует не более чем за одним натуральным числом (аксиома 3); начиная от числа 1 и переходя по порядку к непосредственно следующим друг за другом натуральным числам, получаем все множество этих чисел (аксиома 4).

Итак, мы начали аксиоматическое построение системы натуральных чисел с выбора основного отношения «непосредственно следовать за» и аксиом, в которых описаны его свойства. Дальнейшее построение теории предполагает рассмотрение известных свойств натуральных чисел и операций над ними. Они должны быть раскрыты в определениях и теоремах, т.е. выведены чисто логическим путем из отношения «непосредственно следовать за», и аксиом 1-4.

Первое понятие, которое мы введем после определения натурального числа, - это отношение «непосредственно предшествует» , которое часто используют при рассмотрении свойств натурального ряда.

Определение 2. Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а , то число а называется непосредственно предшествующим (или предшествующим) числу b .

Отношение «предшествует» обладает рядом свойств .

Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа.

Теорема 2. Каждое натуральное число а , отличное от 1, имеет единственное предшествующее число b , такое, что b" = а.

Аксиоматическое построение теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной, ни в средней школе. Однако те свойства отношения «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах Пеано, являются предметом изучения в начальном курсе математики. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При этом используются понятия «следует» и «предшествует». Каждое новое число выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. Учащиеся убеждаются в том, что за каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен.

Сложение натуральных чисел

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение «непосредственно следовать за» , и понятия «натуральное число» и «предшествующее число» .

Предварим определение сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу а прибавить 1, то получим число а", непосредственно следующее за а , т.е. а + 1 = а" и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу а натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2 + 3 = 5, то сумма 2 + 4 = 6, которое непосредственно следует за числом 5. Происходит так потому, что в сумме 2 + 4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. Таким образом, 2 + 4 =2+3" =(2+3)". В общем виде имеем, .

Эти факты положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории.

Определение 3 . Сложениемнатуральных чисел называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

Число а + b называется суммой чисел а и b , а сами числа а иb - слагаемыми .

СистемА целых чисел

Вспомним, что натуральный ряд появился для перечисления предметов. Но если мы захотим производить какие-то действия с предметами, то нам потребуются арифметические операции над числами. То есть, если мы хотим складывать яблоки или делить торт, нам надо перевести эти действия на язык чисел.

Обратим внимание, что для введения операций + и * в язык натуральных чисел требуется добавить аксиомы, определяющие свойства этих операций. Но тогда и само множество натуральных чисел тоже расширяется .

Посмотрим, как расширяется множество натуральных чисел. Простейшая операция, которая потребовалась одной из первых – это сложение. Если мы хотим определить операцию сложения, мы необходимо должны определить обратную к ней - вычитание. В самом деле, если мы знаем, что будет в результате сложения, например, 5 и 2, то мы должны уметь решать и задачи типа: что надо прибавить к 4, чтобы получить 11. То есть, задачи, связанные со сложением, обязательно потребуют умения производить и обратное действие – вычитание. Но если сложение натуральных чисел дает снова натуральное число, то вычитание натуральных чисел дает результат, не вписывающийся в N. Потребовались какие-то еще числа. По аналогии понятного вычитания из большего числа меньшего было введено правило вычитания из меньшего большего – так появились целые отрицательные числа.

Дополняя натуральный ряд операциями + и -, мы приходим к множеству целых чисел.

Z=N+операции(+-)

СистемА рациональных чисел как язык арифметики

Рассмотрим теперь следующее по сложности действие – умножение. По сути, это многократное сложение. И произведение целых чисел остается целым числом.

Но обратная операция к умножению – это деление. А оно далеко не всегда дает целый результат. И опять мы стоим перед дилеммой – либо принять как данное, что результат деления может «не существовать», либо придумать числа какого-то нового типа. Так появились рациональные числа.

Возьмем систему целых чисел и дополним ее аксиомами, определяющими операции умножения и деления. Получим систему рациональных чисел.

Q=Z+операции(*/)

Итак, язык рациональных чисел позволяет производить все арифметические операции над числами. Языка натуральных чисел для этого было недостаточно.

Приведем аксиоматическое определение системы рациональных чисел.

Определение. Множество Q называется множеством рациональных чисел, а его элементы - рациональными числами, если выполняется следующий комплекс условий, называемый аксиоматикой рациональных чисел:

Аксиомы операции сложения. Для всякой упорядоченной пары х,у элементов из Q определен некоторый элемент х+у ÎQ, называемый суммой х и у . При этом выполняются следующие условия:

1. (Существование нуля) Существует элемент 0 (нуль) такой, что для любого х ÎQ

х +0=0+х =х.

2. Для любого элемента х Î Q существует элемент - х Î Q (противоположный х ) такой, что

х + (-х) = (-х) + х = 0.

3. (Коммутативность) Для любых х,у Î Q

4. (Ассоциативность) Для любых х,у,zÎ Q

х + (у + z) = (х + у) + z

Аксиомы операции умножения.

Для всякой упорядоченной пары х, у элементов из Q определен некоторый элемент ху Î Q, называемый произведением х и у. При этом выполняются следующие условия:

5. (Существование единичного элемента) Существует элемент 1 Î Q такой, что для любого х Î Q

х . 1 = 1 . х = х

6. Для любого элемента х Î Q , (х ≠ 0) существует обратный элемент х -1 ≠0 такой, что

х. х -1 = х -1. х = 1

7. (Ассоциативность) Для любых х, у,z Î Q

х . (у . z) = (х . у) . z

8. (Коммутативность) Для любых х, у Î Q

Аксиома связи сложения и умножения.

9. (Дистрибутивность) Для любых х, у, z Î Q

(х+у) . z = x . z+у . z

Аксиомы порядка.

Всякие два элемента х, у, Î Q вступают в отношение сравнения ≤. При этом выполняются следующие условия:

10. (х ≤у )L (у ≤x ) ó x=у

11. (х ≤у) L (у≤z ) => x ≤ z

12. Для любых х, у Î Q либо х< у, либо у < x .

Отношение < называется строгим неравенством,

Отношение = называется равенством элементов из Q.

Аксиома связи сложения и порядка.

13. Для любых x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Аксиома связи умножения и порядка.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Аксиома непрерывности Архимеда.

15. Для любых a > b > 0 существует m Î N и n Î Q такие, что m ³ 1, n < b и a= mb+n.

*****************************************

Таким образом, система рациональных чисел – это язык арифметики.

Тем не менее, для решения практических вычислительных задач этого языка оказывается недостаточно.

Вещественных чисел, обозначаемом через (так называемую R рубленую), введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x ,y ) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y .

Аксиомы умножения

На введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x ,y ) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент (или, сокращённо, x y ) из этого же множества, называемый произведением x и y .

Связь сложения и умножения

Аксиомы порядка

На задано отношение порядка «» (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из выполняется хотя бы одно из условий или .

Связь отношения порядка и сложения

Связь отношения порядка и умножения

Аксиома непрерывности

Комментарий

Эта аксиома означает, что если X и Y - два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y , то между этими множествами можно вставить вещественное число. Для рациональных чисел эта аксиома не выполняется; классический пример: рассмотрим положительные рациональные числа и отнесём к множеству X те числа, квадрат которых меньше 2, а прочие - к Y . Тогда между X и Y нельзя вставить рациональное число ( не является рациональным числом).

Эта ключевая аксиома обеспечивает плотность и тем самым делает возможным построение математического анализа . Для иллюстрации её важности укажем на два фундаментальных следствия из неё.

Следствия аксиом

Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например,

единственность нуля,
единственность противоположного и обратного элементов.

Литература

Зорич В. А. Математический анализ. Том I. М.: Фазис, 1997, глава 2.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Аксиоматика вещественных чисел" в других словарях:

Вещественное, или действительное число математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия

Вещественные, или действительные числа математическая абстракция, служащая, в частности, для представления и сравнения значений физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой.… … Википедия

В Викисловаре есть статья «аксиома» Аксиома (др. греч … Википедия

Аксиома, которая встречается в различных аксиоматических системах. Аксиоматика вещественных чисел Аксиоматика Гильберта Евклидовой геометрии Аксиоматика Колмогорова теории вероятностей … Википедия

В школьном курсе математики действительные числа определялись конструктивным путем, основываясь на потребности проводить измерения. Такое определение являлось нестрогим и часто заводило исследователей в тупик. Например, вопрос о непрерывности действительных чисел, то есть имеются ли пустоты в этом множестве. Поэтому при проведении математических исследований необходимо иметь строгое определение исследуемых понятий, хотя бы в рамках некоторых интуитивных предположений (аксиом), которые согласуются с практикой.

О п р е д е л е н и е. Совокупность элементов x, y, z, …, состоящая более чем из одного элемента, называется множеством R действительных чисел, если для этих объектов установлены следующие операции и отношения:

I группа аксиом – аксиомы операции сложения.

В множестве R введена операция сложения, то есть для любой пары элементов a и b суммой и обозначаемый a + b
I 1 . a +b =b +a , a, b R .

I 2 . a +(b+c )=(a+b )+c , a , b , c R .

I 3. Существует такое элемент, называемый нулем и обозначаемый 0, что для любого a R выполняется условие a +0=a .

I 4 . Для любого элемента a R существует элемент, называемый ему противоположным и обозначаемый -a , для которого a +(-a )=0. Элемент a +(-b ), a , b R , называется разностью элементов a и b и обозначается a - b .

II –группа аксиом - аксиомы операции умножения . В множестве R введена операция умножения , то есть для любой пары элементов a и b определен единственный элемент, называемый их произведением и обозначаемый a b , так, что при этом выполняются следующие условия:
II 1 . ab =ba, a , b R .

II 2 a (bc )=(ab )c , a , b , c R .

II 3 . Существует такое элемент, называемое единицей и обозначаемое 1, что для любого a R выполняется условие a 1=a .

II 4 . Для любого a 0 существует элемент, называемый ему обратным и обозначаемый или 1/a , для которого a =1. Элемент a , b 0, называется частным от деления a на b и обозначается a :b или или a /b .

II 5 . Связь операций сложения и умножения: для любых a , b , c R выполняется условие (ac + b)c =ac+bc.

Совокупность объектов, удовлетворяющая аксиомам I и II групп, называются числовым полем или просто полем. А соответствующие аксиомы называются аксиомами поля.

III – третья группа аксиом - аксиомы порядка. Для элементов R определено отношение порядка. Оно состоит в следующем. Для любых двух различных элементов a и b имеет место одно из двух соотношений: либо a b (читается "a меньше или равно b "), либо a b (читается "a больше или равно b "). При этом предполагается, что выполняются следующие условия:

III 1. a a для каждого a. Из a b, b следует a=b.

III 2 . Транзитивность. Если a b и b c , то a c.

III 3 . Если a b , то для любого элемента c имеет место a +c b +c .

III 4 . Если a 0, b 0, то ab 0 .

IV группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности. Для любых непустых множеств X и Y из R таких, что для каждой пары элементов x X и y Y выполняется неравенство x< y , существует элемент a R , удовлетворяющий условию

Рис. 2

x< a< y , x X , y Y (рис.2). Перечисленные свойства полностью определяют множество действительных чисел в том смысле, что из этих свойств следуют и все остальные его свойства. Данное определение однозначно задает множество действительных чисел с точностью до конкретной природы его элементов. Оговорка о том, что в множестве содержится более одного элемента, необходима потому, что множество, состоящее из одного только нуля, очевидным образом удовлетворяет всем аксиомам. В дальнейшем элементы множества R будем называть числами.

Определим теперь знакомые нам понятия натуральных, рациональных и иррациональных чисел. Числа 1, 2 1+1, 3 2+1, ...называются натуральными числами , и их множество обозначается N . Из определения множества натуральных чисел вытекает, что оно обладает следующим характеристическим свойством: если

1) A N ,

3) для каждого элемента x A имеет место включение x+ 1 A , то A =N .

Действительно, согласно условию 2) имеем 1 A , поэтому по свойству 3) и 2 A , а тогда согласно тому же свойству получим 3 A . Поскольку любое натуральное число n получается из 1 последовательным прибавлением к ней той же 1, то n A , т.е. N A , а так как по условию 1 выполняется включение A N , то A =N .

На этом свойстве натуральных чисел основан принцип доказательства методом математической индукции . Если имеется множество утверждений, каждому из которых приписано натуральное число (его номер) n =1, 2, ..., и если доказано, что:

1) справедливо утверждение с номером 1;

2) из справедливости утверждения с любым номером n N следует справедливость утверждения с номером n +1;

то тем самым доказана справедливость всех утверждений, т.е. любого утверждения с произвольным номером n N .

Числа 0, + 1, + 2, ... называют целыми числами , их множество обозначают Z .

Числа вида m/n , где m и n целые, а n 0, называются рациональными числами . Множество всех рациональных чисел обозначают Q .

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными , их множество обозначается I .

Возникает вопрос, что, может быть, рациональные числа исчерпывают все элементы множества R? Ответ на этот вопрос дает аксиома непрерывности. Действительно, для рациональных чисел эта аксиома не выполняется. Для примера, рассмотрим два множества:

Легко видеть, что для любых элементов и выполняется неравенство . Однако рационального числа , разделяющего эти два множества, не существует. В самом деле, этим числом может быть только , но оно не является рациональным. Этот факт и указывает на то, что существуют иррациональные числа в множестве R .

Кроме четырех арифметических действий над числами можно производить действия возведения в степень и извлечения корня. Для любого числа a R и натурального n степень a n определяется как произведение n сомножителей, равных a :

По определению a 0 1, a >0, a - n 1/a n , a 0, n - натуральное число.

Пример. Неравенство Бернулли: (1+x) n > 1+nx Доказать методом индукции.

Пусть a >0, n - натуральное число. Число b называется корнем n -й степени из числа a , если b n =a . В этом случае пишется . Существование и единственность положительного корня любой степени n из любого положительного числа будет доказано ниже в п. 7.3.
Корень четной степени , a 0, имеет два значения: если b = , k N , то и -b = . Действительно, из b 2k = a следует, что

(-b ) 2k = ((-b ) 2 ) k = (b 2 ) k = b 2k

Неотрицательное значение называется его арифметическим значением .
Если r = p/q , где p и q целые, q 0, т. е. r - рациональное число, то для a > 0

(2.1)

Таким образом, степень a r определена для любого рационального числа r . Из ее определения следует, что для любого рационального r имеет место равенство

a -r = 1/a r .

Степень a x (число x называется показателем степени ) для любого действительного числа x получается с помощью непрерывного распространения степени с рациональным показателем (см. об этом в п. 8.2). Для любого числа a R неотрицательное число

называется его абсолютной величиной или модулем . Для абсолютных величин чисел справедливы неравенства

|a + b | < |a | + |b |,
||a - b || < |a - b |, a , b R

Они доказываются с помощью свойств I-IV действительных чисел.

Роль аксиомы непрерывности в построении математического анализа

Значение аксиомы непрерывности таково, что без нее невозможно строгое построение математического анализа. [источник не указан 1351 день ] Для иллюстрации приведем несколько фундаментальных утверждений анализа, доказательство которых опирается на непрерывность действительных чисел:

· (Теорема Вейерштрасса). Всякая ограниченная монотонно возрастающая последовательность сходится

· (Теорема Больцано - Коши). Непрерывная на отрезке функция, принимающая на его концах значения разного знака, обращается в нуль в некоторой внутренней точке отрезка

· (Существование степенной, показательной, логарифмической и всех тригонометрических функций на всей «естественной» области определения). Например, доказывается, что для всякого и целого существует , то есть решение уравнения . Это позволяет определить значение выражения для всех рациональных :

Наконец, снова благодаря непрерывности числовой прямой можно определить значение выражения уже для произвольного . Аналогично, используя свойство непрерывности, доказывается существование числа для любых .

Длительный исторический промежуток времени математики доказывали теоремы из анализа, в «тонких местах» ссылаясь на геометрическое обоснование, а чаще - и вовсе их пропуская поскольку это было очевидно. Важнейшее понятие непрерывности использовалось без какого-либо четкого определения. Лишь в последней трети XIX века немецкий математик Карл Вейерштрасс произвел арифметизацию анализа, построив первую строгую теорию действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Он предложил классическое определение предела на языке , доказал ряд утверждений, которые до него считались «очевидными», и тем самым завершил построение фундамента математического анализа.

Позднее были предложены другие подходы к определению действительного числа. В аксиоматическом подходе непрерывность действительных чисел выделена явно в отдельную аксиому. В конструктивных подходах к теории действительного числа, например при построении действительных чисел с помощью дедекиндовых сечений, свойство непрерывности (в той или иной формулировке) доказывается в качестве теоремы.

Другие формулировки свойства непрерывности и эквивалентные предложения[править | править вики-текст]

Существует несколько различных утверждений, выражающих свойство непрерывности действительных чисел. Каждый из этих принципов можно положить в основу построения теории действительного числа в качестве аксиомы непрерывности, и из него вывести все остальные . Подробнее этот вопрос обсуждается в следующем разделе.

Непрерывность по Дедекинду [править | править вики-текст]

Основная статья: Теория сечений в области рациональных чисел

Вопрос о непрерывности действительных чисел Дедекинд рассматривает в своей работе «Непрерывность и иррациональные числа» . В ней он сравнивает рациональные числа с точками прямой линии. Как известно, между рациональными числами и точками прямой можно установитьсоответствие, когда на прямой выбирают начальную точку и единицу измерения отрезков. При помощи последней можно по каждому рациональному числу построить соответствующий отрезок, и отложив его вправо или влево, смотря по тому, есть ли положительное или отрицательное число, получить точку , соответствующую числу . Таким образом, каждому рациональному числу соответствует одна и только одна точка на прямой.

При этом оказывается, что на прямой имеется бесконечно много точек, которые не соответствуют никакому рациональному числу. Например, точка, полученная путем отложения длины диагонали квадрата построенного на единичном отрезке. Таким образом, область рациональных чисел не обладает той полнотой , или же непрерывностью , которая присуща прямой линии.

Чтобы выяснить в чем же состоит эта непрерывность, Дедекинд делает следующее замечание. Если есть определенная точка прямой, то все точки прямой распадаются на два класса: точки расположенные левее , и точки расположенные правее . Сама же точка может быть произвольно отнесена либо к нижнему, либо к верхнему классу. Дедекинд усматривает сущность непрерывности в обратном принципе:

Геометрически этот принцип представляется очевидным, однако доказать его мы не в состоянии. Дедекинд подчеркивает, что, по существу, этот принцип является постулатом, в котором выражена сущность того приписываемого прямой свойства, которое мы называем непрерывностью.

Чтобы глубже понять сущность непрерывности числовой прямой в смысле Дедекинда, рассмотрим произвольноесечение множества действительных чисел, то есть разделение всех действительных чисел на два непустых класса, так что все числа одного класса лежат на числовой прямой левее всех чисел второго. Эти классы называются соответственно нижним и верхним классами сечения. Теоретически имеются 4 возможности:

1. В нижнем классе есть максимальный элемент, в верхнем классе нет минимального

2. В нижнем классе нет максимального элемента, а в верхнем классе есть минимальный

3. В нижнем классе есть максимальный, а в верхнем - минимальный элементы

4. В нижнем классе нет максимального, а в верхнем - минимального элементов

В первом и втором случаях максимальный элемент нижнего или минимальный элемент верхнего соответственно и производит данное сечение. В третьем случае мы имеем скачок , а в четвертом - пробел . Таким образом, непрерывность числовой прямой означает, что в множестве действительных чисел нет ни скачков, ни пробелов, то есть, образно говоря, нет пустот.

Если ввести понятие сечения множества действительных чисел, то принцип непрерывности Дедекинда можно сформулировать так.

Принцип непрерывности Дедекинда (полноты). Для каждого сечения множества действительных чисел существует число, производящее это сечение.

Замечание. Формулировка Аксиомы непрерывности о существовании точки, разделяющей два множества, весьма напоминает формулировку принципа непрерывности Дедекинда. В действительности, эти утверждения эквивалентны, и, по существу, являются разными формулировками одного и того же. Поэтому оба эти утверждения называют принципом непрерывности действительных чисел по Дедекинду .

Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора) [править | править вики-текст]

Основная статья: Лемма о вложенных отрезках

Лемма о вложенных отрезках (Коши - Кантор). Всякая система вложенных отрезков

имеет непустое пересечение, то есть существует по крайней мере одно число, принадлежащее всем отрезкам данной системы.

Если, кроме того, длина отрезков данной системы стремится к нулю, то есть

то пересечение отрезков данной системы состоит из одной точки.

Это свойство называют непрерывностью множества действительных чисел в смысле Кантора . Ниже будет показано, что для архимедовыхупорядоченных полей непрерывность по Кантору эквивалентна непрерывности по Дедекинду.

Принцип супремума [править | править вики-текст]

Принцип супремума. Всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет супремум.

В курсах математического анализа это предложение обычно является теоремой и его доказательство существенно использует непрерывность множества действительных чисел в той или иной форме. Вместе с тем можно наоборот, постулировать существование супремума у всякого непустого ограниченного сверху множества, и опираясь на это доказать, например, принцип непрерывности по Дедекинду. Таким образом, теорема о супремуме является одной из эквивалентных формулировок свойства непрерывности действительных чисел.

Замечание. Вместо супремума можно использовать двойственное понятие инфимума.

Принцип инфимума. Всякое непустое ограниченное снизу множество действительных чисел имеет инфимум.

Это предложение также эквивалентно принципу непрерывности Дедекинда. Более того можно показать, что из утверждения теоремы о супремуме непосредственно вытекает утверждение теоремы об инфимуме, и наоборот (см. ниже).

Лемма о конечном покрытии (принцип Гейне - Бореля) [править | править вики-текст]

Основная статья: Лемма Гейне - Бореля

Лемма о конечном покрытии (Гейне - Борель). В любой системе интервалов, покрывающей отрезок, существует конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.

Лемма о предельной точке (принцип Больцано - Вейерштрасса) [править | править вики-текст]

Основная статья: Теорема Больцано - Вейерштрасса

Лемма о предельной точке (Больцано - Вейерштрасс). Всякое бесконечное ограниченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную точку.

Эквивалентность предложений, выражающих непрерывность множества действительных чисел[править | править вики-текст]

Сделаем некоторые предварительные замечания. В соответствии с аксиоматическим определением действительного числа, совокупность действительных чисел удовлетворяет трем группам аксиом. Первая группа - аксиомы поля. Вторая группа выражает тот факт, что совокупность действительных чисел есть линейно упорядоченное множество, причем отношение порядка согласовано с основными операциями поля. Таким образом, первая и вторая группы аксиом означают, что совокупность действительных чисел представляет собой упорядоченное поле. Третья группа аксиом состоит из одной аксиомы - аксиомы непрерывности (или, полноты).

Чтобы показать эквивалентность различных формулировок непрерывности действительных чисел, следует доказать, что если для упорядоченого поля выполнено одно из этих предложений, то из этого вытекает справедливость всех остальных.

Теорема. Пусть - произвольное линейно упорядоченное множество. Следующие утверждения эквивалентны:

1. Каковы бы ни были непустые множества и , такие что для любых двух элементов и выполняется неравенство , существует такой элемент , что для всех и имеет место соотношение

2. Для всякого сечения в существует элемент, производящий это сечение

3. Всякое непустое ограниченное сверху множество имеет супремум

4. Всякое непустое ограниченное снизу множество имеет инфимум

Как видно из этой теоремы, эти четыре предложения используют лишь то, что на введено отношение линейного порядка, и не используют структуру поля. Таким образом, каждое из них выражает свойство как линейно упорядоченного множества. Это свойство (произвольного линейно упорядоченного множества, не обязательно множества действительных чисел) называется непрерывностью, или полнотой, по Дедекинду .

Доказательство эквивалентности других предложений уже требует наличия структуры поля.

Теорема. Пусть - произвольное упорядоченное поле. Следующие предложения равносильны:

1. (как линейно упорядоченное множество) является полным по Дедекинду

2. Для выполнены принцип Архимеда и принцип вложенных отрезков

3. Для выполнен принцип Гейне - Бореля

4. Для выполнен принцип Больцано - Вейерштрасса

Замечание. Как видно из теоремы, принцип вложенных отрезков сам по себе не равносилен принципу непрерывности Дедекинда. Из принципа непрерывности Дедекинда следует принцип вложенных отрезков, однако для обратного требуется дополнительно потребовать, чтобы упорядоченное поле удовлетворяло аксиоме Архимеда

Доказательство приведенных теорем можно найти в книгах из списка литературы, приведенного ниже.

· Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. - 5-е изд. - М.: «Дрофа», 2003. - Т. 1. - 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Фихтенгольц, Г. М. Основы математического анализа. - 7-е изд. - М.: «ФИЗМАТЛИТ», 2002. - Т. 1. - 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Дедекинд, Р. Непрерывность и иррациональные числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-е исправленное издание. - Одесса: Mathesis, 1923. - 44 с.

· Зорич, В. А. Математический анализ. Часть I. - Изд. 4-е, испр.. - М.: «МЦНМО», 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9.

· Непрерывность функций и числовых областей: Б. Больцано, Л. О. Коши, Р. Дедекинд, Г. Кантор. - 3-е изд. - Новосибирск: АНТ, 2005. - 64 с.

4.5. Аксиома непрерывности

Каковы бы ни были два непустых множества вещественных чисел A и

B , у которых для любых элементов a ∈ A и b ∈ B выполняется неравенство

a ≤ b , существует такое число λ , что для всех a ∈ A , b ∈ B имеет место не-

равенство a ≤ λ ≤ b .

Свойство непрерывности вещественных чисел означает, что на вещест-

венной прямой нет «пустот», то есть точки, изображающие числа заполняют

всю вещественную ось.

Дадим другую формулировку аксиоме непрерывности. Для этого введем

Определение 1.4.5. Два множества A и B будем называть сечением

множества вещественных чисел, если

1) множества A и B не пусты;

2) объединение множеств A и B составляет множество всех веществен-

ных чисел;

3) каждое число множества A меньше числа множества B .

То есть каждое множество, образующее сечение, содержит хотя бы один

элемент, эти множества не содержат общих элементов и, если a ∈ A и b ∈ B , то

Множество A будем называть нижним классом, а множество B - верхним

классом сечения. Обозначать сечение будем через A B .

Самыми простыми примерами сечений являются сечения полученные сле-

дующим образом. Возьмем какое- либо число α и положим

A = { x x < α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

секаются и если a ∈ A и b ∈ B , то a < b , поэтому множества A и B образуют

сечение. Аналогично, можно образовать сечение, множествами

A ={x x ≤ α } , B ={x x > α } .

Такие сечения будем называть сечениями, порожденными числом α или

будем говорить, что число α производит это сечение. Это можно записать как

Сечения, порожденные каким-либо числом, обладают двумя интересными

свойствами:

Свойство 1. Либо верхний класс содержит наименьше число, и в нижнем

классе нет наибольшего числа, либо нижний класс содержит наибольшее чис-

ло, и верхнем классе нет наименьшего.

Свойство 2. Число, производящее данное сечение, единственно.

Оказывается, что аксиома непрерывности, сформулированная выше, эквива-

лентна утверждению, которое называют принципом Дедекинда:

Принцип Дедекинда. Для каждого сечения существует число, порождающее

это сечение.

Докажем эквивалентность этих утверждений.

Пусть справедлива аксиома непрерывности, и задано какое-нибудь се-

чение A B . Тогда, так как классы A и B удовлетворяют условиям, сформули-

рованным в аксиоме, существует число λ такое, что a ≤ λ ≤ b для любых чисел

a ∈ A и b ∈ B . Но число λ должно принадлежать одному и только одному из

классов A или B , поэтому будет выполнено одно из неравенств a ≤ λ < b или

a < λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

либо наименьшим в верхнем классе и порождает данное сечение.

Обратно, пусть выполнен принцип Дедекинда и заданы два непустых

множества A и B таких, что для всех a ∈ A и b ∈ B выполняется неравенство

a ≤ b . Обозначим через B множество чисел b таких, что a ≤ b для любого

b ∈ B и всех a ∈ A . Тогда B ⊂ B . За множество A примем множество всех чи-

сел, не входящих в B .

Докажем, что множества A и B образуют сечение.

Действительно, очевидно, что множество B не пусто, так как содержит

непустое множество B . Множество A тоже не пусто, так как если число a ∈ A ,

то число a − 1∉ B , так как любое число, входящее в B должно быть не меньше

числа a , следовательно, a − 1∈ A .

множество всех вещественных чисел, в силу выбора множеств.

И, наконец, если a ∈ A и b ∈ B , то a ≤ b . Действительно, если какое- либо

число c будет удовлетворять неравенству c > b , где b ∈ B , то будет верным не-

равенство c > a (a - произвольный элемент множества A) и c ∈ B .

Итак, A и B образуют сечение, и в силу принципа Дедекинда, существует чис-

ло λ , порождающее это сечение, то есть являющееся либо наибольшим в клас-

Докажем, что это число не может принадлежать классу A . Действитель-

но, если λ ∈ A , то существует число a* ∈ A такое, что λ < a* . Тогда существует

число a′ , лежащее между числами λ и a* . Из неравенства a′ < a* следует, что

a′ ∈ A , тогда из неравенства λ < a′ следует, что λ не является наибольшим в

классе A , что противоречит принципу Дедекинда. Следовательно, число λ бу-

дет наименьшим в классе B и для всех a ∈ A и будет выполняться неравенство

a ≤ λ ≤ b , что и требовалось доказать.◄

Таким образом, свойство, сформулированное в аксиоме и свойство,

сформулированное в принципе Дедекинда эквивалентны. В дальнейшем эти

свойства множества вещественных чисел мы будем называть непрерывностью

по Дедекинду.

Из непрерывности множества вещественных чисел по Дедекинду следуют

две важные теоремы.

Теорема 1.4.3. (Принцип Архимеда) Каково бы ни было вещественное число

a, существует натуральное число n такое, что a < n .

Допустим, что утверждение теоремы неверно, то есть существует та-

кое число b0 , что выполняется неравенство n ≤ b0 для всех натуральных чисел

n . Разобьем множество вещественных чисел на два класса: в класс B отнесем

все числа b , удовлетворяющие неравенству n ≤ b для любых натуральных n .

Этот класс не пуст, так как ему принадлежит число b0 . В класс A отнесем все

оставшиеся числа. Этот класс тоже не пуст, так как любое натуральное число

входит в A . Классы A и B не пересекаются и их объединение составляет

множество всех вещественных чисел.

Если взять произвольные числа a ∈ A и b ∈ B , то найдется натуральное

число n0 такое, что a < n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A и B удовлетворяют принципу Дедекинда и существует число α , которое

порождает сечение A B , то есть α является либо наибольшим в классе A , ли-

бо наименьшим в классе B . Если предположить, что α входит в класс A , то

можно найти натуральное n1 , для которого выполняется неравенство α < n1 .

Так как n1 тоже входит в A , то число α не будет наибольшим в этом классе,

следовательно, наше предположение неверно и α является наименьшим в

классе B .

С другой стороны, возьмем число α − 1 , которое входит в класс A . Следова-

тельно, найдется натуральное число n2 такое, что α − 1 < n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

следует, что α ∈ A . Полученное противоречие доказывает теорему.◄

Следствие. Каковы бы ни были числа a и b такие, что 0 < a < b , существует

натуральное число n, для которого выполняется неравенство na > b .

Для доказательства достаточно применить принцип Архимеда к числу

и воспользоваться свойством неравенств.◄

Следствие имеет простой геометрический смысл: Каковы бы ни были два

отрезка, если на большем из них, от одного из его концов последовательно от-

кладывать меньший, то за конечное число шагов можно выйти за пределы

большего отрезка.

Пример 1. Доказать, что для всякого неотрицательного числа a существует

единственное неотрицательное вещественное число t такое, что

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Эта теорема о существовании арифметического корня n-ой степени

из неотрицательного числа в школьном курсе алгебры принимается без дока-

зательства.

☺Если a = 0 , то x = 0 , поэтому доказательство существования арифмети-

ческого корня из числа a требуется только для a > 0 .

Предположим, что a > 0 и разобьем множество всех вещественных чисел

на два класса. В класс B отнесем все положительные числа x, которые удовле-

творяют неравенству x n > a , в класс A , все остальные.

По аксиоме Архимеда существуют натуральные числа k и m такие, что

< a < k . Тогда k 2 ≥ k > a и 2 ≤ < a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A содержит положительные числа.

Очевидно, что A ∪ B = и если x1 ∈ A и x2 ∈ B , то x1 < x2 .

Таким образом, классы A и B образуют сечение. Число, образующее это

сечение, обозначим через t . Тогда t либо является наибольшим числом в клас-

се A , либо наименьшим в классе B .

Допустим, что t ∈ A и t n < a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

венству 0 < h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn < t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

То получим (t + h) < a . Это означает,

Отсюда, если взять h <

что t + h ∈ A , что противоречит тому, что t наибольший элемент в классе A .

Аналогично, если предположить, что t - наименьший элемент класса B ,

то, взяв число h , удовлетворяющее неравенствам 0 < h < 1 и h < ,

получим (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Это означает, что t − h ∈ B и t не может быть наименьшим элементом

класса B . Следовательно, t n = a .

Единственность следует из того что, если t1 < t2 , то t1n < t2 .☻ n

Пример 2. Доказать, что, если a < b , то всегда найдется рациональное число r

такое, что a < r < b .

☺Если числа a и b - рациональные, то число рационально и удов-

летворяет требуемым условиям. Допустим, что хотя бы одно из чисел a или b

иррационально, например, допустим, что иррационально число b . Предполо-

жим также, что a ≥ 0 , тогда b > 0 . Запишем представления чисел a и b в виде

десятичных дробей: a = α 0 ,α1α 2α 3.... и b = β 0 , β1β 2 β3... , где вторая дробь беско-

нечная и непериодическая. Что касается представления числа a , то будем счи-

тать, что, если число a - рационально, то его запись либо конечна, либо это пе-

риодическая дробь, период которой не равен 9.

Так как b > a , то β 0 ≥ α 0 ; если β 0 = α 0 , то β1 ≥ α1 ; если β1 = α1 , то β 2 ≥ α 2

и т. д., причем найдется такое значение i , при котором в первый раз будет вы-

полняться строгое неравенство βi > α i . Тогда число β 0 , β1β 2 ...βi будет рацио-

нальным и будет лежать между числами a и b .

Если a < 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n , где n - натуральное число, такое что n ≥ a . Существование такого числа

следует из аксиомы Архимеда. ☻

Определение 1.4.6. Пусть дана последовательность отрезков числовой оси

{[ an ; bn ]} , an < bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

женных отрезков, если для любого n выполняются неравенства an ≤ an+1 и

Для такой системы выполняются включения

[ a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn ] ⊃ ... ,

то есть каждый следующий отрезок содержится в предыдущем.

Теорема 1.4.4. Для всякой системы вложенных отрезков существует по

крайней мере одна точка, которая входит в каждый из этих отрезков.

Возьмем два множества A = {an } и B = {bn } . Они не пусты и при любых

n и m выполняется неравенство an < bm . Докажем это.

Если n ≥ m , то an < bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Таким образом, классы A и B удовлетворяют аксиоме непрерывности и,

следовательно, существует число λ такое, что an ≤ λ ≤ bn для любого n, т.е. это

число принадлежит любому отрезку [ an ; bn ] .◄

В дальнейшем (теорема 2.1.8) мы уточним эту теорему.

Утверждение, сформулированное в теореме 1.4.4, называется принципом

Кантора, а множество, удовлетворяющее этому условию, будем называть не-

прерывным по Кантору.

Мы доказали, что, если упорядоченное множество непрерывно по Деде-

кинду, то в нем выполнен принцип Архимеда и оно непрерывно по Кантору.

Можно доказать, что упорядоченное множество, в котором выполнены прин-

ципы Архимеда и Кантора, будет непрерывным по Дедекинду. Доказательство

этого факта содержится, например, в .

Принцип Архимеда позволяет каждому отрезку прямой сопоставить не-

которое единственное положительное число, удовлетворяющее условиям:

1. равным отрезкам соответствуют равные числа;

2. Если В точка отрезка АС и отрезкам АВ и ВС соответствуют числа a и

b, то отрезку АС соответствует число a + b ;

3. некоторому отрезку соответствует число 1.

Число, соответствующее каждому отрезку и удовлетворяющее условиям 1-3 на-

зывается длиной этого отрезка.

Принцип Кантора позволяет доказать, что для каждого положительного

числа можно найти отрезок, длина которого равна этому числу. Таким образом,

между множеством положительных вещественных чисел и множеством отрез-

ков, которые откладываются от некоторой точки прямой по заданную сторону

от этой точки, можно установить взаимно однозначное соответствие.

Это позволяет дать определение числовой оси и ввести соответствие ме-

жду вещественными числами и точками на прямой. Для этого возьмем некото-

рую прямую и выберем на ней точку О, которая разделит эту прямую на два

луча. Один из этих лучей назовем положительным, а второй отрицатель-

ным. Тогда будем говорить, что мы выбрали направление на этой прямой.

Определение 1.4.7. Числовой осью будем называть прямую, на которой

а) точка О, называемая началом отсчета или началом координат;

б) направление;

в) отрезок единичной длины.

Теперь каждому вещественному числу a сопоставим точку M на число-

вой прямой таким образом, чтобы

а) числу 0 соответствовало начало координат;

б) OM = a - длина отрезка от начала координат до точки M равнялась

модулю числа;

в) если a - положительно, то точка берется на положительном луче и, ес-

ли оно отрицательно, то – на отрицательном.

Это правило устанавливает взаимно-однозначное соответствие между

множеством вещественных чисел и множеством точек на прямой.

Числовую прямую (ось) будем также называть вещественной прямой

Отсюда также следует геометрический смысл модуля вещественного чис-

ла: модуль числа равен расстоянию от начала координат до точки, изобра-

жающей это число на числовой оси.

Теперь мы можем дать геометрическую интерпретацию свойствам 6 и 7

модуля вещественного числа. При положительном С числа x, удовлетворяю-

щие свойству 6, заполняют промежуток (−C , C) , а числа x, удовлетворяющие

свойству 7, лежат на лучах (−∞,C) или (C , +∞) .

Отметим еще одно замечательное геометрическое свойство модуля веще-

ственного числа.

Модуль разности двух чисел равен расстоянию между точками, соот-

ветствующими этим числам на вещественной оси.

рых стандартных числовых множеств.

Множество натуральных чисел;

Множество целых чисел;

Множество рациональных чисел;

Множество вещественных чисел;

Множества, соответственно, целых, рациональных и веще-

ственных неотрицательных чисел;

Множество комплексных чисел.

Кроме того, множество вещественных чисел обозначается как (−∞, +∞) .

Подмножества этого множества:

(a, b) = { x | x ∈ R, a < x < b} - интервал;

[ a, b] = { x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b} - отрезок;

(a, b] = { x | x ∈ R, a < x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

лы или полуотрезки;

(a, +∞) = { x | x ∈ R, a < x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = { x | x ∈ R, a ≤ x} или (−∞, b] = { x | x ∈ R, x ≤ b} - замкнутые лучи.

Наконец, иногда нам будут нужны промежутки, у которых нам не будет важно,

принадлежат его концы этому промежутку или нет. Такой промежуток будем

обозначать a, b .

§ 5 Ограниченность числовых множеств

Определение 1.5.1. Числовое множество X называется ограниченным

сверху, если существует число М такое, что x ≤ M для всякого элемента x из

множества X .

Определение 1.5.2. Числовое множество X называется ограниченным

снизу, если существует число m такое, что x ≥ m для всякого элемента x из

множества X .

Определение 1.5.3. Числовое множество X называется ограниченным,

если оно ограничено сверху и снизу.

В символической записи эти определения будут выглядеть следующим

множество X ограничено сверху, если ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

ограничено снизу, если ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m и

ограничено, если ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Теорема 1.5.1. Числовое множество X ограничено тогда и только тогда,

когда существует число C такое, что для всех элементов x из этого множе-

ства выполняется неравенство x ≤ C .

Пусть множество X ограничено. Положим C = max (m , M) - наи-

большее из чисел m и M . Тогда, используя свойства модуля вещественных

чисел, получим неравенства x ≤ M ≤ M ≤ C и x ≥ m ≥ − m ≥ −C , откуда следу-

ет, что x ≤ C .

Обратно, если выполняется неравенство x ≤ C , то −C ≤ x ≤ C . Это и есть тре-

буемое, если положить M = C и m = −C .◄

Число M , ограничивающее множество X сверху, называется верхней

границей множества. Если M - верхняя граница множества X , то любое

число M ′ , которое больше M , тоже будет верхней границей этого множества.

Таким образом, мы можем говорить о множестве верхних границ множества

X . Обозначим множество верхних границ через M . Тогда, ∀x ∈ X и ∀M ∈ M

будет выполнено неравенство x ≤ M , следовательно, по аксиоме непрерывно-

сти существует число M 0 такое, что x ≤ M 0 ≤ M . Это число называется точ-

ной верхней границей числового множества X или верхней гранью этого

множества или супремумом множества X и обозначается M 0 = sup X .

Таким образом, мы доказали, что каждое непустое числовое множество,

ограниченное сверху, всегда имеет точную верхнюю границу.

Очевидно, что равенство M 0 = sup X равносильно двум условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≤ M 0 , т.е. M 0 - верхняя граница множе-

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε > M 0 − ε , т.е. эту гра-

ницу нельзя улучшить (уменьшить).

Пример 1. Рассмотрим множество X = ⎨1 − ⎬ . Докажем, что sup X = 1 .

☺Действительно, во-первых, неравенство 1 − < 1 выполняется для любого

n ∈ ; во-вторых, если взять произвольное положительное число ε , то по

принципу Архимеда можно найти натуральное число nε , такое что nε > . То-

гда будет выполнено неравенство 1 − > 1 − ε , т.е. нашелся элемент xnε мно-

жества X , больший чем 1 − ε , что означает, что 1 – наименьшая верхняя грани-

Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то

оно имеет точную нижнюю границу, которая называется также нижней гра-

нью или инфимумом множества X и обозначается inf X .

Равенство m0 = inf X равносильно условиям:

1) ∀x ∈ X выполняется неравенство x ≥ m0 ;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, что выполняется неравенство xε < m0 + ε .

Если в множестве X есть наибольший элемент x0 , то будем называть его

максимальным элементом множества X и обозначать x0 = max X . Тогда

sup X = x0 . Аналогично, если в множестве существует наименьший элемент, то

его будем называть минимальным, обозначать min X и он будет являться ин-

фимумом множества X .

Например, множество натуральных чисел имеет наименьший элемент –

единицу, который одновременно является и инфимумом множества. Супре-

мума это множество не имеет, так как оно не является ограниченным сверху.

Определения точных верхней и нижней границ можно распространить на

множества, неограниченные сверху или снизу, полагая, sup X = +∞ или, соот-

ветственно, inf X = −∞ .

В заключение сформулируем несколько свойств верхних и нижних гра-

Свойство 1. Пусть X - некоторое числовое множество. Обозначим через

− X множество {− x | x ∈ X } . Тогда sup (− X) = − inf X и inf (− X) = − sup X .

Свойство 2. Пусть X - некоторое числовое множество λ - вещественное

число. Обозначим через λ X множество {λ x | x ∈ X } . Тогда если λ ≥ 0 , то

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X и, если λ < 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

Свойство 3. Пусть X1 и X 2 - числовые множества. Обозначим через

X1 + X 2 множество { x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 } и через X1 − X 2 множество

{ x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2} . Тогда sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 и

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Свойство 4. Пусть X1 и X 2 - числовые множества, все элементы кото-

рых неотрицательны. Тогда

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Докажем, например, первое равенство в свойстве 3.

Пусть x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 и x = x1 + x2 . Тогда x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 и

x ≤ sup X1 + sup X 2 , откуда sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число

y < sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

что x1 < sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y < x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, который больше числа y и

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Доказательства остальных свойств проводятся аналогично и предостав-

ляются читателю.

§ 6 Счетные и несчетные множества

Определение 1.6.1. Рассмотрим множество первых n натуральных чисел

n = {1,2,..., n} и некоторое множество A . Если можно установить взаимно-

однозначное соответствие между A и n , то множество A будем называть

конечным.

Определение 1.6.2. Пусть дано некоторое множество A . Если можно

установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и

множеством натуральных чисел, то множество A будем называть счет-

Определение 1.6.3. Если множество A конечно или счетно, то будем го-

ворить, что оно не более чем счетно.

Таким образом, множество будет счетно, если его элементы можно рас-

положить в виде последовательности.

Пример 1. Множество четных чисел – счетное, так как отображение n ↔ 2n

является взаимно однозначным соответствием между множеством натуральных

чисел и множеством четных чисел.

Очевидно, такое соответствие можно установить не единственным обра-

зом. Например, можно установить соответствие между множеством и мно-

жеством (целых чисел), установив соответствие таким способом

ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЛИАЛ ОмГПУ в Г. ТАРЕ
ББК Печатается по решению редакционно-издательского
22я73 сектора филиала ОмГПУ в г.Таре
Ч67

Рекомендации предназначены для студентов педагогических вузов, изучающих дисциплину "Алгебра и теория чисел". В рамках этой дисциплины в соответствии с государственным стандартом в 6 семестре изучается раздел "Числовые системы". В данных рекомендациях излагается материал об аксиоматическом построении систем натуральных чисел (система аксиом Пеано), систем целых и рациональных чисел. Эта аксиоматика позволяет глубже понять, что же такое число, которое является одним из основных понятий школьного курса математики. Для лучшего усвоения материала приводятся задачи на соответствующие темы. В конце рекомендаций имеются ответы, указания, решения задач.

Рецензент: д.п.н., проф. Далингер В.А.

(с) Можан Н.Н.

Подписано в печать - 22.10.98

Бумага газетная
Тираж 100 экз.
Способ печати оперативный
ОмГПУ, 644099, Омск, наб. Тухачевского, 14
филиал, 644500, Тара, ул. Школьная, 69

1. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

При аксиоматическом построении системы натуральных чисел будем считать известными понятие множества, отношения, функции и другие теоретико-множественные понятия.

1.1 Система аксиом Пеано и простейшие следствия.

Первоначальными понятиями в аксиоматической теории Пеано являются множество N (которое будем называть множеством натуральных чисел), особое число нуль (0) из него и бинарное отношение "следует за" на N, обозначаемое S(a) (или a().
АКСИОМЫ:
1. ((a(N) a"(0 (Существует натуральное число 0, которое не следует ни за каким числом.)
2. a=b (a"=b" (Для каждого натурального числа a существует следующее за ним натуральное число a", и притом только одно.)
3. a"=b" (a=b (Каждое натуральное число следует не более чем за одним числом.)
4. (аксиома индукции) Если множество M(N и M удовлетворяет двум условиям:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a"(M, то M=N.
В функциональной терминологии это означает, что отображение S:N®N инъективно. Из аксиомы 1 следует, что отображение S:N®N сюръективным не является. Аксиома 4 - основа доказательства утверждений "методом математической индукции".
Отметим некоторые свойства натуральных чисел, непосредственно следующих из аксиом.
Свойство 1. Каждое натуральное число a(0 следует за одним и только одним числом.
Доказательство. Обозначим через M множество натуральных чисел, содержащее нуль и все те натуральные числа, каждое из которых следует за каким-нибудь числом. Достаточно показать, что M=N, единственность следует из аксиомы 3. Применим аксиому индукции 4:
A) 0(M - по построению множества M;
B) если a(M, то и a"(M, ибо a" следует за a.
Значит в силу аксиомы 4 M=N.
Свойство 2. Если a(b, то a"(b".
Доказывается свойство методом "от противного", используя аксиому 3. Аналогично доказывается следующее свойство 3, используя аксиому 2.
Свойство 3. Если a"(b", то a(b.
Свойство 4. ((a(N)a(a". (Никакое натуральное число не следует за самим собой.)
Доказательство. Пусть M={x (x(N, x(x"}. Достаточно показать, что M=N. Так как по аксиоме 1 ((x(N)x"(0, то в частности и 0"(0, и таким образом условие A) аксиомы 4 0(M - выполняется. Если x(M, то есть x(x", то по свойству 2 x"((x")", а это значит, что выполняется и условие B) x(M ® x"(M. Но тогда согласно аксиоме 4 M=N.
Пусть (- некоторое свойство натуральных чисел. Тот факт, что число a обладает свойством (, будем записывать ((a).
Задача 1.1.1. Докажите, что аксиома 4 из определения множества натуральных чисел равносильна следующему утверждению: для любого свойства (, если ((0) и, то.
Задача 1.1.2. На трехэлементном множестве A={a,b,c} следующим образом определена унарная операция (: a(=c, b(=c, c(=a. Какие из аксиом Пеано истинны на множестве A с операцией (?
Задача 1.1.3. Пусть A={a} - одноэлементное множество, a(=a. Какие из аксиом Пеано истинны на множестве A с операцией (?
Задача 1.1.4. На множестве N определим унарную операцию, полагая для любого. Выясните, будут ли в N истинны утверждения аксиом Пеано, сформулированные в терминах операции.
Задача 1.1.5. Пусть. Докажите, что A замкнуто относительно операции (. Проверьте истинность аксиом Пеано на множестве A с операцией (.
Задача 1.1.6. Пусть, . Определим на A унарную операцию, полагая. Какие из аксиом Пеано истинны на множестве A с операцией?

1.2. Непротиворечивость и категоричность системы аксиом Пеано.

Система аксиом называется непротиворечивой, если из ее аксиом невозможно доказать теорему T и ее отрицание (T. Ясно, что противоречивые системы аксиом не имеют в математике никакого значения, ибо в такой теории можно доказать все, что угодно и такая теория не отражает закономерностей действительного мира. Поэтому, непротиворечивость системы аксиом - совершенно необходимое требование.
Если в аксиоматической теории не встретилось теорема T и ее отрицания (T, то это еще не значит, что система аксиом непротиворечива; такие теории могут встретиться в дальнейшем. Поэтому, непротиворечивость системы аксиом надо доказывать. Наиболее распространенным способом доказательства непротиворечивости является метод интерпретаций, основанный на том, что если существует интерпретация системы аксиом в заведомо непротиворечивой теории S, то и сама система аксиом непротиворечива. Действительно, если бы система аксиом была противоречива, то в ней были бы доказуемы теоремы T и (T, но тогда эти теоремы были бы справедливы и в ее интерпретации, а это противоречит непротиворечивости теории S. Метод интерпретаций позволяет доказать только относительную непротиворечивость теории.
Для системы аксиом Пеано можно построить много различных интерпретаций. Особенно богата интерпретациями теория множеств. Укажем одну из таких интерпретаций. Натуральными числами будем считать множества (, {(}, {{(}}, {{{(}}},..., особым числом нуль будем считать (. Отношение "следует за" будем интерпретировать следующим образом: за множеством M следует множество {M}, единственным элементом которого является само M. Таким образом, ("={(}, {(}"={{(}} и т.д. Выполнимость аксиом 1-4 проверяется без труда. Однако эффективность такой интерпретации невелика: она показывает, что система аксиом Пеано непротиворечива, если непротиворечива теория множеств. Но доказательство непротиворечивости системы аксиом теории множеств - еще более трудная задача. Наиболее убедительной интерпретацией системы аксиом Пеано является интуитивная арифметика, непротиворечивость которой подтверждается многовековым ее опытом развития.
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если каждая аксиома этой системы не может быть доказана как теорема на основании других аксиом. Чтобы доказать, что аксиома (не зависит от других аксиом системы
(1, (2, ..., (n, ((1)
достаточно доказать, что непротиворечива система аксиом
(1, (2, ..., (n, (((2)
Действительно, если бы (доказывалась на основании остальных аксиом системы (1), то система (2) была противоречивой, так как в ней были бы верными теорема (и аксиома ((.
Итак, чтобы доказать независимость аксиомы (от остальных аксиом системы (1), достаточно построить интерпретацию системы аксиом (2).
Независимость системы аксиом - требование необязательное. Иногда, чтобы избежать доказательства "трудных" теорем, строят заведомо избыточную (зависимую) систему аксиом. Однако "лишние" аксиомы затрудняют изучение роли аксиом в теории, а также внутренних логических связей между различными разделами теории. Кроме того, построение интерпретаций для зависимых систем аксиом значительно труднее, чем для независимых; ведь приходится проверять справедливость "лишних" аксиом. В силу этих причин вопросу зависимости между аксиомами с давних времен придавалось первостепенное значение. В свое время попытки доказать, что 5 постулат в аксиоматике Евклида "Существует не более одной прямой , проходящей через точку A параллельно прямой (", является теоремой (то есть зависит от остальных аксиом) и привели к открытию геометрии Лобачевского.
Непротиворечивая система называется дедуктивно полной, если любое предложение A данной теории можно либо доказать, либо опровергнуть, то есть либо A, либо (A является теоремой данной теории. Если же существует такое предложение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, то система аксиом называется дедуктивно неполной. Дедуктивная полнота - тоже не обязательное требование. Например, система аксиом теории групп, теории колец, теории полей - неполны; так как существуют и конечные и бесконечные группы, кольца, поля, то в этих теориях нельзя ни доказать, ни опровергнуть предложение: "Группа (кольцо, поле) содержит конечное число элементов".
Следует заметить, что во многих аксиоматических теориях (именно, в неформализованных) множество предложений нельзя считать точно определенным и поэтому доказать дедуктивную полноту системы аксиом такой теории невозможно. Другой смысл полноты называют категоричностью. Система аксиом называется категоричной, если любые две ее интерпретации изоморфны, то есть существует такое взаимно однозначное соответствие между множествами первоначальных объектов той и другой интерпретации, которое сохраняется при всех первоначальных отношениях. Категоричность - тоже необязательное условие. Например, система аксиом теории групп не категорична. Это следует из того, что конечная группа не может быть изоморфна бесконечной группе. Однако при аксиоматизации теории какой-нибудь числовой системы категоричность обязательна; например, категоричность системы аксиом, определяющей натуральные числа, означает, что с точностью до изоморфизма существует только один натуральный ряд.
Докажем категоричность системы аксиом Пеано. Пусть (N1, s1, 01) и (N2, s2, 02) - любые две интерпретации системы аксиом Пеано. Требуется указать такое биективное (взаимно однозначное) отображение f:N1®N2, для которого выполняются условия:
а) f(s1(x)=s2(f(x)) для любого x из N1;
б) f(01)=02
Если обе унарные операции s1 и s2 обозначать одинаково штрихом, то условие а) перепишется в виде
а) f(x()=f(x)(.
Определим на множестве N1(N2 бинарное отношение f следующими условиями:
1) 01f02;
2) если xfy, то x(fy(.
Убедимся, что это отношение является отображением N1 в N2, то есть для каждого x из N1
(((y(N2) xfy (1)
Обозначим через M1 множество всех элементов x из N1, для которых условие (1) выполняется. Тогда
А) 01(M1 в силу 1);
B) x(M1 ® x((M1 в силу 2) и свойства 1 пункта 1.
Отсюда, согласно аксиоме 4 заключаем, что M1=N1, а это и значит, что отношение f является отображением N1 в N2. При этом из 1) следует, что f(01)=02. Условие 2) записывается в виде: если f(x)=y, то f(x()=y(. Отсюда следует, что f(x()=f(x)(. Таким образом, для отображения f условия а) и б) выполняются. Остается доказать биективность отображения f.
Обозначим через M2 множество тех элементов из N2, каждый из которых является образом одного и только одного элемента из N1 при отображении f.
Так как f(01)=02, то 02 является образом. При этом если x(N2 и x(01, то по свойству 1 пункта 1 x следует за некоторым элементом c из N1 и тогда f(x)=f(c()=f(c)((02. Значит, 02 является образом единственного элемента 01, то есть 02(M2.
Пусть далее y(M2 и y=f(x), где x - единственный прообраз элемента y. Тогда в силу условия а) y(=f(x)(=f(x(), то есть y(является образом элемента x(. Пусть c - любой прообраз элемента y(, то есть f(c)=y(. Так как y((02, то c(01 и для c есть предшествующий элемент, который обозначим через d. Тогда y(=f(c)=f(d()=f(d)(, откуда в силу аксиомы 3 y=f(d). Но так как y(M2, то d=x, откуда c=d(=x(. Мы доказали, что если y является образом единственного элемента, то и y(является образом единственного элемента, то есть y(M2 ® y((M2. Оба условия аксиомы 4 выполняются и, следовательно , M2=N2, чем и завершается доказательство категоричности.
Вся догреческая математика носила эмпирический характер. Отдельные элементы теории тонули в массе эмпирических приемов решения практических задач. Греки подвергли этот эмпирический материал логической обработке, постарались найти связь между различными эмпирическими сведениями. В этом смысле в геометрии большую роль сыграл Пифагор и его школа (5 век до н. э.). Идеи аксиоматического метода отчетливо прозвучали и в трудах Аристотеля (4 век до н. э.). Однако, практическое осуществление этих идей было проведено Евклидом в его "Началах" (3 век до н. э.).
В настоящее время можно выделить три формы аксиоматических теорий.
1). Содержательная аксиоматика, которая была единственной вплоть до середины прошлого века.
2). Полуформальная аксиоматика, возникшая в последней четверти прошлого века.
3). Формальная (или формализованная) аксиоматика, датой рождения которой можно считать 1904 г., когда Д.Гильберт опубликовал свою знаменитую программу об основных принципах формализованной математики.
Каждая новая форма не отрицает предшествующую, а является ее развитием и уточнением, так что уровень строгости каждой новой формы выше, чем предшествующей.
Содержательная аксиоматика характеризуется тем, что первоначальные понятия имеют интуитивно ясный смысл еще до формулировки аксиом. Так, в "Началах" Евклида под точкой понимается именно то, что мы интуитивно себе представляем под этим понятием. При этом используется обычный язык и обычная интуитивная логика, восходящая еще к Аристотелю.
В полуформальных аксиоматических теориях также используется обычный язык и интуитивная логика. Однако в отличие от содержательной аксиоматики, первоначальным понятиям не придается никакого интуитивного смысла, они характеризуются только аксиомами. Тем самым повышается строгость, так как интуиция в какой-то мере мешает строгости. Кроме того, приобретается общность, потому что каждая теорема, доказанная в такой теории, будет справедлива в любой ее интерпретации. Образцом полуформальной аксиоматической теории является теория Гильберта, изложенная в его книге "Основания геометрии" (1899 г.). Примерами полуформальных теорий являются также теория колец и ряд других теорий, излагаемых в курсе алгебры.
Примером формализованной теории является исчисление высказываний , изучаемое в курсе математической логики. В отличие от содержательной и полуформальной аксиоматики, в формализованной теории используется особый символический язык. Именно, задается алфавит теории, то есть некоторое множество символов, играющих ту же роль, что буквы в обычном языке. Любая конечная последовательность символов называется выражением или словом. Среди выражений выделяется класс формул, причем указывается точный критерий, позволяющий для каждого выражения узнать - является ли оно формулой. Формулы играют ту же роль, что предложения в обычном языке. Некоторые из формул объявляются аксиомами. Кроме того, задаются логические правила вывода; каждое такое правило означает, что из некоторой совокупности формул непосредственно следует вполне определенная формула. Само доказательство теоремы - это конечная цепочка формул, в которой последняя формула - это сама теорема и каждая формула - это или аксиома, или ранее доказанная теорема, или непосредственно следует из предшествующих формул цепочки по одному из правил вывода. Таким образом, вопрос о строгости доказательств совершенно не стоит: либо данная цепочка является доказательством, либо не является, сомнительных доказательств не бывает. В связи с этим формализованная аксиоматика употребляется в особо тонких вопросах обоснования математических теорий, когда обычная интуитивная логика может привести к ошибочным заключениям, происходящим главным образом из-за неточностей и двусмысленностей нашего обычного языка.
Так как в формализованной теории о каждом выражении можно сказать - является ли оно формулой, то множество предложений формализованной теории можно считать определенным. В связи с этим можно в принципе ставить вопрос о доказательстве дедуктивной полноты, а также о доказательстве непротиворечивости, не прибегая к интерпретациям. В ряде простых случаев это удается осуществить. Например, непротиворечивость исчисления высказываний доказывается без интерпретаций.
В неформализованных теориях множество предложений четко не определено, поэтому вопрос о доказательстве непротиворечивости, не обращаясь к интерпретациям, ставить бессмысленно. То же самое относится и к вопросу о доказательстве дедуктивной полноты. Однако если встретилось такое предложение неформализованной теории, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть, то теория, очевидно, является дедуктивно неполной.
Аксиоматический метод с давних пор применялся не только в математике, но и в физике. Первые попытки в этом направлении предпринимались еще Аристотелем, но настоящее свое применение в физике аксиоматический метод получил лишь в работах Ньютона по механике.
В связи с бурным процессом математизации наук идет также и процесс аксиоматизации. В настоящее время аксиоматический метод применяется даже в некоторых разделах биологии, например, в генетике.
И тем не менее, возможности аксиоматического метода не безграничны.
Прежде всего, отметим, что даже в формализованных теориях не удается полностью избежать интуиции. Сама формализованная теория без интерпретаций не имеет никакого значения. Поэтому возникает ряд вопросов о связи между формализованной теорией и ее интерпретацией. Кроме того, как и в формализованных теориях, ставятся вопросы о непротиворечивости, независимости и полноте системы аксиом. Совокупность всех таких вопросов составляет содержание другой теории, которая называется метатеорией формализованной теории. В отличие от формализованной теории, язык метатеории - это обычный обиходный язык, а логические рассуждения проводятся правилами обычной интуитивной логики. Таким образом, интуиция, полностью изгнанная из формализованной теории, вновь появляется в ее метатеории.
Но основная слабость аксиоматического метода не в этом. Ранее уже упоминалось о программе Д.Гильберта, положившей основу формализованному аксиоматическому методу. Основная идея Гильберта заключалась в том, чтобы выразить классическую математику в виде формализованной аксиоматической теории, а затем доказать ее непротиворечивость. Однако эта программа в основных своих пунктах оказалась утопичной. В 1931 году австрийский математик К.Гедель доказал свои знаменитые теоремы, из которых и следовало, что обе главные задачи, поставленные Гильбертом, невыполнимы. Ему удалось с помощью своего метода кодирования выразить с помощью формул формализованной арифметики некоторые истинные предположения из метатеории и доказать, что эти формулы невыводимы в формализованной арифметике. Таким образом, формализованная арифметика оказалась дедуктивно неполной. Из результатов Геделя следовало, что если эту недоказуемую формулу включить в число аксиом, то найдется другая недоказуемая формула, выражающая некоторое истинное предложение. Все это означало, что не только всю математику , но даже арифметику - ее простейшую часть, нельзя полностью формализовать. В частности, Гедель построил формулу, соответствующую предложению "Формализованная арифметика непротиворечива", и показал, что эта формула также не выводима. Этот факт означает, что непротиворечивость формализованной арифметики нельзя доказать внутри самой арифметики. Разумеется, можно построить более сильную формализованную теорию и ее средствами доказать непротиворечивость формализованной арифметики, но тогда возникает более трудный вопрос о непротиворечивости этой новой теории.
Результаты Геделя указывают на ограниченность аксиоматического метода. И тем не менее, оснований для пессимистических выводов в теории познания о том, что существуют непознаваемые истины, - совершенно нет. Тот факт, что существуют арифметические истины, которые нельзя доказать в формализованной арифметики, не означает наличие непознаваемых истин и не означает ограниченности человеческого мышления. Он означает только, что возможности нашего мышления не сводятся лишь к полностью формализуемым процедурам и что человечеству еще предстоит открывать и изобретать новые принципы доказательства.

1.3.Сложение натуральных чисел

Операции сложения и умножения натуральных чисел системой аксиом Пеано не постулируются, мы будем определять эти операции.
Определение. Сложением натуральных чисел называется бинарная алгебраическая операция + на множестве N, обладающая свойствами:
1с. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Возникает вопрос - есть ли такая операция, а если есть, то единственна ли?
Теорема. Сложение натуральных чисел существует и при том только одно.
Доказательство. Бинарная алгебраическая операция на множестве N - это отображение (:N(N®N. Требуется доказать, что существует единственное отображение (:N(N®N со свойствами: 1) ((x(N) ((x,0)=x; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)(. Если для каждого натурального числа x мы докажем существование отображения fx:N®N со свойствами 1() fx(0)=x; 2() fx(y()=fx(y)(, то функция ((x,y), определяемая равенством ((x,y) (fx(y), и будет удовлетворять условиям 1) и 2).
Определим на множестве N, бинарное отношение fx условиями:
а) 0fxx;
б) если yfxz, то y(fxz(.
Убедимся, что это отношение является отображением N в N, то есть для каждого y из N
(((z(N) yfxz (1)
Обозначим через M множество натуральных чисел y, для которых условие (1) выполняется. Тогда из условия а) вытекает, что 0(M, а из условия б) и свойства 1 п.1 вытекает, что если y(M, то и y((M. Отсюда на основании аксиомы 4 заключаем, что M=N, а это и значит, что отношение fx является отображением N в N. Для этого отображения выполняются условия:
1() fx(0)=x - в силу а);
2() fx((y)=fx(y() - в силу б).
Тем самым существование сложения доказано.
Докажем единственность. Пусть + и (- любые две бинарные алгебраические операции на множестве N со свойствами 1с и 2с. Требуется доказать, что
((x,y(N) x+y=x(y
Зафиксируем произвольное число x и обозначим через S множество тех натуральных чисел y, для которых равенство
x+y=x(y (2)
выполняется. Так как согласно 1с x+0=x и x(0=x, то
А) 0(S
Пусть теперь y(S, то есть равенство (2) выполняется. Так как x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(и x+y=x(y, то по аксиоме 2 x+y(=x(y(, то есть выполняется условие
В) y(S ® y((S.
Отсюда, по аксиоме 4 S=N, чем и завершается доказательство теоремы.
Докажем некоторые свойства сложения.
1. Число 0 является нейтральным элементом сложения, то есть a+0=0+a=a для каждого натурального числа a.
Доказательство. Равенство a+0=a следует из условия 1с. Докажем равенство 0+a=a.
Обозначим через M множество всех чисел, для которых оно выполняется. Очевидно, 0+0=0 и следовательно 0(M. Пусть a(M, то есть 0+a=a. Тогда 0+a(=(0+a)(=a(и, следовательно, a((M. Значит, M=N, что и требовалось доказать.
Далее нам потребуется лемма.
Лемма. a(+b=(a+b)(.
Доказательство. Пусть M - множество всех натуральных чисел b, для которых равенство a(+b=(a+b)(верно при любом значении a. Тогда:
А) 0(M, так как a(+0=(a+0)(;
В) b(M ® b((M. Действительно, из того, что b(M и 2с, имеем
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)()(=(a+b()(,
то есть b((M. Значит, M=N, что и требовалось доказать.
2. Сложение натуральных чисел коммутативно.
Доказательство. Пусть M={a(a(N(((b(N)a+b=b+a}. Достаточно доказать, что M=N. Имеем:
А) 0(M - в силу свойства 1.
В) a(M ® a((M. Действительно, применяя лемму и то, что a(M, получим:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Значит a((M, и по аксиоме 4 M=N.
3. Сложение ассоциативно.
Доказательство. Пусть
M={c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)}
Требуется доказать, что M=N. Так как (a+b)+0=a+b и a+(b+0)=a+b, то 0(M. Пусть с(M, то есть (a+b)+c=a+(b+c). Тогда
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Значит, c((M и по аксиоме 4 M=N.
4. a+1=a(, где 1=0(.
Доказательство. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Если b(0, то ((a(N)a+b(a.
Доказательство. Пусть M={a(a(N(a+b(a}. Так как 0+b=b(0, то 0(M. Далее, если a(M, то есть a+b(a, то по свойству 2 п.1 (a+b)((a(или a(+b(a(. Значит a((M и M=N.
6. Если b(0, то ((a(N)a+b(0.
Доказательство. Если a=0, то 0+b=b(0, если же a(0 и a=c(, то a+b=c(+b=(c+b)((0. Значит, в любом случае a+b(0.
7. (Закон трихотомии сложения). Для любых натуральных чисел a и b справедливо одно и только одно из трех соотношений:
1) a=b;
2) b=a+u, где u(0;
3) a=b+v, где v(0.
Доказательство. Зафиксируем произвольное число a и обозначим через M множество всех натуральных чисел b, для которых выполняется хотя бы одно из соотношений 1), 2), 3). Требуется доказать, что M=N. Пусть b=0. Тогда если a=0, то выполняется соотношение 1), а если a(0, то справедливо соотношение 3), так как a=0+a. Значит, 0(M.
Предположим теперь, что b(M, то есть для выбранного a выполняется одно из соотношений 1), 2), 3). Если a=b, то b(=a(=a+1, то есть для b(выполняется соотношение 2). Если b=a+u, то b(=a+u(, то есть и для b(выполняется соотношение 2). Если же a=b+v, то возможны два случая: v=1 и v(1. Если v=1, то a=b+v=b", то есть для b" выполняется соотношений 1). Если же v(1, то v=c", где c(0 и тогда a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, где c(0, то есть для b" выполняется соотношение 3).Итак, мы доказали, что b(M®b"(M, и, следовательно M=N, то есть для любых a и b выполняется хотя бы одно из соотношений 1), 2), 3). Убедимся, что никакие два из них не могут выполняться одновременно. Действительно: если бы выполнялись соотношения 1) и 2), то имели бы b=b+u, где u(0, а это противоречит свойству 5. Аналогично проверяется невозможность выполнимости 1) и 3). Наконец, если бы выполнялись соотношения 2) и 3), то имели бы a=(a+u)+v = a+ +(u+v), а это невозможно в силу свойств 5 и 6. Свойство 7 полностью доказано.
Задача 1.3.1. Пусть 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9. Докажите, что 3+5=8, 2+4=6.

1.4. УМНОЖЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Определение 1. Умножением натуральных чисел называется такая бинарная операция (на множестве N, для которой выполняются условия:
1у. ((x(N) x(0=0;
2у. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Опять возникает вопрос - существует ли такая операция и если существует, то единственна ли?
Теорема. Операция умножения натуральных чисел существует и притом только одна.
Доказательство проводится почти также, как и для сложения. Требуется найти такое отображение (:N(N®N, которое удовлетворяет условиям
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Зафиксируем произвольно число x. Если мы докажем для каждого x(N существование отображения fx: N®N со свойствами
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
то функция ((x,y), определяемая равенством ((x,y)=fx(y) и будет удовлетворять условиям 1) и 2).
Итак, доказательство теоремы сводится к доказательству существования и единственности при каждом x функции fx(y) со свойствами 1") и 2"). Установим на множестве N соответствие по следующему правилу:
а) числу нуль сопоставим число 0,
б) если числу y сопоставлено число c, то числу y(сопоставляем число c+x.
Убедимся, что при таком сопоставлении каждое число y имеет единственный образ: это и будет означать, что соответствие является отображением N в N. Обозначим через M множество всех натуральных чисел y, имеющих единственный образ. Из условия а) и аксиомы 1 следует, что 0(M. Пусть y(M. Тогда из условия б) и аксиомы 2 следует, что y((M. Значит, M=N, т.е. наше соответствие является отображением N в N ; обозначим его через fx. Тогда fx(0)=0 в силу условия а) и fx(y()=fx(y)+x - в силу условия б).
Итак, существование операции умножения доказано. Пусть теперь (и (- любые две бинарные операции на множестве N со свойствами 1у и 2у. Остается доказать, что ((x,y(N) x(y=x(y. Зафиксируем произвольное число x и пусть
S={y?y(N (x(y=x(y}
Так как в силу 1у x(0=0 и x(0=0, то 0(S. Пусть y(S, то есть x(y=x(y. Тогда
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
и, следовательно, y((S. Значит, S=N, чем и завершается доказательство теоремы.
Отметим некоторые свойства умножения.
1. Нейтральным элементом относительно умножения является число 1=0(, то есть ((a(N) a(1=1(a=a.
Доказательство. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Таким образом, равенство a(1=a доказано. Остается доказать равенство 1(a=a. Пусть M={a?a(N (1(a=a}. Так как 1(0=0, то 0(M. Пусть a(M, то есть 1(a=a. Тогда 1(a(=1(a+1=a+1=a(, и, следовательно, a((M. Значит, в силу аксиомы 4 M=N, что и требовалось доказать.
2. Для умножения справедлив правый дистрибутивный закон, то есть
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Доказательство. Пусть M={c (c(N (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc}. Так как (a+b)0=0 и a(0+b(0=0, то 0(M. Если c(M, то есть (a+b)c=ac+bc, то (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc+a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Значит, c((M и M=N.
3. Умножение натуральных чисел коммутативно, то есть ((a,b(N) ab=ba.
Доказательство. Докажем сначала для любых b(N равенство 0(b=b(0=0. Равенство b(0=0 вытекает из условия 1у. Пусть M={b (b(N (0(b=0}. Так как 0(0=0, то 0(M. Если b(M, то есть 0(b=0, то 0(b(=0(b+0=0 и, следовательно, b((M. Значит, M=N, то есть равенство 0(b=b(0 доказано для всех b(N. Пусть далее S={a (a(N (ab=ba}. Так как 0(b=b(0, то 0(S. Пусть a(S, то есть ab=ba. Тогда a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, то есть a((S. Значит S=N, что и требовалось доказать.
4. Умножение дистрибутивно относительно сложения. Это свойство вытекает из свойств 3 и 4.
5. Умножение ассоциативно, то есть ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Доказательство проводится, как и для сложения, индукцией по c.
6. Если a(b=0, то a=0 или b=0, то есть в N нет делителей нуля.
Доказательство. Пусть b(0 и b=c(. Если ab=0, то ac(=ac+a=0, откуда следует в силу свойства 6 п.3, что a=0.
Задача 1.4.1. Пусть 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9. Докажите, что 2(4=8, 3(3=9.
Пусть n, a1, a2,...,an - натуральные числа. Суммой чисел a1, a2,...,an называется число, которое обозначается через и определяется условиями; для любого натурального числа k
Произведением чисел a1, a2,...,an называется натуральное число, которое обозначается через и определяется условиями: ; для любого натурального числа k
Если, то число обозначается через an.
Задача 1.4.2. Докажите, что
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) .

1.5. УПОРЯДОЧЕННОСТЬ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Отношение "следует за" антирефлексивно и антисимметрично, но не транзитивно и поэтому отношением порядка не является. Мы определим отношение порядка, опираясь на сложение натуральных чисел.
Определение 1. a
Определение 2. a(b (((x(N) b=a+x.
Убедимся, что отношение Отметим некоторые свойства натуральных чисел, связанных с отношениями равенства и неравенства.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3 a
1.4 a
1.5 a+c=b+c (a=b.
1.6 ac=bc (c(0 (a=b.
1.7 a+c
1.8 ac
1.9 a
1.10 a
Доказательство . Свойства 1.1 и 1.2 вытекают из однозначности операций сложения и умножения. Если a
2. ((a(N) a
Доказательство. Так как a(=a+1, то a
3. Наименьшим элементом в N является 0, а наименьшим в N\{0} является число 1.
Доказательство. Так как ((a(N) a=0+a, то 0(a, и, следовательно, 0 - наименьший элемент в N. Далее, если x(N\{0}, то x=y(, y(N, или x=y+1. Отсюда и следует, что ((x(N\{0}) 1(x, то есть 1 - наименьший элемент в N\{0}.
4. Отношение ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.
Доказательство. Очевидно, для любого натурального a существует такое натуральное число n, что
a Таким числом является, например, n=a(. Далее, если b(N\{0}, то по свойству 3
1 (b (2)
Из (1) и (2) на основании свойств 1.10 и 1.4 получим aa.

1.6. ПОЛНАЯ УПОРЯДОЧЕННОСТЬ СИСТЕМЫ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Определение 1. Если каждое непустое подмножество упорядоченного множества (M;Убедимся, что полный порядок является линейным. Пусть a и b - любые два элемента из вполне упорядоченного множества (M;Лемма. 1) a
Доказательство .
1) a((b (b=a(+k, k(N (b=a+k(, k((N\{0} (a
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k(, k((N\{0} (a
Теорема 1. Естественный порядок на множестве натуральных чисел является полным порядком.
Доказательство. Пусть M - любое непустое множество натуральных чисел, а S - множество его нижних границ в N, то есть S={x (x(N (((m(M) x(m}. Из свойства 3 п.5 следует, что 0(S. Если бы выполнялось и второе условие аксиомы 4 n(S (n((S, то имели бы S=N. В действительности S(N; именно, если a(M, то a((S в силу неравенства a
Теорема 2. Любое непустое ограниченное сверху множество натуральных чисел имеет наибольший элемент.
Доказательство. Пусть M - любое непустое ограниченное сверху множество натуральных чисел, а S - множество его верхних границ, то есть S={x(x(N (((m(M) m(x}. Обозначим через x0 наименьший элемент в S. Тогда неравенство m(x0 выполняется для всех чисел m из M, а строгое неравенство m
Задача 1.6.1. Докажите, что
а) ;
б) ;
в) .
Задача 1.6.2. Пусть (- некоторое свойство натуральных чисел и k - произвольное натуральное число. Докажите, что
а) любое натуральное число обладает свойством (, как только 0 обладает этим свойством для всякого n (0
б) любое натуральное число, большее или равное k, обладает свойством (, как только k обладает этим свойством и для всякого n (k(n) из предположения, что n обладает свойством (, следует, что число n+1 также обладает этим свойством;
в) любое натуральное число, большее или равное k, обладает свойством (, как только k обладает этим свойством и для всякого n (n>k) из предположения, что все числа t, определенные условием k(t

1.7. ПРИНЦИП ИНДУКЦИИ.

Используя полную упорядоченность системы натуральных чисел, можно доказать следующую теорему, на которой основан один из методов доказательства, называемый методом математической индукции.
Теорема (принцип индукции). Все высказывания из последовательности A1, A2, ..., An, ... являются истинными, если выполняются условия:
1) высказывание A1 истинно;
2) если истинны высказывания Ak при k
Доказательство. Предположим противное: условия 1) и 2) выполняются, но теорема не верна, то есть не пустым является множество M={m(m(N\{0}, Am - ложно}. Согласно теореме 1 п.6 в M есть наименьший элемент, который мы обозначим через n. Так как согласно условию 1) A1 истинно, а An ложно, то 1(n, и, следовательно, 1
При доказательстве методом индукции можно выделить два этапа. На первом этапе, который называют базисом индукции, проверяется выполнимость условия 1). На втором этапе, называемом индукционным шагом, доказывается выполнимость условия 2). При этом чаще всего встречаются случаи, когда для доказательства истинности высказывания An нет нужды использовать истинность высказываний Ak при k
Пример. Доказать неравенство Положим =Sk. Требуется доказать истинность высказываний Ak=(Sk Последовательность высказываний, о которой говорится в теореме 1, может получаться из предиката A(n), определенного на множестве N или на его подмножестве Nk={x (x(N, x(k}, где k - любое фиксированное натуральное число.
В частности, если k=1, то N1=N\{0}, и нумерацию высказываний можно проводить с помощью равенств A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n), ... Если же k(1, то последовательность высказываний можно получить с помощью равенств A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), ... В соответствии с такими обозначениями теорему 1 можно сформулировать в другой форме.
Теорема 2. Предикат A(m) является тождественно истинным на множестве Nk, если выполняются условия:
1) высказывание A(k) истинно;
2) если истинны высказывания A(m) при m
Задача 1.7.1. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в области натуральных чисел:
а) x+y=1;
б) 3x=2;
в) x2=2;
г) 3x+2=4;
д) x2+y2=6;
е) 2x+1=2y.
Задача 1.7.2. Докажите, используя принцип математической индукции:
а) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .

1.8. ВЫЧИТАНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Определение 1. Разностью натуральных чисел a и b называется такое натуральное число x, что b+x=a. Разность натуральных чисел a и b обозначают через a-b, а операцию нахождения разности называют вычитанием. Вычитание не является алгебраической операцией. Это вытекает из следующей теоремы.
Теорема 1. Разность a-b существует тогда и только тогда, когда b(a. Если разность существует, то только одна.
Доказательство. Если b(a, то по определению отношения (существует такое натуральное число x, что b+x=a. Но это и значит, что x=a-b. Обратно, если разность a-b существует, то по определению 1 существует такое натуральное число x, что b+x=a. Но это и значит, что b(a.
Докажем единственность разности a-b. Пусть a-b=x и a-b=y. Тогда согласно определению 1 b+x=a, b+y=a. Отсюда b+x=b+y и, следовательно, x=y.
Определение 2. Частным двух натуральных чисел a и b(0 называется такое натуральное число c, что a=bc. Операция нахождения частного называется делением. Вопрос о существовании частного решается в теории делимости.
Теорема 2. Если частное существует, то только одно.
Доказательство. Пусть =x и =y. Тогда согласно определению 2 a=bx и a=by. Отсюда bx=by и, следовательно, x=y.
Заметим, что операции вычитания и деления определяются почти дословно так же, как и в школьных учебниках. Это означает, что в п.п.1-7 на основе аксиом Пеано заложен прочный теоретический фундамент арифметики натуральных чисел и ее дальнейшее изложение последовательно осуществляется в школьном курсе математики и в вузовском курсе "Алгебра и теория чисел".
Задача 1.8.1. Докажите справедливость следующих утверждений, предполагая, что все разности, встречающиеся в их формулировках, существуют:
а) (a-b)+c=(a+c)-b;
б) (a-b)(c=a(c-b(c;
в) (a+b)-(c+b)=a-c;
г) a-(b+c)=(a-b)-c;
д) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
е) (a-b)-(c-d)=a-c;
ж) (a+b)-(b-c)=a+c;
з) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
и) a-(b-c)=(a+c)-b;
к) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
л) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
м) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
н) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
о) a2-b2=(a-b)(a+b).
Задача 1.8.2. Докажите справедливость следующих утверждений, предполагая, что все частные, встречающиеся в их формулировках, существуют.
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м) ; н) ; о) ; п) ; р) .
Задача 1.8.3. Докажите, что следующие уравнения не могут иметь двух различных натуральных решений: а) ax2+bx=c (a,b,c(N); б) x2=ax+b (a,b(N); в) 2x=ax2+b (a,b(N).
Задача 1.8.4. Решите в натуральных числах уравнения:
а) x2+(x+1)2=(x+2)2; б) x+y=x(y; в) ; г) x2+2y2=12; д) x2-y2=3; е) x+y+z=x(y(z.
Задача 1.8.5. Докажите, что следующие уравнения не имеют решений в области натуральных чисел: а) x2-y2=14; б) x-y=xy; в) ; г) ; д) x2=2x+1; е) x2=2y2.
Задача 1.8.6. Решите в натуральных числах неравенства: а) ; б) ; в) ; г) x+y2 Задача 1.8.7. Докажите, что в области натуральных чисел справедливы следующие соотношения: а) 2ab(a2+b2; б) ab+bc+ac(a2+b2+c2; в) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1.9. КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ СМЫСЛ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.
На практике натуральные числа применяются главным образом для счета элементов, а для этого надо установить количественный смысл натуральных чисел в теории Пеано.
Определение 1. Множество {x (x(N, 1(x(n} называется отрезком натурального ряда и обозначается через (1;n(.
Определение 2. Конечным множеством называется любое множество, равномощное некоторому отрезку натурального ряда, а также пустое множество. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Теорема 1. Конечное множество A не равномощно никакому своему собственному подмножеству (то есть подмножеству, отличному от A).
Доказательство. Если A=(, то теорема верна, так как пустое множество не имеет собственных подмножеств. Пусть А((и A равномощно (1,n((A((1,n(). Будем доказывать теорему индукцией по n. Если n=1, то есть A((1,1(, то единственным собственным подмножеством множества A является пустое множество. Ясно, что A(и, следовательно, при n=1 теорема верна. Предположим, что теорема верна при n=m, то есть все конечные множества, равномощные отрезку (1,m(, не имеют равномощных собственных подмножеств. Пусть A - любое множество, равномощное отрезку (1,m+1(и (:(1,m+1(®A - некоторое биективное отображение отрезка (1,m+1(в A. Если ((k) обозначить через ak, k=1,2,...,m+1, то множество A можно записать в виде A={a1, a2, ..., am, am+1}. Наша задача доказать, что A не имеет равномощных собственных подмножеств. Предположим противное; пусть B(A, B(A, B(A и f: A®B - биективное отображение. Можно так выбрать биективные отображения (и f, что am+1(B и f(am+1)=am+1.
Рассмотрим множества A1=A\{am+1} и B1=B\{am+1}. Так как f(am+1)=am+1, то функция f будет осуществлять биективное отображение множества A1, на множество B1. Таким образом, множество A1, будет равномощно собственному своему подмножеству B1. Но так как A1((1,m(, то это противоречит предположению индукции.
Следствие 1. Множество натуральных чисел бесконечно.
Доказательство. Из аксиом Пеано следует, что отображение S:N®N\{0}, S(x)=x(биективно. Значит, N равномощно своему собственному подмножеству N\{0} и в силу теоремы 1 не является конечным.
Следствие 2. Всякое непустое конечное множество A равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда.
Доказательство. Пусть A((1,m(и A((1,n(. Тогда (1,m(((1,n(, откуда в силу теоремы 1 и следует, что m=n. Действительно, если предположить , что m
Следствие 2 позволяет ввести определение.
Определение 3. Если A((1,n(, то натуральное число n называется количеством элементов множества A, а сам процесс установления взаимно однозначного соответствия между множествами A и (1,n(называется счетом элементов множества A. Количеством элементов пустого множества естественно считать число нуль.
Об огромном значении счета в практической жизни говорить излишне.
Заметим, что, зная количественный смысл натурального числа, можно было бы операцию умножения определить через сложение, именно:
.
Мы намеренно не пошли по этому пути, чтобы показать, что сама арифметика в количественном смысле не нуждается: количественный смысл натурального числа нужен только в приложениях арифметики.

1.10. СИСТЕМА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, КАК ДИСКРЕТНОЕ ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО.

Мы показали, что множество натуральных чисел относительно естественного порядка является вполне упорядоченным. При этом, ((a(N) a
1. для любого числа a(N существует соседнее следующее за ним в отношении 2. для любого числа a(N\{0} существует соседнее ему предшествующее в отношении Вполне упорядоченное множество (A;() со свойствами 1 и 2 будем называть дискретным вполне упорядоченным множеством. Оказывается, что полная упорядоченность со свойствами 1 и 2 является характеристическим свойством системы натуральных чисел. Действительно, пусть A=(A;() - любое вполне упорядоченное множество со свойствами 1 и 2. Определим на множестве A отношение "следует за" следующим образом: a(=b, если b является соседним следующим за a элементом в отношении (. Ясно, что наименьший элемент множества A не следует ни за каким элементом и, следовательно, аксиома 1 Пеано выполняется.
Так как отношение (есть линейный порядок, то для любого элемента a существует единственный следующий за ним элемент и не более одного предшествующего соседнего элемента. Отсюда следует выполнимость аксиом 2 и 3. Пусть теперь M - любое подмножество множества A, для которого выполняются условия:
1) a0(M, где a0 - наименьший в A элемент;
2) a(M (a((M.
Докажем, что M=N. Предположим противное, то есть A\M((. Обозначим через b наименьший элемент в A\M. Так как a0(M, то b(a0 и, следовательно, существует такой элемент c, что c(=b. Так как c
Итак, мы доказали возможность еще одного определения системы натуральных чисел.
Определение. Системой натуральных чисел называется любое вполне упорядоченное множество, на котором выполняются условия:
1. для любого элемента существует соседний следующий за ним элемент;
2. для любого элемента, отличного от наименьшего, существует соседний предшествующий ему элемент.
Существуют и другие подходы определения системы натуральных чисел, на которых мы здесь не останавливаемся.

2. ЦЕЛЫЕ И РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА.

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.
Известно, что множество целых чисел в их интуитивном понимании является кольцом относительно сложения и умножения, причем это кольцо содержит все натуральные числа. Ясно также, что не существует собственного подкольца в кольце целых чисел, которое бы содержало все натуральные числа. Эти свойства, оказывается, можно положить в основу строгого определения системы целых чисел. В п.2.2 и 2.3 будет доказана корректность такого определения.
Определения 1. Системой целых чисел называется алгебраическая система, для которой выполняются следующие условия:
1. Алгебраическая система является кольцом;
2. Множество натуральных чисел содержится в, причем сложение и умножение в кольце на подмножестве совпадают со сложением и умножением натуральных чисел, то есть
3. (условие минимальности). Z есть минимальное по включению множество со свойствами 1 и 2. Иными словами, если подкольцо кольца содержит все натуральные числа, то Z0=Z.
Определению 1 можно придать развернутый аксиоматический характер. Первоначальными понятиями в этой аксиоматической теории будут:
1) Множество Z, элементы которого называют целыми числами.
2) Особое целое число, называемое нулем и обозначаемое через 0.
3) Тернарные отношения + и (.
Через N, как обычно, обозначается множество натуральных чисел со сложением (и умножением (. В соответствии с определением 1, системой целых чисел называется такая алгебраическая система (Z; +, (, N), для которой выполняются следующие аксиомы:
1. (Аксиомы кольца.)
1.1.
Эта аксиома означает, что + есть бинарная алгебраическая операция на множестве Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, то есть число 0 является нейтральным элементом относительно сложения.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, то есть для каждого целого числа существует противоположное ему число a(.
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Эта аксиома означает, что умножение есть бинарная алгебраическая операция на множестве Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c, c((a+b)=c(a+c(b.
2. (Аксиомы связи кольца Z с системой натуральных чисел.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Аксиома минимальности.)
Если Z0 - подкольцо кольца Z и N(Z0, то Z0=Z.
Отметим некоторые свойства системы целых чисел.
1. Каждое целое число представимо в виде разности двух натуральных чисел. Это представление неоднозначно, причем z=a-b и z=c-d, где a,b,c,d(N, тогда и только тогда, когда a+d=b+c.
Доказательство. Обозначим через Z0 множество всех целых чисел, каждое из которых представимо в виде разности двух натуральных. Очевидно, ((a(N) a=a-0, и, следовательно, N(Z0.
Далее, пусть x,y(Z0, то есть x=a-b, y=c-d, где a,b,c,d(N. Тогда x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b+c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c). Отсюда видно, что x-y, x(y(Z0 и, следовательно, Z0 является подкольцом кольца Z, содержащим множество N. Но тогда по аксиоме 3 Z0=Z и тем самым первая часть свойства 1 доказана. Второе утверждение этого свойства очевидно.
2. Кольцо целых чисел является коммутативным кольцом с единицей, причем нуль этого кольца есть натуральное число 0, а единица этого кольца есть натуральное число 1.
Доказательство. Пусть x,y(Z. Согласно свойству 1 x=a-b, y=c-d, где a,b,c,d(N. Тогда x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c), y(x=(c-d)(a-b)=(ca+db)-(da+cb)=(c(a(d(b)-(d(a(c(b). Отсюда, в силу коммутативности умножения натуральных чисел, заключаем, что xy=yx. Коммутативность умножения в кольце Z доказана. Остальные утверждения свойства 2 вытекают из следующих очевидных равенств, в которых через 0 и 1 обозначены натуральные числа нуль и единица: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0)+(-b)=(a(0)+(-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b(1=a(1-b(1=a-b=x.

2.2. СУЩЕСТВОВАНИЕ СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

Система целых чисел определена в 2.1 как минимальное по включению кольцо, содержащее все натуральные числа. Возникает вопрос - существует ли такое кольцо? Иными словами - непротиворечива ли система аксиом из 2.1. Чтобы доказать непротиворечивость этой системы аксиом , надо построить ее интерпретацию в заведомо непротиворечивой теории. Такой теорией можно считать арифметику натуральных чисел.
Итак, приступаем к построению интерпретации системы аксиом 2.1. Исходным будем считать множество. На этом множестве определим две бинарные операции, и бинарное отношение. Так как сложение и умножение пар сводится к сложению и умножению натуральных чисел, то как и для натуральных чисел, сложение и умножение пар коммутативны, ассоциативны и умножение дистрибутивно относительно сложения. Проверим, например, коммутативность сложения пар: +===+.
Рассмотрим свойства отношения ~. Так как a+b=b+a, то ~, то есть отношение ~ рефлексивно. Если ~, то есть a+b1=b+a1, то a1+b=b1+a, то есть ~. Значит, отношение ~ симметрично. Пусть далее ~ и ~. Тогда справедливы равенства a+b1=b+a1 и a1+b2=b1+a2. Складывая эти равенства, получим a+b2=b+a2, то есть ~. Значит, отношение ~ также транзитивно и, следовательно, является эквивалентностью. Класс эквивалентности, содержащей пару, будем обозначать через. Таким образом, класс эквивалентности может обозначаться любой своей парой и при этом
(1)
Множество всех классов эквивалентности обозначим через. Наша задача - показать, что это множество при соответствующем определении операций сложения и умножения и будет интерпретацией системы аксиом из 2.1. Операции на множестве определим равенствами:
(2)
(3)
Если и, то есть на множестве N справедливы равенства a+b(=b+a(, c+d(=a+c(, то справедливо также равенство (a+c)+(b(+d()=(b+d)+(a(+c(), из которого в силу (1) получаем, что. Это значит, что равенство (2) определяет однозначную операцию сложения на множестве, не зависящую от выбора пар, обозначающих слагаемые классы. Аналогично проверяется и однозначность умножения классов. Таким образом, равенства (2) и (3) определяют на множестве бинарные алгебраические операции.
Так как сложение и умножение классов сводится к сложению и умножению пар, то эти операции коммутативны, ассоциативны и умножение классов дистрибутивно относительно сложения. Из равенств, заключаем, что класс является нейтральным элементом относительно сложения и для каждого класса существует противоположный ему класс. Значит, множество является кольцом, то есть аксиомы группы 1 из 2.1 выполняются.
Рассмотрим в кольце подмножество. Если a(b, то в силу (1) , а если a
На множестве определим бинарное отношение (следует за(; именно, за классом следует класс, где x(есть натуральное число, следующее за x. Класс, следующий за естественно обозначить через (. Ясно, что класс не следует ни за каким классом и за каждым классом существует следующий за ним класс и притом только один. Последнее означает, что отношение (следует за(есть унарная алгебраическая операция на множестве N.
Рассмотрим отображение. Очевидно, это отображение биективно и выполняются условия f(0)= , f(x()==(=f(x)(. Это значит, что отображение f является изоморфизмом алгебры (N;0,() на алгебру (;,(). Иными словами, алгебра (;,() является интерпретацией системы аксиом Пеано. Отождествляя эти изоморфные алгебры, то есть полагая можно считать, что само множество N является подмножеством кольца. Это же отождествление в очевидных равенствах, приводит к равенствам a(c=a+c, a(c=ac, которые означают, что сложение и умножение в кольце на подмножестве N совпадают со сложением и умножением натуральных чисел. Таким образом, установлена выполнимость аксиом группы 2. Остается проверить выполнимость аксиомы минимальности.
Пусть Z0 - любое подкольцо кольца, содержащее множество N и. Заметим, что и, следовательно, . Но так как Z0 - кольцо, то разность этих классов тоже принадлежит кольцу Z0. Из равенств -= (= заключаем, что (Z0 и, следовательно, Z0=. Непротиворечивость системы аксиом п.2.1 доказана.

2.3. ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИСТЕМЫ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ.

Существует только одна система целых чисел в их интуитивном понимании. Это значит, что система аксиом, определяющая целые числа, должна быть категоричной, то есть любые две интерпретации этой системы аксиом изоморфны. Категоричность и означает, что с точностью до изоморфизма существует только одна система целых чисел. Убедимся, что это действительно так.
Пусть (Z1;+,(,N) и (Z2;(,(,N) - любые две интерпретации системы аксиом п.2.1. Достаточно доказать существование такого биективного отображения f:Z1®Z2, при котором натуральные числа остаются неподвижными и кроме того для любых элементов x и y из кольца Z1 справедливы равенства
(1)
. (2)
Заметим, что поскольку N(Z1 и N(Z2, то
, a(b=a(b. (3)
Пусть x(Z1 и x=a-b, где a,b(N. Сопоставим этому элементу x=a-b элемент u=a(b, где (вычитание в кольце Z2. Если a-b=c-d, то a+d=b+c, откуда в силу (3) a(d=b(c и, следовательно, a(b=c(d. Это значит, что наше соответствие не зависит от представителя элемента x в виде разности двух натуральных чисел и тем самым определяется отображение f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Ясно, что если v(Z2 и v=c(d, то v=f(c-d). Значит, каждый элемент из Z2 является образом при отображении f и, следовательно, отображение f сюрьективно.
Если x=a-b, y=c-d, где a,b,c,d(N и f(x)=f(y), то a(b=c(d. Но тогда a(d=b(d, в силу (3) a+d=b+c, то есть a-b=c-d. Мы доказали, что из равенства f(x)=f(y) вытекает равенство x=y, то есть отображение f инъективно.
Если a(N, то a=a-0 и f(a)=f(a-0)=a(0=a. Значит, натуральные числа неподвижны при отображении f. Далее, если x=a-b, y=c-d, где a,b,c,d(N, то x+y=(a+c)- и f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c)((b(d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Справедливость равенства (1) доказана. Проверим равенство (2). Так как f(xy)=(ac+bd)((ad+bc)=(a(c(b(d)((a(d(b(c), а с другой стороны f(x)(f(y)=(a(b)((c(d)=(a(c(b(d)((a(d(b(c). Значит, f(xy)=f(x)(f(y), чем и завершается доказательство категоричности системы аксиом п.2.1.

2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Множество Q рациональных чисел в их интуитивном понимании есть поле, для которого множество Z целых чисел является подкольцом. При этом очевидно, что если Q0 - подполе поля Q, содержащее все целые числа , то Q0=Q. Эти свойства мы и положим в основу строгого определения системы рациональных чисел.
Определение 1. Системой рациональных чисел называется такая алгебраическая система (Q;+,(;Z), для которой выполняются условия:
1. алгебраическая система (Q;+,() является полем;
2. кольцо Z целых чисел является подкольцом поля Q;
3. (условие минимальности) если подполе Q0 поля Q содержит подкольцо Z, то Q0=Q.
Короче, система рациональных чисел - это минимальное по включению поле, содержащее подкольцо целых чисел. Можно дать и более подробное аксиоматическое определение системы рациональных чисел.
Теорема. Каждое рациональное число x представимо в виде частного двух целых чисел, то есть
, где a,b(Z, b(0. (1)
Это представление неоднозначно, причем, где a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Доказательство. Обозначим через Q0 множество всех рациональных чисел, представимых в виде (1). Достаточно убедиться, что Q0=Q. Пусть, где a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Тогда по свойствам поля имеем: , а при c(0 . Значит Q0 замкнуто относительно вычитания и деления на неравные нулю числа, и, следовательно, является подполем поля Q. Так как любое целое число a представимо в виде, то Z(Q0. Отсюда в силу условия минимальности и следует, что Q0=Q. Доказательство второй части теоремы очевидно.

2.5. СУЩЕСТВОВАНИЕ СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Система рациональных чисел определена как минимальное поле, содержащее подкольцо целых чисел. Естественно возникает вопрос - существует ли такое поле, то есть является ли непротиворечивой система аксиом, определяющая рациональные числа. Для доказательства непротиворечивости надо построить интерпретацию этой системы аксиом. При этом можно опираться на существование системы целых чисел. Исходным при построении интерпретации будем считать множество Z(Z\{0}. На этом множестве определим две бинарные алгебраические операции
, (1)
(2)
и бинарное отношение
(3)
Целесообразность именно такого определения операций и отношения ~ вытекает из того, что в той интерпретации, которую мы строим, пара будет выражать частное.
Легко проверить, что операции (1) и (2) коммутативны, ассоциативны и умножение дистрибутивно относительно сложения. Все эти свойства проверяются на основании соответствующих свойств сложения и умножения целых чисел. Проверим, например, ассоциативность умножения пар: .
Аналогично проверяется, что отношение ~ является эквивалентностью, и, следовательно, множество Z(Z\{0} разбивается на классы эквивалентности. Множество всех классов обозначим через, а класс, содержащий пару - через. Таким образом, класс может обозначаться любой своей парой и в силу условия (3) получим:
. (4)
Наша задача - так определить операцию сложения и умножения на множестве, чтобы было полем. Эти операции определим равенствами:
, (5)
(6)
Если, то есть ab1=ba1 и, то есть cd1=dc1, то перемножая эти равенства, получим (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), а это значит, что Это убеждает нас в том, что равенство (6) действительно определяет однозначную операцию на множестве классов, не зависящую от выбора представителей в каждом классе. Аналогично проверяется однозначность операции (5).
Так как сложение и умножение классов сводится к сложению и умножению пар, то операции (5) и (6) коммутативны, ассоциативны и умножение дистрибутивно относительно сложения.
Из равенств, заключаем, что класс является нейтральным элементов относительно сложения и для каждого класса существует противоположный ему элемент. Аналогично, из равенств вытекает, что класс есть нейтральный элемент относительно умножения и для каждого класса существует обратный ему класс. Значит, является полем относительно операций (5) и (6); первое условие в определении п.2.4 выполняется.
Рассмотрим далее множество. Очевидно, . Множество замкнуто относительно вычитания и умножения и, следовательно, является подкольцом поля. Действительно, . Рассмотрим далее отображение, . Сюръективность этого отображения очевидна. Если f(x)=f(y), то есть, то x(1=y(1 или x=y. Значит отображение f и инъективно. Кроме того, . Таким образом, отображение f является изоморфизмом кольца в кольцо. Отождествляя эти изоморфные кольца, можно считать, что кольцо Z является подкольцом поля, то есть выполняется условие 2 в определении п.2.4. Остается доказать минимальность поля. Пусть - любое подполе поля и,и пусть. Так как, а, то. Но так как - поле, то частное этих элементов тоже принадлежит полю. Тем самым доказано, что если , то, то есть. Существование системы рациональных чисел доказано.

2.6. ЕДИНСТВЕННОСТЬ СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ.

Поскольку система рациональных чисел в их интуитивном понимании существует только одна, то аксиоматическая теория рациональных чисел, которая здесь излагается, должна быть категоричной. Категоричность и означает, что с точностью до изоморфизма существует только одна система рациональных чисел. Покажем, что это действительно так.
Пусть (Q1;+, (; Z) и (Q2; (, (; Z) - любые две системы рациональных чисел. Достаточно доказать существование такого биективного отображения, при котором все целые числа остаются неподвижными и кроме того выполняются условия
(1)
(2)
для любых элементов x и y из поля Q1.
Частное элементов a и b в поле Q1 будем обозначать через, а в поле Q2 - через a:b. Так как Z есть подкольцо каждого из полей Q1 и Q2, то для любых целых чисел a и b справедливы равенства
, . (3)
Пусть и, где, . Сопоставим этому элементу x элемент y=a:b из поля Q2. Если в поле Q1 справедливо равенство, где, то по теореме п.2.4 в кольце Z выполняется равенство ab1=ba1, или в силу (3) равенство, и тогда по той же теореме в поле Q2 справедливо равенство a:b=a1:b1. Это значит, что сопоставляя элементу из поля Q1 элемент y=a:b из поля Q2, мы определяем отображение, .
Любой элемент из поля Q2 представим в виде a:b, где, и, следовательно, является образом элемента из поля Q1. Значит, отображение f сюръективно.
Если, то в поле Q1 и тогда. Таким образом, отображение f биективно и все целые числа остаются неподвижными. Остается доказать справедливость равенств (1) и (2). Пусть и, где a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Тогда и, откуда в силу (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Аналогично, и, откуда.
Изоморфизм интерпретаций (Q1;+, (; Z) и (Q2; (, (; Z) доказан.

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ.

1.1.1. Решение. Пусть условие аксиомы 4 истинно (такое свойство натуральных чисел, что ((0) и. Положим. Тогда M удовлетворяет посылке аксиомы 4, поскольку ((0)(0(M и. Следовательно, M=N, т.е. любое натуральное число обладает свойством (. Обратно. Допустим, что для любого свойства (из того, что ((0) и, следует. Пусть M - такое подмножество из N, что 0(M и. Покажем, что M=N. Введем в рассмотрение свойство (, полагая. Тогда ((0), поскольку, и. Таким образом, следовательно, M=N.
1.1.2. Ответ: Истинны утверждения 1-й и 4-й аксиом Пеано. Утверждение 2-й аксиомы ложно.
1.1.3. Ответ: истинны утверждения 2,3,4 аксиом Пеано. Утверждение 1-й аксиомы ложно.
1.1.4. Истинны утверждения 1, 2, 3-й аксиом Пеано. Утверждение 4-й аксиомы ложно. Указание: докажите, что множество удовлетворяет посылке аксиомы 4, сформулированной в терминах операции, но.
1.1.5. Указание: для доказательства истинности утверждения аксиомы 4 рассмотрите подмножество M из A, удовлетворяющее условиям: а) 1((M, б) , и множество. Докажите, что. Тогда M=A.
1.1.6. Истинны утверждения 1,2,3-й аксиом Пеано. Утверждение 4-й аксиомы Пеано ложно.
1.6.1. а) Решение: Сначала докажите, что если 1am. Обратно. Пусть am
1.6.2. а) Решение: Допустим противное. Через M обозначим множество всех чисел, которые не обладают свойством (. В силу предположения, M((. В силу теоремы 1 в M существует наименьший элемент n(0. Любое число x
1.8.1. е) Используйте п. д) и п. в): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, следовательно, (a-b)-(c-b)=a-c.
з) Используйте свойство.
л) Используйте п. б).
м) Используйте п. б) и п. з).
1.8.2. в) Имеем, следовательно, . Итак, .
г) Имеем. Следовательно, .
ж) .
1.8.3. а) Если (и (различные решения уравнения ax2+bx=c, то a(2+b(=a(2+b(. С другой стороны, если, например, (б) Пусть (и (- различные решения уравнения. Если ((. Однако (2=a(+b>a(, следовательно, (>a. Получили противоречие.
в) Пусть (и (- различные корни уравнения и (>(. Тогда 2((-()=(a(2+b)-(a(2+b)=a((-()(((+(). Итак, a((+()=2, но (+(>2, следовательно, a((+()>2, что невозможно.
1.8.4. а) x=3; б) x=y=2. Указание: поскольку и, имеем x=y; в) x=y(y+2), y - любое натуральное число; г) x=y=2; д) x=2, y=1; е) С точностью до перестановок x=1, y=2, z=3. Решение: Пусть, например, x(y(z. Тогда xyz=x+y+z(3z, т.е. xy(3. Если xy=1, то x=y=1 и z=2+z, что невозможно. Если xy=2, то x=1, y=2. В этом случае 2z=3+z, т.е. z=3. Если xy=3, то x=1, y=3. Тогда 3z=4+z, т.е. z=2, что противоречит предположению y(z.
1.8.5. б) Если x=a, y=b - решение уравнения, то ab+b=a, т.е. a>ab, что невозможно. г) Если x=a, y=b - решение уравнения, то b
1.8.6. а) x=ky, где k,y - произвольные натуральные числа и y(1. б) x - произвольное натуральное число, y=1. в) x - произвольное натуральное число, y=1. г) Решения нет. д) x1=1; x2=2; x3=3. е) x>5.
1.8.7. а) Если a=b, то 2ab=a2+b2. Пусть, например, a

ЛИТЕРАТУРА

1. Редьков М.И. Числовые системы. /Методические рекомендации к изучению курса "Числовые системы". Часть 1.- Омск: ОмГПИ, 1984.- 46с.
2. Ершова Т.И. Числовые системы. /Методическая разработка для практических занятий.- Свердловск: СГПИ, 1981.- 68с.