Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Функция n. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных Дифференциальное исчисление функций нескольких

Министерство образования Республики Беларусь

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

БЕЛОРУССКО-РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика»

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.

Методические указания и задания контрольной работы №2

для студентов-заочников

всех специальностей

комиссией методического совета

Белорусско-Российского университета

Одобрено кафедрой «Высшая математика» «_____»____________2004 г.,

протокол №

Составители: Червякова Т. И., Ромская О. И., Плешкова С.Ф.

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. Методические указания и задания контрольной работы №2 для студентов-заочников. В работе изложены методические рекомендации, контрольные задания, образцы решения задач по разделу «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных». Задания предназначены для студентов всех специальностей заочной формы обучения.

Учебное издание

Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных

Технический редактор А.А. Подошевко

Компьютерная верстка Н.П. Полевничая

Рецензенты Л.А. Новик

Ответственный за выпуск Л.В. Плетнев

Подписано в печать. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Печать трафаретная. Усл. печ. л. . Уч.-изд. л. . Тираж экз. Заказ №_________

Издатель и полиграфическое исполнение:

Государственное учреждение профессионального образования

«Белорусско-Российский университет»

Лицензия ЛВ №243 от 11.03.2003 г., лицензия ЛП №165 от 08.01.2003 г.

212005, г. Могилев, пр. Мира,43

© ГУВПО «Белорусско-Российский

университет», 2004

Введение

Настоящие методические указания содержат материал по изучению раздела «Дифференциальное исчисление функции одной и нескольких переменных».

Контрольную работу выполняют в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать номер, название дисциплины, указать свою группу, фамилию, инициалы и номер зачетной книжки.

Номер варианта соответствует последней цифре зачетной книжки. Если последняя цифра зачетной книжки – 0, номер варианта равен 10.

Решение задач необходимо проводить в последовательности, указанной в контрольной работе. При этом условие каждой задачи полностью переписывают перед ее решением. В тетради обязательно оставляют поля.

Решение каждой задачи следует излагать подробно, давать необходимые пояснения по ходу решения со ссылкой на используемые формулы, вычисления проводить в строгом порядке. Решение каждой задачи доводить до ответа, требуемого условием. В конце контрольной работы указать использованную при выполнении контрольной работы литературу.

Во просы для самостоятельного изучения

Производная функции: определение, обозначение, геометрический и механический смыслы. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.

Непрерывность дифференцируемой функции.

Правила дифференцирования функции одной переменной.

Производные сложной и обратной функции.

Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

Дифференцирование параметрически и неявно заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.

Дифференциал функции: определение, обозначение, связь с производной, свойства, инвариантность формы, геометрический смысл, применение в приближенных вычислениях значений функции.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши.

Правило Бернулли-Лопиталя, его применение к вычислению пределов.

Монотонность и экстремумы функции одной переменной.

Выпуклость и перегибы графика функции одной переменной.

Асимптоты графика функции.

Полное исследование и построение графика функции одной переменной.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Понятие функции нескольких переменных.

Предел и непрерывность ФНП.

Частные производные ФНП.

Дифференцируемость и полный дифференциал ФНП.

Дифференцирование сложных и неявно заданных ФНП.

Частные производные и полные дифференциалы высших порядков ФНП.

Экстремумы (локальный, условный, глобальный) ФНП.

Производная по направлению и градиент.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Решение типового варианта

Задача 1. Найти производные от функций:

Решение. При решении заданий а)-в) применим следующие правила дифференцирования:

1)
; 2)
;

3)
; 4)

5)
6)

7)
;

8) если , т.е.
- сложная функция, то
.

На основании определения производной и правил дифференцирования составлена таблица производных основных элементарных функций.

Используя правила дифференцирования и таблицу производных, найдем производные данных функций:

Ответ:

Ответ:

Ответ:

Данная функция является степенно-показательной. Применим метод логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем функцию:

.

Применим свойство логарифмов:
. Тогда
.

Дифференцируем обе части равенства по :

;

;

;

.

Функция задана неявно в виде
. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая функцией от :

Выразим из уравнения :

.

Функция задана параметрически
Производная такой функции находится по формуле:
.

Ответ:

Задача 2. Найти дифференциал четвертого порядка от функции
.

Решение. Дифференциал
называется дифференциалом первого порядка.

Дифференциал
называется дифференциалом второго порядка.

Дифференциал n-го порядка определяется по формуле:
, где n=1,2,…

Найдем последовательно производные.

Задача 3. В каких точках графика функции
касательная к нему параллельна прямой
? Сделать рисунок.

Решение. По условию касательные к графику и заданная прямая параллельны, поэтому угловые коэффициенты этих прямых равны между собой.

Угловой коэффициент прямой
.

Угловой коэффициент касательной к кривой в некоторой точке находим из геометрического смысла производной:

, где - угол наклона касательной к графику функции
в точке .

.

Для нахождения угловых коэффициентов искомых прямых составим уравнение

.

Решив его, найдем абсциссы двух точек касания:
и
.

Из уравнения кривой определяем ординаты точек касания:
и
.

Сделаем рисунок.

Ответ: (-1;-6) и
.

Замечание : уравнение касательной к кривой в точке
имеет вид:

уравнение нормали к кривой в точке имеет вид:

.

Задача 4. Провести полное исследование функции и построить ее график:

.

Решение. Для полного исследования функции и построения ее графика применяется следующая примерная схема:

найти область определения функции;

исследовать функцию на непрерывность и определить характер точек разрыва;

исследовать функцию на четность и нечетность, периодичность;

найти точки пересечения графика функции с осями координат;

исследовать функцию на монотонность и экстремум;

найти интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба;

найти асимптоты графика функции;

для уточнения графика иногда целесообразно найти дополнительные точки;

по полученным данным построить график функции.

Применим вышеуказанную схему для исследования данной функции.

Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не периодическая.

Точка
- точка пересечения с осью Ох.

С осью Оу:
.

Точка (0;-1) – точка пересечения графика с осью Оу.

Находим производную.

при
и не существует при
.

Критические точки:
и
.

Исследуем знак производной функции на промежутках .

Функция убывает на интервалах
; возрастает – на интервале
.

Находим вторую производную.

при
и не существует при .

Критические точки второго рода: и
.

Функция выпукла на интервале
, функция вогнута на интервалах
.

Точка перегиба ,
.

Докажем это, исследуя поведение функции вблизи точки .

Найдем наклонные асимптоты

Тогда
- горизонтальная асимптота

Найдем дополнительные точки:

По полученным данным строим график функции.

Задача 5. Правило Бернулли-Лопиталя сформулируем в виде теоремы.

Теорема : если две функции
и
:

.

Найти пределы, применяя правило Бернулли-Лопиталя:

а)
; б)
; в)
.

Решение. а) ;

в)
.

Применим тождество
. Тогда

Задача 6. Дана функция
. Найти , ,
.

Решение. Найдем частные производные.

Полный дифференциал функции
вычисляется по формуле:

.

Ответ:
,
,
.

Задача 7 Продифференцировать:

Решение. а) Производная сложной функции находится по формуле:

;
;

Ответ:

б) Если функция задана неявно уравнением
, то ее частные производные находятся по формулам:

,
.

,
,
.

;
.

Ответ:
,
.

Задача 8 Найти локальные, условные или глобальные экстремумы функции:

Решение. а) Найдем критические точки функции, решив систему уравнений:

- критическая точка.

Применим достаточные условия экстремума.

Найдем вторые частные производные:

;
;
.

Составляем определитель (дискриминант):

Т.к.
, то в точке М 0 (4; -2) функция имеет максимум.

Ответ: Z max =13.

б)
, при условии, что
.

Для составления функции Лагранжа применим формулу

- данная функция,

Уравнение связи. можно сократить. Тогда. Левосторонний и правосторонний пределы. Теоремы... Документ

... ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 6 § 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ , ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 6 1.Определение функции одной переменной 6 2.Способы задания функции 6 3.Сложная и обратная функции 7 4.Элементарные функции 8 § 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ...

Расширением исчисления функций переменной является многомерный анализ, когда происходит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных – функции, которые интегрируются и дифференцируются, затрагивают не одну, а несколько переменных.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных подразумевает проводить следующие типичные операции:

1. Непрерывность и пределы.

Ко многим патологическим и нелогичным результатам, которые не свойственны функции одной переменной, приводит исследование непрерывности и пределов в многомерных пространствах. К примеру, имеются двух переменных скалярные функции, имеющие в области определения точки, которые дают специфический предел при приближении вдоль прямой, а при приближении вдоль параболы дают совершенно иной предел. К нулю функция стремится к нулю при прохождении по любой прямой, которая проходит через начало координат. В связи с тем, что пределы не совпадают по различным траекториям, единого предела не существует.

При стремлении переменных х, функция пределом имеет определенное число. Если предельное значение функции в определенной точке существует и равняется частному значению функции, то такая функция называется непрерывной в данной точке. Если функция непрерывна на множестве точек, то тогда она называется непрерывной на множестве точек.

2. Нахождение частной производной.

Под частная производной нескольких переменных подразумевается производная одной переменной, а константами считаются все остальные переменные.

3. Кратное интегрирование.

На функции многих переменных кратный интеграл расширяет понятие интеграла. Для вычисления объемов и площадей областей в пространстве и плоскости используются интегралы двойные и тройные. Согласно теоремы Тонелли-Фубини, кратный интеграл также может вычислен быть, как повторный интеграл.

Все это позволяет производить дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

лухов Ю.П. Конспект лекций по высшей математике. 6

Лекция 22

ТЕМА: Дифференциальное исчисление функции нескольких переменн ы х

План.

1. Дифференцирование сложных функций. Инвариантность формы дифференциала.
2. Неявные функции, условия их существования. Дифференцирование неявных функций.
3. Частные производные и дифференциалы высших порядков, их свойства.*
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала. Формула Тейлора для функции нескольких переменных. *
5. Производная функции по направлению. Градиент и его свойства.

Дифференцирование сложных функций

Пусть аргументы функции z = f (x , y ) u и v : x = x (u , v ), y = y (u , v ). Тогда функция f тоже есть функция от u и v . Выясним, как найти ее частные производные по аргументам u и v , не делая непосредственной подстановки z = f (x (u , v ), y (u , v )). При этом будем предполагать, что все рассматриваемые функции имеют частные производные по всем своим аргументам.

Зададим аргументу u приращение Δ u , не изменяя аргумент v . Тогда

. (16. 1 )

Если же задать приращение только аргументу v , получим:

. (16. 2 )

Разделим обе части равенства (16. 1 ) на Δ u , а равенства (16. 2 ) – на Δ v и перейдем к пределу соответственно при Δ u → 0 и Δ v → 0. Учтем при этом, что в силу непрерывности функций х и у . Следовательно,

(16. 3 )

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Пусть x = x (t ), y = y (t ). Тогда функция f (x , y ) является фактически функцией одной переменной t , и можно, используя формулы (43 ) и заменяя в них частные производные х и у по u и v на обычные производные по t (разумеется, при условии дифференцируемости функций x (t ) и y (t ) ) , получить выражение для:

(16. 4 )

Предположим теперь, что в качестве t выступает переменная х , то есть х и у связаны соотношением у = у (х). При этом, как и в предыдущем случае, функция f х. Используя формулу (16.4) при t = x и учитывая, что, получим, что

. (16. 5 )

Обратим внимание на то, что в этой формуле присутствуют две производные функции f по аргументу х : слева стоит так называемая полная производная , в отличие от частной, стоящей справа.

Примеры.

1. Пусть z = xy , где x = u ² + v , y = uv ². Найдем и. Для этого предварительно вычислим частные производные трех заданных функций по каждому из своих аргументов:

Тогда из формулы (16.3) получим:

(В окончательный результат подставляем выражения для х и у как функций u и v ).

1. Найдем полную производную функции z = sin (x + y ²), где y = cos x .

Инвариантность формы дифференциала

Воспользовавшись формулами (15.8) и (16. 3 ), выразим полный дифференциал функции

z = f (x , y ) , где x = x (u , v ), y = y (u , v ), через дифференциалы переменных u и v :

(16. 6 )

Следовательно, форма записи дифференциала сохраняется для аргументов u и v такой же, как и для функций этих аргументов х и у , то есть является инвариантной (неизменной).

Неявные функции, условия их существования

Определение. Функция у от х , определяемая уравнением

F (x , y ) = 0 , (16.7 )

называется неявной функцией .

Конечно, далеко не каждое уравнение вида (16.7 ) определяет у как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от х . Например, уравнение эллипса

задает у как двузначную функцию от х : для

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 1 (без доказательства). Пусть:

1. функция F (x , y ) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике с центром в точке (х 0 , у 0 ) ;
2. F (x 0 , y 0 ) = 0 ;
3. при постоянном х F (x , y ) монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием у .

Тогда

а) в некоторой окрестности точки (х 0 , у 0 ) уравнение (16.7 ) определяет у как однозначную функцию от х : y = f (x ) ;

б) при х = х 0 эта функция принимает значение у 0 : f (x 0 ) = y 0 ;

в) функция f (x ) непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции y = f (x ) по х .

Теорема 2 . Пусть функция у от х задается неявно уравнением (16.7 ), где функция F (x , y ) удовлетворяет условиям теоремы 1. Пусть, кроме того, - непрерывные функции в некоторой области D , содержащей точку (х,у), координаты которой удовлетворяют уравнению (16.7 ), причем в этой точке
. Тогда функция у от х имеет производную

(16.8 )

Доказательство.

Выберем некоторое значение х и соответствующее ему значение у . Зададим х приращение Δ х , тогда функция y = f (x ) получит приращение Δ у . При этом F (x , y ) = 0, F (x + Δ x , y +Δ y ) = 0, поэтому F (x + Δ x , y +Δ y ) – F (x , y ) = 0. Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F (x , y ), которое можно представить в виде (15.5 ):

Разделив обе части полученного равенства на Δ х , выразим из него : .

В пределе при
, учитывая, что и
, получим: . Теорема доказана.

Пример. Найдем, если. Найдем, .

Тогда из формулы (16.8 ) получаем: .

Производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные функции z = f (x , y ) являются, в свою очередь, функциями переменных х и у . Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:

Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по х и по у и получить восемь частных производных 3-го порядка и т.д. Определим производные высших порядков так:

Определение . Частной производной n -го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (n – 1)-го порядка.

Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например,).

Докажем это утверждение.

Теорема 3. Если функция z = f (x , y ) и ее частные производные
определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

(16.9 )

Доказательство.

Рассмотрим выражение и введем вспомогательную функцию. Тогда

Из условия теоремы следует, что дифференцируема на отрезке [ x , x + Δ x ], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа: где

[ x , x + Δ x ]. Но Так как в окрестности точки М определена, дифференцируема на отрезке [ y , y + Δ y ], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа: , где Тогда

Изменим порядок слагаемых в выражении для А :

И введем другую вспомогательную функцию, тогда Проведя те же преобразования, что и для, получим, что где. Следовательно,

В силу непрерывности и. Поэтому, переходя к пределу при получаем, что, что и требовалось доказать.

Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.

Дифференциалы высших порядков

Определение . Дифференциалом второго порядка функции u = f (x , y , z ) называется

Аналогично можно определить дифференциалы 3-го и более высоких порядков:

Определение . Дифференциалом порядка k называется полный дифференциал от дифференциала порядка (k – 1): d k u = d (d k - 1 u ).

Свойства дифференциалов высших порядков

1. k -й дифференциал является однородным целым многочленом степени k относительно дифференциалов независимых переменных, коэффициентами при которых служат частные производные k -го порядка, умноженные на целочисленные постоянные (такие же, как при обычном возведении в степень):

1. Дифференциалы порядка выше первого не инвариантны относительно выбора переменных.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция z = f (x , y ) является дифференцируемой в окрестности точки М (х 0 , у 0 ) . Тогда ее частные производные и являются угловыми коэффициентами касательных к линиям пересечения поверхности z = f (x , y ) с плоскостями у = у 0 и х = х 0 , которые будут касательными и к самой поверхности z = f (x , y ). Составим уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Направляющие векторы касательных имеют вид {1; 0; } и {0; 1; }, поэтому нормаль к плоскости можно представить в виде их векторного произведения: n = {-,-, 1}. Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:

, (16.10 )

где z 0 = .

Определение. Плоскость, определяемая уравнением (16.10 ), называется касательной плоскостью к графику функции z = f (x , y ) в точке с координатами (х 0 , у 0 , z 0 ) .

Из формулы (15.6 ) для случая двух переменных следует, что приращение функции f в окрестности точки М можно представить в виде:

Или

(16.11 )

Следовательно, разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ, при ρ→ 0.

При этом дифференциал функции f имеет вид:

что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции. В этом состоит геометрический смысл дифференциала.

Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный касательной плоскости в точке М (х 0 , у 0 ) поверхности z = f (x , y ) , называется нормалью к поверхности в этой точке.

В качестве нормали к рассматриваемой поверхности удобно принять вектор -- n = {,-1}.

z = f (x,y)

M 0 (x 0 , y 0 , z 0 )

M (x 0 , y 0 )

Пример.

Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z = xy в точке М (1; 1). При х 0 = у 0 = 1 z 0 = 1; . Следовательно, касательная плоскость задается уравнением: z = 1 + (x – 1) + (y – 1), или x + y – z – 1 = 0. При этом вектор нормали в данной точке поверхности имеет вид: n = {1; 1; -1}.

Найдем приращение аппликат графика функции и касательной плоскости при переходе от точки М к точке N (1,01; 1,01).

Δ z = 1,01² - 1 = 0,0201; Δ z кас = (1,01 + 1,01 – 1) – (1 + 1 – 1) = 0,02. Следовательно,

dz = Δ z кас = 0,02. При этом Δ z – dz = 0,0001.

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

Как известно, функцию F (t ) при условии существования ее производных по порядок n +1 можно разложить по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа (см. формулы (21), (2 5 )). Запишем эту формулу в дифференциальной форме:

(16.1 2 )

где

В этой форме формулу Тейлора можно распространить на случай функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию двух переменных f (x , y ) , имеющую в окрестности точки (х 0 , у 0 ) непрерывные производные по (n + 1)-й порядок включительно. Зададим аргументам х и у некоторые приращения Δ х и Δ у и рассмотрим новую независимую переменную t :

(0 ≤ t ≤ 1). Эти формулы задают прямолинейный отрезок, соединяющий точки (х 0 , у 0 ) и (х 0 + Δ х, у 0 + Δ у ). Тогда вместо приращения Δ f (x 0 , y 0 ) можно рассматривать приращение вспомогательной функции

F(t) = f (x 0 + t Δ x, y 0 + t Δ y) , (16.1 3 )

равное Δ F (0) = F (1) – F (0). Но F (t ) является функцией одной переменной t , следовательно, к ней применима формула (16.1 2 ). Получаем:

Отметим, что при линейной замене переменных дифференциалы высших порядков обладают свойством инвариантности, то есть

Подставив эти выражения в (16.1 2 ), получим формулу Тейлора для функции двух переменных :

, (16.1 4 )

где 0< θ <1.

Замечание. В дифференциальной форме формула Тейлора для случая нескольких переменных выглядит достаточно просто, однако в развернутом виде она весьма громоздка. Например, даже для функции двух переменных первые ее члена выглядят так:

Производная по направлению. Градиент

Пусть функция u = f (x , y , z ) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M (x , y , z ) и проведем из нее вектор S , направляющие косинусы которого cosα , cosβ , cosγ . На векторе S на расстоянии Δ s от его начала найдем точку М 1 (х+ Δ х, у+ Δ у, z + Δ z ), где

Представим полное приращение функции f в виде:

где

После деления на Δ s получаем:

.

Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде:

(16.15 )

Определение. Предел отношения при называется производной от функции u = f (x , y , z ) по направлению вектора S и обозначается.

При этом из (16.1 5 ) получаем:

(16.1 6 )

Замечание 1 . Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при получаем:

.

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х 0 и у = у 0 . Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х 0 , у 0 ) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси O z и прямой l .

Определение . Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x , y , z ) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x , y , z ).

Обозначение: grad u = .

Свойства градиента

1. Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S .

Доказательство . Единичный вектор направления S имеет вид e S ={ cosα , cosβ , cosγ }, поэтому правая часть формулы (16.1 6 ) представляет собой скалярное произведение векторов grad u и e s , то есть указанную проекцию.

1. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное | grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента. Доказательство. Обозначим угол между векторами S и grad u через φ. Тогда из свойства 1 следует, что

| grad u |∙ cosφ , (16.1 7 )

следовательно, ее наибольшее значение достигается при φ=0 и равно | grad u |.

1. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u , равна нулю.

Доказательство. В этом случае в формуле (16.17)

1. Если z = f (x , y ) – функция двух переменных, то grad f = направлен перпендикулярно к линии уровня f (x , y ) = c , проходящей через данную точку.

афедра информатики и высшей математики КГПУ

Вопросы к экзамену по математике. II семестр.

При ответе на вопрос требуется дать определение всем используемым терминам.

Алгебра.

1. Группы, кольца, поля. Изоморфизм групп.

2. Определение линейного пространства. Теорема о линейно зависимых и независимых системах векторов.

3. Теорема о линейной зависимости системы из k векторов, каждый из которых является линейной комбинацией некоторой системы из m векторов (k>m).

4. Базис линейного пространства. Теорема об инвариантности числа элементов базиса. Теорема о количестве элементов линейно независимой системы (Т. 1.3, Т.1.4).

5. Координаты вектора. Теоремы о координатах вектора (Т.1.5 и Т.1.7).

6. Определение и свойства скалярного произведения. Угол между векторами.

7. Пространства и .

8. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов.

9. Матрицы: определение; сложение и умножение на число. Размерность и базис пространства матриц одного размера.

10. Перемножение матриц. Свойства.

11. Обратные и транспонированные матрицы.

12. Перемножение матриц, разбитых на блоки.

13. Ортогональные матрицы.

14. Определитель матрицы: определение, разложение по первому столбцу. Определитель верхней и нижней треугольных матриц. Связь определителей и .

15. Перестановки.

16. Теорема о выражении определителя через сумму слагаемых, в каждом из которых содержится произведение элементов матрицы (по одному из каждой строки и каждого столбца), снабженных знаком по некоторому правилу.

17. Свойства определителей: перестановка строк (столбцов), разложение по произвольному столбцу (строке), сумма произведений элементов i-ой строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов j-ой строки.

18. Линейность определителя по элементам строки или столбца. Определитель матрицы, строки (столбцы) которой являются линейно зависимыми. Определитель матрицы, к некоторой строке которой прибавлена другая, умноженная на число.

19. Определитель блочной матрицы. Определитель произведения матриц.

20. Обратная матрица. Следствия о треугольных матрицах.

21. Матрицы элементарных преобразований.

22. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы несовместны или имеют единственное решение.

23. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений в случае, когда системы имеют бесконечно много решений. Структура общего решения систем.

24. Однородные системы линейных уравнений.

25. Теорема Крамера.

26. Горизонтальный и вертикальный ранги матрицы. Ранг по минорам. Их совпадение для трапециевидной матрицы.

27. Неизменность ранга матрицы при умножении ее на невырожденную. Теорема о равенстве рангов для произвольной матрицы.

28. Теорема Кронекера-Капелли.

29. Собственные числа и векторы матрицы. Совпадение характеристических многочленов у подобных матриц. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам.

30. Связь между линейной зависимостью системы векторов и соответствующей системы координатных столбцов. Связь координатных столбцов одного вектора в разных базисах.

31. Линейное отображение линейных пространств. Матрица отображения в некоторых базисах. Ее использование для вычисления образа вектора. Связь матриц отображения в разных базисах.

32. Ядро и образ отображения. Ранг отображения, его связь с рангом матрицы отображения.

33. Собственные числа и собственные векторы оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов.

34. Линейная независимость собственных векторов, соответствующих различным собственным числам оператора. Собственные подпространства, их размерность. Следствия.

35. Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта.

36. Теорема о собственных числах и собственных векторах вещественной симметричной матрицы.

37. Теорема об ортогональном подобии вещественной симметричной матрицы некоторой диагональной матрице. Следствия.

38. Определение билинейной и квадратичной форм. Матрица билинейной формы в некотором базисе, ее использование для вычисления билинейной формы. Связь матриц одной билинейной формы в разных базисах.

39. Теорема о существовании ортогонального преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Практический метод приведения квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования базиса (метод собственных векторов). Построение кривой

40. Теорема о необходимом и достаточном условии положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.

41. Теорема о существовании треугольного преобразования базиса, приводящего квадратичную форму к каноническому виду. Критерий Сильвестра.

Математический анализ.

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

42. Последовательность точек в .Теорема о покоординатной сходимости.

43. Предел функции р переменных. Непрерывность функции р переменных. Теорема Вейерштрасса.

44. Дифференцируемость функции р переменных. Дифференцируемость суммы и произведения дифференцируемых функций.

45. Частные производные функции р переменных. Связь между дифференцируемостью функции и существованием частных производных. Пример функции, которая имеет частные производные в точке А, но не дифференцируема в этой точке.

46. Дифференцируемость функции в случае существования и непрерывности частных производных.

47. Производная сложной функции. Частные производные сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.

48. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

49. Дифференциалы высших порядков. Отсутствие инвариантности формы у дифференциалов порядка выше первого.

50. Формула Тейлора функции р переменных.

51. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданной функции одной переменной. Вычисление первой и второй производных функции у(х) , заданной неявно уравнением

52. Теорема о существовании и дифференцируемости неявно заданных функций р переменных, заданных системой функциональных уравнений. Приемы вычисления производных. Вычисление первых и вторых производных функции z(x,y) , заданной неявно уравнением

.

Вычисление первых производных функций y(x), z(x) , u(x), заданных неявно системой

.

53. Определение точек экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек экстремума.

54. Определение точек условного экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования точек условного экстремума. Пример: найти точки условного экстремума функции при условии .

При ответе на оценку 3 требуется знать все определения и формулировки из вопросов 1 – 54, а также доказательства теорем из вопросов 25, 29, 33, 40, 46, 49. Использовать конспекты (и шпаргалки) нельзя.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Основные определение и понятия.

1. Образ функции двух переменных, область определения и изменения функции.

2. Частные производные, их геометрический смысл.

3. Производные высших порядков.

4. Дифференциал функции двух переменных, приближенные вычисления с помощью дифференциала .

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Переменная zhttps://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">G по закону (правилу) f : (x , y ) → z (z = f (x , y ) ) устанавливается взаимно-однозначное соответствие.

Множество G называется областью определения функции z = f (x , y ) и обозначается

Множество Z называется областью изменения функции z = f (x , y ) и обозначается Е(z ).

Функция двух переменных может обозначаться:

а) в явном виде z = f (x , y ); z = φ (x , y ); z = z (x , y );

b ) в неявном виде F (x , y , z (x , y ))=0.

Если (х0,у0) https://pandia.ru/text/80/329/images/image003_67.gif" width="76 height=24" height="24">; Е(z ) ≥ 0.

Графиком функции дух переменных является поверхность в пространстве .

https://pandia.ru/text/80/329/images/image006_41.gif" width="83" height="29">; изобразить на плоскости хоу

множество точек области определения этих функций.

1) Закон (правило) соответствия функции и пар независимых переменных z = f (x , y ) – логарифмический, поэтому (х – у)>0, то есть х > у. Область определения – множество точек плоскости хоу , лежащих под прямой у = х , не включая точек, принадлежащих прямой, поэтому ее изображают пунктиром.

Область изменения по закону функциональной зависимости z .

2) Закон (правило) соответствия z = f (x , y ) ,

поэтому (у – х2) ≥ 0, то есть у ≥ х2. Область определения –

множество точек плоскости хоу , лежащих внутри

параболы у ≥ х2 , включая точки, принадлежащих

параболе (границе области). Область изменения по

закону функциональной зависимости z ≥ 0.

Определение частных производных функции двух переменных и их геометрический смысл.

Частными производными функции z = f (x, у) называются пределы отношения приращений функции z = z (х, у) к приращению соответствующего аргумента по направлениям ох или оу при Δ х → 0 и Δ у → 0 соответственно:

Частная производная по х:

при вычислении считают x = const.

Геометрически

https://pandia.ru/text/80/329/images/image014_30.gif" width="108" height="24"> , где α – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси ох;

Где β – угол касательной к поверхности в точке с направлением оси оу.

Правила дифференцирования и табличные производные функции одной переменной полностью справедливы для функции двух и нескольких переменных.

Для функции двух переменных z = f (x, y) существуют две

частные производные первого порядка : https://pandia.ru/text/80/329/images/image017_23.gif" width="89" height="44 src=">, которые так же являются функциями двух переменным и их можно дифференцировать по переменным х и у. Найдем четыре частные производные второго порядка :

Отметим, что смешанные производные высших порядков равны (теорема Шварца): , то есть различных производных

второго порядка – три: , .

Третьих производных для функции двух переменных (z = f (x, y)) – восемь: , но из них различных – четыре, так как смешанные производные при дифференцировании в любом порядке равны:

Найдем первые производные:

https://pandia.ru/text/80/329/images/image037_12.gif" width="139" height="27">Найдем вторые смешанные производные:

видим, что, то есть проверили теорему Шварца и показали, что.

Дифференциал и его геометрический смысл. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Полным дифференциалом функции z = f (x, у) называется линейная часть приращения функции (до касательной плоскости к поверхности в точке (х0;у0) ):

Данную формулу используют для приближенных вычислений функции в точке.

Например , нужно вычислить значение функции в, где

= 1.02 = 1 + 0.02 , а у0 = 2.97 = 3 - 0.03 : примем за х = 1 , а за у = 3 ;

за Δ х и Δ у следует выбрать Δ х =0.02 и Δ у = – 0.03 , чтобы погрешность вычисления была наименьшей (не следует в данном примере за Δ у выбирать значение Δ у = 0.97 , а за у = 2, представив точку у0 = 2.97 =2 + 0,97).

Пример 2. Вычислить значение https://pandia.ru/text/80/329/images/image049_4.gif" width="79" height="33"> и заметим, что вычислить ее необходимо в точке х0 = 0,98; у0 = 1,05.

Воспользуемся возможностью провести вычисления с помощью дифференциала. Представим точку х0 = 0,98 = 1 – 0,02; у0 = 1,05 = 1 + 0,05 и обозначим х = 1; у = 1; Δх = - 0,02; Δу = 0,05.

Вычислим частные производные функции = ; . Тогда .

При и вычислим

https://pandia.ru/text/80/329/images/image057_3.gif" width="376" height="41 src=">.

Вычислив это значение на калькуляторе, получим https://pandia.ru/text/80/329/images/image058_4.gif" width="192 height=48" height="48">0,0003.

Из определения дифференциала можно еще выделить его геометрический смысл.

Если А(х, у)https://pandia.ru/text/80/329/images/image001_141.gif" width="13" height="13">плоскости Z (x , y ) = z (A ) + a (x - xA ) + b (y - yA ), а поверхность графика функции сливается с плоскостью в окрестности точки А(х, у) , то такая плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в этой точке.
Или уравнение касательной плоскости а(х-хА)+ b (у-уА)+(-1)(z - zA )=0 и нормальный вектор к ней , который считают нормальным вектором к поверхности в точке А(х, у).