Линейная зависимость векторов. Теорема

Линейной комбинацией системы векторов

называется вектор

где a 1 , a 2 , ..., a n - произвольные числа.

Если все a i = 0, то линейная комбинация называется тривиальной . В этом случае, очевидно,

Определение 5.

Теорема 2 (Условия линейной зависимости).

Определение 6.

Из теоремы 3 следует, что если в пространстве задан базис то добавив к нему произвольный вектор , получим линейно зависимую систему векторов. В соответствии с теоремой 2 (1) , один из них (можно показать, что вектор ) можно представить в виде линейной комбинации остальных:

.

Определение 7.

Если векторы рассматриваются на плоскости, то базисом будет упорядоченная пара неколлинеарных векторов

и координатами вектора в этом базисе – пара чисел:

Замечание 3 . Можно показать, что при заданном базисе координаты вектора определяются однозначно . Из этого, в частности, следует, что если векторы равны, то равны их соответствующие координаты, и наоборот .

Таким образом, если в пространстве задан базис, то каждому вектору пространства соответствует упорядоченная тройка чисел (координаты вектора в этом базисе) и наоборот: каждой тройке чисел соответствует вектор.

На плоскости аналогичное соответствие устанавливается между векторами и парами чисел.

Теорема 4 (Линейные операции через координаты векторов).

Иными словами:

при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число ;

при сложении векторов складываются их соответствующие координаты .

Пример 1 . В некотором базисе векторы имеют координаты

Показать, что векторы образуют базис, и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они некомпланарны, следовательно (в соответствии с теоремой 3(2) ) линейно независимы.

По определению 5 это означает, что равенство

возможно только в случае, когда x = y = z = 0.

Функции называются линейно независимыми, если

(допустима только тривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю). В отличие от линейной независимости векторов здесь тождество линейной комбинации нулю, а не равенство. Это и понятно, так как равенство линейной комбинации нулю должно быть выполнено при любом значении аргумента.

Функции называются линейно зависимыми, если существует не нулевой набор констант (не все константы равны нулю) , такой что (существует нетривиальная линейная комбинация функций, тождественно равная нулю).

Теорема. Для того чтобы функции были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы какая-либо из них линейно выражалась через остальные (представлялась в виде их линейной комбинации).

Докажите эту теорему самостоятельно, она доказывается так же, как аналогичная ей теорема о линейной зависимости векторов.

Определитель Вронского.

Определитель Вронского для функций вводится как определитель, столбцами которого являются производные этих функций от нулевого (сами функции) до n-1 го порядка.

.

Теорема . Если функции линейно зависимы, то

Доказательство. Так как функции линейно зависимы, то какая-либо из них линейно выражается через остальные, например,

Тождество можно дифференцировать, поэтому

Тогда первый столбец определителя Вронского линейно выражается через остальные столбцы, поэтому определитель Вронского тождественно равен нулю.

Теорема. Для того, чтобы решения линейного однородного дифференциального уравнения n-ого порядка были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство. Необходимость следует из предыдущей теоремы.

Достаточность. Зафиксируем некоторую точку . Так как , то столбцы определителя, вычисленные в этой точке, представляют собой линейно зависимые векторы.

, что выполнены соотношения

Так как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения является его решением, то можно ввести решение вида

Линейную комбинацию решений с теми же коэффициентами.

Заметим, что при это решение удовлетворяет нулевым начальным условиям, это следует из выписанной выше системы уравнений. Но тривиальное решение линейного однородного уравнения тоже удовлетворяет тем же нулевым начальным условиям. Поэтому из теоремы Коши следует, что введенное решение тождественно равно тривиальному, следовательно,

поэтому решения линейно зависимы.

Следствие. Если определитель Вронского, построенный на решениях линейного однородного уравнения, обращается в нуль хотя бы в одной точке, то он тождественно равен нулю.

Доказательство. Если , то решения линейно зависимы, следовательно, .

Теорема. 1. Для линейной зависимости решений необходимо и достаточно (или ).

2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .

Доказательство. Первое утверждение следует из доказанной выше теоремы и следствия. Второе утверждение легко доказывается от противного.

Пусть решения линейно независимы. Если , то решения линейно зависимы. Противоречие. Следовательно, .

Пусть . Если решения линейно зависимы, то , следовательно, , противоречие. Поэтому решения линейно независимы.

Следствие. Обращение определителя Вронского в нуль хотя бы в одной точке является критерием линейной зависимости решений линейного однородного уравнения.

Отличие определителя Вронского от нуля является критерием линейной независимости решений линейного однородного уравнения.

Теорема. Размерность пространства решений линейного однородного уравнения n-ого порядка равна n.

Доказательство.

a) Покажем, что существуют n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка. Рассмотрим решения , удовлетворяющие следующим начальным условиям:

...........................................................

Такие решения существуют. В самом деле, по теореме Коши через точку проходит единственная интегральная кривая – решение. Через точку проходит решение , через точку

- решение , через точку - решение .

Эти решения линейно независимы, так как .

b) Покажем, что любое решение линейного однородного уравнения линейно выражается через эти решения (является их линейной комбинацией).

Рассмотрим два решения. Одно - произвольное решение с начальными условиями . Справедливо соотношение

Теорема 1.(О линейной независимости ортогональных векторов). Пусть Тогда система векторов линейно независима.

Составим линейную комбинацию ∑λ i x i =0 и рассмотрим скалярное произведение (x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, но ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

Определение 1. Система векторов или (e i ,e j)=δ ij - символ Кронекера, называется ортонормированной (ОНС).

Определение 2. Для произвольного элемента x произвольного бесконечномерного евклидова пространства и произвольной ортонормированной системы элементов рядом Фурье элемента x по системе называется формально составленная бесконечная сумма (ряд) вида , в которой действительные числа λ i называются коэффициентами Фурье элемента x по системе , где λ i =(x,e i).

Комментарий. (Естественно, возникает вопрос о сходимости этого ряда. Для исследования этого вопроса зафиксируем произвольный номер n и выясним, что отличает n-ю частичную сумму ряда Фурье от любой другой линейной комбинации первых n элементов ортонормированной системы . )

Теорема 2. Для любого фиксированного номера n среди всех сумм вида наименьшее отклонение от элемента x по норме данного евклидова пространства имеет n-я частичная сумма ряда Фурье элементa

Учитывая ортонормированность системы и определение коэффициента Фурье, можно записать

Минимум этого выражения достигается при c i =λ i , так как при этом всегда неотрицательная первая сумма в правой части обращается в нуль, а остальные слагаемые от c i не зависят.

Пример. Рассмотрим тригонометрическую систему

в пространстве всех интегрируемых по Риману функций f(x) на сегменте [-π,π]. Легко проверить, что это ОНС, и тогда Ряд Фурье функции f(x) имеет вид где .

Комментарий. (Тригонометрический ряд Фурье обычно записывают в виде Тогда )

Произвольная ОНС в бесконечномерном эвклидовом пространстве без дополнительных предположений, вообще говоря, не является базисом этого пространства. На интуитивном уровне, не давая строгих определений, опишем суть дела. В произвольном бесконечномерном эвклидовом пространстве E рассмотрим ОНС , где (e i ,e j)=δ ij - символ Кронекера. Пусть M - подпространство эвклидова пространства, а k=M ⊥ - подпространство, ортогональное к M, такое, что эвклидово пространство E=M+M ⊥ . Проекция вектора x∈E на подпространство M - вектор ∈M, где

Мы будем искать те значения коэффициентов разложения α k , при которых невязка (квадрат невязки) h 2 =||x-|| 2 будет минимальна:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k ,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k ,∑α k e k)=||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

Ясно, что это выражение будет принимать минимальное значение при α k =0, что тривиально, и при α k =(x,e k). Тогда ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. Отсюда получаем неравенство Бесселя ∑α k 2 &38804;||x|| 2 . При ρ=0 ортонормированная система векторов (ОНС) называется полной ортонормированной системой в смысле Стеклова (ПОНС). Отсюда можно получить равенство Стеклова - Парсеваля ∑α k 2 =||x|| 2 - "теорему Пифагора" для полных в смысле Стеклова бесконечномерных эвклидовых пространств. Теперь следовало бы доказать, что для того, чтобы любой вектор пространства можно было единственным образом представить в виде сходящегося к нему ряда Фурье, необходимо и достаточно выполнение равенства Стеклова-Парсеваля. Система векторов pic=""> ОНБ образует?система векторов Рассмотрим для частичную сумму ряда Тогда как хвост сходящегося ряда. Таким образом, система векторов является ПОНС и образует ОНБ.

Пример. Тригонометрическая система

в пространстве всех интегрируемых по Риману функций f(x) на сегменте [-π,π] является ПОНС и образует ОНБ.

Понятия линейной зависимости и независимости системы векторов является очень важными при изучении алгебры векторов, так как на них базируются понятия размерности и базиса пространства. В этой статье мы дадим определения, рассмотрим свойства линейной зависимости и независимости, получим алгоритм исследования системы векторов на линейную зависимость и подробно разберем решения примеров.

Навигация по странице.

Определение линейной зависимости и линейной независимости системы векторов.

Рассмотрим набор из p n-мерных векторов , обозначим их следующим образом . Составим линейную комбинацию этих векторов и произвольных чисел (действительных или комплексных): . Отталкиваясь от определения операций над n -мерными векторами, а так же свойств операций сложения векторов и умножения вектора на число, можно утверждать, что записанная линейная комбинация представляет собой некоторый n -мерный вектор , то есть, .

Так мы подошли к определению линейной зависимости системы векторов .

Определение.

Если линейная комбинация может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов называется линейно зависимой .

Определение.

Если линейная комбинация представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа равны нулю, то система векторов называется линейно независимой .

Свойства линейной зависимости и независимости.

На основании данных определений, сформулируем и докажем свойства линейной зависимости и линейной независимости системы векторов .

Если к линейно зависимой системе векторов добавить несколько векторов, то полученная система будет линейно зависимой.

Доказательство.

Так как система векторов линейно зависима, то равенство возможно при наличии хотя бы одного ненулевого числа из чисел . Пусть .

Добавим к исходной системе векторов еще s векторов , при этом получим систему . Так как и , то линейная комбинация векторов этой системы вида

представляет собой нулевой вектор, а . Следовательно, полученная система векторов является линейно зависимой.

Если из линейно независимой системы векторов исключить несколько векторов, то полученная система будет линейно независимой.

Доказательство.

Предположим, что полученная система линейно зависима. Добавив к этой системе векторов все отброшенные векторы, мы получим исходную систему векторов. По условию – она линейно независима, а в силу предыдущего свойства линейной зависимости она должна быть линейно зависимой. Мы пришли к противоречию, следовательно, наше предположение неверно.

Если в системе векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то такая система линейно зависимая.

Доказательство.

Пусть вектор в этой системе векторов является нулевым. Предположим, что исходная система векторов линейно независима. Тогда векторное равенство возможно только тогда, когда . Однако, если взять любое , отличное от нуля, то равенство все равно будет справедливо, так как . Следовательно, наше предположение неверно, и исходная система векторов линейно зависима.

Если система векторов линейно зависима, то хотя бы один из ее векторов линейно выражается через остальные. Если система векторов линейно независима, то ни один из векторов не выражается через остальные.

Доказательство.

Сначала докажем первое утверждение.

Пусть система векторов линейно зависима, тогда существует хотя бы одно отличное от нуля число и при этом верно равенство . Это равенство можно разрешить относительно , так как , при этом имеем

Следовательно, вектор линейно выражается через остальные векторы системы , что и требовалось доказать.

Теперь докажем второе утверждение.

Так как система векторов линейно независима, то равенство возможно лишь при .

Предположим, что какой-нибудь вектор системы выражается линейно через остальные. Пусть этим вектором является , тогда . Это равенство можно переписать как , в его левой части находится линейная комбинация векторов системы, причем коэффициент перед вектором отличен от нуля, что указывает на линейную зависимость исходной системы векторов. Так мы пришли к противоречию, значит, свойство доказано.

Из двух последних свойств следует важное утверждение:
если система векторов содержит векторы и , где – произвольное число, то она линейно зависима.

Исследование системы векторов на линейную зависимость.

Поставим задачу: нам требуется установить линейную зависимость или линейную независимость системы векторов .

Логичный вопрос: «как ее решать?»

Кое-что полезное с практической точки зрения можно вынести из рассмотренных выше определений и свойств линейной зависимости и независимости системы векторов. Эти определения и свойства позволяют нам установить линейную зависимость системы векторов в следующих случаях:

Как же быть в остальных случаях, которых большинство?

Разберемся с этим.

Напомним формулировку теоремы о ранге матрицы, которую мы приводили в статье .

Теорема.

Пусть r – ранг матрицы А порядка p на n , . Пусть М – базисный минор матрицы А . Все строки (все столбцы) матрицы А , которые не участвуют в образовании базисного минора М , линейно выражаются через строки (столбцы) матрицы, порождающие базисный минор М .

А теперь поясним связь теоремы о ранге матрицы с исследованием системы векторов на линейную зависимость.

Составим матрицу A , строками которой будут векторы исследуемой системы :

Что будет означать линейная независимость системы векторов ?

Из четвертого свойства линейной независимости системы векторов мы знаем, что ни один из векторов системы не выражается через остальные. Иными словами, ни одна строка матрицы A не будет линейно выражаться через другие строки, следовательно, линейная независимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)=p .

Что же будет означать линейная зависимость системы векторов ?

Все очень просто: хотя бы одна строка матрицы A будет линейно выражаться через остальные, следовательно, линейная зависимость системы векторов будет равносильна условию Rank(A)

.