Александр Викторович Абросимов Дата рождения: 16 ноября 1948(1948 11 16) Место рождения: Куйбышев Дата смерти … Википедия

I Дифференциальные уравнения уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин,… … Большая советская энциклопедия

Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) это дифференциальное уравнение вида где неизвестная функция (возможно, вектор функция, тогда, как правило, тоже вектор функция со значениями в пространстве той же размерности; в этом… … Википедия

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Юдович. Виктор Иосифович Юдович Дата рождения: 4 октября 1934(1934 10 04) Место рождения: Тбилиси, СССР Дата смерти … Википедия

Дифференциал - (Differential) Определение дифферинциала, дифферинциал функции, блокировка дифферинциала Информация об определении дифферинциала, дифферинциал функции, блокировка дифферинциала Содержание Содержание математический Неформальное описание… … Энциклопедия инвестора

Одно из основных понятий в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Роль X. проявляется в существенных свойствах этих уравнений, таких, как локальные свойства решений, разрешимость различных задач, их корректность и др. Пусть… … Математическая энциклопедия

Уравнение, в к ром неизвестной является функция от одного независимого переменного, причем в это уравнение входят не только сама неизвестная функция, но и ее производные различных порядков. Термин дифференциальные уравнения был предложен Г.… … Математическая энциклопедия

Треногин Владилен Александрович В. А. Треногин на лекции в МИСиС Дата рождения … Википедия

Треногин, Владилен Александрович Треногин Владилен Александрович В. А. Треногин на лекции в МИСиС Дата рождения: 1931 год(1931) … Википедия

Уравнение Гаусса, линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2 го порядка или, в самосопряженной форме, Переменные и параметры в общем случае могут принимать любые комплексные значения. После подстановки получается приведенная форма… … Математическая энциклопедия

«ЛЕКЦИИ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ ЧАСТЬ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ В учебном пособии изложены положения, составляющие основу теории обыкновенных дифференциальных уравнений: ...»

-- [ Страница 1 ] --

А. Е. Мамонтов

ЛЕКЦИИ ПО ОБЫКНОВЕННЫМ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ

В учебном пособии изложены положения, составляющие

основу теории обыкновенных дифференциальных уравнений: понятие решений, их существование, единственность,

зависимость от параметров. Также (в § 3) определенное внимание уделяется «явному» решению некоторых классов уравнений. Пособие предназначено для углубленного изучения курса «Дифференциальные уравнения» студентами, обучающимися на математическом факультете Новосибирского государственного педагогического университета.

УДК 517.91 ББК В161.61 Предисловие Учебное пособие предназначено для студентов математического факультета Новосибирского государственного педагогического университета, желающих изучить обязательный курс «Дифференциальные уравнения» в расширенном объеме. Вниманию читателей предлагаются основные понятия и результаты, составляющие фундамент теории обыкновенных дифференциальных уравнений: понятия о решениях, теоремы об их существовании, единственности, зависимости от параметров. Описанный материал излагается в виде логически неразрывного текста в §§ 1, 2, 4, 5. Также (в § 3, стоящем несколько особняком и временно прерывающем главную нить курса) кратко рассмотрены наиболее востребованные приемы «явного» нахождения решений некоторых классов уравнений. При первом чтении § 3 можно пропустить без существенного ущерба для логической структуры курса.

Важную роль играют упражнения, в большом количестве включенные в текст. Читателю настоятельно рекомендуется прорешивать их «по горячим следам», что гарантирует усвоение материала и послужит тестом. Более того, нередко эти упражнения восполняют логическую ткань, т. е. без их решения не все положения будут строго доказаны.

В квадратных скобках посередине текста вынесены замечания, носящие роль комментариев (расширенных или побочных пояснений). Лексически эти фрагменты прерывают основной текст (т. е. для связного чтения их нужно «не замечать»), но все же они нужны в качестве пояснений. Другими словами, эти фрагменты нужно воспринимать так, как будто они вынесены на поля.

В тексте встречаются отдельно рубрицированные «замечания для преподавателя» - они могут быть опущены при чтении обучающимися, но полезны для преподавателя, который будет использовать пособие, например, при чтении лекций - они помогают лучше понять логику курса и указывают направление возможных совершенствований (расширений) курса. Впрочем, освоение этих замечаний обучающимися можно только приветствовать.

Аналогичную роль играют «обоснования для преподавателя» - они в крайне сжатой форме дают доказательство некоторых положений, предлагаемых читателю в качестве упражнений.

Наиболее употребительные (ключевые) термины используются в виде аббревиатур, список которых для удобства приведен в конце. Там же приведен список математических обозначений, встречающихся в тексте, но не относящихся к самым употребительным (и/или не понимаемым однозначно в литературе).

Символ означает конец доказательства, формулировки утверждения, замечания и т. п. (там где это нужно во избежание путаницы).

Нумерация формул независимо ведется в каждом параграфе. При ссылке на часть формулы используются индексы, например (2)3 означает 3-ю часть формулы (2) (частями формулы считаются фрагменты, разделенные типографски пробелом, а с логических позиций - связкой «и»).

Данное пособие не может совершенно заменить глубокого изучения предмета, которое требует самостоятельных упражнений и чтения дополнительной литературы, например, той, список которой приведен в конце пособия. Однако автор попытался изложить основные положения теории в достаточно сжатой форме, пригодной для лекционного курса. В связи с этим следует отметить, что при чтении лекционного курса по данному пособию на него уходит около 10 лекций.

Планируется издание еще 2 частей (томов), продолжающих данное пособие и завершающих тем самым цикл лекций по предмету «обыкновенные дифференциальные уравнения»: часть 2 (линейные уравнения), часть 3 (дальнейшая теория нелинейных уравнений, уравнения в частных производных первого порядка).

§ 1. Введение Дифференциальное уравнение (ДУ) - это соотношение вида u1 u1 un, высшие производные F y, u(y),..., = 0, y1 y2 yk (1) где y = (y1,..., yk) Rk - независимые переменные, а u = u(y) - неизвестные функции1, u = (u1,..., un). Таким образом, в (1) имеется n неизвестных, так что требуется n уравнений, т. е. F = (F1,..., Fn), так что (1) есть, вообще говоря, система из n уравнений. Если неизвестная функция одна (n = 1), то уравнение (1) - скалярное (одно уравнение).

Итак, функция(и) F задана(ы), а u ищется. Если k = 1, то (1) называется ОДУ, а иначе - УЧП. Второй случай является предметом особого курса УМФ, изложенного в одноименной серии учебных пособий. В настоящей серии пособий (состоящей из 3 частей-томов) мы будем изучать только ОДУ, за исключением последнего параграфа последней части (тома), в котором начнем изучать некоторые частные случаи УЧП.

2u u Пример. 2 = 0 - это УЧП.

y1 y Неизвестные величины u могут быть вещественными или комплексными, что несущественно, т. к. этот момент относится лишь к форме записи уравнений: всякую комплексную запись можно превратить в вещественную, отделив вещественную и мнимую части (но при этом, конечно, удвоив число уравнений и неизвестных), и наоборот, в некоторых случаях удобно переходить к комплексной записи.

du d2v dv · 2 = uv; u3 = 2. Это система из 2 ОДУ Пример.

dy dy dy для 2 неизвестных функций от независимого переменного y.

Если k = 1 (ОДУ), то употребляется «прямой» значок d/dy.

u(y) du Пример. exp(sin z)dz - это ОДУ, т. к. оно имеет Пример. = u(u(y)) при n = 1 - это не ДУ, а функdy ционально-дифференциальное уравнение.

Это не ДУ, а интегро-дифференциальное уравнение, такие уравнения мы изучать не будем. Впрочем, конкретно уравнение (2) легко сводится к ОДУ:

Упражнение. Свести (2) к ОДУ.

Но вообще интегральные уравнения - более сложный объект (он частично изучается в курсе функционального анализа), хотя, как мы увидим ниже, именно с их помощью получаются некоторые результаты для ОДУ.

ДУ возникают как из внутриматематических потребностей (например, в дифференциальной геометрии), так и в приложениях (исторически впервые, и сейчас в основном - в физике). Простейшее ДУ - это «основная задача дифференциального исчисления» о восстановлении функции по ее производной: = h(y). Как известно из анализа, ее решеdy ние имеет вид u(y) = + h(s)ds. Более общие ДУ для своy его решения требуют специальных методов. Впрочем, как мы увидим далее, практически все методы решения ОДУ «в явном виде» по сути сводятся к указанному тривиальному случаю.

В приложениях чаще всего ОДУ возникают при описании процессов, развивающихся во времени, так что роль независимого переменного играет обычно время t.

таким образом, смысл ОДУ в таких приложениях состоит в описании изменения параметров системы с течением времени Поэтому удобно при построении общей теории ОДУ обозначать независимую переменную через t (и называть ее временем со всеми вытекающими терминологическими последствиями), а неизвестную(ые) функцию(ии) - через x = (x1,..., xn). Таким образом, общий вид ОДУ (системы ОДУ) следующий:

где F = (F1,..., Fn) - т. е. это система из n ОДУ для n функций x, а если n = 1, то одно ОДУ для 1 функции x.

При этом x = x(t), t R, а x вообще говоря комплекснозначная (это для удобства, т. к. тогда некоторые системы более компактно записываются).

Говорят, что система (3) имеет порядок m по функции xm.

Производные называется старшими, а остальные (включая сами xm =) - младшими. Если все m =, то просто говорят, что порядок системы равен.

Правда, нередко порядком системы называют число m, что тоже естественно, как станет ясно далее.

Вопрос о необходимости изучения ОДУ и их применений мы будем считать достаточно обоснованным другими дисциплинами (дифференциальная геометрия, математический анализ, теоретическая механика, и т. д.), и он частично покрывается в ходе практических занятий при решении задач (например, из задачника ). В настоящем курсе мы будем заниматься исключительно математическим изучением систем вида (3), что подразумевает ответ на следующие вопросы:

1. что значит «решить» уравнение (систему) (3);

2. как это делать;

3. какие свойства имеют эти решения, как их исследовать.

Вопрос 1 не так очевиден, как кажется - см. далее. Сразу заметим, что любую систему (3) можно свести к системе первого порядка, обозначая младшие производные как новые неизвестные функции. Проще всего эту процедуру пояснить на примере:

из 5 уравнений для 5 неизвестных. Легко понять, что (4) и (5) эквивалентны в том смысле, что решение одной из них (после соответствующего переобозначения) является решением другой. При этом следует лишь оговаривать вопрос о гладкости решений - это мы будем делать далее, когда столкнемся с ОДУ высшего порядка (т. е. не 1-го).

Но теперь ясно, что достаточно изучать лишь ОДУ первого порядка, а другие могут потребоваться лишь для удобства обозначений (такая ситуация у нас будет иногда возникать).

А сейчас ограничимся ОДУ первого порядка:

dimx = dimF = n.

Изучение уравнения (системы) (6) неудобно в силу того, что оно не разрешено относительно производных dx/dt. Как известно из анализа (из теоремы о неявной функции), при определенных условиях на F уравнение (6) можно разрешить относительно dx/dt и записать его в виде где f: Rn+1 Rn задана, а x: R Rn - искомая. Говорят, что (7) есть ОДУ, разрешенное относительно производных (ОДУ нормального вида). При переходе от (6) к (7), естественно, могут возникать сложности:

Пример. Уравнение exp(x) = 0 не может быть записано в виде (7), и вообще не имеет решений, т. е. exp не имеет нулей даже в комплексной плоскости.

Пример. Уравнение x 2 + x2 = 1 при разрешении записывается в виде двух нормальных ОДУ x = ± 1 x2. Следует решить каждое из них и затем истолковать результат.

Замечание. При сведении (3) к (6) может возникнуть сложность, если (3) имеет 0 порядок по какой-то функции или части функций (т. е. это функционально-дифференциальное уравнение). Но тогда эти функции надо исключить по теореме о неявной функции.

Пример. x = y, xy = 1 x = 1/x. Нужно найти x из получившегося ОДУ, а затем y из функционального уравнения.

Но в любом случае, проблема перехода от (6) к (7) относится скорее к области математического анализа, чем к ДУ, и мы ей заниматься не будем. Впрочем, при решении ОДУ вида (6) могут возникать интересные с точки зрения ОДУ моменты, так что этот вопрос уместно изучать при решении задач (как это сделано например в ) и он слегка будет затронут в § 3. Но в остальной части курса мы будем иметь дело только с нормальными системами и уравнениями. Итак, рассмотрим ОДУ (систему ОДУ) (7). Запишем ее 1 раз в покомпонентном виде:

Понятие «решить (7)» (и вообще, любое ДУ) долгое время понималось как поиск «явной формулы» для решения (т. е. в виде элементарных функций, их первообразных, или специальных функций, и т. п.), без акцента на гладкости решения и интервале его определения. Однако современное состояние теории ОДУ и других разделов математики (и вообще естественных наук) показывает, что такой подход неудовлетворителен - хотя бы потому, что доля ОДУ, поддающихся такому «явному интегрированию», крайне мала (даже для простейшего ОДУ x = f (t) известно, что решение в элементарных функциях бывает редко, хотя здесь и есть «явная формула»).

Пример. Уравнение x = t2 + x2, несмотря на свою крайнюю простоту, не имеет решений в элементарных функциях (и здесь даже «нет формулы»).

И хотя знать те классы ОДУ, для которых возможно «явное» построение решения, полезно (аналогично тому, как полезно уметь «считать интегралы», когда это возможно, хотя это возможно крайне редко), В связи с этим характерно звучат термины: «проинтегрировать ОДУ», «интеграл ОДУ» (устаревшие аналоги современных понятий «решить ОДУ», «решение ОДУ»), которые отражают прежние понятия о решении. Как понимать современные термины, мы сейчас изложим.

и этот вопрос будет рассмотрен в § 3 (а также традиционно большое внимание ему уделяется при решении задач на практических занятиях), но не следует ожидать от этого подхода какой-либо универсальности. Как правило, под процессом решения (7) мы будем понимать совсем другие шаги.

Следует уточнить, какая функция x = x(t) может называться решением (7).

Прежде всего отметим, что четкая формулировка понятия решения невозможна без указания множества, на котором оно определено, Хотя бы потому, что решение - это функция, а любая функция (согласно школьному определению) - это закон, сопоставляющий любому элементу некоторого множества (называемого областью определения этой функции) некоторый элемент другого множества (значений функции). Таким образом, говорить о функции без указания области ее определения - это абсурд по определению. Аналитические функции (более широко - элементарные) служат здесь «исключением» (вводящим в заблуждение) по указанным ниже причинам (и некоторым другим), но в случае ДУ такие вольности недопустимы.

и вообще без указания множеств определения всех функций, участвующих в (7). Как будет ясно из дальнейшего, целесообразно жестко увязывать понятие решения с множеством его определения, и считать решения разными, если множества их определения различны, даже если на пересечении этих множеств решения совпадают.

Чаще всего в конкретных ситуациях это означает, что если построены решения в виде элементарных функций, так что 2 решения имеют «одинаковую формулу», то надо еще уточнять, совпадают ли множества, на которых эти формулы написаны. Путаница, долгое время царившая в этом вопросе, была простительна, пока рассматривались решения в виде элементарных функций, т. к. аналитические функции однозначно продолжаются на более широкие интервалы.

Пример. x1(t) = et на (0,2) и x2(t) = et на (1,3) - разных решения уравнения x = x.

При этом естественно в качестве множества определения любого решения брать открытый интервал (может быть, и бесконечный), т. к. это множество должно быть:

1. открытым, чтобы в любой точке имело смысл говорить о производной (двусторонней);

2. связным, чтобы решение не распалось на несвязные куски (в этом случае удобнее говорить о нескольких решениях) - см. предыдущий Пример.

Таким образом, решение (7) - это пара (, (a, b)), где a b +, определена на (a, b).

Замечание для преподавателя. В некоторых учебниках допускается включение концов отрезка в область определения решения, но это нецелесообразно ввиду того, что только усложняет изложение, а реального обобщения не дает (см. § 4).

Чтобы легче было понять дальнейшие рассуждения, полезно использовать геометрическую трактовку (7). В пространстве Rn+1 = {(t, x)} в каждой точке (t, x), где определена f, можно рассмотреть вектор f (t, x). Если построить в этом пространстве график решения (7) (он называется интегральной кривой системы (7)), то он состоит из точек вида (t, x(t)). При изменении t (a, b) эта точка движется вдоль ИК. Касательная к ИК в точке (t, x(t)) имеет вид (1, x (t)) = (1, f (t, x(t))). Таким образом, ИК - это те и только те кривые в пространстве Rn+1, которые в каждой своей точке (t, x) имеют касательную, параллельную вектору (1, f (t, x)). На этой идее построен так наз. метод изоклин для приближенного построения ИК, который используется при изображении графиков решений конкретных ОДУ (см.

например ). Например, при n = 1 наше построение означает следующее: в каждой точке ИК ее наклон к оси t обладает свойством tg = f (t, x). Естественно предположить, что, взяв любую точку из множества определения f, мы можем провести через нее ИК. Эта идея будет строго обоснована далее. Пока нам не хватает строгой формулировки гладкости решений - это будет сделано ниже.

Теперь следует уточнить множество B, на котором определена f. Это множество естественно брать:

1. открытым (чтобы ИК можно было строить в окрестности любой точки из B), 2. связным (иначе можно рассматривать отдельно все связные куски - все равно ИК (как график непрерывной функции) не может перескочить из одного куска в другой, так что на общности поиска решений это не скажется).

Мы будем рассматривать только классические решения (7), т. е. такие, что сама x и ее x непрерывны на (a, b). Тогда естественно потребовать, чтобы f C(B). Далее это требование будет подразумеваться нами всегда. Итак, окончательно получаем Определение. Пусть B Rn+1 - область, f C(B).

Пара (, (a, b)), a b +, определена на (a, b), называется решением (7), если C(a, b), при каждом t (a, b) точка (t, (t)) B и существует (t), причем (t) = f (t, (t)) (тогда автоматически C 1(a, b)).

Геометрически ясно, что (7) будет иметь много решений (что легко понять графически), т. к. если проводить ИК, начинающиеся из точек вида (t0, x0), где t0 фиксировано, то будем получать разные ИК. Кроме того, изменение интервала определения решения будет давать другое решение, согласно нашему определению.

Пример. x = 0. Решение: x = = const Rn. Однако если выбрать какое-то t0 и фиксировать значение x0 решения в точке t0: x(t0) = x0, то значение определяется однозначно: = x0, т. е. решение единственно с точностью до выбора интервала (a, b) t0.

Наличие «безликого» множества решений неудобно для работы с ними2 - удобнее «занумеровать» их следующим образом: добавить к (7) дополнительные условия так, чтобы выделить единственное (в определенном смысле) решение, а затем уже, перебирая эти условия, работать с каждым решением отдельно (геометрически решение может быть одно (ИК), а кусков много - с этим неудобством разберемся позже).

Определение. Задача для (7) - это (7) с дополнительными условиями.

Простейшую задачу мы по существу уже изобрели - это задача Коши: (7) с условиями вида (данными Коши, начальными данными):

C точки зрения приложений эта задача естественна: например, если (7) описывает изменение каких-то параметров x со временем t, то (8) означает, что в некоторый (начальный) момент времени значение параметров известно. Бывает необходимость изучать и другие задачи, об этом мы поговорим позже, а пока остановимся на задаче Коши. Естественно, эта задача имеет смысл при (t0, x0) B. Соответственно, решением задачи (7), (8) называется решение (7) (в смысле определения, данного выше) такое, что t0 (a, b), и выполнено (8).

Наша ближайшая задача - доказать существование решения задачи Коши (7), (8), а при определенных дополнительПример - квадратное уравнение, лучше писать x1 =..., x2 =..., чем x = b/2 ±...

ных предположениях на f - и его единственность в определенном смысле.

Замечание. Нам надо уточнить понятие нормы вектора и матрицы (хотя матрицы нам понадобятся только в Части 2). В связи с тем, что в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны, выбор конкретной нормы не имеет значения, если нас интересуют только оценки, а не точные величины. Например, для векторов можно применять |x|p = (|xi|p)1/p, p - отрезок Пеано (Пикара). Рассмотрим конус K = {|x x0| F |t t0|} и его усеченную часть K1 = K {t IP }. Ясно, что как раз K1 C.

Теорема. (Пеано). Пусть выполнены требования на f в задаче (1), указанные в определении решения, т. е.:

f C(B), где B - область в Rn+1. Тогда при всех (t0, x0) B на Int(IP) существует решение задачи (1).

Доказательство. Зададим произвольно (0, T0] и построим так наз. ломаную Эйлера с шагом, а именно: это ломаная в Rn+1, у которой каждое звено имеет проекцию на ось t длиной, первое звено вправо начинается в точке (t0, x0) и таково, что на нем dx/dt = f (t0, x0); правый конец этого звена (t1, x1) служит левым концом для второго, на котором dx/dt = f (t1, x1), и т. д., и аналогично влево. Получившаяся ломаная определяет кусочно-линейную функцию x = (t). Пока t IP, ломаная остается в K1 (а тем более в C, а значит, и в B), так что построение корректно - для этого собственно и делалось вспомогательное построение перед теоремой.

В самом деле, всюду кроме точек излома существует, и тогда (s) (t) = (z)dz, где в точках излома взяты произвольные значения производной.

При этом (двигаясь по ломаной по индукции) В частности, | (t) x0| F |t t0|.

Тем самым, на IP функции:

2. равностепенно непрерывны, т. к. липшицевы:

Здесь читателю нужно при необходимости освежить свои знания о таких понятиях и результатах как: равностепенная непрерывность, равномерная сходимость, теорема Арцела-Асколи и т. д.

По теореме Арцела-Асколи найдется последовательность k 0 такая, что k на IP, где C(IP). По построению, (t0) = x0, так что остается проверить, что Мы это докажем для s t.

Упражнение. Аналогично рассмотреть s t.

Зададим 0 и найдем 0 так, что для всех (t1, x1), (t2, x2) C верно Это можно сделать ввиду равномерной непрерывности f на компакте C. Найдем m N так, что Фиксируем t Int(IP) и возьмем любое s Int(IP) такое, что t s t +. Тогда для всех z имеем |k (z) k (t)| F, поэтому ввиду (4) |k (z) (t)| 2F.

Заметим, что k (z) = k (z) = f (z, k (z)), где z - абсцисса левого конца отрезка ломаной, содержащего точку (z, k (z)). Но точка (z, k (z)) попадает в цилиндр с параметрами (, 2F), построенный на точке (t, (t)) (на самом деле даже в усеченный конус - см. рис., но это сейчас неважно), так что ввиду (3) получаем |k (z) f (t, (t))|. Для ломаной имеем, как говорилось выше, формулу При k это даст (2).

Замечание. Пусть f C 1(B). Тогда решение, определенное на (a, b), будет класса C 2(a, b). В самом деле, на (a, b) имеем: существует f (t, x(t)) = ft(t, x(t)) + (t, x(t))x (t) (здесь - матрица Якоби) - непрерывная функция. Знаx чит, существует и 2 C(a, b). Можно и дальше повыdt шать гладкость решения, если f гладкая. Если f аналитична, то можно доказать существование и единственность аналитического решения (это так наз. теорема Коши), хотя из предыдущих рассуждений это никак не следует!

Здесь необходимо вспомнить, что такое аналитическая функция. Не путать с функцией, представимой степенным рядом (это лишь представление аналитической функции на, вообще говоря, части области ее определения)!

Замечание. При заданных (t0, x0) можно, варьируя T и R, пытаться максимизировать T0. Однако это, как правило, не столь важно, т. к. для исследования максимального интервала существования решения имеются специальные методы (см. § 4).

В теореме Пеано ничего не говорится о единственности решения. При нашем понимании решения оно всегда не единственно, т. к. если какое-то решение имеется, то его сужения на более узкие интервалы будут другими решениями. Этот момент мы подробнее рассмотрим позже (в § 4), а пока под единственностью будем понимать совпадение любых двух решений на пересечении интервалов их определения. Даже в этом смысле теорема Пеано ничего о единственности не говорит, что не случайно, т. к. в ее условиях единственность гарантировать нельзя.

Пример. n = 1, f (x) = 2 |x|. Задача Коши имеет тривиальное решение: x1 0, и кроме того x2(t) = t|t|. Из этих двух решений можно скомпилировать целое 2-параметрическое семейство решений:

где + (бесконечные значения означают отсутствие соответствующей ветви). Если считать за область определения всех этих решений всю R, то их все равно бесконечно много.

Отметим, что если применять в этой задаче доказательство теоремы Пеано через ломаные Эйлера, то получится только нулевое решение. С другой стороны, если в процессе построения ломаных Эйлера допускать на каждом шаге небольшую погрешность, то даже после стремления параметра погрешности к нулю останутся все решения. Таким образом, теорема Пеано и ломаные Эйлера естественны как метод построения решений и тесно связаны с численными методами.

Наблюдаемая в примере неприятность обусловлена тем, что функция f негладкая по x. Оказывается, если наложить дополнительные требования на регулярность f по x, то единственность можно обеспечить, причем этот шаг является в определенном смысле необходимым (см. ниже).

Напомним некоторые понятия из анализа. Функция (скалярная или векторная) g называется гельдеровой с показателем (0, 1] на множестве, если в верно зывается условием Липшица. При 1 такое возможно только для постоянных функций. Функция, заданная на отрезке (где выбор 0 несуществен) называется модулем непрерывности, если Говорят, что g удовлетворяет в обобщенному условию Гельдера с модулем, если В этом случае называется модулем непрерывности g в.

Можно показать, что любой модуль непрерывности есть модуль непрерывности какой-то непрерывной функции.

Нам важен обратный факт, а именно: любая непрерывная функция на компакте имеет свой модуль непрерывности, т. е. удовлетворяет (5) с некоторой. Докажем это. Напомним, что если - компакт, а g C(), то обязательно g равномерно непрерывна в, т. е.

= (): |x y| = |g(x) g(y)|. Оказывается, это эквивалентно условию (5) с некоторой. В самом деле, если существует, то достаточно построить модуль непрерывности такой, что (()), и тогда при |x y| = = () получим Поскольку (и) произвольны, то x и y могут быть любыми.

И наоборот, если (5) верно, то достаточно найти такую, что (()), и тогда при |x y| = () получим Осталось обосновать логические переходы:

Для монотонных и достаточно брать обратные функции, а в общем случае необходимо использовать так наз. обобщенные обратные функции. Их существование требует отдельного доказательства, которое мы приводить не будем, а скажем лишь идею (полезно сопроводить чтение рисунками):

для любой F определим F(x) = min F (y), F (x) = max F (y) - это монотонные функции, и они имеют обратные. ВвиF легко проверить, что x x F (F (x)), (F)1(F (x)) x, F ((F)1(x)) x.

Лучший модуль непрерывности - линейный (условие Липшица). Это «почти дифференцируемые» функции. Для придания строгого смысла последнему утверждению требуются определенные усилия, и мы ограничимся лишь двумя замечаниями:

1. строго говоря, не всякая липшицева функция дифференцируема, как показывает пример g(x) = |x| на R;

2. но из дифференцируемости следует липшицевость, как показывает следующее Утверждение. Всякая функция g, имеющая все M на выпуклом множестве, удовлетворяет на нем условию Липшица.

[Пока для краткости рассмотрим скалярные функции g.] Доказательство. Для всех x, y имеем Ясно, что это утверждение верно и для вектор-функций.

Замечание. Если f = f (t, x) (вообще говоря, векторфункция), то можно ввести понятие «f липшицева по x», т. е. |f (t, x) f (t, y)| C|x y|, и так же доказать, что если D выпукло по x при всех t, то для липшицевости f по x в D достаточно наличия производных f по x, ограниченных В Утверждении мы получали оценку |g(x) g(y)| через |x y|. При n = 1 она обычно делается с помощью формулы конечных приращений: g(x)g(y) = g (z)(xy) (если g есть вектор-функция, то z своя для каждой компоненты). При n 1 удобно использовать следующий аналог этой формулы:

Лемма. (Адамара). Пусть f C(D) (вообще говоря, вектор-функция), где D {t = t} выпукла при любом t, а f (t, x) f (t, y) = A(t, x, y) · (x y), где A - непрерывная прямоугольная матрица.

Доказательство. При любом фиксированном t применим выкладку из доказательства Утверждения для = D {t = t}, g = fk. Получим нужное представление с A(t, x, y) = A в самом деле непрерывна.

Вернемся к вопросу единственности решения задачи (1).

Поставим вопрос так: каким должен быть модуль непрерывности f по x, чтобы решение (1) было единственным в том смысле, что 2 решения, определенные на одном интервале, совпадают? Ответ дается следующей теоремой:

Теорема. (Осгуда). Пусть в условиях теоремы Пеано модуль непрерывности f по x в B, т. е. функция в неравенстве удовлетворяет условию (можно считать C). Тогда задача (1) не может иметь двух различных решений, определенных на одном интервале вида (t0 a, t0 + b).

Сравнить с примером неединственности, приведенным выше.

Лемма. Если z C 1(,), то на всем (,):

1. в точках, где z = 0, существует |z|, причем ||z| | |z |;

2. в точках, где z = 0, существуют односторонние производные |z|±, причем ||z|± | = |z | (в частности, если z = 0, то существует |z| = 0).

Пример. n = 1, z(t) = t. В точке t = 0 производная от |z| не существует, но имеются односторонние производные.

Доказательство. (Леммы). В тех точках, где z = 0, имеz·z ем: существует |z| =, и ||z| | |z |. В тех точках t, где z(t) = 0, имеем:

Случай 1: z (t) = 0. Тогда получаем существование |z| (t) = 0.

Случай 2: z (t) = 0. Тогда при +0 или 0 очеz(t +)| |z(t)| модуль которого равен |z (t)|.

По условию, F C 1(0,), F 0, F, F (+0) = +. Пусть z1,2 - два решения (1), определенные на (t0, t0 +). Обозначим z = z1 z2. Имеем:

Допустим, найдется t1 (для определенности t1 t0) такое, что z(t1) = 0. Множество A = { t t1 | z(t) = 0 } не пусто (t0 A) и ограничено сверху. Значит, оно имеет верхнюю грань t1. По построению, z = 0 на (, t1), а ввиду непрерывности z имеем z() = 0.

По Лемме |z| C 1(, t1), причем на этом интервале верно |z| |z | (|z|), так что Интегрирование по (t, t1) (где t (, t1)) дает F (|z(t)|) F (|z(t1)|) t1 t. При t + 0 получим противоречие.

Следствие 1. Если в условиях теоремы Пеано f липшицева по x в B, то задача (1) имеет единственное решение в смысле, описанном в теореме Осгуда, т. к. в этом случае () = C удовлетворяет (7).

Следствие 2. Если в условиях теоремы Пеано C(B), то решение (1), определенное на Int(IP), единx ственно.

Лемма. Любое решение (1), определенное на IP, обязано удовлетворять оценке |x | = |f (t, x)| F, а его график - лежать в K1, а тем более в C.

Доказательство. Допустим, найдется t1 IP такая, что (t, x(t)) C. Для определенности пусть t1 t0. Тогда найдется t2 (t0, t1] такая, что |x(t) x0| = R. Аналогично рассуждениям в доказательстве теоремы Осгуда, можно считать, что t2 - самая левая такая точка, а на имеем (t, x(t)) C, так что |f (t, x(t))| F, и потому (t, x(t)) K1, что противоречит |x(t2) x0| = R. Значит, (t, x(t)) C на всем IP, а тогда (повторяя выкладки) (t, x(t)) K1.

Доказательство. (Следствия 2). C - компактное мноf получаем, что f липшицева по x в C, где лежат графики всех решений ввиду Леммы. По Следствию 1 получаем требуемое.

Замечание. Условие (7) означает, что условие Липшица для f нельзя существенно ослабить. Например, условие Гельдера с 1 уже не годится. Годятся лишь модули непрерывности близкие к линейным - такие как зать «самую плохую»:

Упражнение. (достаточно сложное). Доказать, что если удовлетворяет (7), то найдется 1, удовлетворяющая (7) такая, что 1/ в нуле.

В общем случае не обязательно требовать именно что-то от модуля непрерывности f по x для единственности - возможны разного рода специальные случаи, например:

Утверждение. Если в условиях теоремы Пеано верно то любые 2 решения (1), определенные на Из (9) видно, что x C 1(a, b), а тогда дифференцирование (9) дает (1)1, а (1)2 очевидно.

В отличие от (1), для (9) естественно строить решение на замкнутом отрезке.

Пикар предложил для решения (1)=(9) следующий метод последовательных приближений. Обозначим x0(t) x0, а далее по индукции Теорема. (Коши-Пикара). Пусть в условиях теоремы Пеано функция f липшицева по x в любом выпуклом по x компакте K из области B, т. е.

Тогда для любого (t0, x0) B задача Коши (1) (она же (9)) имеет единственное решение на Int(IP), причем xk x на IP, где xk определены в (10).

Замечание. Ясно, что теорема сохраняет силу, если услоf вие (11) заменить на C(B), т. к. из этого условия слеx дует (11).

Замечание для преподавателя. На самом деле нужны не все выпуклые по x компакты, а только цилиндры, но формулировка сделана именно так, т. к. в § 5 потребуются более общие компакты, и к тому же именно при такой формулировке наиболее естественно смотрится Замечание.

Доказательство. Выберем произвольно (t0, x0) B и сделаем то же вспомогательное построение, что и перед теоремой Пеано. Докажем по индукции, что все xk определены и непрерывны на IP, причем их графики лежат в K1, а тем более в C. Для x0 это очевидно. Если это верно для xk1, то из (10) ясно, что xk определена и непрерывна на IP, причем а это и есть принадлежность K1.

Теперь докажем по индукции оценку на IP:

(C есть выпуклый по x компакт в B, и для него определена L(C)). При k = 0 это есть уж доказанная оценка (t, x1(t)) K1. Если (12) верно для k:= k 1, то из (10) имеем что и требовалось. Тем самым, ряд мажорируется на IP сходящимся числовым рядом и потому (это называется теоремой Вейерштрасса) равномерно на IP сходится к некоторой функции x C(IP). Но это и означает xk x на IP. Тогда в (10) на IP переходим к пределу и получаем (9) на IP, а значит (1) на Int(IP).

Единственность сразу получается по Следствию 1 из теоремы Осгуда, но полезно доказать ее и другим способом, использующим именно уравнение (9). Пусть имеются 2 решения x1,2 задачи (1) (т. е. (9)) на Int(IP). Как указывалось выше, тогда обязательно их графики лежат в K1, а тем более в C. Пусть t I1 = (t0, t0 +), где - некоторое положительное число. Тогда = 1/(2L(C)). Тогда = 0. Тем самым, x1 = x2 на I1.

Замечание для преподавателя. Есть еще доказательство единственности с помощью леммы Гронуолла, оно даже более естественно, т. к. проходит сразу глобально, но пока лемма Гронуолла не очень удобна, т. к. до линейных ОДУ ее трудно адекватно воспринять.

Замечание. Последнее доказательство единственности поучительно тем, что еще раз показывает в другом свете, как локальная единственность приводит к глобальной (что неверно для существования).

Упражнение. Доказать единственность сразу на всем IP, рассуждая от противного как в доказательстве теоремы Осгуда.

Важный частный случай (1) - линейные ОДУ, т. е. такие, в которых величина f (t, x) линейна по x:

В этом случае для попадания в условия общей теории следует требовать Таким образом, в данном случае в качестве B выступает полоса, а условие липшицевости (и даже дифференцируемости) по x выполнено автоматически: при всех t (a, b), x, y Rn имеем |f (t, x) f (t, y)| = |A(t)(x y)| |A(t)| · |(x y)|.

Если временно выделить компакт (a, b), то на нем получим |f (t, x) f (t, y)| L|(x y)|, где L = max |A|.

Из теорем Пеано и Осгуда или Коши-Пикара следует однозначная разрешимость задачи (13) на некотором интервале (Пеано-Пикара), содержащем t0. Более того, решение на этом интервале есть предел последовательных приближений Пикара.

Упражнение. Найти этот интервал.

Но оказывается, в данном случае все эти результаты можно доказать сразу глобально, т. е. на всем (a, b):

Теорема. Пусть верно (14). Тогда задача (13) имеет единственное решение на (a, b), причем последовательные приближения Пикара сходятся к нему равномерно на любом компакте (a, b).

Доказательство. Снова, как и в ТК-П, строим решение интегрального уравнения (9) с помощью последовательных приближений по формуле (10). Но теперь нам не нужно проверять условие попадания графика в конус и цилиндр, т. к.

f определена при всех x, пока t (a, b). Нужно лишь проверить, что все xk определены и непрерывны на (a, b), что очевидно по индукции.

Вместо (12) теперь покажем аналогичную оценку вида где N - некоторое число, зависящее от выбора . Первый шаг индукции для этой оценки другой (т. к. не связан с K1): при k = 0 |x1(t) x0| N ввиду непрерывности x1, а следующие шаги аналогичны (12).

Можно это и не расписывать, т. к. очевидно, но можно Снова замечаем xk x на , и x есть решение соответствующего (10) на . Но тем самым мы построили решение на всем (a, b), т. к. выбор компакта произволен. Единственность следует из теорем Осгуда или Коши- Пикара (и рассуждений выше о глобальной единственности).

Замечание. Как говорилось выше, ТК-П формально лишняя ввиду наличия теорем Пеано и Осгуда, но она полезна по 3 причинам - она:

1. позволяет связать задачу Коши для ОДУ с интегральным уравнением;

2. предлагает конструктивный метод последовательных приближений;

3. позволяет легко доказать глобальное существование для линейных ОДУ.

[хотя последнее можно вывести и из рассуждений § 4. ] Далее мы чаще всего будем ссылаться именно на нее.

Пример. x = x, x(0) = 1. Последовательные приближеk Значит, x(t) = e - решение исходной задачи на всей R.

Чаще всего не будет получаться ряд, но определенная конструктивность остается. Также можно оценить погрешность x xk (см. ).

Замечание. Из теорем Пеано, Осгуда и Коши-Пикара легко получить соответствующие теоремы для ОДУ высшего порядка.

Упражнение. Сформулировать понятия задачи Коши, решения системы и задачи Коши, все теоремы для ОДУ высших порядков, используя сведение к системам первого порядка, изложенное в § 1.

Несколько нарушая логику курса, но с целью лучшего усвоения и обоснования методов решения задач на практических занятиях, временно прервем изложение общей теории и займемся технической проблемой «явного решения ОДУ».

§ 3. Некоторые приемы интегрирования Итак, рассмотрим скалярное уравнение = f (t, x). Проdt стейшим частным случаем, который научились интегрировать, является так наз. УРП, т. е. уравнение, в котором f (t, x) = a(t)b(x). Формальный прием интегрирования УРП состоит в том, чтобы «разделить» переменные t и x (отсюда название): = a(t)dt, а затем взять интеграл:

чим x = B (A(t)). Такое формальное рассуждение содержит несколько моментов, требующих обоснования.

1. Деление на b(x). Мы считаем, что f непрерывна, так что a C(,), b C(,), т. е. в качестве B выступает прямоугольник (,) (,) (вообще говоря, бесконечный). Множества {b(x) 0} и {b(x) 0} открытые и потому являются конечными или счетными наборами интервалов. Между этими интервалами имеются точки или отрезки, где b = 0. Если b(x0) = 0, то задача Коши имеет решение x x0. Возможно, это решение не единственно, тогда в его области определения есть интервалы, где b(x(t)) = 0, но на них тогда можно делить на b(x(t)). Заметим попутно, что на этих интервалах функция B монотонна и потому можно брать B 1. Если же b(x0) = 0, то в окрестности t0 заведомо b(x(t)) = 0, и процедура законна. Таким образом, описанная процедура должна, вообще говоря, применяться при разбиении области определения решения на части.

2. Интегрирование левой и правой частей по разным переменным.

Способ I. Пусть мы хотим найти решение задачи Коd(t) ши (1) x = (t). Имеем: = a(t)b((t)), откуда - получили ту же формулу строго.

Способ II. Уравнение - это так наз. симметричная запись исходного ОДУ, т. е. такая, в которой не уточняется, какая переменная является независимой, а какая - зависимой. Такая форма имеет смысл как раз в рассматриваемом нами случае одного уравнения первого порядка ввиду теоремы об инвариантности формы первого дифференциала.

Здесь уместно разобраться подробнее с понятием дифференциала, проиллюстрировав его на примере плоскости {(t, x)}, кривых на ней, возникающих связях, степенях свободы, параметре на кривой.

Таким образом, уравнение (2) связывает дифференциалы t и x вдоль искомой ИК. Тогда интегрирование уравнения (2) способом, показанным в начале, совершенно законно - оно означает, если угодно, интегрирование по любой переменной, выбранной в качестве независимой.

В способе I мы это показали, выбрав в качестве независимой переменной t. Сейчас покажем это, выбрав в качестве независимой переменной параметр s вдоль ИК (т. к. это более наглядно показывает равноправность t и x). Пусть значение s = s0 соответствует точке (t0, x0).

Тогда имеем: = a(t(s))t (s)ds, что после дает Здесь следует сделать акцент на универсальности симметричной записи, пример: окружность не записывается ни как x(t), ни как t(x), но как x(s), t(s).

К УРП сводятся некоторые другие ОДУ первого порядка, что видно при решении задач (например, по задачнику ).

Еще один важный случай - линейное ОДУ:

Способ I. Вариация постоянной.

это частный случай более общего подхода, который будет рассмотрен в Части 2. Смысл в том, что поиск решения в специальном виде понижает порядок уравнения.

Решим сначала так наз. однородное уравнение:

В силу единственности либо x 0, либо всюду x = 0. В последнем случае (пусть для определенности x 0) получаем что (4) дает все решения (3)0 (в том числе нулевое и отрицательные).

В формуле (4) присутствует произвольная постоянная C1.

Метод вариации постоянной состоит в том, что решение (3) C1(t) = C0 + Видна (как и для алгебраических линейных систем) структура ОРНУ=ЧРНУ+ОРОУ (об этом подробнее в Части 2).

Если мы хотим решить задачу Коши x(t0) = x0, то надо найти C0 из данных Коши - легко получим C0 = x0.

Способ II. Найдем ИМ, т. е. такую функцию v, на которую надо умножить (3) (записанное так, что все неизвестные собраны в левой части: x a(t)x = b(t)), чтобы в левой части получилась производная от некоторой удобной комбинации.

Имеем: vx vax = (vx), если v = av, т. е. (такое уравнеt образом, (3) эквивалентно уравнению которое уже легко решается и дает (5). Если решается задача Коши, то в (6) удобно сразу брать определенный интеграл К линейным ОДУ (3) сводятся некоторые другие, как это видно при решении задач (например, по задачнику ). Подробнее важный случай линейных ОДУ (сразу для любых n) будет рассмотрен в Части 2.

Обе рассмотренных ситуации являются частным случаем так наз. УПД. Рассмотрим ОДУ первого порядка (при n = 1) в симметричной форме:

Как уже говорилось, (7) задает ИК в плоскости (t, x) без уточнения того, какая переменная считается независимой.

Если умножить (7) на произвольную функцию M (t, x), то получится эквивалентная форма записи того же уравнения:

Таким образом, одно и то же ОДУ имеет много симметричных записей. Среди них особую роль играют так наз. записи в полных дифференциалах, название УПД неудачное, т. к. это свойство не уравнения, а формы его записи т. е. такие, что левая часть (7) равна dF (t, x) с некоторой F.

Ясно, что (7) есть УПД тогда и только тогда, когда A = Ft, B = Fx с некоторой F. Как известно из анализа, для последнего необходимо и достаточно Мы не обосновываем строго технические моменты, например, гладкость всех функций. Дело в том, что § играет второстепенную роль - он вообще не нужен для других частей курса, и не хотелось бы тратить чрезмерные усилия на его развернутое изложение.

Таким образом, если (9) выполнено, то найдется такая F (она единственна с точностью до аддитивной постоянной), что (7) перепишется в виде dF (t, x) = 0 (вдоль ИК), т. е.

F (t, x) = const вдоль ИК, т. е. ИК суть линии уровня функции F. Получаем, что интегрирование УПД - тривиальная задача, т. к. поиск F по A и B, удовлетворяющим (9) не представляет труда. Если же (9) не выполнено, то следует найти так наз. ИМ M (t, x) такой, что (8) есть УПД, для чего необходимо и достаточно выполнения аналога (9), принимающего вид:

Как следует из теории УЧП первого порядка (которую мы рассмотрим в Части 3), уравнение (10) всегда имеет решение, так что ИМ существует. Таким образом, любое уравнение вида (7) имеет запись в виде УПД и потому допускает «явное» интегрирование. Но эти рассуждения не дают конструктивного метода в общем случае, т. к. для решения (10) вообще говоря требуется найти решение (7), которое мы и ищем. Тем не менее, имеется ряд приемов поиска ИМ, которые традиционно рассматриваются на практических занятиях (см. например ).

Заметим, что рассмотренные выше приемы решения УРП и линейных ОДУ являются частным случаем идеологии ИМ.

В самом деле, УРП dx/dt = a(t)b(x), записанное в симметричной форме dx = a(t)b(x)dt, решается умножением на ИМ 1/b(x), т. к. после этого превращается в УПД dx/b(x) = a(t)dt, т. е. dB(x) = dA(t). Линейное уравнение dx/dt = a(t)x + b(t), записанное в симметричной форме dx a(t)xdt b(t)dt, решается умножением на ИМ ще, практически все приемы решения ОДУ «в явном виде»

(за исключением большого блока, связанного с линейными системами) состоят в том, что с помощью специальных методов понижения порядка и замен переменных они сводятся к ОДУ первого порядка, которые затем сводятся к УПД, а они решаются применением основной теоремы дифференциального исчисления: dF = 0 F = const. Вопрос о понижении порядка традиционно включается в курс практических занятий (см. например ).

Скажем несколько слов об ОДУ первого порядка, не разрешенных относительно производной:

Как говорилось в § 1, можно пытаться разрешить (11) относительно x и получить нормальную форму, но это не всегда целесообразно. Нередко удобнее решать (11) непосредственно.

Рассмотрим пространство {(t, x, p)}, где p = x временно рассматривается как независимая переменная. Тогда (11) задает в этом пространстве поверхность {F (t, x, p) = 0}, которую можно записать параметрически:

Полезно вспомнить, что это значит, например с помощью сферы в R3.

Искомые решения будут соответствовать кривым на этой поверхности: t = s, x = x(s), p = x (s) - одна степень свободы теряется потому, что на решениях существует связь dx = pdt. Запишем эту связь в терминах параметров на поверхности (12): gu du + gv dv = h(fudu + fv dv), т. е.

Таким образом, искомые решения соответствуют кривым на поверхности (12), в которых параметры связаны уравнением (13). Последнее есть ОДУ в симметричной форме, которое можно решить.

Случай I. Если в какой-то области (gu hfu) = 0, то (12) тогда t = f ((v), v), x = g((v), v) дает параметрическую запись искомых кривых в плоскости {(t, x)} (т. е. мы проецируем на эту плоскость, т. к. p нам не нужно).

Случай II. Аналогично, если (gv hfv) = 0.

Случай III. В каких-то точках одновременно gu hfu = gv hfv = 0. Здесь требуется отдельный анализ, соответствует ли это множество каким-то решениям (они тогда называются особыми).

Пример. Уравнение Клеро x = tx + x 2. Имеем:

x = tp + p2. Параметризуем эту поверхность: t = u, p = v, x = uv + v 2. Уравнение (13) примет вид (u + 2v)dv = 0.

Случай I. Не реализуется.

Случай II. u + 2v = 0, тогда dv = 0, т. е. v = C = const.

Значит, t = u, x = Cu + C 2 - параметрическая запись ИК.

Легко записать ее в явном виде x = Ct + C 2.

Случай III. u + 2v = 0, т. е. v = u/2. Значит, t = u, x = u2/4 - параметрическая запись «кандидата в ИК».

Чтобы проверить, в самом ли деле это ИК, запишем ее в явном виде x = t2/4. Оказалось, что это (особое) решение.

Упражнение. Доказать, что особое решение касается всех остальных.

Это общий факт - график любого особого решения есть огибающая семейства всех остальных решений. На этом основано другое определение особого решения именно как огибающей (см. ).

Упражнение. Доказать, что для более общего уравнения Клеро x = tx (x) с выпуклой функцией особое решение имеет вид x = (t), где - преобразование Лежандра от, т. е. = ()1, или (t) = max(tv (v)). Аналогично для уравнения x = tx + (x).

Замечание. Подробнее и аккуратнее содержание § 3 изложено в учебнике .

Замечание для преподавателя. При чтении курса лекций может быть полезно расширить § 3, придав ему более строгую форму.

Теперь вернемся к основной канве курса, продолжив начатое в §§ 1,2 изложение.

§ 4. Глобальная разрешимость задачи Коши В § 2 мы доказали локальное существование решения задачи Коши т. е. лишь на некотором интервале, содержащем точку t0.

При некоторых дополнительных предположениях на f мы доказали и единственность решения, понимая ее как совпадение двух решений, определенных на одном интервале. В случае, если f линейна по x, получается глобальное существование, т. е. на всем интервале, где определены и непрерывны коэффициенты уравнения (системы). Однако, как показывает попытка применения к линейной системе общей теории, интервал Пеано-Пикара вообще говоря меньше того, на котором можно построить решение. Возникают естественные вопросы:

1. как определить тот максимальный интервал, на котором можно утверждать существование решения (1)?

2. всегда ли этот интервал совпадает с максимальным, на котором еще имеет смысл правая часть (1)1 ?

3. как аккуратно сформулировать понятие единственности решения без оговорок об интервале его определения?

О том, что ответ на вопрос 2 вообще говоря отрицательный (а точнее, требует большой аккуратности), говорит следующий Пример. x = x2, x(0) = x0. Если x0 = 0, то x 0 - других решений нет по теореме Осгуда. Если x0 = 0, то решаем полезно сделать рисунок). Интервал существования решения не может быть больше чем (, 1/x0) или (1/x0, +) соответственно при x0 0 и x0 0 (вторая ветвь гиперболы не имеет отношения к решению! - это типичная ошибка студентов). На первый взгляд, ничего в исходной задаче «не предвещало такого исхода». В § 4 мы найдем объяснение этому феномену.

На примере уравнения x = t2 + x2 проявляется типичная ошибка студентов об интервале существования решения. Здесь тот факт, что «уравнение везде определено», вовсе не влечет продолжимость решения на всю прямую. Это ясно даже с чисто житейской точки зрения, например в связи с юридическим законами и процессами, развивающимися под ними: если даже в законе явно не предписано прекращение существования какойлибо фирмы в 2015 году, то это вовсе не значит что эта фирма не разорится к этому году по внутренним причинам (хотя и действующим в рамках закона).

Для того, чтобы ответить на вопросы 1–3 (и даже чтобы четко их сформулировать), необходимо понятие непродолжаемого решения. Будем (как мы договаривались выше) рассматривать решения уравнения (1)1 как пары (, (tl (), tr ())).

Определение. Решение (, (tl (), tr ())) есть продолжение решения (, (tl (), tr ())), если (tl (), tr ()) (tl (), tr ()), и |(tl (),tr ()) =.

Определение. Решение (, (tl (), tr ())) - непродолжаемое, если оно не имеет нетривиальных (т. е. отличных от него) продолжений. (см. Пример выше).

Ясно, что особую ценность представляют именно НР, и в их терминах надо доказывать существование и единственность. Возникает естественный вопрос - всегда ли можно построить НР, базируясь на каком-то локальном решении, или на задаче Коши? Оказывается, да. Чтобы это понять, введем понятия:

Определение. Набор решений {(, (tl (), tr ()))} непротиворечивый, если любые 2 решения из этого набора совпадают на пересечении интервалов своего определения.

Определение. Непротиворечивый набор решений называется максимальным, если к нему нельзя добавить еще одно решение так, чтобы новый набор был непротиворечивым и содержал новые точки в объединении областей определений решений.

Ясно, что построение МНН эквивалентно построению НР, а именно:

1. Если имеется НР, то любой МНН, его содержащий, может быть лишь набором его сужений.

Упражнение. Проверить.

2. Если имеется МНН, то НР (, (t, t+)) строится так:

положим (t) = (t), где - любой элемент МНН, определенный в этой точке. Очевидно, что такая функция будет однозначно определена на всем (t, t+) (однозначность следует из непротиворечивости набора), и она в каждой точке совпадает со всеми элементами МНН, определенными в этой точке. Для любого t (t, t+) найдется какая-то, определенная в ней, а значит, и в ее окрестности, а т. к. в этой окрестности есть решение (1)1, то - тоже. Таким образом, есть решение (1)1 на всем (t, t+). Оно непродолжаемо, т. к. в противном случае нетривиальное продолжение можно было бы добавить к МНН вопреки его максимальности.

Построение МНН задачи (1) в общем случае (в условиях теоремы Пеано), когда нет локальной единственности, возможно (см. , ), но достаточно громоздко - оно основано на пошаговом применении теоремы Пеано с оценкой снизу длины интервала-продолжения. Таким образом, НР всегда существует. Мы обоснуем это только в случае, когда имеется локальная единственность, тогда построение МНН (а значит и НР) тривиально. Например, для определенности будем действовать в рамках ТК-П.

Теорема. Пусть выполняются условия ТК-П в области B Rn+1. Тогда для любой (t0, x0) B задача (1) имеет единственное НР.

Доказательство. Рассмотрим множество всех решений задачи (1) (оно не пусто по ТК-П). Оно образует МНН - непротиворечивый в силу локальной единственности, а максимальный ввиду того, что это множество вообще всех решений задачи Коши. Значит, НР существует. Оно единственно в силу локальной единственности.

Если требуется построить НР, основываясь на имеющемся локальном решении (1)1 (а не задачи Коши), то эта проблема в случае наличия локальной единственности сводится к задаче Коши: нужно выбрать любую точку на имеющейся ИК и рассмотреть соответствующую задачу Коши. НР этой задачи будет продолжением исходного решения в силу единственности. Если же единственности нет, то продолжение заданного решения осуществляется по процедуре, указанной выше.

Замечание. НР не может быть доопределено в концах интервала своего существования (независимо от условия единственности) так чтобы оно было решением и в концевых точках. Для обоснования надо уточнить, что понимать под решением ОДУ в концах отрезка:

1. Подход 1. Пусть под решением (1)1 на отрезке понимается функция, удовлетворяющая уравнению в концах в смысле односторонней производной. Тогда возможность указанного доопределения какого-то решения, например, на правом конце интервала его существования (t, t+] означает, что ИК имеет концевую точку внутри B, а C 1(t, t+]. Но тогда решив задачу Коши x(t+) = (t+) для (1)и найдя ее решение, получим, за правый конец t+ (в точке t+ обе односторонние производные существуют и равны f (t+, (t+)), значит, имеется обычная производная), т. е. не было НР.

2. Подход 2. Если же под решением (1)1 на отрезке понимается функция, лишь непрерывная на концах, но такая, что концы ИК лежат в B (пусть даже не требуется выполнение уравнения в концах) - получится все равно то же рассуждение, только в терминах соответствующего интегрального уравнения (см. подробно ).

Таким образом, сразу ограничиваясь лишь открытыми интервалами как множествами определения решений, мы не нарушали общности (а только избегали ненужной возни с односторонними производными и т. п.).

В итоге мы ответили на вопрос 3, поставленный в начале § 4: при выполнении условия единственности (например, Осгуда или Коши-Пикара) имеет место единственность НР решения задачи Коши. Если же условие единственности нарушено, то может иметься много НР задачи Коши, каждое со своим интервалом существования. Любое решение (1) (или просто (1)1) может быть продолжено до НР.

Чтобы ответить на вопросы 1,2, необходимо рассмотреть не переменную t отдельно, а поведение ИК в пространстве Rn+1. На вопрос о том, как ведет себя ИК «вблизи концов», отвечает Отметим, что интервал существования имеет концы, а ИК может их не иметь (конец ИК в B всегда не существует - см. Замечание выше, но может не существовать конец и на B - см. ниже).

Теорема. (о покидании компакта).

мы ее формулируем в условиях локальной единственности, но это не обязательно - см. , там ТПК сформулирована как критерий НР.

В условиях ТК-П график любого НР уравнения (1)1 покидает любой компакт K B, т. е. K B (t, t+): (t, (t)) K при t .

Пример. K = { (t, x) B | ((t, x), B) }.

Замечание. Таким образом, ИК НР вблизи t± приближается к B: ((t, (t)), B) 0 при t t± - процесс продолжения решения не может оборваться строго внутри B.

положительно, здесь в качестве упражнения полезно доказать положительность расстояния между непересекающимися замкнутыми множествами, одно из которых - компакт.

Доказательство. Фиксируем K B. Возьмем любое 0 (0, (K, B)). Если B = Rn+1, то по определению считаем (K, B) = +. Множество K1 = { (t, x) | ((t, x), K) 0 /2 } также есть компакт в B, поэтому существует F = max |f |. Выберем числа T и R доK статочно малыми так, что любой цилиндр вида Например, достаточно взять T 2 + R2 2/4. Тогда задача Коши вида имеет по ТК-П решение на интервале не уже чем (t T0, t + T0), где T0 = min(T, R/F) при всех (t, x) K.

Теперь в качестве искомого отрезка можно взять = . В самом деле, надо показать, что если (t, (t)) K, то t + T0 t t+ T0. Покажем, например, второе неравенство. Решение задачи Коши (2) с x = (t) существует вправо как минимум до точки t + T0, но является НР этой же задачи, которое ввиду единственности есть продолжение, поэтому t + T0 t+.

Таким образом, график НР всегда «доходит до B», так что интервал существования НР зависит от геометрии ИК.

Например:

Утверждение. Пусть B = (a, b)Rn (интервал конечный или бесконечный), f удовлетворяет условиям ТК-П в B, есть НР задачи (1) с t0 (a, b). Тогда либо t+ = b, либо |(t)| + при t t+ (и аналогично для t).

Доказательство. Итак, пусть t+ b, тогда t+ +.

Рассмотрим компакт K = B B. При любом R + по ТПК найдется (R) t+ такое, что при t ((R), t+) точка (t, (t)) K. Но поскольку t t+, то это возможно только за счет |(t)| R. Но это и означает |(t)| + при t t+.

В этом частном случае мы видим, что если f определена «при всех x», то интервал существования НР может быть меньше максимально возможного (a, b) только за счет стремления НР к при приближении к концам интервала (t, t+) (в общем случае - к границе B).

Упражнение. Обобщить последнее Утверждение на случай, когда B = (a, b), где Rn - произвольная область.

Замечание. Надо понимать, что |(t)| + не означает какое-либо k (t).

Тем самым мы ответили на вопрос 2 (ср. Пример в начале § 4): ИК доходит до B, но ее проекция на ось t может не доходить до концов проекции B на ось t. Остается вопрос 1 - есть ли какие-то признаки, по которым, не решая ОДУ, можно судить о возможности продолжения решения на «максимально широкий интервал»? Мы знаем, что для линейных ОДУ это продолжение всегда возможно, а в Примере в начале § 4 это невозможно.

Рассмотрим сначала для иллюстрации частный случай УРП при n = 1:

сходимость несобственного интеграла h(s)ds (несобственного ввиду = + или ввиду особенности h в точке) не зависит от выбора (,). Поэтому далее будем просто писать h(s)ds, когда речь идет о сходимости или расходимости этого интеграла.

это можно было сделать уже в теореме Осгуда и в связанных с ней утверждениях.

Утверждение. Пусть a C(,), b C(, +), обе функции положительны на своих интервалах. Пусть задача Коши (где t0 (,), x0) имеет НР x = x(t) на интервале (t, t+) (,). Тогда:

Следствие. Если a = 1, = +, то t+ = + Доказательство. (Утверждения). Заметим, что x монотонно возрастает.

Упражнение. Доказать.

Поэтому существует x(t+) = lim x(t) +. Имеем Случай 1. t+, x(t+) + - невозможно по ТПК, т. к. x есть НР.

Оба интеграла либо конечны, либо бесконечны.

Упражнение. Доделать доказательство.

Обоснование для преподавателя. В итоге получаем, что в случае 3: a(s)ds +, а в случае 4 (если он вообще реализуется) то же самое.

Таким образом, для простейших ОДУ при n = 1 вида x = f (x) продолжимость решений до определяется схоd Более подробно о структуре решений таких (так наз.

автономных) уравнений см. Часть 3.

Пример. Для f (x) = x, 1 (в частности, линейный случай = 1), и f (x) = x ln x можно гарантировать продолжимость (положительных) решений до +. Для f (x) = x и f (x) = x ln x при 1 решения «разрушаются за конечное время».

В общем случае ситуация определяется многими факторами и не так проста, но остается важность «скорости роста f по x». При n 1 формулировать критерии продолжимости затруднительно, но достаточные условия существуют. Как правило, они обосновываются с помощью так наз. априорных оценок решений.

Определение. Пусть h C(,), h 0. Говорят, что для решений некоторого ОДУ имеет место АО |x(t)| h(t) на (,), если любое решение этого ОДУ удовлетворяет этой оценке на той части интервала (,), где оно определено (т. е. не предполагается, что решения обязательно определены на всем интервале (,)).

Но оказывается, что наличие АО гарантирует, что решения будут все-таки определены на всем (,) (а значит удовлетворять оценке на всем интервале), так что априорная оценка превращается в апостериорную:

Теорема. Пусть задача Коши (1) удовлетворяет условиям ТК-П, а для ее решений имеет место АО на интервале (,) с некоторой h C(,), причем криволинейный цилиндр {|x| h(t), t (,)} B. Тогда НР (1) определено на всем (,) (а значит, удовлетворяет АО).

Доказательство. Докажем, что t+ (t аналогично). Допустим, t+. Рассмотрим компакт K = {|x| h(t), t } B. По ТПК при t t+ точка графика (t, x(t)) покидает K, что невозможно ввиду АО.

Таким образом, для доказательства продолжимости решения на некоторый интервал достаточно формально оценить решение на всем требуемом интервале.

Аналогия: измеримость функции по Лебегу и формальная оценка интеграла влекут реальное существование интеграла.

Приведем некоторые примеры ситуаций, как эта логика работает. Начнем с иллюстрации приведенного выше тезиса о «росте f по x достаточно медленном».

Утверждение. Пусть B = (,) Rn, f удовлетворяет условиям ТК-П в B, |f (t, x)| a(t)b(|x|), где a и b удовлетворяют условиям предыдущего Утверждения с = 0, причем = +. Тогда НР задачи (1) существует на (,) при всех t0 (,), x0 Rn.

Лемма. Если и непрерывны, (t0) (t0); при t t Доказательство. Заметим, что в окрестности (t0, t0 +): если (t0) (t0), то это сразу очевидно, а иначе (если (t0) = (t0) = 0) имеем (t0) = g(t0, 0) (t0), что снова дает требуемое.

Допустим теперь, что найдется t1 t0 такая, что (t1). Очевидными рассуждениями можно найти (t1) t2 (t0, t1] такую, что (t2) = (t2), и на (t0, t2). Но тогда в точке t2 имеем =, - противоречие.

g любая, и самом деле нужно лишь, C, и везде где =, там. Но чтобы не забивать голову, рассмотрим так, как в Лемме. Здесь строгое неравенство, но зато нелинейное ОДУ, а еще есть так наз.

Замечание для преподавателя. Неравенства такого рода как в Лемме называются неравенствами типа Чаплыгина (НЧ). Легко видеть, что в Лемме не нужно было условие единственности, так что такое «строгое НЧ» верно и в рамках теоремы Пеано. «Нестрогое НЧ» заведомо неверно без единственности, т. к. равенство - частный случай нестрогого неравенства. Наконец, «нестрогое НЧ» в рамках условия единственности верно, но удается доказать его лишь локально - с помощью ИМ.

Доказательство. (Утверждения). Докажем, что t+ = (t = аналогично). Допустим, t+, тогда по Утверждению выше |x(t)| + при t t+, так что можно считать x = 0 на . Если мы докажем АО |x| h на ) (шар для удобства замкнутый).

Задача Коши x(0) = 0 имеет единственное НР x = 0 на R.

Укажем достаточное условие на f, при котором существование НР на R+ можно гарантировать при всех достаточно малых x0 = x(0). Для этого предположим, что (4) имеет так наз. функцию Ляпунова, т. е. такую функцию V, что:

1. V C 1(B(0, R));

2. sgnV (x) = sgn|x|;

Проверим выполнение условий A и B:

A. Рассмотрим задачу Коши где |x1| R/2. Построим цилиндр B = R B(0, R) - область определения функции f, где она ограничена и класса C 1, так что существует F = max |f |. По ТК-П найдется решение (5), опредеB ленное на интервале (t1 T0, t1 + T0), где T0 = min(T, R/(2F)). Выбором достаточно большого T можно добиться T0 = R/(2F). Важно, что T0 не зависит от выбора (t1, x1), лишь бы |x1| R/2.

B. Пока решение (5) определено и остается в шаре B(0, R), мы можем провести следующее рассуждение. Имеем:

V (x(t)) = f (x(t)) · V (x(t)) 0, т. е. V (x(t)) V (x1) M (r) = max V (y). Ясно, что m и M не убывают, непреy| r рывны в нуле, m(0) = M (0) = 0, а вне нуля они положительны. Поэтому найдется R 0 такое, что M (R) m(R/2). Если |x1| R, то тогда V (x(t)) V (x1) M (R) m(R/2), откуда |x(t)| R/2. Заметим, что R R/2.

Теперь мы можем сформулировать теорему, которая из пп. A,B выводит глобальное существование решений (4):

Теорема. Если (4) имеет функцию Ляпунова в B(0, R), то при всех x0 B(0, R) (где R определена выше) НР задачи Коши x(t0) = x0 для системы (4) (с любым t0) определено до +.

Доказательство. В силу п. A решение можно построить на , где t1 = t0 + T0 /2. Это решение лежит в B(0, R) и к нему применм п. B, так что |x(t1)| R/2. Снова примеи няем п. A и получаем решение на , где t2 = t1 + T0/2, т. е. теперь решение построено на . К этому решению применяем п. B и получаем |x(t2)| R/2, и т. д. За счетное число шагов получим решение на § 5. Зависимость решений ОДУ от Рассмотрим задачу Коши где Rk. Если при каких-то, t0(), x0() эта задача Коши имеет НР, то оно есть x(t,). Возникает вопрос: как изучить зависимость x от? Этот вопрос важен в силу различных приложений (и возникнет особенно в Части 3), одно из которых (хотя возможно и не самое важное) - приближенное решение ОДУ.

Пример. Рассмотрим задачу Коши Ее НР существует и единственно, как это следует из ТК-П, но выразить его в элементарных функциях невозможно. Как тогда исследовать его свойства? Один из способов таков: заметим, что (2) «близка» к задаче y = y, y(0) = 1, решение которой легко находится: y(t) = et. Можно предположить, что x(t) y(t) = et. Четко эта идея оформляется так: рассмотрим задачу При = 1/100 это (2), а при = 0 это задача для y. Если мы докажем, что x = x(t,) непрерывна по (в определенном смысле), то получим, что x(t,) y(t) при 0, а это и означает x(t, 1/100) y(t) = et.

Правда, остается неясным, насколько близко x к y, но доказательство непрерывности x по является первым необходимым шагом, без которого невозможно продвижение дальше.

Аналогично является полезным и исследование зависимости от параметров в начальных данных. Как мы увидим позже, эта зависимость легко сводится к зависимости от параметра в правой части уравнения, так что пока ограничимся задачей вида Пусть f C(D), где D - область в Rn+k+1; f липшицева по x в любом выпуклом по x компакте из D (наприf мер, достаточно C(D)). Фиксируем (t0, x0). Обозначим M = Rk | (t0, x0,) D - это множество допустимых (при которых задача (4) имеет смысл). Отметим, что M открыто. Будем считать, что (t0, x0) подобраны так, что M =. По ТК-П для всех M существует единственное НР задачи (4) - функция x = (t,), определенная на интервале t (t(), t+()).

Строго говоря, поскольку зависит от многих переменных, надо записывать (4) так:

где (5)1 выполнено на множестве G = { (t,) | M, t (t (), t+()) }. Впрочем, отличие значков d/dt и /t чисто психологическое (их употребление зависит от такого же психологического понятия «фиксировать »). Таким образом, множество G является естественным максимальным множеством определения функции, и вопрос о непрерывности следует исследовать именно на G.

Нам потребуется вспомогательный результат:

Лемма. (Гронуолла). Пусть функция C, 0, удовлетворяет для всех t оценке Тогда при всех верно Замечание для преподавателя. При чтении лекции можно и не запоминать эту формулу заранее, а оставить место, а после вывода вписать.

Но потом держать эту формулу на виду, т. к. нужно будет в ТоНЗ.

h = A + B Ah + B, откуда откуда получаем требуемое.

Смысл этой леммы: дифференциальные уравнение и неравенство, связь между ними, интегральные уравнение и неравенство, связь между ними всеми, дифференциальная и интегральная леммы Гронуолла и связь между ними.

Замечание. Можно доказать эту лемму и при более общих предположениях о, A и B, но это нам пока не нужно, а будет сделано в курсе УМФ (так, легко видеть, что мы не использовали непрерывность A и B, и т. п.).

Теперь мы готовы четко сформулировать результат:

Теорема. (ТоНЗ) При сделанных предположениях о f и в обозначениях введенных выше можно утверждать, что G открыто, а C(G).

Замечание. Ясно, что множество M вообще говоря не связно, так что и G может быть не связным.

Замечание для преподавателя. Однако если бы мы включили (t0, x0) в число параметров, то связность была бы - так сделано в .

Доказательство. Пусть (t,) G. Надо доказать, что:

Пусть для определенности t t0. Имеем: M, так что (t,) определена на (t(), t+()) t, t0, а значит на некотором отрезке таком, что t точка (t, (t,),) пробегает компактную кривую D (параллельную гиперплоскости { = 0}). Значит, множество вида Определение нужно держать перед глазами постоянно!

тоже есть компакт в D при достаточно малых a и b (выпуклый по x), так что на функция f липшицева по x:

[Эту оценку нужно держать перед глазами постоянно! ] и равномерно непрерывна по всем переменным, а тем более |f (t, x, 1)f (t, x, 2)| (|12|), (t, x, 1), (t, x, 2).

[Эту оценку нужно держать перед глазами постоянно! ] Рассмотрим произвольное 1 такое, что |1 | bи соответствующее решение (t, 1). Множество { = 1} есть компакт в D { = 1}, причем при t = t0 точка (t, (t, 1), 1) = (t0, x0, 1) = (t0, (t0,), 1) { = 1}, а по ТПК при t t+(1) точка (t, (t, 1), 1) покидает { = 1}. Пусть t2 t0 (t2 t+(1)) - самое первое значение, при котором упомянутая точка выходит на.

По построению, t2 (t0, t1]. Нашей задачей будет показать, что t2 = t1 при дополнительных ограничениях на. Пусть теперь t3 . Имеем (при всех таких t3 все величины используемые далее определены по построению):

(t3, 1)(t3,) = f (t, (t, 1), 1)f (t, (t,),) dt, Попробуем доказать, что эта величина по модулю меньше a.

где подынтегральная функция оценивается так:

±f (t, (t,),), а не ±f (t, (t,),), т. к. на разность |(t, 1) (t,)| как раз нет оценки пока, так что (t, (t, 1),) неясно, а вот для |1 | есть, и (t, (t,), 1) известно.

так что в итоге |(t3, 1)(t3,)| K|(t, 1)(t,)|+(|1|) dt.

Таким образом, функция (t3) = |(t3, 1) (t3,)| (это непрерывная функция) удовлетворяет условиям леммы Гронуолла с A(s) K 0, B(s) (|1 |), T = t2, = 0, так что по этой лемме получаем [Эту оценку нужно держать перед глазами постоянно! ] если брать |1 | 1 (t1). Будем считать, что 1(t1) b. Все наши рассуждения верны при всех t3 .

Таким образом, при таком выборе 1, когда t3 = t2, все же |(t2, 1) (t2,)| a, а также |1 | b. Значит, (t2, (t2, 1), 1) возможно только за счет того, что t2 = t1. Но это в частности означает, что (t, 1) определено на всем отрезке , т. е. t1 t+(1), и все точки вида (t, 1) G, если t , |1 | 1 (t1).

Т. е. хотя t+ зависит от, но отрезок остается левее t+() при, достаточно близких к. На рисунке Аналогично при t t0 показывается существование чисел t4 t0 и 2(t4). Если t t0, то точка (t,) B(, 1) G, аналогично при t t0, а если t = t0, то применимы оба случая, так что (t0,) B(, 3) G, где 3 = min(1, 2). Важно, что при фиксированном (t,) можно найти t1(t,) так, что t1 t 0 (или соответственно t4), и 1(t1) = 1(t,) 0 (или соответственно 2), так что выбор 0 = 0(t,) ясен (т. к. в полученную цилиндрическую окрестность можно вписать шар).

на самом деле доказано более тонкое свойство: если НР определено на некотором отрезке, то на нем определены все НР с достаточно близкими параметрами (т. е.

все мало возмущенные НР). Впрочем, и наоборот, это свойство следует из открытости G, как будет показано ниже, так что это эквивалентные формулировки.

Тем самым мы доказали п. 1.

Если мы находимся в указанном цилиндре в пространстве то верна оценка при |1 | 4(, t,). В то же время |(t3,) (t,)| при |t3 t| 5(, t,) ввиду непрерывности по t. В итоге при (t3, 1) B((t,),) имеем |(t3, 1) (t,)|, где = min(4, 5). Это и есть п. 2.

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ Институт подготовки научно-педагогических и научных кадров ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ИСПЫТАНИЙ ПО СПЕЦИАЛЬНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ СОЦИОЛОГИЯ УПРАВЛЕНИЯ МОСКВА - 2014 1.ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Настоящая программа ориентирована на подготовку к сдаче вступительных испытаний в аспирантуру по...»

« Амурский государственный университет Кафедра Психологии и педагогики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ КОНСУЛЬТАТИВНАЯ ПСИХОЛОГИЯ Основной образовательной программы по направлению бакалавриата 030300.62 Психология Благовещенск 2012 УМКд разработан Рассмотрен и рекомендован на заседании кафедры Психологии и педагогики Протокол...»

« автомобильное хозяйство) Омск – 2009 3 Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) Кафедра инженерной педагогики МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по изучению дисциплины Педагогические технологии для студентов специальности 050501 - Профессиональное обучение (автомобили и автомобильное...»

«Серия Учебная книга Г.С.Розенберг, Ф.Н.Рянский ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРИКЛАДНАЯ ЭКОЛОГИЯ Учебное пособие Рекомендовано Учебно-методическим объединением по классическому университетскому образованию Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений по экологическим специальностям 2-е издание Нижневартовск Издательство Нижневартовского педагогического института 2005 ББК 28.080.1я73 Р64 Рецензенты: доктор биол. наук, профессор В.И.Попченко (Институт экологии...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. В.П. Астафьева Е.М. Антипова МАЛЫЙ ПРАКТИКУМ ПО БОТАНИКЕ Электронное издание КРАСНОЯРСК 2013 ББК 28.5 А 721 Рецензенты: Васильев А.Н., д.б.н., профессор КГПУ им. В.П. Астафьева; Ямских Г.Ю., д.г.н., профессор СФУ Третьякова И.Н., д.б.н., профессор, ведущий сотрудник Института леса...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное Государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Психологии и педагогики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ ОСНОВЫ ПЕДИАТРИИ И ГИГИЕНЫ Основной образовательной программы по направлению подготовки 050400.62 Психолого-педагогическое образование Благовещенск 2012 1 УМКд разработан Рассмотрен и рекомендован на заседании кафедры Психологии и...»

« проверке заданий с развернутым ответом Государственная (итоговая) аттестация выпускников IX классов общеобразовательных учреждений (в новой форме) 2013 год ГЕОГРАФИЯ Москва 2013 Автор-составитель: Амбарцумова Э.М. Повышение объективности результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений (в...»

«Практические рекомендации по использованию справочно-информационного и методического контента для преподавания русского языка как государственного языка Российской Федерации. Практические рекомендации адресованы преподавателям русского языка (в том числе и как неродного). Содержание: Практические рекомендациями и методические указания по отбору 1. содержания материала для учебных и воспитательных занятий, посвященных проблемам функционирования русского языка как государственного языка...»

«Е.В.МУРЮКИНА РАЗВИТИЕ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ И МЕДИАКОМПЕТЕНТНОСТИ СТУДЕНТОВ В ПРОЦЕССЕ АНАЛИЗА ПРЕССЫ учебное пособие для вузов Таганрог 2008 2 Мурюкина Е.В. Развитие критического мышления и медиакомпетентности студентов в процессе анализа прессы. Учебное пособие для вузов. Таганрог: НП Центр развития личности, 2008. 298 c. В учебном пособии рассматриваются вопросы развития критического мышления и медиакомпетентности студентов в процессе медиаобразовательных занятий. Поскольку пресса сегодня...»

«О. П. Головченко О ФОРМИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ЧЕЛОВЕКА Часть II П ЕД АГ ОГИК А ДВИ ГАТ ЕЛЬН ОЙ АКТИ ВН ОСТИ 3 Учебное издание Олег Петрович Головченко ФОРМИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКОЙ АКТИВНОСТИ ЧЕЛОВЕКА Учебное пособие Часть II Педагогика двигательной активности Издание второе, исправленное *** Редактор Н.И. Косенкова Компьютерную верстку выполнила Д.В.Смоляк и С.В. Потапова *** Подписано в печать 23.11. Формат 60 х 90/ 1/16. Бумага писчая Гарнитура Таймс Оперативный способ печати Усл. п.л....»

«ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА-ЛЕНИНА Электронные библиотеки научных и образовательных ресурсов. Учебно-методическое пособие Абросимов А.Г. Лазарева Ю.И. Казань 2008 Электронные библиотеки научных и образовательных ресурсов. Учебно-методическое пособие по направлению Электронные образовательные ресурсы. - Казань: КГУ, 2008. Учебно-методическое пособие публикуется по решению...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет Акбулакский филиал Кафедра педагогики В.А. ТЕЦКОВА МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ИЗО В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Оренбургский государственный университет...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Н.И. Джегутанова ДЕТСКАЯ ЛИТЕРАТУРА СТРАН ИЗУЧАЕМОГО ЯЗЫКА УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС Ставрополь 2010 1 Печатается по решению УДК 82.0 редакционно-издательского совета ББК 83.3 (0) ГОУ ВПО Ставропольского государственного Д педагогического института Рецензенты:...»

«ПОЛОЖЕНИЕ о новой системе внутришкольной оценки качества образования МБОУ Камышинская СОШ 1.Общие положения 1.1. Положение о внутришкольной системе оценки качества образования (далее – положение) устанавливает единые требования при реализации внутришкольной системы оценки качества образования (далее – ШСОКО) в муниципальном бюджетном общеобразовательном учреждении Камышинской средней общеобразовательной школы (далее – школа). 1.2. Практическое осуществление ШСОКО строится в соответствии с...»

«МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ КАФЕДРА ВОП С КЛИНИЧЕСКОЙ АЛЛЕРГОЛОГИЕЙ УТВЕРЖДАЮ Проректор по учебной работе Проф. О.Р.Тешаев _ 2012г. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОСТАВЛЕНИЮ УЧЕБНО- МЕТОДИЧЕСКИХ РАЗРАБОТОК ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ЕДИНОЙ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ Методические указания для преподавателей медицинских ВУЗов Ташкент- 2012 МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ЦЕНТР РАЗВИТИЯ МЕДИЦИНСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ ТАШКЕНТСКАЯ МЕДИЦИНСКАЯ...»

«Федеральное агентство по образованию Горно-Алтайский государственный университет А. П. Макошев ПОЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ И ГЕОПОЛИТИКА Учебно- методическое пособие Горно-Алтайск РИО Горно-Алтайского госуниверситета 2006 Печатается по решению редакционно–издательского Совета Горно-Алтайского государственного университета Макошев А. П. ПОЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОГРАФИЯ И ГЕОПОЛИТИКА. Учебно-методическое пособие. – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2006.-103 с. Учебно-методическое пособие разработано согласно учебному...»

«А.В. Новицкая, Л.И. Николаева ШКОЛА БУДУЩЕГО СОВРЕМЕННАЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ПРОГРАММА Ступени жизни 1 КЛАСС МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ Москва 2009 УДК 371(075.8) ББК 74.00 Н 68 Авторские права защищены юридически, ссылка на авторов обя зательна. Новицкая А.В., Николаева Л.И. Н 68 Современная образовательная программа Ступени жизни. – М.: Авваллон, 2009. – 176 с. ISBN 978 5 94989 141 4 Эта брошюра адресована в первую очередь педагогам, но, несом ненно, своей информацией...»

« Учебно-методический комплекс РОССИЙСКОЕ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСКОЕ ПРАВО 030500 – Юриспруденция Москва 2013 Автор – составитель кафедры гражданско-правовых дисциплин Рецензент – Учебно-методический комплекс рассмотрен и одобрен на заседании кафедры Гражданско-правовых дисциплин протокол № от _2013г. Российское предпринимательское право: учебно-методический...»

«А. А. Ямашкин В. В. Руженков Ал. А. Ямашкин ГЕОГРАФИЯ РЕСПУБЛИКИ МОРДОВИЯ Учебное пособие САРАНСК ИЗДАТЕЛЬСТВО МОРДОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2004 УДК 91 (075) (470.345) ББК Д9(2Р351–6Мо) Я549 Рецензенты: кафедра физической географии Воронежского государственного педагогического университета; доктор географических наук профессор А. М. Носонов; учитель школы-комплекса № 39 г. Саранска А. В. Леонтьев Печатается по решению учебно-методического совета факультета довузовской подготовки и среднего...»

Данный курс лекций читается более 10 лет для студентов теоретической и прикладной математики в Дальневосточном государственном университете. Соответствует стандарту II поколения но данным специальностям. Рекомендован студентам и магистрантам математических специальностей.

Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши уравнения первого порядка.
В настоящем параграфе мы, наложив определенные ограничения на правую часть дифференциального уравнения первого порядка, докажем существование и единственность решения, определяемого начальными данными (х0,у0). Первое доказательство существования решения дифференциальных уравнений принадлежит Коши; приведенное ниже доказательство дано Пикаром; оно производится при помощи метода последовательных приближений.

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Уравнения первого порядка
1.0. Введение
1.1. Уравнения с разделяющимися переменными
1.2. Однородные уравнения
1.3. Обобщенные однородные уравнения
1.4. Линейные уравнения первого порядка и приводящиеся к ним
1.5. Уравнение Бернулли
1.6. Уравнение Риккати
1.7. Уравнение в полных дифференциалах
1.8. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя
1.9. Уравнения, не разрешенные относительно производной
1.10. Теорема Коши о существовании и единственности решения задачи Коши уравнения первого порядка
1.11. Особые точки
1.12. Особые решения
2. Уравнения высших порядков
2.1. Основные понятия и определения
2.2. Типы уравнений n-го порядка, разрешимые в квадратурах
2.3. Промежуточные интегралы. Уравнения, допускающие понижения порядка
3. Линейные дифференциальные уравнения п го порядка
3.1. Основные понятия
3.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения п го порядка
3.3. Понижение порядка линейного однородного уравнения
3.4. Неоднородные линейные уравнения
3.5. Понижение порядка в линейном неоднородном уравнении
4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
4.1. Однородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами
4.2. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
4.3. Линейные уравнения второго порядка с колеблющимися решениями
4.4. Интегрирование посредством степенных рядов
5. Линейные системы
5.1. Неоднородные и однородные системы. Некоторые свойства решений линейных систем
5.2. Необходимые и достаточные условия линейной независимости к решений линейной однородной системы
5.3. Существование фундаментальной матрицы. Построение общего решения линейной однородной системы
5.4. Построение всего множества фундаментальных матриц линейной однородной системы
5.5. Неоднородные системы. Построение общего решения методом вариации произвольных постоянных
5.6. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
5.7. Некоторые сведения из теории функций от матриц
5.8. Построение фундаментальной матрицы системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами в общем случае
5.9. Теорема существования и теоремы о функциональных свойствах решений нормальных систем дифференциальных уравнений первого порядка
6. Элементы теории устойчивости
6.1
6.2. Простейшие типы точек покоя
7. Уравнения в частных производных 1-го порядка
7.1. Линейное однородное уравнение в частных производных 1-го порядка
7.2. Неоднородное линейное уравнение в частных производных 1 порядка
7.3. Система двух уравнений в частных производных с 1 неизвестной функцией
7.4. Уравнение Пфаффа
8. Варианты контрольных заданий
8.1. Контрольная работа №1
8.2. Контрольная работа №2
8.3. Контрольная работа №3
8.4. Контрольная работа №4
8.5. Контрольная работа №5
8.6. Контрольная работа №6
8.7. Контрольная работа №7
8.8. Контрольная работа №8.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям, Шепелева Р.П., 2006 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ "МИФИ" Т. И. Бухарова, В. Л. Камынин, А. Б. Костин, Д. С. Ткаченко Курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям Рекомендовано УМО “Ядерные физика и технологии” в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений Москва 2011 УДК 517.9 ББК 22.161.6 Б94 Бухарова Т.И., Камынин В.Л., Костин А.Б., Ткаченко Д.С. Курс лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учебное пособие. – М.: НИЯУ МИФИ, 2011. – 228 с. Учебное пособие создано на основе курса лекций, читаемого авторами в Московском инженерно-физическом институте на протяжении многих лет. Предназначено для студентов НИЯУ МИФИ всех факультетов, а также для студентов вузов с повышенной математической подготовкой. Пособие подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. Рецензент: доктор физ.-мат. наук Н.А. Кудряшов. ISBN 978-5-7262-1400-9 © Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2011 Оглавление Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений Основные понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çадача Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 II. Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения 1-го порядка Òеорема единственности для ОÄУ первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Суùествование решения задачи Коши для ОÄУ первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Продолæение решения для ОÄУ первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Задача Коши для нормальной системы n-го порядка Основные понятия и некоторые вспомогательные свойства вектор-функöий. . . . Åдинственность решения задачи Коши для нормальной системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . Понятие метрического пространства. Принöип сæимаюùих отобраæений. . . . . . Òеоремы суùествования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 38 43 44 48 IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах Уравнение с разделяюùимися переменными. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Линейные ОÄУ первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Однородные уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение Áернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение в полных дифференöиалах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 58 63 64 65 V. 67 Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной Òеорема суùествования и единственности решения ОÄУ, не разрешенного относительно производной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Особое решение. Äискриминантная кривая. Огибаюùая. . . . . . . . . . . . . . . . Ìетод введения параметра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение Лагранæа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение Клеро. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. Системы линейных ОДУ Основные понятия. Òеорема суùествования и единственности решения задачи Однородные системы линейных ОÄУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Определитель Âронского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Комплексные решения однородной системы. Переход к веùественной ÔСР. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Íеоднородные системы линейных ОÄУ. Ìетод вариаöии постоянных. . . . . Однородные системы линейных ОÄУ с постоянными коýффиöиентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Показательная функöия от матриöы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 70 77 79 81 85 Коши 85 . . . 87 . . . 91 . . . . . . 96 97 . . . 100 . . . 111 Íеоднородные системы линейных ОÄУ с постоянными коýффиöиентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VII. Линейные ОДУ высокого порядка Сведение к системе линейных ОÄУ. Òеорема суùествования и единственности решения задачи Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Однородное линейное ОÄУ высокого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Свойства комплексных решений однородного линейного ОÄУ высокого порядка. Переход от комплексной ÔСР к веùественной. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Íеоднородные линейные ОÄУ высокого порядка. Ìетод вариаöии постоянных. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Однородные линейные ОÄУ высокого порядка с постоянными коýффиöиентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Íеоднородное линейное ОÄУ высокого порядка с постоянными коýффиöиентами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VIII. Теория устойчивости Основные понятия и определения, относяùиеся к устойчивости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Устойчивость решений линейной системы. . . . . . Òеоремы Ляпунова об устойчивости. . . . . . . . . . Устойчивость по первому приблиæению. . . . . . . Поведение фазовых траекторий вблизи точки покоя 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. Первые интегралы систем ОДУ 198 Первые интегралы автономных систем обыкновенных дифференöиальных уравнений198 Íеавтономные системы ОÄУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Симметричная запись систем ОÄУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X. Уравнения в частных производных первого порядка Однородные линейные уравнения в частных производных первого порядка Çадача Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка. . . . Çадача Коши для квазилинейного уравнения в частных производных первого порядка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4- 210 . . . . . 210 . . . . . 212 . . . . . 216 . . . . . 223 . . . . . 227 ПРЕДИСЛОВИЕ При подготовке книги авторы ставили своей целью собрать в одном месте и изложить в доступной форме сведения по большинству вопросов, связанных с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому помимо материала, входящего в обязательную программу курса обыкновенных дифференциальных уравнений, читаемого в НИЯУ МИФИ (и в других вузах), в пособие вошли и дополнительные вопросы, на которые, как правило, не хватает времени на лекциях, но которые будут полезны для лучшего понимания предмета и пригодятся нынешним студентам в их дальнейшей профессиональной деятельности. Ко всем утверждениям предлагаемого пособия даны математически строгие доказательства. Эти доказательства, как правило, не являются оригинальными, но все переработаны в соответствии со стилем изложения математических курсов в МИФИ. По широко распространенному среди преподавателей и ученых мнению, математические дисциплины следует изучать с полными и подробными доказательствами, двигаясь постепенно от простого к сложному. Авторы данного пособия придерживаются такого же мнения. Приводимые в книге теоретические сведения подкрепляются разбором достаточного количества примеров, что, как мы надеемся, упростит читателю изучение материала. Пособие адресовано студентам вузов с повышенной математической подготовкой, в первую очередь, студентам НИЯУ МИФИ. При этом оно также будет полезно всем, кто интересуется теорией дифференциальных уравнений и использует этот раздел математики в своей работе. -5- Глава I. Введение в теорию обыкновенных дифференциальных уравнений 1. 1. Основные понятия Всюду в пособии через ha, bi будем обозначать любое из множеств (a, b), , (a, b], , получим x0 2 Zx ln 4C + 3 u(t)v(t) dt5 Zx v(t) dt. ln C 6 x0 x0 После потенцирования последнего неравенства и применения (2.3) имеем 2 x 3 Zx Z u(x) 6 C + u(t)v(t) dt 6 C exp 4 v(t) dt5 x0 x0 при всех x 2 [ 1, 1]. Оценим разность jf (x, y2) f (x, y1)j = sin x y1 y2 6 при всех (x, y) 2 G. Таким образом, f удовлетворяет условию Липшица с L = 1 на самом деле даже с L = sin 1 по y. Однако производной fy0 в точках (x, 0) 6= (0, 0) даже не существует. Следующая теорема, интересная сама по себе, позволит доказать единственность решения задачи Коши. Теорема 2. 1 (Об оценке разности двух решений). Пусть G область 2 в R , а f (x, y) 2 C G и удовлетворяет в G условию Липшица по y с константой L. Если y1 , y2 два решения уравнения y 0 = f (x, y) на отрезке , то справедливо неравенство (оценка): jy2 (x) y1 (x)j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) 6 y1 при всех x 2 . -19- y2 Доказательство. По определению 2. 2 решения уравнения (2.1) получим, что 8 x 2 точки x, y1 (x) и x, y2 (x) 2 G. Для всех t 2 имеем верные равенства y10 (t) = f t, y1 (t) и y20 (t) = f t, y2 (t) , которые проинтегрируем по t на отрезке , где x 2 . Интегрирование законно, так как правая и левая части – это непрерывные на функции. Получим систему равенств Zx y1 (x) y1 (x0) = x0 Zx y2 (x) y2 (x0) = f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. x0 Вычитая одно из другого, имеем jy1 (x) y2 (x)j = y1 (x0) y2 (x0) + Zx h f t, y1 (t) i f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + f t, y1 (t) f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt. x0 Обозначим C = y1 (x0) y2 (x0) > 0, v(t) = L > 0, u(t) = y1 (t) Тогда по неравенству Гронуолла–Áеллмана получим оценку: jy2 (x) y1 (x)j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) y2 (t) > 0. при всех x 2 . Теорема доказана. В качестве следствия доказанной теоремы получим теорему единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2). Ñледствие 1. Пусть функция f (x, y) 2 C G и удовлетворяет в G условию Липшица по y, а функции y1 (x) и y2 (x) два решения уравнения (2.1) на одном и том же отрезке , причем x0 2 . Если y1 (x0) = y2 (x0), то y1 (x) y2 (x) на . Доказательство. Рассмотрим два случая. -20- 1. Пусть x > x0 , тогда из теоремы 2. 1 следует, что h i т.е. y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L(x x0) , y2 (x) при x > x0 . 2. Пусть x 6 x0 , сделаем замену t = x, тогда yi (x) = yi (t) y~i (t) при i = 1, 2. Поскольку x 2 , то t 2 [ x0 , x1 ] и выполнено равенство y~1 (x0) = y~2 (x0). Выясним, какому уравнению удовлетворяют y~i (t). Верна следующая цепочка равенств: d y~i (t) = dt d~ yi (x) = dx f x, yi (x) = f (t, y~i (t)) . Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования сложной функции и тем, что yi (x) – это решения уравнения (2.1). Так как функция f~(t, y) f (t, y) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y, то по теореме 2. 1 имеем, что y~1 (t) y~2 (t) на [ x0 , x1 ], т.е. y1 (x) y2 (x) на . Объединяя оба рассмотренных случая, получим утверждение следствия. Ñледствие 2. (о непрерывной зависимости от начальныõ данныõ) Пусть функция f (x, y) 2 C G и удовлетворяет в G условию Липшица по y с константой L, а функции y1 (x) и y2 (x) это решения уравнения (2.1), определенные на . Îбозначим l = x1 x0 и δ = y1 (x0) y2 (x0) . Òогда при 8 x 2 справедливо неравенство y1 (x) y2 (x) 6 δ eL l . Доказательство следует сразу из теоремы 2. 1. Неравенство из следствия 2 называют оценкой устойчивости решения по начальным данным. Смысл его заключается в том, что если при x = x0 решения «близки», то и на конечном отрезке они тоже «близки». Теорема 2. 1 дает важную для приложений оценку модуля разности двух решений, а следствие 1 – единственность решения задачи Коши (2.1), (2.2). Имеются также и другие достаточные условия единственности, одно из которых мы сейчас приведем. Как отмечалось выше, геометрически единственность решения задачи Коши означает, что через точку (x0 , y0) области G может проходить не более одной интегральной кривой уравнения (2.1). Теорема 2. 2 (Осгуда о единственности). Пусть функция f (x, y) 2 C G и для 8 (x, y1), (x, y2) 2 G выполняется неравенство f (x, y1) f (x, y2) 6 6 ϕ jy1 y2 j , где ϕ(u) > 0 при u 2 (0, β], ϕ(u) непрерывна, а Zβ du ! +1, когда ε ! 0+. Òогда через точку (x0 , y0) области ϕ(u) ε G проходит не более одной интегральной кривой (2.1). -21- Доказательство. Пусть существует два решения y1 (x) и y2 (x) уравнения (2.1), такие, что y1 (x0) = y2 (x0) = y0 , обозначим z(x) = y2 (x) y1 (x). dyi Так как = f (x, yi), при i = 1, 2, то для z(x) справедливо равенство dx dz = f (x, y2) f (x, y1). dx dz = f (x, y2) f (x, y1) jzj 6 ϕ jzj jzj, т.е. справедливо Тогда z dx 1 d неравенство jzj2 6 ϕ jzj jzj, из которого при jzj 6= 0 следует такое 2 dx двойное неравенство: Zjz2 j Zx2 dx 6 x1 2 d jzj 6 2 jzjϕ jzj Zx2 dx, (2.5) x1 jz1 j где интегрирование проводится по любому отрезку , на котором z(x) > 0, а zi = z(xi), i = 1, 2. По предположению, z(x) 6 0 и, кроме того, непрерывна, поэтому такой отрезок найдется, выберем его и фиксируем. Рассмотрим множества n o X1 = x x < x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x > x2 и z(x) = 0 . Õотя бы одно из этих множеств не пусто, так как z(x0) = 0 и x0 62 . Пусть, например, X1 6= ∅, оно ограничено сверху, поэтому 9 α = sup X1 . Отметим, что z(α) = 0, т.е. α 2 X1 , поскольку предположив, что z(α) > 0, в силу непрерывности будем иметь z(x) > 0 на некотором интервале α δ1 , α + δ1 , а это противоречит определению α = sup X1 . Из условия z(α) = 0 следует, что α < x1 . По построению z(x) > 0 при всех x 2 (α, x2 ], а в силу непрерывности z(x) ! 0+ при x ! α + 0. Повторим рассуждения при выводе (2.5), интегрируя по отрезку [α + δ, x2 ], где x2 выбрано выше и фиксировано, а δ 2 (0, x2 α) – произвольное, получим неравенство: Zjz2 j Zx2 dx 6 α+δ d jzj2 6 2 jzjϕ jzj jz(α+δ)j Zx2 dx. α+δ В этом двойном неравенстве устремим δ ! 0+, тогда z(α+δ) ! z(α) = 0, из Zjz2 j d jzj2 ! +1, по условию непрерывности z(x), а тогда интеграл 2 jzjϕ jzj теоремы. jz(α+δ)j -22- Правая же часть неравенства Rx2 dx = x2 α δ 6 x2 α ограничена α+δ сверху конечной величиной, что одновременно невозможно. Полученное противоречие доказывает теорему. 2. 2. Ñуществование решения задачи Коши для ОДУ первого порядка Напомним, что под задачей Коши (2.1), (2.2) понимается следующая задача нахождения функции y(x): 0 y = f (x, y), (x, y) 2 G, y(x0) = y0 , (x0 , y0) 2 G, где f (x, y) 2 C G и (x0 , y0) 2 G; G – область в R2 . Лемма 2. 2. Пусть f (x, y) 2 C G . Òогда имеют место следующие утверждения: 1) всякое решение ϕ(x) уравнения (2.1) на промежутке ha, bi, удовлетво ряющее (2.2) x0 2 ha, bi , является решением на ha, bi интегрального уравнения Zx y(x) = y0 + f τ, y(τ) dτ ; (2.6) x0 2) если ϕ(x) 2 C ha, bi решение интегрального уравнения (2.6) на ha, bi, 1 где x0 2 ha, bi, то ϕ(x) 2 C ha, bi и является решением (2.1), (2.2). Доказательство. 1. Пусть ϕ(x) решение (2.1), (2.2) на ha, bi. Тогда по замечанию 2.2 ϕ(x) 2 C ha, bi и 8 τ 2 ha, bi имеем равенство ϕ 0 (τ) = f τ, ϕ(τ) , интегрируя которое от x0 до x, получим (при любом x 2 ha, bi) Rx ϕ(x) ϕ(x0) = f τ, ϕ(τ) dτ, причем ϕ(x0) = y0 , т.е. ϕ(x) – решение (2.6). x0 2. Пусть y = ϕ(x) 2 C ha, bi – решение (2.6). Так как f x, ϕ(x) непрерывна на ha, bi по условию, то Zx ϕ(x) y0 + f τ, ϕ(τ) dτ 2 C 1 ha, bi x0 как интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции. Дифференцируя последнее равенство по x, получим ϕ 0 (x) = f x, ϕ(x) 8 x 2 ha, bi и, очевидно, ϕ(x0) = y0 , т.е. ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). (Как обычно, под производной на конце отрезка понимается соответствующая односторонняя производная.) -23- Замечание 2. 6. Лемму 2. 2 называют леммой об ýквивалентности задачи Коши (2.1), (2.2) интегральному уравнению (2.6). Если докажем, что решение уравнения (2.6) существует, то получим разрешимость и задачи Коши (2.1), (2.2). Этот план реализован в следующей теореме. Теорема 2. 3 (Локальная теорема существования). Пусть прямоугольник P = (x, y) 2 R2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β целиком лежит в G области определения функции f (x, y). Ôункция f (x, y) 2 C G и удовлетворяет условию Липшица по n y oв G с константой L. Îбозначим β M = max f (x, y) , h = min α, M . Òогда на отрезке P существует решение задачи Êоши (2.1), (2.2). Доказательство. На отрезке установим существование решения интегрального уравнения (2.6). Для этого рассмотрим следующую последовательность функций: Zx y0 (x) = y0 , y1 (x) = y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ, и т.д. x0 1. Покажем, что 8 n 2 N функции yn (последовательные приближения) – определены, т.е. покажем, что при 8 x 2 выполняется неравенство yn (x) y0 6 β для всех n = 1, 2, . . . Воспользуемся методом математической индукции (ММИ): a) базис индукции: n = 1. Zx y1 (x) y0 = f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β, x0 где M0 = max f (x, y0) при jx x 0 j 6 α , M0 6 M ; б) предположение и шаг индукции. Пусть неравенство верно для yn 1 (x), докажем его для yn (x): Zx yn (x) y0 = f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 Итак, если jx x0 j 6 h, то yn (x) y0 6 β 8 n 2 N. -24- x0 6 M h 6 β. Нашей целью будет доказательство сходимости последователь ближайшей 1 ности yk (x) k=0 , для этого ее удобно представить в виде: yn = y0 + n X yk 1 (x) = y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 + . . . + yn yn 1 , k=1 т.е. последовательности частичных сумм функционального ряда. 2. Оценим члены этого ряда, доказав следующие неравенства 8 n 2 N и 8 x 2 : x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! Применим метод математической индукции: jx n 1 1 hn . n! (2.7) a) базис индукции: n = 1. y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h, доказано выше; б) предположение и шаг индукции. Пусть неравенство верно для n кажем его для n: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) = f τ, yn 2 (τ) 1, до- dτ 6 x0 Zx i yn 6 по условию Липшица 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 по предположению индукции 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ = (n 1)! x0 M0 Ln 1 = (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ = (n 1)! n n! 1 x0 Rx Здесь мы воспользовались тем, что интеграл I = jτ x0 при x > x0 при x < x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числовой ряд сходится k! k=1 по признаку Даламбера, так как M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak (k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k ! 1. Тогда по признаку Вейерштрасса о равномерной сходимости функциональный 1 P ряд y0 + yk (x) yk 1 (x) сходится абсолютно и равномерно на отрезk=1 ке , следовательно и функциональная последовательность 1 yk (x) k=0 сходится равномерно на отрезке к некоторой функ- ции ϕ(x), а так как yn (x) 2 C , то и ϕ(x) 2 C как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций. 4. Рассмотрим определение yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 – это верное равенство при всех n 2 N и x 2 . У левой части равенства (2.8) существует предел при n ! 1, так как yn (x) ⇒ ϕ(x) на , поэтому и у правой части (2.8) тоже существует Rx предел (тот же самый). Покажем, что он равен функции y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0 используя для этого следующий критерий равномерной сходимости функциональной последовательности: X yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 при n ! 1 . x2X X Напомним, что обозначение yn (x) ⇒ ϕ(x) при n ! 1 принято использовать для равномерной на множестве X сходимости функциональной последователь 1 ности yk (x) k=0 к функции ϕ(x). -26- Покажем, что y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 здесь X = . Для этого рассмотрим f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 по условию Липшица 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 при n ! 1 τ 2X X в силу равномерной при n ! 1 сходимости yn (x) ⇒ ϕ(x). Таким образом, переходя к пределу в (2.8), получим при всех x 2 верное равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0 в котором ϕ(x) 2 C . По доказанной выше лемме 2. 2 ϕ(x) – решение задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Замечание 2. 7. В теореме 2. 3 установлено существование решения на отрезке . По следствию 1 из теоремы 2. 1 это решение единственно в том смысле, что любое другое решение задачи Коши (2.1), (2.2), определенное на совпадает с ним на этом отрезке. Замечание 2. 8. Представим прямоугольник P в виде объединения двух (пересекающихся) прямоугольников P = P [ P + , (рис. 2. 3) где n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2 ; x 2 ; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Рис. 2. 3. Объединение прямоугольников Обозначим f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P Повторяя,с очевидными изменениями, доказательство теоремы 2. 3 отдель но для P + или P − , получим существование (и единственность) решения на отрезке n o β + + , где h = min α, M + или, соответственно, на , n o β − . Отметим, что при этом, вообще говоря, h+ 6= h− , а h h = min α, M − из теоремы 2. 3 есть минимум из h+ и h− . Замечание 2. 9. Существование решения задачи (2.1), (2.2) теоремой 2. 3 гарантируется лишь на некотором отрезке . В таком случае говорят, что теорема является локальной. Возникает вопрос: не является ли локальный характер теоремы 2. 3 следствием примененного метода ее доказательства? Может быть, используя другой метод доказательства, можно установить существование решения на всем отрезке , т.е. глобально, как это было со свойством единственности решения задачи Коши (2.1), (2.2)? Следующий пример показывает, что локальный характер теоремы 2. 3 связан с «существом» задачи, а не с методом ее доказательства. Пример 2. 1. Рассмотрим задачу Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в прямоугольнике P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функция f (x, y) = −y 2 непрерывна в P и fy0 = −2y 2 C P , поэтому все условия тео1 β , α = и ремы 2. 3 выполнены, а M = max f (x, y) = 4. Тогда h = min P P M 4 -28- теорема 2. 3 гарантирует существование решения на отрезке 1 1 . Решим − , 4 4 эту задачу Коши, используя «разделение переменных»: − dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 – решение задачи Коши (2.9). x+1 График решения представлен на рис. (2.4), из которого видно, что решение 1 при x < x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 > A, B1 < B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B > Bk+1 > Bk при всех k 2 N; 1) A < Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k > N выполняется Докажем это вспомогательное утверждение для случая A, B 2 R (т.е. A и B конечны; если A = 1 или B =+1, то аналогично). Возьмем x A B x , произвольный x 2 (A, B) и δ(x) = min , δ(x) > 0. По 2 2 числу δ из сходимости Ak ! A и Bk ! B получим, что 9 N1 (δ) 2 N: 8 k > N1 , A < Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k > N2 , x < B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k > N . Применяя следствие 1 п. 2.1(т.е. теорему единственности), получим, что ϕ(t) ψ(t) при всех t 2 и, в частности, при t = x. Так как x – произвольная точка (A, B), то единственность решения, а вместе с ним и следствие, доказаны. Замечание 2. 10. В доказанном следствии мы впервые встретились с понятием продолжения решения на более широкое множество. В следующем параграфе мы изучим его более подробно. Приведем несколько примеров. p Пример 2. 2. Для уравнения y 0 = ejxj x2 + y 2 выяснить, существует ли его решение на всем (A, B) = (1, +1). Рассмотрим это уравнение в «полосе» Q = R2 , функция p jxj f (x, y) = e x2 + y 2 ∂f y = ejxj p , fy0 6 ejxj = L(x). ∂y x2 + y 2 По утверждению 2. 1 из п. 2.1 функция f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по y с «константой» L = L(x), x – фиксировано. Тогда выполняются все условия следствия, и при любых начальных данных (x0 , y0) 2 R2 решение задачи Коши существует и притом единственное на (1, +1). Отметим, что само уравнение в квадратурах не решается, но численно могут быть построены приближенные решения. определена и непрерывна в Q, -32- Пример 2. 3. Для уравнения y 0 = ex y 2 выяснить, существуют ли его решения, определенные на R. Если мы опять рассмотрим это уравнение в «полосе» Q = R2 , где функция ∂f f (x, y) = ex y 2 определена и непрерывна, а = 2yex , то можем заметить, ∂y что условие следствия нарушается, а именно, не существует такой непрерывной функции L(x), что f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j при всех y1 , y2 2 R. В самом деле, f (x, y2) f (x, y1) = ex jy2 + y1 j jy2 y1 j, а выражение jy2 + y1 j не является ограниченным при y1 , y2 2 R. Таким образом, следствие неприменимо. Решим это уравнение «разделением переменных», получим общее решение: " y(x) = 0, y(x) = 1 . ex + C Возьмем для определенности x0 = 0, y0 2 R. Если y0 = 0, то y(x) 0 – решение задачи Коши на R. 1 – решение задачи Коши. При y0 2 [ 1, 0) ex оно определено при всех x 2 R, а при y0 2 (1, 1) [ (0, +1) решение не y0 + 1 может быть продолжено через точку x = ln . Точнее, если x > 0, то y0 1 решение y(x) = y0 +1 определено при x 2 (1, x), а если x < 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, то решение существует лишь при x 2 1; ln y0 Этот пример показывает, что ограничение на рост функции f (x, y) в доказанном выше следствии теоремы 2. 4 существенно для продолжения решения на весь (A, B). Аналогично получаются примеры с функцией f (x, y) = f1 (x) y 1+ε при любом ε > 0, в приведенном примере взято ε = 1 лишь для удобства изложения. 2. 3. Продолжение решения для ОДУ первого порядка Определение 2. 5. Рассмотрим уравнение y 0 = f (x, y) и пусть y(x) – его решение на ha, bi, а Y (x) – его решение на hA, Bi, причем ha, bi содержится в hA, Bi и Y (x) = y(x) на ha, bi. Тогда Y (x) называется продолжением решения y(x) на hA, Bi, а про y(x) говорят, что оно продолжено на hA, Bi. -34- В п. 2.2 мы доказали локальную теорему существования решения задачи Коши (2.1), (2.2). При каких условиях это решение может быть продолжено на более широкий промежуток? Этому вопросу и посвящен настоящий параграф. Основной его результат состоит в следующем. Теорема 2. 5 (о продолжении решения в ограниченной замкнутой области). Пусть функция f (x, y) 2 C G и удовлетворяет условию Липшица по y в R2 , а (x0 , y0) внутренняя точка ограниченной замкнутой области G G. Òогда через точку (x0 , y0) проходит решение уравнения y 0 = f (x, y), продолжаемое вплоть до ∂G границы области G, т.е. оно может быть продолжено на такой отрезок , что точки a, y(a) и b, y(b) лежат на ∂G. ∂f (x, y) непрерывна в ограничен∂y ной, замкнутой, выпуклой по y области G, то функция f (x, y) удовлетворяет в G условию Липшица по переменной y. См. следствие из утверждения 2. 1 ∂f из п. 2.1. Поэтому данная теорема будет справедлива, если непрерывна в ∂y G. Замечание 2. 11. Напомним, что если Доказательство. Так как (x0 , y0) – внутренняя точка G, то найдется замкнутый прямоугольник n o 2 P = (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β , целиком лежащий в G. Тогда по теореме 2. 3 из п. 2.2 найдется h > 0 такое, что на отрезке существует (и притом единственное) решение y = ϕ(x) уравнения y 0 = f (x, y). Áудем вначале продолжать это решение вправо вплоть до границы области G, разбив доказательство на отдельные шаги. 1. Рассмотрим множество E R: n o E = α > 0 решение y = ϕ(x) продолжаемо на существует решение y = ϕ1 (x) уравнения y 0 = f (x, y), удовлетворяющее условиям Коши ϕ1 ~b = ϕ ~b . Таким образом, ϕ(x) и ϕ1 (x) – это решения на отрезке ~b h1 , ~b одного уравнения, совпадающие в точке x = ~b, поэтому они совпадают на всем отрезке ~b h1 , ~b и, следовательно, ϕ1 (x) является продолжением решения ϕ(x) с отрезка ~b h1 , ~b на ~b h1 , ~b + h1 . Рассмотрим функцию ψ(x): ϕ(x), x 2 x0 , ψ(x) = ϕ1 (x), x 2 ~b ~b , h1 , ~b + h1 ~b h1 , x0 + α0 + h1 , которая является решением уравнения y 0 = f (x, y) и удовлетворяет условию Коши ψ(x0) = y0 . Тогда число α0 + h1 2 E, а это противоречит определению α0 = sup E. Следовательно, случай 2 невозможен. Аналогично решение ϕ(x) продолжается влево, на отрезок , где точка a, ϕ(a) 2 ∂G. Теорема полностью доказана. -37- Глава III. Задача Коши для нормальной системы n-го порядка 3. 1. Основные понятия и некоторые вспомогательные свойства вектор-функций В этой главе будем рассматривать нормальную систему n-го порядка вида 8 > t, y , . . . , y y _ = f 1 n 1 1 > , < y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > > : y_ = f t, y , . . . , y , n n 1 n где неизвестными (искомыми) являются функции y1 (t), . . . , yn (t), а функции fi – известны, i = 1, n, точка над функцией обозначает производную по t. Предполагается, что все fi определены в области G Rn+1 . Удобно записывать систему (3.1) в векторной форме: y_ = f (t, y), где y(t) y1 (t) . . . , yn (t) , f (t, y) f1 (t, y) . . . , fn (t, y) ; стрелочки в обозначении векторов для краткости писать не будем. Такую запись также будем обозначать (3.1). Пусть точка t0 , y10 , . . . , yn0 лежит в G. Задача Коши для (3.1) заключается в нахождении решения ϕ(t) системы (3.1), удовлетворяющего условию: ϕ1 (t0) = y10 , ϕ2 (t0) = y20 , ..., ϕn (t0) = yn0 , (3.2) или в векторной форме ϕ(t0) = y 0 . Как отмечалось в главе 1, под решением системы (3.1) на промежутке ha, bi понимается вектор-функция ϕ(t) = ϕ1 (t), . . . , ϕn (t) , удовлетворяющая условиям: 1) 8 t 2 ha, bi точка t, ϕ(t) лежит в G; 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt ϕ(t); 38 3) 8 t 2 ha, bi ϕ(t) удовлетворяет (3.1). Если такое решение дополнительно удовлетворяет (3.2), где t0 2 ha, bi, то оно называется решением задачи Коши. Условия (3.2) называют на чальными условиями или условиями Коши, а числа t0 , y10 , . . . , yn0 – данными Коши (начальными данными). В частном случае, когда вектор-функция f (t, y) (n+1) переменной зависит от y1 , . . . , yn линейным образом, т.е. имеет вид: f (t, y) = A(t) y + g(t), где A(t) = aij (t) – n n матрица, система (3.1) называется линейной. В дальнейшем нам понадобятся свойства вектор-функций, которые мы здесь приведем для удобства ссылок. Правила сложения и умножения на число для векторов известны из курса линейной алгебры, эти основные операции выполняются покоординатно. n Если в R ввести скалярное произведение x, y = x1 y1 + . . . + xn yn , то получим евклидово пространство, которое тоже будем обозначать Rn , с длиной s q n P вектора jxj = x, x = x2k (или евклидовой нормой). Для скалярного k=1 произведения и длины справедливы два основных неравенства: 1) 8 x, y 2 Rn 2) 8 x, y 2 Rn ского). x+y 6 x + y x, y 6 x (неравенство треугольника); y (неравенство Коши Áуняков- Из курса математического анализа второго семестра известно, что сходимость последовательности точек (векторов) в евклидовом пространстве (конечномерном) равносильна сходимости последовательностей координат этих векторов, говорят, равносильна покоординатной сходимости. Это легко следует из неравенств: q p max x 6 x21 + . . . + x2n = jxj 6 n max xk . 16k6n 16k6n Аналогично скалярному случаю определяются производная и интеграл векторфункции, а свойства легко доказываются с помощью перехода к координатам. Приведем некоторые неравенства для вектор-функций, применяемые в дальнейшем. 1. Для любой вектор-функции y(t) = y1 (t), . . . , yn (t) , интегрируемой (например, непрерывной) на , справедливо неравенство Zb Zb y(t) dt 6 a y(t) dt a -39- (3.3) или в координатной форме 0 Zb Zb y1 (t) dt, @ y2 (t) dt, . . . , a 1 Zb a Zb q yn (t) dt A 6 y12 (t) + . . . yn2 (t) dt . a a Доказательство. Заметим во-первых, что в неравенстве не исключается случай b < a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-я строка матрицы A, тогда: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 по неравенству Коши-Áуняковского 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 суммируя эти неравенства по i = 1, n, имеем: 0 1 n X 2 2 2 aik A x = A y 6@ 2 2 l=1 2 x , k,i=1 откуда следует (3.5). Определение 3. 1. Áудем говорить, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет условию Липшица по векторной переменной y на мно 1 жестве G переменныõ (t, y), если 9 L > 0 такая, что при любых t, y , 2 t, y 2 G выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 . Как и в случае функции двух переменных (см. утверждение 2.1) достаточным условием липшицевости в «выпуклой по y» области G является ограниченность частных производных. Дадим точное определение. Определение 3. 2. Область G переменных (t, y) называется выпуклой 1 2 по y, если для любых двух точек t, y и t, y , лежащих в G, ей целиком принадлежит и отрезок, соединяющий эти две точки, т.е. множество n o t, y y = y 1 + τ y 2 y 1 , где τ 2 . Утверждение 3. 1. Если область G переменных (t, y) выпукла по y, а ∂fi частные производные непрерывны и ограничены константой l в G при ∂yj всех i, j = 1, n, то вектор-функция f t, y удовлетворяет в G условию Липшица по y с константой L = n l. 1 2 Доказательство. Рассмотрим произвольные точки t, y и t, y из G и 1 2 отрезок, их соединяющий, т.е. множество t, y , где y = y + τ y y1 , t – фиксировано, а τ 2 . -41- Введем вектор функцию одного скалярного аргумента g(τ) = f t, y(τ) , 2 1 тогда g(1) g(0) = f t, y f t, y , а с другой стороны – Z1 g(1) g(0) = d g(τ) dτ = dτ Z1 A(τ) d y(τ) dτ = dτ 0 0 h = в силу y = y 1 + τ y 2 y i 1 Z1 = A(τ) y 2 y 1 dτ, 0 где A(τ) – матрица с элементами ∂fi , а ∂yj y2 y 1 – соответствующий столбец. Здесь мы воспользовались правилом дифференцирования сложной функции, а именно, при всех i = 1, n, t – фиксировано, имеем: gi0 (τ) = ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t, y(τ) = + + ... + = dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi , ..., y2 y1 . = ∂y1 ∂yn Записывая это в матричном виде, получим: 0 2 1 g (τ) = A(τ) y y с n n матрицей A(τ) = aij (τ) ∂fi ∂yj . Используя оценку интеграла (3.3) и неравенство (3.5), после подстановки получим: f t, y 2 f t, y 1 Z1 = g 0 (τ) dτ = 0 Z1 6 A(τ) y 2 Z1 y1 A(τ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A(τ) A(τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 n l 0 6 max A(τ) поскольку 2 y 1 dτ 6 2 2 n P ∂fi = i,j=1 ∂yj 2 y2 y1 , 2 6 n2 l2 при 8 τ 2 . Утверждение доказано. -42- 3. 2. Åдинственность решения задачи Коши для нормальной системы Теорема 3. 1 (об оценке разности двух решений). Пусть G некоторая область Rn+1 , а вектор-функция f (x, y) непрерывна в G и удовлетворяет условию Липшица по векторной переменной y на множестве G с константой L. Если y 1 , y 2 два решения нормальной системы (3.1) y_ = f (x, y) на отрезке , то справедлива оценка y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L(t t0) при всех t 2 . Доказательство дословно, с учетом очевидных переобозначений, повторяет доказательство теоремы 2.1 из п. 2.1. 2 Отсюда легко получить теорему единственности и устойчивости решения по начальным данным. Ñледствие 3.1. Пусть вектор-функция f (t, y) непрерывна в области G и удовлетворяет в G условию Липшица по y, а функции y 1 (t) и y 2 (t) два решения нормальной системы (3.1) на одном и том же отрезке , причем t0 2 . Если y 1 (t0) = y 2 (t0), то y 1 (t) y 2 (t) на . Ñледствие 3.2. (о непрерывной зависимости от начальныõ данныõ). Пусть вектор-функция f (t, y) непрерывна в области G и удовлетворяет в G условию Липшица по y с константой L > 0, а вектор-функции y 1 (t) и y 2 (t) это решения нормальной системы (3.1), определенные на . Òогда при 8 t 2 справедливо неравенство y 1 (t) где δ = y 1 (t0) y 2 (t0) , а l = t1 y 2 (t) 6 δ eL l , t0 . Доказательство следствий дословно, с учетом очевидных переобозначений, повторяет доказательство следствий 2.1 и 2.2. 2 Исследование разрешимости задачи Коши (3.1), (3.2), как и в одномерном случае, сводится к разрешимости интегрального уравнения (векторного). Лемма 3. 1. Пусть f (t, y) 2 C G; Rn 1 . Òогда имеют место следующие утверждения: 1) всякое решение ϕ(t) уравнения (3.1) на промежутке ha, bi, удовлетво ряющее (3.2) t0 2 ha, bi , является непрерывным решением на ha, bi 1 Через C G; H принято обозначать множество всех непрерывных в области G функций со значениями в пространстве H. Например, f (t, y) 2 C G; Rn компонентами), определенных на множестве G. – множество всех непрерывных вектор-функций (с n -43- интегрального уравнения y(t) = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ ; (3.6) t0 2) если вектор-функция ϕ(t) 2 C ha, bi является непрерывным решением интегрального уравнения (3.6) на ha, bi, где t0 2 ha, bi, то ϕ(t) имеет непрерывную производную на ha, bi и является решением (3.1), (3.2). Доказательство. 1. Пусть 8 τ 2 ha, bi выполняется равенство dϕ(τ) = f τ, ϕ(τ) . Тогда интегрируя от t0 до t, с учетом (3.2), полуdτ Rt 0 чим, что ϕ(t) = y + f τ, ϕ(τ) dτ, т.е. ϕ(t) удовлетворяет уравнению (3.6). t0 2. Пусть непрерывная вектор-функция ϕ(t) удовлетворяет уравне нию (3.6) на ha, bi, тогда f t, ϕ(t) непрерывна на ha, bi по теореме о непрерывности сложной функции, а поэтому правая часть (3.6) (и, следовательно, левая часть) имеет непрерывную производную по t на ha, bi. При t = t0 из (3.6) ϕ(t0) = y 0 , т.е. ϕ(t) – решение задачи Коши (3.1), (3.2). Заметим, что как обычно, под производной на конце отрезка (если он ему принадлежит) понимается односторонняя производная функции. Лемма доказана. Замечание 3. 1. Пользуясь аналогией с одномерным случаем (см. главу 2) и доказанными выше утверждениями, можно доказать терему о существовании и продолжении решения задачи Коши, построив итерационную последовательность, сходящуюся к решению интегрального уравнения (3.6) на некотором отрезке t0 h, t0 + h . Мы здесь приведем другое доказательство теоремы существования (и единственности) решения, опирающееся на принцип сжимающих отображений. Делаем мы это для знакомства читателя с более современными методами теории, которые будут применяться в дальнейшем, в курсах интегральных уравнений и уравнений математической физики. Для осуществления нашего плана понадобится ряд новых понятий и вспомогательных утверждений, к рассмотрению которых мы и перейдем. 3. 3. Понятие метрического пространства. Принцип сжимающиõ отображений Важнейшее понятие предела в математике опирается на понятие «близости» точек, т.е. на возможность находить расстояние между ними. На числовой оси расстояние – это модуль разности двух чисел, на плоскости – это хорошо известная формула евклидова расстояния и т.д. Многие факты анализа не используют алгебраических свойств элементов, а опираются лишь на понятие расстояния меду ними. Развитие этого подхода, т.е. выделение «существа», относящегося к понятию предела, приводит к понятию метрического пространства. -44- Определение 3. 3. Пусть X – множество произвольной природы, а ρ(x, y) – действительная функция двух переменных x, y 2 X, удовлетворяющая трем аксиомам: 1) ρ(x, y) > 0 8 x, y 2 X, причем ρ(x, y) = 0 лишь при x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома симметрии); 3) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) (неравенство треугольника). В этом случае множество X с заданной функцией ρ(x, y) называют метрическим пространством (ÌП), а функцию ρ(x, y) : X X 7! R, удовлетворяющую 1) – 3), – метрикой или расстоянием. Приведем некоторые примеры метрических пространств. Пример 3. 1. Пусть X = R с расстоянием ρ(x, y) = x y , получим МП R. n o n xi 2 R, i = 1, n есть Пример 3. 2. Пусть X = R = x1 , . . . , xn множество упорядоченных наборов из n действительных чисел s n 2 P x = x1 , . . . , xn с расстоянием ρ(x, y) = xk yk , получим n1 k=1 n мерное евклидово пространство R . n Пример 3. 3. Пусть X = C a, b ; R – множество всех непрерывных на a, b функций со значениями в Rn , т.е. непрерывных вектор-функций, с расстоянием ρ(f, g) = max f (t) g(t) , где f = f (t) = f1 (t), . . . , fn (t) , t2 s n 2 P g = g(t) g1 (t), . . . , gn (t) , f g = fk (t) gk (t) . k=1 Для примеров 3. 1 –3. 3 аксиомы МП проверяются непосредственно, оставим это в качестве упражнения для добросовестного читателя. Как обычно, если каждому натуральному n поставлен в соответствие эле мент xn 2 X, то говорят, что задана последовательность точек xn ÌП X. Определение 3. 4. Последовательность точек xn МП X называется сõодящейся к точке x 2 X, если lim ρ xn , x = 0. n!1 Определение 3. 5. Последовательность xn называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует такое натуральное число N (ε), что для всех n > N и m > N выполняется неравенство ρ xn , xm < ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε > 0 9 N (ε) 2 N: 8m, n > N =) max fm (t) fn (t) < ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε > 0 найдется номер N (ε) такой, что для всех n > N и для всех t 2 a, b выполняется неравенство fn (t) f (t) < ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Рассмотрим B = Am , B: X 7! X, B – сжатие. По теореме 3. 2 оператор B имеет единственную неподвижную точку x . Так как A и B перестановочны AB = BA и так как Bx = x , имеем B Ax = A Bx = Ax , т.е. y = Ax – это тоже неподвижная точка B, а поскольку такая точка по теореме 3. 2 единственна, то y = x или Ax = x . Отсюда x – неподвижная точка оператора A. Докажем единственность. Предположим, что x~ 2 X и A~ x = x~, тогда m m 1 B x~ = A x~ = A x~ = . . . = x~, т.е. x~ – также неподвижная точка для B, откуда x~ = x . Теорема доказана. Частным случаем метрического пространства является линейное нормированное пространство. Приведем точное определение. Определение 3. 9. Пусть X – линейное пространство (действительное или комплексное), на котором определена числовая функция x , действующая из X в R и удовлетворяющая аксиомам: 1) 8 x 2 X, x > 0, причем x = 0 лишь при x = θ; 2) 8 x 2 X и для 8 λ 2 R (или C) выполняется 3) 8 x, y 2 X выполняется ника). x+y 6 x + y λx = jλj x ; (неравенство треуголь- Тогда X называется нормированным пространством, x: X 7! R, удовлетворяющая 1) – 3), – нормой. а функция В нормированномпространстве можно ввести расстояние между элементами по формуле ρ x, y = x y . Выполнение аксиом МП легко проверяется. Если полученное метрическое пространство полно, то соответствующее нормированное пространство называется банаõовым пространством. Часто на одном и том же линейном пространстве можно по-разному ввести норму. В связи с этим возникает такое понятие. Определение 3. 10. Пусть X – линейное пространство, а и – две 1 2 нормы, введенные на нем. Нормы и называются ýквивалентными 1 2 нормами, если 9 C1 > 0 и C2 > 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1 . Замечание 3. 3. Если и – две эквивалентные нормы на X, и 1 2 пространство X является полным по одной из них, то оно полно и по другой норме. Это легко следует из того, что последовательность xn X, фундаментальная по, фундаментальна также и по, причем сходится к 1 2 тому же элементу x 2 X. -47- Замечание 3. 4. Часто теорема 3. 2 (или 3. 3) применяется когда в качестве полного n пространства берут замкнутый шар этого пространства o Br (a) = x 2 X ρ x, a 6 r , где r > 0 и a 2 X фиксированы. Отметим, что замкнутый шар в ПМП сам является ПМП с тем же расстоянием. Доказательство этого факта оставляем читателю в качестве упражнения. Замечание 3. 5. Выше была установлена полнота пространства из при n мера 3. 3. Заметим, что в линейном пространстве X = C 0, T , R можно ввести норму kxk = max x(t) так, что полученное нормирован- ное будет банаховым. На этом же множестве непрерывных на пространство 0, T вектор-функций можно ввести эквивалентную норму по формуле kxkα = max e αt x(t) при любом α 2 R. При α > 0 эквивалентность следует из неравенств e αT x(t) 6 e αt x(t) 6 x(t) при всех t 2 0, T , откуда e αT kxk 6 kxkα 6 kxk. Этим свойством эквивалентных норм мы воспользуемся при доказательстве теоремы об однозначной разрешимости задачи Коши для линейных (нормальных) систем. 3. 4. Теоремы существования и единственности решения задачи Коши для нормальныõ систем Рассмотрим задачу Коши (3.1) – (3.2), где начальные данные t0 , y 0 2 G, G Rn+1 – область определения вектор-функции f (t, y). В этом параграфе будем предполагать, что G имеет – некоторая n вид G = a, b o , где область Rn , а шар BR (y 0) = Имеет место теорема. y 2 Rn y y0 6 R целиком лежит в. Теорема 3. 4. Пусть вектор-функция f (t, y) 2 C G; Rn , причем 9 M > 0 и L > 0 такие, что выполняются условия 1) 8 (t, y) 2 G = a, b f (t, y) 6 M ; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 . Ôиксируем число δ 2 (0, 1) и пусть t0 2 (a, b). Òогда R 1 δ 9 h = min ; ; t0 a; b t0 > 0 M L такое, что существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) y(t) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h , причем y(t) y 0 6 R при всех t 2 Jh . -48- Доказательство. По лемме 3. 1 задача Коши (3.1), (3.2) эквивалентна интегральному уравнению (3.6) на отрезке , а следовательно, и на Jh , где h выбрано выше. Рассмотрим банахово пространство X = C (Jh ; Rn) – множество непрерывных на отрезке Jh вектор-функций x(t) с нормой kxk = max x(t) и введем в X замкнутое множество: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh = y(t) 2 X y(t) n = y(t) 2 X y y(t) o 0 6R = o 0 y 6R замкнутый шар в X. Оператор A, определенный по правилу: Ay = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ, t 2 Jh , t0 переводит SR y 0 в себя, так как y 0 = max Ay Zt t2Jh f τ, y(τ) dτ 6 h M 6 R t0 по условию 1 теоремы и определению h. Докажем, что A является на SR оператором сжатия. Возьмем произволь 0 1 2 и оценим величину: ные y (t), y (t) 2 SR y Ay 2 Ay 1 = max Zt h t2Jh f τ, y 2 (τ) i f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 = q y2 y1 , где q = h L 6 1 δ < 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 выбираем по R формуле h = min M ; 1L δ ; b a , а в качестве отрезка Jh всюду надо взять -49- Jh = t0 , t0 + h = a, a + h . Все остальные условия теоремы не изменяются, ее доказательство, с учетом переобозначений, Rсохраняется. Для случая t0 = b, аналогично, h = min M ; 1L δ ; b a , а Jh = b h, b . n Замечание 3. 7. В теореме 3. 4 условие f (t, y) 2 C G; R , где G = a, b D, можно ослабить, заменив на требование непрерывности f (t, y) по переменной t при каждом y 2 , с сохранением условий 1 и 2. Доказательство не изменится. Замечание 3. 8. Достаточно, чтобы условия 1 и 2 теоремы 3. 4 выполнялись 0 при всех t, y 2 a, b BR y , при этом константы M и L зависят, 0 вообще говоря, от y и R. При более жестких ограничениях на вектор-функцию f t, y , аналогично теореме 2.4 справедлива теорема существования и единственности решения задачи Коши (3.1), (3.2) на всем отрезке a, b . n Теорема 3. 5. Пусть вектор-функция f x, y 2 C G, R , где G = a, b Rn , и существует L > 0, такое, что выполняется условие 8 t, y 1 , t, y 2 2 G f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 . Òогда при любых t0 2 и y 0 2 Rn на a, b существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2). Доказательство. Возьмем произвольные t0 2 и y 0 2 Rn и фиксируем их. Множество G = a, b Rn представим в виде: G = G [ G+ , где Rn , а G+ = t0 , b Rn , считая, что t0 2 a, b , иначе один G = a, t0 из этапов доказательства будет отсутствовать. Проведем рассуждения для полосы G+ . На отрезке t0 , b задача Коши (3.1), (3.2) эквивалентна уравнению (3.6). Введем оператор интегральному n A: X 7! X, где X = C t0 , b ; R , по формуле Ay = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ. t0 Тогда интегральное уравнение (3.6) можно записать в виде операторного уравнения Ay = y. (3.8) Если мы докажем, что операторное уравнение (3.8) имеет решение в ПМП X, то получим разрешимость задачи Коши на t0 , b или на a, t0 для G . Если это решение будет единственно, то в силу эквивалентности, единственным будет и решение задачи Коши. Приведем два доказательства однозначной разрешимости уравнения (3.8). Доказательство 1. Рассмотрим произвольные вектор-функции 1 2 n y , y 2 X = C t0 , b ; R , тогда справедливы оценки при любом -50- t 2 t0 , b Ay 2: Ay 1 Zt h f τ, y 2 (τ) = 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1 . Напомним, что в X норма вводится так: kxk = max x(τ) . Из получен ного неравенства будем иметь: 2 2 Ay 2 1 Ay Zt h f τ, Ay 2 (τ) = 1 i τ t0 dτ f τ, Ay (τ) dτ 6 t0 6 L2 Zt Ay 2 (τ) Ay 1 (τ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2 y2 y1 . Продолжая этот процесс, по индукции можно доказать, что 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! k y2 y1 . Отсюда, окончательно, получим оценку Ak y 2 Ak y 1 = max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! k y2 y1 . k Поскольку α(k) = ! 0 при k ! 1, то найдется k0 такое, k! что α(k0) < 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α > 0 (см. замечание 3. 5) по формуле: x α = max e αt x(t) . -51- Покажем, что можно выбрать α так, что оператор A в пространстве X с нормой при α > L будет сжимающим. Действительно, α Ay 2 Ay 1 α Zt h f τ, y 2 (τ) αt = max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ = t0 = L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) = y2 α t0 = L max e αt Так как α > L, то q = L α 1 1 αt e α e eαt0 L = α α b t0 y 2 y1 y 1 α = 1 e α b t0 . < 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратной функции, в силу которой равенство (4.3) можно разрешить относительно y и получить формулу y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4) справедливую в окрестности точки x0 . Покажем, что равенство (4.4) дает решение уравнения (4.1) в окрестности точки x0 . Действительно, используя теорему о дифференцировании обратной функции и учитывая соотношение F10 (x) = f1 (x), получим y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 (y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откуда следует, что функция y(x) из (4.4) является решением уравнения (4.1). Рассмотрим теперь задачу Коши для уравнения (4.1) с начальным условием y(x0) = y0 . (4.5) Формулу (4.2) можно записать в виде Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Подставляя сюда начальное условие (4.5), находим, что C = 0, т.е. решение задачи Коши определяется из соотношения Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Очевидно, оно определяется однозначно. Итак, общее решение уравнения (4.1) задается формулой (4.4), а решение задачи Коши (4.4), (4.5) находится из соотношения (4.6). Замечание 4. 1. Если f2 (y) = 0 при некоторых y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), то, очевидно, решениями уравнения (4.1) являются также функции y(x) yj , j = 1, 2, . . . , s, что доказывается непосредственной подстановкой этих функций в уравнение (4.1). Замечание 4. 2. Для уравнения (4.1) общее решение определяем из соотношения F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Таким образом, левая часть соотношения (4.7) постоянна на каждом решении уравнения (4.1). Соотношения типа (4.7) можно записать и при решении других ОДУ. Такие соотношения принято называть интегралами (общими интегралами) соответствующего ОДУ. Дадим точное определение. Определение 4. 1. Рассмотрим уравнение y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Соотношение (x, y) = C, (4.9) где (x, y) – функция класса C 1 , называется общим интегралом уравнения (4.8), если это соотношение не выполняется тождественно, но выполняется на каждом решении уравнения (4.8). При каждом конкретном значении C 2 R мы получаем частный интеграл. Общее решение уравнения (4.8) получается из общего интеграла (4.9) с использованием теоремы о неявной функции. Пример 4. 1. Рассмотрим уравнение x (4.10) y 0 (x) = y и начальное условие y(2) = 4. (4.11) Применяя для решения уравнения (4.10) описанный выше метод разделения переменныõ, получаем y dy = x dx, откуда находим общий интеграл для уравнения (4.10) y 2 x2 = C. Общее решение уравнения (4.10) запишется по формуле p y= C + x2 , а решение задачи Коши (4.10), (4.11) – по формуле p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. Линейные ОДУ первого порядка Линейным ОДУ первого порядка называется уравнение y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Если q(x) 6 Если q(x) x 2 ha, bi. (4.12) 0, то уравнение называется неоднородным. 0, то уравнение называется однородным: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Теорема 4. 1. 1) Если y1 (x), y2 (x) решения однородного уравнения (4.120), α, β произвольные числа, то функция y (x) αy1 (x) + βy2 (x) также является решением уравнения (4.120). 2) Для общего решения неоднородного уравнения (4.12) имеет место формула yон = yоо + yчн; (4.13) здесь yон общее решение неоднородного уравнения (4.12), yчн частное решение неоднородного уравнения (4.12), yоо общее решение однородного уравнения (4.120). Доказательство. Первое утверждение теоремы доказывается непосредственной проверкой: имеем y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Докажем второе утверждение. Пусть y0 – произвольное решение уравнения (4.120), тогда y00 = p(x)y0 . C другой стороны, 0 yчн = p(x)yчн + q(x). Следовательно, 0 y0 + yчн = p(x) y0 + yчн + q(x), а значит y y0 + yчн является решением уравнения (4.12). Таким образом, формула (4.13) дает решение неоднородного уравнения (4.12). Покажем, что по этой формуле могут быть получены все решения уравнения (4.12). Действительно, пусть y^(x) – решение уравнения (4.12). Положим y~(x) = y^(x) yчн. Имеем y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 yчн (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)yчн (x) = p(x) y^(x) q(x) = yчн (x) = p(x)~ y (x). Таким образом, y~(x) – решение однородного уравнения (4.120), и мы имеем y^(x) = y~(x) + yчн, что соответствует формуле (4.13). Теорема доказана. -58- Ниже будем рассматривать задачи Коши для уравнений (4.12) и (4.120) с начальным условием y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) Относительно функций p(x) и q(x) из (4.12) будем предполагать, что p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 3. Положим F (x, y) = p(x)y + q(x). Тогда в силу наложенных выше условий на p(x) и q(x) имеем F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 , а следовательно, для задачи Коши (4.12), (4.14) справедливы теоремы существования и единственности решения, доказанные в главе 2. В доказанных ниже теоремах 4. 2, 4. 3 будут получены явные формулы для решений уравнений (4.120) и (4.12) и будет показано, что эти решения существуют на всем промежутке ha, bi. Рассмотрим сначала однородное уравнение (4.120). Теорема 4. 2. утверждения: Пусть p(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие 1) любое решение уравнения (4.120) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение однородного уравнения (4.120) задается формулой y(x) = C e где C R p(x) dx , (4.15) произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.120), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Доказательство. Выведем формулу (4.15) в соответствии с данной в начале главы методикой. Прежде всего заметим, что функция y 0 является решением уравнения (4.120). Пусть y(x) – решение уравнения (4.120), причем y 6 0 на ha, bi. Тогда 9 x1 2 ha, bi такая, что y(x1) = y0 6= 0. Рассмотрим уравнение (4.120) в окрестности точки x1 . Это уравнение с разделяющимися переменными, причем y(x) 6= 0 в некоторой окрестности точки x1 . Тогда, следуя результатам предыдущего параграфа, получим явную формулу для решения Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- откуда R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, что соответствует формуле (4.15). Áолее того, решение y 0 также задается формулой (4.15) при C = 0. Непосредственной подстановкой в уравнение (4.120) убеждаемся, что функция y(x), задаваемая по формуле (4.15) при любом C, является решением уравнения (4.120), причем на всем промежутке ha, bi. Покажем, что формула (4.15) задает общее решение уравнения (4.120). Действительно, пусть y^(x) – произвольное решение уравнения (4.120). Если y^(x) 6= 0 на ha, bi, то повторяя предыдущие рассуждения, получим, что эта функция задается формулой (4.15) при некотором C: именно, если y^(x0) = y^0 , то Rx p(ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Если же 9x1 2 ha, bi такая, что y^(x1) = 0, то задача Коши для уравнения (4.120) с начальным условием y(x1) = 0 имеет два решения y^(x) и y(x) 0. В силу замечания 4. 3 решение задачи Коши единственно, поэтому y^(x) 0, а следовательно, задается формулой (4.15) при C = 0. Итак, доказано, что общее решение уравнения (4.120) определено на всем ha, bi и задается формулой (4.15). Формула (4.16), очевидно, является частным случаем формулы (4.15), поэтому задаваемая ею функция y(x) является решением уравнения (4.120). Кроме того, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , поэтому формула (4.16) действительно задает решение задачи Коши (4.120), (4.14). Теорема 4. 2 доказана. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (4.12). Теорема 4. 3. Пусть p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Òогда справедливы следующие утверждения: 1) любое решение уравнения (4.12) определено на всем промежутке ha, bi; 2) общее решение неоднородного уравнения (4.12) задается формулой Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e где C произвольная константа; 3) решение задачи Êоши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) dθ dξ. (4.18) Доказательство. В соответствии с теоремой 4. 1 и формулой (4.13) yон = yоо + yчн требуется найти частное решение уравнения (4.12). Для его нахождения применим так называемый метод вариации произвольной постоянной. Суть этого метода заключается в следующем: берем формулу (4.15), заменяем в ней константу C на неизвестную функцию C(x) и ищем частное решение уравнения (4.12) в виде yчн (x) = C(x) e R p(x) dx . (4.19) Подставим yчн (x) из (4.19) в уравнение (4.12) и найдем C(x) так, чтобы это уравнение удовлетворялось. Имеем R R 0 yчн (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Подставляя в (4.12), получим C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) dx = q(x), откуда R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Интегрируя последнее соотношение и подставляя найденное C(x) в формулу (4.19), получим, что Z R R p(x) dx yчн (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Кроме того, в силу теоремы 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Поэтому используя формулу (4.13) из теоремы 4. 1, получаем, что Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yоо + yчн = Ce +e q(x)e p(x) dx dx, что совпадает с формулой (4.17). Очевидно, что формула (4.17) задает решение на всем промежутке ha, bi. Наконец, решение задачи Коши (4.12), (4.14) задается формулой Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q(ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Действительно, формула (4.20) является частным случаем формулы (4.17) при C = y0 , поэтому она задает решение уравнения (4.12). Кроме того, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , поэтому удовлетворяются начальные данные (4.14). Приведем формулу (4.20) к виду (4.18). Действительно, из (4.20) имеем Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q(ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 что совпадает с формулой (4.18). Теорема 4. 3 доказана. Ñледствие(об оценке решения задачи Коши для линейной системы). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi), причем p(x) 6 K, q(x) 6 M Пусть 8 x 2 ha, bi. Òогда для решения задачи Êоши (4.12), (4.14) справедлива оценка M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Доказательство. Пусть сначала x > x0 . В силу (4.18) имеем Rx Zx K dξ y(x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ = y0 eK(x x0) Zx +M x0 = y0 e K(x x0) eK(x ξ) dξ = x0 M + K e K(x ξ) ξ=x ξ=x0 = y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1 . Пусть теперь x < x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, то, очевидно, функция y(x) 0 является решением уравнения (4.24). Для решения уравнения Áернулли (4.24) α 6= 0, α 6= 1 разделим обе части уравнения на y α . При α > 0 надо учесть, что в силу замечания 4. 4 функция y(x) 0, является решением уравнения (4.24), которое при таком делении будет потеряно. Следовательно, в дальнейшем его надо будет добавить в общее решение. После деления получаем соотношение y α y 0 = a(x)y 1 α + b(x). Введ¼м новую искомую функцию z = y 1 α , тогда z 0 = (1 следовательно, приходим к уравнению относительно z z 0 = (1 α)a(x)z + (1 α)y α)b(x). α y 0, а (4.25) Уравнение (4.25) представляет собой линейное уравнение. Такие уравнения рассмотрены в п. 4.2, где получена формула общего решения, в силу которой решение z(x) уравнения (4.25) записывается в виде z(x) = Ce R (α 1) a(x) dx + + (1 α)e R (α 1) a(x) dx 1 Z b(x)e R (α 1) a(x) dx dx. (4.26) Тогда функция y(x) = z 1 α (x), где z(x) определена в (4.26), является решением уравнения Áернулли (4.24). -64- Кроме того, как указано выше, при α > 0 решением также является функция y(x) 0. Пример 4. 4. Ðешим уравнение y 0 + 2y = y 2 ex . (4.27) Разделим уравнение (4.27) на y 2 и сделаем замену z = получим линейное неоднородное уравнение 1 y. В результате z 0 + 2z = ex . (4.28) Решаем сначала однородное уравнение: z 0 + 2z = 0, dz = 2dx, z ln jzj = 2x + c, z = Ce2x , C 2 R1 . Решение неоднородного уравнения (4.28) ищем методом вариации произвольной постоянной: zчн = C(x)e2x , C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x = ex , C 0 = e x, C(x) = e x , откуда zчн = ex , а общее решение уравнения (4.28) z(x) = Ce2x + ex . Следовательно, решение уравнения Áернулли (4.24) запишется в виде y(x) = 1 . ex + Ce2x Кроме того, решением уравнения (4.24) является также функция y(x) Это решение мы потеряли при делении этого уравнения на y 2 . 0. 4. 5. Уравнение в полныõ дифференциалаõ Рассмотрим уравнение в дифференциалах M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, (x, y) 2 G, (4.29) G – некоторая область в R2 . Такое уравнение называется уравнением в полныõ дифференциалаõ, если существует функция F (x, y) 2 C 1 (G), называемая потенциалом, такая, что dF (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy, (x, y) 2 G. Áудем для простоты предполагать, что M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G), а область G является односвязной. В этих предположениях в курсе математического анализа (см., например, ) доказывается, что потенциал F (x, y) для уравнения (4.29) существует (т.е. (4.29) – уравнение в полных дифференциалах) тогда и только тогда, когда My (x, y) = Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. При этом (x, Z y) F (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy, (4.30) (x0 , y0) где точка (x0 , y0) – некоторая фиксированная точка из G, (x, y) – текущая точка в G, а криволинейный интеграл берется по любой кривой, соединяющей точки (x0 , y0) и (x, y) и целиком лежащей в области G. Если уравнение (4.29) является уравнение

Макарская Е. В. В кн.: Дни студенческой науки. Весна - 2011. М.: Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2011. С. 135-139.

Авторы рассматривают практическое применение теории линейных дифференциальных уравнений для исследования экономических систем. В работе дается анализ динамических моделей Кейнса и Самуэльсона-Хикса с нахождением равновесных состояний экономических систем.

Иванов А. И. , Исаков И. , Демин А. В. и др. Ч. 5. М.: Слово, 2012.

В пособии рассмотрены количественные методы исследования потребления кислорода человеком во время тестов с дозированной физической нагрузкой, выполненных в ГНЦ РФ-ИМБП РАН. Пособие предназначено для научных работников, физиологов и врачей, работающих в области авиакосмической, подводной и спортивной медицины.

Михеев А. В. СПб.: Отдел оперативной полиграфии НИУ ВШЭ – Санкт-Петербург, 2012.

Данный сборник содержит задачи по курсу дифференциальных уравне-ний, читаемому автором на факультете экономики НИУ ВШЭ — Санкт-Петербург. В начале каждой темы дается краткое изложение основных теоретиче-ских фактов и разбираются примеры решений типовых задач. Для студентов и слушателей программ высшего профессионального об-разования.

Конаков В. Д. STI. WP BRP. Издательство попечительского совета механико-математического факультета МГУ, 2012. № 2012.

В основе настоящего учебного пособия лежит специальный курс по выбору студента, прочитанный автором на механико - математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова в 2010-2012 учебных годах. Пособие знакомит читателя с методом параметрикса и его дискретным аналогом, развитым в самое последнее время автором пособия и его коллегами-соавторами. Оно объединяет воедино материал, который ранее содержался только в ряде журнальных статей. Не стремясь к максимальной общности изложения, автор ставил целью продемонстрировать возможности метода при доказательстве локальных предельных теорем о сходимости марковских цепей к диффузионному процессу и при получении двусторонних оценок типа Аронсона для некоторых вырожденных диффузий.

Iss. 20. NY: Springer, 2012.

Эта публикация представляет собой сборник отдельных статей "Третьей Международной конференции по динамике информационных систем», которая состоялась в университете Флориды, 16-18 февраля 2011 года. Цель данной конференции заключалась в том, чтобы собрать вместе ученых и инженеров из промышленности, правительства и научных кругов, чтобы они смогли обменяться новыми открытиями и результатами в вопросах, имеющих отношение к теории и практике динамики информационных систем. Динамика информационных систем: математическое открытие представляет собой современное исследование и предназначается студентам - аспирантам и исследователям, которые интересуются самыми последними открытиями в информационной теории и динамичных системах. Ученые других дисциплин могут также получить пользу от применения новых разработок в своих областях исследований.

Пальвелев Р., Сергеев А. Г. Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2012. Т. 277. С. 199-214.

Изучается адиабатический предел в гиперболических уравнениях Ландау-Гинзбурга. С помощью указанного предела устанавливается соответствие между решениями уравнений Гинзбурга-Ландау и адиабатическими траекториями в пространстве модулей статических решений, называемых вихрями. Мэнтон предложил эвристический адиабатический принцип, постулирующий, что любое решение уравнений Гинзбурга-Ландау с достаточно малой кинетической энергией может быть получено как возмущение некоторой адиабатической траектории. Строгое доказательство этого факта найдено недавно первым автором

We give an explicit formula for a quasi-isomorphism between the operads Hycomm (the homology of the moduli space of stable genus 0 curves) and BV/Δ (the homotopy quotient of Batalin-Vilkovisky operad by the BV-operator). In other words we derive an equivalence of Hycomm-algebras and BV-algebras enhanced with a homotopy that trivializes the BV-operator. These formulas are given in terms of the Givental graphs, and are proved in two different ways. One proof uses the Givental group action, and the other proof goes through a chain of explicit formulas on resolutions of Hycomm and BV. The second approach gives, in particular, a homological explanation of the Givental group action on Hycomm-algebras.

Под науч. редакцией: А. Михайлов Вып. 14. М.: Социологический факультет МГУ, 2012.

Статьи данного сборника написаны на основе докладов, сделанных в 2011 г. на социологическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова на заседании XIV Междисциплинарного ежегодного научного семинара "Математическое моделирование социальных процессов" им. Героя Социалистического труда академика А.А. Самарского.

Издание предназначено для научных сотрудников, преподавателей, учащихся вузов и научных учреждений РАН, интересующихся проблемами, разработкой и внедрением методологии математического моделирования социальных процессов.