Наибольшее и наименьшее значение функции ограниченной линиями. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

§ Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных - страница №1/1

§ 8. Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.

1. Экстремумы функций нескольких переменных.

Точка
называется точкой максимума функции
, если для любой точки

выполняется неравенство

.

Аналогично точка
называется точкой минимума функции
, если для любой точки
из некоторой окрестности точки
выполняется неравенство

.

Замечания . 1) По смыслу определений функция
должна быть определена в некоторой окрестности точки
. Т.е. точкой максимума и точкой минимума функции
могут быть только внутренние точки области
.

2) Если существует окрестность точки
, в которой для любой точки
отличной от
выполняется неравенство

(

), то точку
называют точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума ) функции
. В связи с этим, определенные выше точки максимума и минимума называют иногда точками нестрого максимума и минимума.

Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке
сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках. В данной области функция может совсем не иметь экстремумов, а может иметь несколько минимумов, несколько максимумов и даже бесчисленное множество и тех и других. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов. Не следует смешивать максимумы и минимумы функции с ее наибольшим и наименьшим значениями.

Найдем необходимое условие экстремума. Пусть, например,
– точка максимума функции
. Тогда по определению существует gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-окрестность точки
такая, что
для любой точки
из этой окрестности. В частности,

(1)

где
,
, и

(2)

где
,
. Но (1) означает, что функция одной переменной
имеет в точке максимум или является на интервале
постоянной. Следовательно,

или
– не существует,

⇒
или
– не существует.

Аналогично из (2) получаем, что

или
– не существует.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.1. (необходимые условия экстремума). Если функция
в точке
имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.

Геометрически теорема 8.1 означает, что если
– точка экстремума функции
, то касательная плоскость к графику этой функции в точке либо параллельна плоскости
, либо вообще не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, как найти уравнение касательной плоскости к поверхности (см. формулу (4.6)).

Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 8.1, называются критическими точками функции
. Также как и для функции одной переменной, необходимые условия экстремума не является достаточным. Т.е. не всякая критическая точка функции будет ее точкой экстремума.

ПРИМЕР. Рассмотрим функцию
. Точка
является для этой функции критической, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка
и
равны нулю. Однако она не будет точкой экстремума. Действительно,
, но в любой окрестности точки
есть точки, в которых функция принимает положительные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции – гиперболический параболоид.

Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.2. (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть
– критическая точка функции
и в некоторой окрестности точки
функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим

,
,
.

Тогда 1) если
, то точка
не является точкой экстремума;


Если с помощью теоремы 8.2 исследовать критическую точку
не удалось (т.е. если
или функция вообще не имеет в окрестности точки
непрерывных частных производных нужного порядка), ответ на вопрос о наличии в точке
экстремума даст знак приращения функции в этой точке.

Действительно, из определения следует, что если функция
имеет в точке
строгий максимум, то

для всех точек
из некоторой окрестности точки
, или, иначе

при всех достаточно малых
и
. Аналогично, если
– точка строгого минимума, то при всех достаточно малых
и
будет выполняться неравенство
.

Таким образом, чтобы выяснить, является ли критическая точка
точкой экстремума, необходимо исследовать приращение функции в этой точке. Если при всех достаточно малых
и
оно будет сохранять знак, то в точке
функция имеет строгий экстремум (минимум, если
, и максимум, если
).

Замечание . Правило остается верным и для нестрого экстремума, но с поправкой, что при некоторых значениях
и
приращение функции будет нулевым
ПРИМЕР. Найти экстремумы функций:

1)
; 2)
.

Для исследования критических точек применим теорему 8.2. Имеем:

,
,
.

Исследуем точку
:

,
,
,

;
.

Следовательно, в точке
данная функция имеет минимум, а именно
.

Исследуем критическую точку
:

,
,
,


.

Следовательно, вторая критическая точка не является точкой экстремума функции.

Для исследования критической точки применим теорему 8.2. Имеем:

,
,
,

,
,
,

.

Установить наличие или отсутствие экстремума в точке
с помощью теоремы 8.2 не удалось.

Исследуем знак приращения функции в точке
:

Если
, то
;

если
, то
.

Поскольку
не сохраняет знак в окрестности точки
, то в этой точке функция не имеет экстремума.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.

.

Аналогично значение функции в точке
называется наименьшим , если для любой точки
из области
выполняется неравенство

.

Ранее, мы уже говорили, что если функция непрерывна, а область
– замкнута и ограничена, то функция принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. При этом точки
и
могут лежать как внутри области
, так и на ее границе. Если точка
(или
) лежит внутри области
, то это будет точка максимума (минимума) функции
, т.е. критическая точка функции внутри области
. Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции
в области
нужно:
.

Функции нескольких переменных

1. Основные определения

Определение 1. Соответствие, которое каждой паре (x; y) значений переменных x и y, принадлежащей некоторому множеству пар D, сопоставляет одно и только одно число zÎR, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R. При этом пишут z = f(x;y). D = D(f) – область определения функции f.

2. Частные и полное приращения функции двух переменных

Если в функции z = f(x; y) двух переменных x и y зафиксировать значение одной из них, например y = y 0 , то получим функцию z = f(x; y 0), зависящую от одной переменной х.

Аналогично, если зафиксировать переменную x = x 0 , получим функцию z = f(x 0 ; y) одной переменной у.

Определение 2. Величина D x z = f(x 0 +Dx; y 0) - f(x 0 ; y 0) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x 0 ; y 0) по аргументу х.

Определение 3. Величина D y z = f(x 0 ; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) называется частным приращением функции z = f(x; y) в точке (x 0 ; y 0) по аргументу y.

Определение 4. Величина Dz = f(x 0 +Dx; y 0 +Dy) - f(x 0 ; y 0) называется полным приращением функции z = f(x; y) в точке (x 0 ; y 0).

3. Частные производные функции двух переменных

Пусть дана функция z = f(x; y) двух независимых переменных x и y. Фиксируя одну из них, например, полагая у = const, приходим к функции одной переменной x. Тогда можно ввести понятие производной полученной функции по x, которую обозначим . Согласно определению производной функции одной переменной имеем:

Определение 5. Предел отношения частного приращения D x z функции z=f(x; y) по переменной x к приращению Dx переменной x при Dx, стремящимся к нулю, называется частной производной функции по x и обозначается ; ;

Аналогично определяется и обозначается частная производная функции z = f(x; y) по переменной y.

Пример 1. Найти частные производные функций:

1. f(x; y) = x 3 + x 2 y 2 + y 3 + 3;

2. z = x y + y x .

Решение

1. Полагая y = const, и считая при этом x независимой переменной, найдем

Аналогично при x = const, получим .

2. При y = const

;

при x = const

Все сказанное можно распространить на функции любого числа переменных.

Пример 2. Найти частные производные функции

u = f(x; y; z) = cos(x 2 + y 2 + z 2).

Решение

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2x, y = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2y, x = const, z = const;

Sin(x 2 + y 2 + z 2) × 2z, x = const, y = const.

Поскольку частные производные от функции нескольких переменных также являются, вообще говоря, функциями нескольких переменных, то для них можно также вычислять частные производные. Эти производные называют частными производными высших порядков .

Например, для функции f(x; y) двух переменных имеются следующие типы производных второго порядка:

- вторая частная производная по x;

и = - смешанные частные производные

- вторая частная производная по у.

4. Полный дифференциал функции двух переменных

Определение 6. Полным дифференциалом функции z=f(x;y) двух переменных x и y называется главная часть полного приращения Dz, линейная относительно приращений аргументов Dx и Dy.

C учетом того, что Dx = dx и Dy = dy полный дифференциал функции z = f(x; y) вычисляется по формуле

Пример 3. Вычислить полный дифференциал функции

z = ln (x 2 + y 2).

Решение . Найдем частные производные и данной функции

После их подстановки в формулу (3.5) получим

dz =

Найти частные производные функций

284. z = x 2 + 2xy + y 2 + 5 285. z = (x + y) 3

286. z = 287. z =

288. z = x 3 y - y 3 x 289. z = 2y

290. z = x y ln(x + y) 291. z = ln

292. z = ln + ln x·y 293. z =

294. z = e y/x – e x/y 295. z = x y + sin

296. z = sin(x 2 y + xy 2) 297. z = y x + arctg

Найти частные производные второго порядка

298. z = x 4 + 4x 2 y 3 + 7xy + 1 299. z = x 2 y

300. z = 4x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 301. z = xy + sin(x + y)

302. z = sin x cos y 303. z =

304. z = xe y 305. z = x + y +

306. z = x 2y 307. z = ln(x + e xy)

Проверить, что

308. z = 309. z = ln(x - 2y)

310. z = 311. z = x 2 sin

312. z = 313. z = arctg

Найти полный дифференциал функций

314. z = xy 3 - 3x 2 y 2 + 2y 4 +1 315. z = 3x 2 y 5

316. z = sin(x 2 + y 2) 317. z = x y

318. z = e xy 319. z = e x cos y

320. z = e y cos x 321. z = cos + sin

5. Экстремумы функции двух переменных

Основные определения

Определение 1. Точка М(x 0 ; у 0) называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x; y), если существует окрестность точки М, такая, что для всех точек (x; y) из этой окрестности выполняется неравенство:

f(x 0 ; y 0) ³ f(x; y), .

Теорема 1 (необходимое условие существования экстремума) . Если дифференцируемая функция z = f(x; y) достигает экстремума в точке М(x 0 ; y 0), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е. ;

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными иликритическими точками.

Теорема 2 (достаточное условие существования экстремума)

Пусть функция z = f(x; y):

а) определена в некоторой окрестности точки (x 0 ; y 0), в которой и ;

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

;

Тогда, если D = АС - B 2 > 0, то в точке (x 0 ; y 0) функция z = f(x; y) имеет экстремум, причем, если А < 0 (или С < 0) – максимум, если А > 0 (или С > 0) – минимум. В случае D = АС - В 2 < 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если D = AC - B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Пример 1. Найти экстремум функции z = x 2 + xy + y 2 - 3x - 6y.

Решение . Найдем частные производные первого порядка:

Воспользуемся необходимым условием существования экстремума:

Решая систему уравнений, находим координаты x и y стационарных точек: x = 0; y = 3, т. е. М(0; 3).

Вычислим частные производные второго порядка и найдем их значения в точке М.

А = = 2; С = = 2;

Составим дискриминант D = АС - В 2 = 2 × 2 - 1 > 0, A = 2 > 0. Следовательно, в точке М(0; 3) заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке z min = -9.

Найти экстремумы функций

322. z = x 2 + y 2 + xy - 4x - 5y 323. z = y 3 - x 3 - 3xy

324. z = x 2 - 2xy + 4y 3 325. z = - y 2 - x + 6y

326. z = x y (1 - x - y) 327. z = 2xy - 4x - 2y

328. z = e - x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3 - 6xy + 1

330. z = 3x 2 y - x 3 - y 4 331. z = 3x + 6y - x 2 - xy + y 2

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных

В замкнутой области

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:

1) найти критические точки, расположенные в данной области, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти критические точки на границе области и вычислить наибольшее и наименьшее значения функций в них;

3) из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = в круге x 2 + y 2 £ 1.

Решение . Найдем координаты критических точек, расположенных внутри рассматриваемой области, для чего вычислим частные производные первого порядка функции z и приравняем их к нулю.

откуда x = 0, y = 0 и, следовательно, М(0; 0) – критическая точка.

Вычислим значение функции z в точке М(0; 0): z(0; 0) = 2.

Найдем критические точки на границе области - окружности, заданной уравнением x 2 + y 2 = 1. Подставляя у 2 = 1 - x 2 в функцию z = z(x; y), получим функцию одной переменной

z = ;

причем xÎ[-1; 1].

Вычислив производную и приравняв ее нулю, получим критические точки на границе области x 1 = 0, x 2 = , x 3 =

Найдем значение функции z(x) = в критических точках и на концах отрезка [-1; 1]: z(0) = ; = ; ; z(-1) = ; z(1) =

Выберем наибольшее и наименьшее среди значений функции z в критических точках, расположенных внутри и на границе круга.

Итак, z наиб. = z(0; 0) = 2

z наим. = z

Условный экстремум

Определение 2. Условным экстремумом функции z = f(x; y) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны уравнением j(x; y) = 0 (уравнение связи). , y = .

Таким образом, гипотенуза имеет наименьшее значение, если катеты треугольника равны между собой.

Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

332. z = x 2 - xy + y 2 - 4x в замкнутой области, ограниченной прямыми x = 0, y = 0, 2x + 3y - 12 = 0.

333. z = xy + x + y в квадрате, ограниченном прямыми x = 1, x = 2, y = 2, y = 3.

334. z = x 2 + 3y 2 + x - y в треугольнике, ограниченном прямыми x = 1, y = 1, x + y = 1.

335. z = sin x + sin y + sin (x + y) в области 0 £ x £ , 0 £ y £ .

336. z = xy в круге x 2 + y 2 £ 1.

337. z = 1 - x 2 - y 2 в круге (x - 1) 2 + (y - 1) 2 £ 1.

338. z = x 2 + y 2 в круге (x - ) 2 + (y - ) 2 £ 9.

339. Найти экстремум функции z = x 2 + y 2 , если x и y связаны уравнением = 1.

340. Из всех треугольников, имеющих периметр Р, найти наибольший по площади.

341. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найти такой, периметр которого имеет наименьшее значение.

342. Определить размеры открытого бассейна объемом V, имеющего наименьшую поверхность.

343. Найти размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего при данной полной поверхности S максимальный объем.

344. Определить размеры цилиндра наибольшего объема при условии, что его полная поверхность S = 6p.

* Под понятиями выпуклость и вогнутость графика функции следует понимать выпуклость вверх и вниз соответственно.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке . Как известно, такая функция достигает своих наибол. и наим. значений. Это значения функция может принять либо во внутренней точке отрезка , либо на границе отрезка, т.е. при =a или =b. Если , то точку следует искать среди критических точек данной функции.

Получаем следующее правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на :

1) найти критические точки функции на интервале (a,b);

2) вычислить значения функции в найденных критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка, т.е. в точках x=a и x=b;

4) среди всех вычисленных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечания:

1. Если функция y=f(x) на отрезке имеет лишь одну критическую точку и она является точкой максимума(минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее(наименьшее) значение.

2. Если функция y=f(x) на отрезке не имеет критических точек, то это означает, что на нем функция монотонно возрастает или убывает. Следовательно, свое наибольшее значение (М) функция принимает на одном конце отрезка, а наименьшее (m) – на другом.

60. Комплексные числа. Формулы Муавра.
Комплексным числом назыв. выражение вида z = x + iy, где x и y - действительные числа, а i – так назыв. мнимая единица, . Если x=0, то число 0+iy=iy назыв. числом мнимым; если y=0, то число x+i0=x отождествляется с действительным числом х, а это означает, что множество R всех действит. чисел явл. подмножеством множества С всех комплексных чисел, т.е. . Число х назыв. действительной частью z, . Два комплексных числа и называются равными (z1=z2) тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части: x1=x2, y1=y2. В частности, комплексное число Z=x+iy равно нулю тогда и только тогда, когда x=y=0. Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся. Два комплексных числа z=x+iy и , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M(x,y) плоскости Oxy такой, что x=Re z, y=Im z. И, наоборот, каждую точку M(x;y) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, т.к. на ней лежат действительные числа z = x + 0i = x. Ось ординат называется мнимой осью, так как на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z = 0 + iy. Комплексное число Z=x+iy можно задать с помощью радиус-вектора r=OM=(x,y). Длина вектора r, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается |z| или r. Величина угла между положит. Направлением действительной оси и вектором r, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа, обозначается Arg z или . Аргумент комплексного числа Z=0 не определен. Аргумент комплексного числа - величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого где arg z - главное значение аргумента, заключенное в промежутке (), т.е. - (иногда в кач-ве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку (0; )).

Запись числа z в виде z=x+iy называют алгебраической формой комплексного числа.

Действия над комплексными числами

Сложение. Суммой двух комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Сложение комплексных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: z1+z2=z2+z1. (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). Вычитание. Вычитание определяется как действие, обратное сложению. Разностью комплексных чисел z1 и z2 называется такое комплексное число z, которое, будучи сложенным с z2, дает число z1, т.е. z=z1-z2, если z+z2=z1. Если z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, то из этого определения легко получить z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Умножение. Произведением комплексных чисел z1=x1+iy1 и z2=x2+iy2 называется комплексное число, определяемое равенством z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Отсюда, в частности, и следует: . Если числа заданы в тригонометрической форме: .

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Формула Муавра (если есть n множителей и все они одинаковые): .

Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функцияz=z(x,y) , имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области D функция z (x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.

Без доказательства.

Можно предложить следующий план нахождения M и m .
1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы.
2. Находим стационарные точки внутри D .
3. Находим стационарные точки на каждой из границ.
4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.

Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D , ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху .

Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0) .

Граница Г области D состоит из трёх частей:

2. Найдём стационарные точки внутри области D :

3. Стационарные точки на границах l 1 , l 2 , l 3 :

4. Вычисляем шесть значений:

Примеры

Пример 1.

Данная функция определена при всех значениях переменных x и y , кроме начала координат, где знаменатель обращается в нуль.

Многочлен x 2 +y 2 непрерывен всюду, а значит и непрерывен корень квадратный из непрерывной функции.

Дробь же будет непрерывной всюду, кроме точек, где знаменатель равен нулю. То есть рассматриваемая функция непрерывна на всей координатной плоскости Оху , исключая начало координат.

Пример 2.

Исследовать на непрерывность функцию z=tg (x,y) . Тангенс определен и непрерывен при всех конечных значениях аргумента, кроме значений, равных нечетному числу величины π /2 , т.е. исключая точки, где

При каждом фиксированном "k" уравнение (1.11) определяет гиперболу. Поэтому рассматриваемая функция является непрерывной функцией x и y , исключая точки, лежащие на кривых (1.11).

Пример 3.

Найти частные производные функции u=z -xy , z > 0 .

Пример 4.

Показать, что функция

удовлетворяет тождеству:

– данное равенство справедливо для всех точек М(х;у;z) , кроме точки М 0 (a;b;c) .

Рассмотрим функцию z=f(х,у) двух независимых переменных и установим геометрический смысл частных переменных z" x =f" x (х,у) и z" y =f" y (х,у) .

В этом случае уравнение z=f (х,у) есть уравнение некоторой поверхности (рис.1.3). Проведем плоскость y = const . В сечении этой плоскостью поверхности z=f (х,у) получится некоторая линия l 1 пересечения, вдоль которой изменяются лишь величины х и z .

Частная производная z" x (её геометрический смысл непосредственно следует из известного нам геометрического смысла производной функции одной переменной) численно равна тангенсу угла α наклона, по отношению к оси Ох , касательной L 1 к кривой l 1 , получающейся в сечении поверхности z=f (х,у) плоскостью y = const в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgα .

В сечении же поверхности z=f (х,у) плоскостью х = const получится линия пересечения l 2 , вдоль которой изменяются лишь величины у и z . Тогда частная производная z" y численно равна тангенсу угла β наклона по отношению к оси Оу , касательной L 2 к указанной линии l 2 пересечения в точке М(х,у,f(xy)): z" x = tgβ .

Пример 5.

Какой угол образует с осью Ох касательная к линии:

в точке М(2,4,5) ?

Используем геометрический смысл частной производной по переменной х (при постоянном у ):

Пример 6.

Согласно (1.31):

Пример 7.

Считая, что уравнение

неявно задаёт функцию

найти z" x , z" y .

поэтому согласно (1.37) получаем ответ.

Пример 8.

Исследовать на экстремум:

1. Найдём стационарные точки, решая систему (1.41):

то есть найдены четыре стационарные точки.
2.

по теореме 1.4 в точке – минимум.

Причём

4. Вычисляем шесть значений:

Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.

Список литературы:

ü Белько И. В., Кузьмич К. К. Высшая математика для экономистов. I семестр: Экспресс-курс. – М.: Новое знание, 2002. – 140 с.

ü Гусак А. А.. Математический анализ и дифференциальные уравне-ния.– Мн.: ТетраСистемс, 1998. – 416 с.

ü Гусак А. А.. Высшая математика. Учебное пособие для студентов вузов в 2-х томах. – Мн., 1998. – 544 с. (1 т.), 448 с. (2 т.).

ü Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н. Ш. Кремера.– М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

ü Яблонский А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др. Высшая математика. Общий курс: Учебник / Под общ. ред. С. А. Самаля.– Мн.: Выш. шк., 2000. – 351 с.

Наибольшее и наименьшее значения

Функция, ограниченная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области.

Для нахождения наибольшего или наименьшего значений функции необходимо:

1. Найти стационарные точки, лежащие внутри данной области, и вычислить в них значение функции.

2. Найти наибольшее (наименьшее) значение функции на границе области.

3. Сравнить все полученные значения функции: самые большее (меньшее) и будет наибольшим (наименьшим) значением функции в данной области.

Пример 2 . Найти наибольшее (наименьшее) значение функции: в круге .

Решение .

точка стационарная; .

2 .Границей данной замкнутой области является окружность или , где .

Функция на границе области становится функцией одной переменной: , где . Найдем наибольшее и наименьшее значения этой функции.

При x=0 ; (0,-3) и (0,3)- критические точки.

Вычислим значения функции на концах отрезка

3 . Сравнивая между собой значения получаем,

В точках Aи B.

В точках C и D.

Пример 3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, заданной неравенством:

Решение . Область представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и прямой x+y=1.

1. Находим стационарные точки внутри области:

; ; у = - 1/ 8 ; х = 1/ 8.

Стационарная точка не принадлежит рассматриваемой области, поэтому значение z в ней не вычисляем.

2 .Исследуем функцию на границе. Так как граница состоит из трех участков, описанных тремя разными уравнениями, то исследуем функцию на каждом участке отдельно:

а ) на участке 0A: y=0- уравнение 0A, тогда ; из уравнения видно, что функция возрастает на 0A от 0 до 1. Значит .

б ) на участке 0B: x=0 - уравнение 0B, тогда ; –6y+1=0; - критическая точка.

в ) на прямой x+y = 1: y=1-x, тогда получим функцию

Вычислим значение функции z в точке B(0,1).

3 .Сравнивая числа получаем, что

На прямой AB.

В точке B.

Тесты для самоконтроля знаний.

1 . Экстремум функции - это

а) ее производные первого порядка

б) ее уравнение

в) ее график

г) ее максимум или минимум

2. Экстремум функции нескольких переменных может достигаться:

а) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка больше нуля

б) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка меньше нуля

в) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка не равны нулю

г) только в точках, лежащих внутри ее области определения, в которых все частные производные первого порядка равны нулю

3. Функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает в ней наибольшего и наименьшего значений:

а) в стационарных точках

б) или в стационарных точках, или в точках, лежащих на границе области

в) в точках, лежащих на границе области

г) во всех точках

4. Стационарными точками для функции нескольких переменных называются точки:

а) в которых все частные производные первого порядка не равны нулю

б) в которых все частные производные первого порядка больше нуля

в) в которых все частные производные первого порядка равны нулю

г) в которых все частные производные первого порядка меньше нуля