Производная второго порядка и её механический смысл. Механический смысл производной определение Примеры для самостоятельного решения

Главная / Ф. М. Достоевский

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некотороемалое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + ) - f (x 0)называется приращением функции . Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:

Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

Где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точкуB, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0)). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0) имеет вид:

y = f ’(x 0) · x + b .

Чтобы найти b ,воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b ,

отсюда, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :

y = f (x 0) + f ’(x 0) · (x – x 0) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) - x (t 0) = , а её средняя скорость равна: v a = / . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью v ( t 0) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда, v (t 0) = x’ (t 0) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).

Примеры задач

Задача 1. Составьте уравнение общей касательной к графикам функций и .

Прямая является общей касательной графиков функций и , если она касается как одного, так и другого графиков, но совершенно не обязательно в одной и той же точке.

- уравнение касательной к графику функции y=x2 в точке с абсциссой x0

- уравнение касательной к графику функции y=x3 в точке с абсциссой x1

Прямые совпадают, если их угловые коэффициенты и свободные члены равны. Отсюда

Решением системы будут

Уравнения общих касательных имеют вид:

16. Правила дифференцирования. Производные сложной, обратной и неявной функции.
Правила дифференцирования
При дифференцировании константу можно выносить за производную:

Правило дифференцирования суммы функций:

Правило дифференцирования разности функций:

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница):

Правило дифференцирования частного функций:

Правило дифференцирования функции в степени другой функции:

Правило дифференцирования сложной функции:

Правило логарифма при дифференцировании функции:

Производная сложной функции

"Двухслойная" сложная функция записывается в виде где u = g(x) - внутренняя функция, являющаяся, в свою очередь, аргументом для внешней функции f. Если f и g - дифференцируемые функции, то сложная функция также дифференцируема по x и ее производная равна Данная формула показывает, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную от внутренней функции. Важно, однако, что производная внутренней функции вычисляется в точке x, а производная внешней функции - в точке u = g(x)! Эта формула легко обобщается на случай, когда сложная функция состоит из нескольких "слоев", вложенных иерархически друг в друга. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих правило производной сложной функции. Это правило широко применяется и во многих других задачах раздела "Дифференцирование".

Пример 1

Найти производную функции . Решение. Поскольку , то по правилу производной сложной функции получаем

Функция является сложной, если она может быть представлена в виде функции от функции у = f[φ(х)], где у =f(u), аu=φ(х), гдеuпромежуточный аргумент. Любую сложную функцию можно представить в виде элементарных функций (простых), которые являются ее промежуточными аргументами.

Примеры:

Простые функции: Сложные функции:

у= х 2 у = (х+1) 2 ;u= (х+1); у=u 2 ;

у = sinx; у =sin2x;u= 2х; у =sinu;

у = е х у = е 2х;u= 2х; у = е u ;

у = lnх у =ln(х+2);u= х+2; у =lnu.

Общее правило дифференцирования сложной функции дается приведённой теоремой без доказательства.

Если функция u=φ(х) имеет производнуюu" x =φ"(х) в точке х, а функция у =f(u) производную у" u =f" (u) в соответствующей точкеu, то производная сложной функции у =f[φ(х)] в точке х находится по формуле: у" х =f" (u) ·u"(х).

Часто используется менее точная, но более короткая формулировка данной теоремы: производная сложной функции равна произведению производной по промежуточной переменной на производную промежуточной переменной по независимой переменной .

Пример: у =sin2x 2 ; u= 2х 2 ; у =sinu;

у" х = (sinu)" u · (2x 2)" х =cosu · 4х = 4х ·cos2х 2 .

3. Производная второго порядка. Механический смысл второй производной.

Производную функции у =f(х) называют производной первого порядка или просто первой производной функции. Эта производная является функцией от х и её можно дифференцировать вторично. Производная от производной называется производной второго порядка или второй производной. Она обозначается: у" хх – (игрек два штриха по икс);f"(х) – (эф два штрих по икс);d 2 у/dх 2 – (дэ два игрек по дэ икс дважды);d 2 f/dх 2 – (дэ два эф по дэ икс дважды).

Исходя из определения второй производной, можно записать:

у" хх = (у" х)" х;f"(х) = " x d 2 у/dх 2 =d/dх (dу/dх).

Вторая производная в свою очередь есть функция от х и ее можно дифференцировать и получить производную третьего порядка и т.д.

Пример: у = 2х 3 +х 2 ; у" хх = [(2х 3 +х 2)" x ]" x = (6х 2 +2х)" x = 12х+2;

Механический смысл второй производной объясняется на основе мгновенного ускорения, которым характеризуют переменное движение.

Если S=f(t) – уравнение движения, то=S" t ;а ср. =;

а мгн. =
а ср =
=" t ;а мгн. = " t = (S" t)" t = S" tt .

Таким образом, вторая производная от пути по времени равна мгновенному ускорению переменного движения. В этом и заключается физический (механический) смысл 2-ой производной.

Пример: Пусть прямолинейное движение материальной точки происходит по законуS=t 3 /3. Ускорение материальной точки будет определяться как вторая производная S" tt:а = S" tt = (t 3 /3)" = 2t.

4. Дифференциал функции.

С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции, которое имеет важное практическое применение.

Функция f(х ) имеет производную
= f" (х);

Согласно теореме (теорему не рассматриваем) о связи бесконечно малой величины α(∆х)(
α(∆х)=0) с производной:= f" (х)+ α (∆х), откуда ∆f = f" (х) ∆х+α(∆х) · ∆х.

Из последнего равенства следует, что приращение функции состоит из суммы, каждое слагаемое которой есть бесконечно малая величина при ∆х→ 0.

Определим порядок малости каждой бесконечно малой величины этой суммы по отношению к бесконечно малой ∆х:

Следовательно, бесконечно малые f (х) ∆х и ∆х имеют одинаковый порядок малости.

Следовательно, бесконечно малая величина α(∆х)∆х имеет более высокий порядок малости по отношению к бесконечно малой величине ∆х. Это означает, что в выражениях для ∆f второе слагаемое α(∆х)∆х быстрее стремится к 0 при ∆х→0, чем первое слагаемое f" (х)∆х.

Это первое слагаемое f" (х)∆х называют дифференциалом функции в точке х. Он обозначается dy(дэ игрек) илиdf(дэ эф). Итак,dy=df= f" (х)∆х илиdy= f" (х)dх, т.к. дифференциалdх аргумента равен его приращению ∆х (если в формулеdf= f" (х)dх принять, что f(х)=х, то получимdf=dx=x" х ∆x, ноx" х =1, т.е.dx=∆х). Итак, дифференциал функции равен произведению этой функции на дифференциал аргумента.

Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал функции – есть главная часть приращения функции ∆f, линейная относительно аргумента ∆х. Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую величину α(∆х)∆х более высокого порядка малости, чем ∆х. Действительно ∆f=f" (х)∆х+α(∆х)∆х или ∆f=df+α(∆х)∆х; откудаdf= ∆f- α(∆х)∆х.

Пример: у = 2х 3 +х 2 ;dу =?dу = у"dх = (2х 3 +х 2)" x dx= (6х 2 +2х)dx.

Пренебрегая бесконечно малой величиной α(∆х)∆х более высокого порядка малости, чем ∆х , получим df≈ ∆f≈ f" (х)dх т.е. дифференциал функции может быть использован для приближенного вычисления приращения функции, так как дифференциал обычно вычислять проще. Дифференциал может быть применен и к приближенному вычислению значения функции. Пусть нам известна функцияy= f(х) и ее производная в точке х. Необходимо найти значение функцииf(х+∆х) в некоторой близкой точке (х+∆х). Для этого воспользуемся приближенным равенством ∆у ≈dyили ∆у ≈f" (х) · ∆х. Учитывая, что ∆у=f(х+∆х)-f(х), получимf(х+∆х)-f (х) ≈f" (х) ·dх, откудаf(х+∆х) = f(х)+f" (х) ·dх. Полученная формула решает поставленную задачу.

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная S t ’ равна скорости точки в данный момент времени: S t ’= V.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t +Dt – скорость равна V + DV , т. е. за промежуток времени Dt скорость изменилась на величину DV .

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за время Dt . Предел этого отношения при Dt ®0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой а: Итак, вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. .

Дифференциалы высших порядков

Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция х , можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается : .

Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной: .

Приложение дифференциального исчисления

Функция называется возрастающей (убывающей ) на интервале ( a; b), если для любых двух точек x 1 и x 2 из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство ().

Необходимое условие возрастания (убывания) : Если дифференцируемая функция на интервале ( a, b) возрастает (убывает), то производная этой функции неотрицательна (неположительна) в этом интервале () .

Достаточное условие возрастания (убывания): Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Функция f(x) в точке х 1 имеет максимум , если для любого х f(x 1)>f(x) , при x ¹x 1 .

Функция f(x) в точке х 1 имеет минимум , если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x 1), при x ¹x 1 .

Экстремум функции называют локальным экстремумом, так как понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х 1 . Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Наличие максимума или минимума в отдельной точке интервала не означает, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале.

Необходимое условие экстремума: В точке экстремума дифференцируемой функции ее производная равна нулю.

Достаточное условие экстремума: Если производная дифференцируемой функция в некоторой точке х 0 равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(х 0) является экстремумом функции, причем если изменение знака происходит с плюса на минус, то максимум, если с минуса на плюс, то минимум.

Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует называются критическими.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Правило исследования функции на экстремум:

1). Найти критические точки функции у = f(x) и выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;

2). Исследовать знак производной f"(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;

3). На основании достаточного условия экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке необходимо выполнить несколько этапов:

1). Найти критические токи функции, решив уравнение f’(x)=0.

2). Если критические точки попали на отрезок, то необходимо найти значения в критических точках и на границах интервала. Если критические точки не попали на отрезок (или их не существует), то находят значения функции только на границах отрезка.

3). Из полученных значений функции выбирают наибольшее и наименьшее и записывают ответ, например, в виде: ; .

Решение задач

Пример 2.1. Найти дифференциал функции: .

Решение. На основании свойства 2 дифференциала функции и определения дифференциала имеем:

Пример 2.2. Найти дифференциал функции:

Решение. Функцию можно записать в виде: , . Тогда имеем:

Пример 2.3. Найти вторую производную функции:

Решение . Преобразуем функцию .

Найдем первую производную:

найдем вторую производную:

.

Пример 2.4. Найти дифференциал второго порядка от функции .

Решение. Найдем дифференциал второго порядка на основании выражения для вычисления :

Найдем сначала первую производную:

; найдем вторую производную: .

Пример 2.5. Найти угловой коэффициент касательной к кривой , проведенной в точке с абсциссой х=2 .

Решение . На основании геометрического смысла производной имеем, что угловой коэффициент равен производной функции в точке, абсцисса которой равна х . Найдем .

Вычислим – угловой коэффициент касательной к графику функции.

Пример 2.6. Популяция бактерий в момент времени t (t измеряется в часах) насчитывает особей. Найти скорость роста бактерий. Найти скорость роста бактерий в момент времени t = 5 часов.

Решение. Скорость роста популяции бактерий – это первая производная по времени t : .

Если t = 5 часов, то . Следовательно, скорость роста бактерий составит 1000 особей в час.

Пример 2.7. Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, уменьшении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенной дозы лекарства. Если х обозначает дозу назначенного лекарства, а степень реакции у описывается функцией . При каком значении х реакция максимальна?

Решение . Найдем производную .

Найдем критические точки: ⇒ . ⇒ Следовательно, имеем две критические точки: . Значение не удовлетворяет условию задачи.

Найдем вторую производную . Вычислим значение второй производной при . . Значит, – уровень дозы, который дает максимальную реакцию.

Примеры для самостоятельного решения

Найти дифференциал функции:

1. .

2. .

3. .

4.

Найти вторые производные следующих функций:

6. .

Найти производные второго порядка и записать дифференциалы второго порядка для следующих функции:

9. .

11. Исследовать функцию на экстремум .

12. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

13. Найти интервалы возрастания и убывания функции, точки максимума и минимума и точки пересечения с осями:

14. Закон движения точки имеет вид . Определить закон скорость и ускорение этой точки.

15. Уравнение движения точки имеет вид (м). Найти 1) положение точки в моменты времени с и с; 2) среднюю скорость за время, прошедшее между этими моментами времени; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.

Задание на дом.

Практика:

Найти дифференциал функции:

1. ;

2. ;

Найти производные второго порядка функции:

4.

5.

Найти дифференциалы второго порядка

6. .

7. Точка движется прямолинейно по закону . Вычислить скорость и ускорение в моменты времени и .

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

9. .

10. При вливании глюкозы ее содержание в крови человека, выраженное в соответствующих единицах, спустя t часов составит . Найдите скорость изменения содержания глюкозы в крови при а) t =1 ч; б) t =2 ч.

Теория.

1. Лекция по теме «Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов. Приложение дифференциала функции нескольких аргументов».

2. Занятие 3 данного методического пособия.

3. Павлушков И.В. и другие стр. 101-113, 118-121.

Занятие 3. Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов

Актуальность темы: данный раздел математики имеет широкое применение при решении ряда прикладных задач, так как многим явлениям физического, биологического, химического явления присуща зависимость не от одной, а от нескольких переменных (факторов).

Цель занятия: научиться находить частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

Целевые задачи:

знать: понятие функции двух переменных; понятие частных производных функции двух переменных; понятие полного и частных дифференциалов функции нескольких переменных;

уметь: находить производные и дифференциалы функций нескольких переменных.

Краткие сведения из теоретического курса

Основные понятия

Переменная z называется функцией двух аргументов x и y, если некоторым парам значений по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z. Функция двух аргументов обозначается .

Функция задается в виде поверхности в прямоугольной системе координат в пространстве. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства х

Произведение называется частным дифференциалом функции z=f(x,y)по х и обозначаются .

Полный дифференциал функции

Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращение соответствующих независимых переменных, т. е. . Так как и тогда можно записать: или .

Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).
Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + )  f (x 0 ) называется приращением функции .Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:
Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:
Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):
Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:
где - угол наклона секущей AB.
Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0 )). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0 ) имеет вид:
y = f ’(x 0 ) · x + b .
Чтобы найти b , воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,
отсюда, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :
y = f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · (x – x 0 ) .
Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + )  x (t 0) = , а её средняя скорость равна: v a =  . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t 0 ) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:
отсюда, v (t 0 ) = x’ (t 0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).
8.Таблица производных и правила дифференцирования
О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой - вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

Произво́дная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

Производная. Рассмотрим некоторую функцию y = f (x ) в двух точках x 0 и x 0 + : f (x 0) и f (x 0 + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента ; соответственно разность между двумя значениями функции: f (x 0 + )  f (x 0 ) называется приращением функции .Производной функции y = f (x ) в точке x 0 называется предел:

Если этот предел существует, то функция f (x ) называется дифференцируемой в точке x 0 . Производная функции f (x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f (x ):

Из рис.1 видно, что для любых двух точек A и B графика функции:

где - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A (x 0 , f (x 0 )). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом f ’(x 0 ) имеет вид:

y = f ’(x 0 ) · x + b .

Чтобы найти b , воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

отсюда, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , и подставляя это выражение вместо b , мы получим уравнение касательной :

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · (x – x 0 ) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан: координата x движущейся точки – известная функция x (t ) времени t . В течение интервала времени от t 0 до t 0 + точка перемещается на расстояние: x (t 0 + ) x (t 0) = , а её средняя скорость равна:v a =  . При 0 значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называетсямгновенной скоростью v ( t 0 ) материальной точки в момент времени t 0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,v (t 0 ) = x’ (t 0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени : a = v’ (t ).

8.Таблица производных и правила дифференцирования

О том, что такое производная, мы рассказали в статье «Геометрический смысл производной». Если функция задана графиком, её производная в каждой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции. А если функция задана формулой - вам помогут таблица производных и правила дифференцирования, то есть правила нахождения производной.

§ 2. Определение производной.

Пусть функция y = f (x ) определена на интервале (a ;b ). Рассмотрим значение аргумента

(a ;b ) . Дадим аргументу приращение∆ x0, так чтобы выполнялось условие (x 0 +∆ x )

a ;b ). Обозначим соответствующие значения функции через y 0 иy 1:

y 0 = f (x 0 ), y 1 = f (x 0 +∆ x ). При переходе отx 0 кx 0 +∆ x функция получит приращение

∆y = y 1 - y 0 = f (x 0 +∆ x ) -f (x 0 ). Если при стремлении∆ x к нулю существует предел отношения приращения функции∆y к вызвавшему его приращению аргумента ∆ x ,

т.е. существует предел

=

,

то этот предел называется производной функции y = f (x ) в точкеx 0 . Итак, производная функцииy = f (x ) в точкеx =x 0 есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Производная функцииy = f (x ) в точкеx обозначается символами(x ) или (x ). Используются также обозначения , , , . В последних трёх обозначениях подчёркивается то обстоятельство, что производная берётся по переменнойx .

Если функция y = f (x ) имеет производную в каждой точке некоторого интервала, то на этом интервале производная (x ) есть функция аргументаx .

§ 3. Механический и геометрический смысл производной.

Уравнения нормали и касательной к графику функции.

Как было показано в § 1, мгновенная скорость точки есть

v = .

Но это означает, что скорость v есть производная от пройденного путиS по времениt ,

v = . Таким образом, если функцияy = f (x ) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, гдеy есть путь, пройденный материальной точкой от момента начала движения до момента времениx , то производная (x ) определяет мгновенную скорость точки в момент времениx . В этом и заключается механический смысл производной.

В § 1 был найден также угловой коэффициент касательной к графику функции y = f (x ) k = tg α= . Это соотношение означает, что угловой коэффициент касательной равен производной (x ). Говоря более строго, производная (x ) функцииy = f (x ) , вычисленная при значении аргумента, равномx , равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке, абсцисса которой равнаx . В этом состоит геометрический смысл производной.

Пусть при x =x 0 функцияy = f (x ) принимает значениеy 0 =f (x 0 ) , и график этой функции имеет касательную в точке с координатами (x 0 ;y 0). Тогда угловой коэффициент касательной

k = (x 0). Используя известное из курса аналитической геометрии уравнение прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении (y -y 0 =k (x -x 0)), запишем уравнение касательной:

Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормалью к кривой. Так как нормаль перпендикулярна касательной, то её угловой коэффициент k норм связан с угловым коэффициентом касательнойk известным из аналитической геометрии соотношением:k норм = ─ , т.е. для нормали, проходящей через точку с координатами (x 0 ;y 0),k норм = ─ . Следовательно, уравнение этой нормали имеет вид:

(при условии, что

).

§ 4. Примеры вычисления производной.

Для того чтобы вычислить производную функции y = f (x ) в точкеx , необходимо:

Аргументу x дать приращение ∆x ;

Найти соответствующее приращение функции ∆y =f (x +∆x ) -f (x );

Составить отношение ;

Найти предел этого отношения при ∆x →0.

Пример 4.1. Найти производную функции y =C=const.

Аргументу x даём приращение ∆ x .

Каково бы ни было x , ∆y =0: ∆y =f (x +∆x ) ─f (x )=С─С=0;

Отсюда =0 и =0, т.е. =0.

Пример 4.2. Найти производную функции y =x .

∆ y =f (x +∆x ) ─f (x )= x +∆x – x =∆ x ;

1, =1, т.е. =1.

Пример 4.3. Найти производную функции y =x 2.

∆ y = (x +∆ x )2–x 2= 2 x ∙∆ x + (∆ x )2;

= 2 x + ∆ x , = 2 x , т.е. =2x .

Пример 4.4. Найти производную функции y=sinx .

∆ y =sin(x +∆x ) – sin x = 2sin cos(x +);

=

;

=

= cosx , т.е. = cos x.

Пример 4.5. Найти производную функции y =

.

=

, т.е. = .

МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t , где s – путь, пройденный к моменту времени t , v – скорость равномерного движения.

Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет зависеть от времени t , т.е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s=s(t).

Отметим некоторый момент времени t 0 . К этому моменту точка прошла путь s=s(t 0 ). Определим скорость v материальной точки в момент времени t 0 .

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t 0 + Δt . Ему соответствует пройденный путь s=s(t 0 + Δt ). Тогда за промежуток времени Δt точка прошла путь Δs=s(t 0 + Δt) –s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени Δt . Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в моментt 0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени Δt .

Итак, скоростью движения в данный момент времени t 0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t 0 до t 0 +Δt , когда Δt →0:

,

т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М 0 (см. рисунок).Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M 0 M . Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М 0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М 0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М 0 Т , то прямая М 0 Т называется касательной к кривой в данной точке М 0 .

Т.о., касательной к кривой в данной точке М 0 называется предельное положение секущей М 0 М , когда точка М стремится вдоль кривой к точкеМ 0 .

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y=f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х 0 функция принимает значение y 0 =f(x 0). Этим значениям x 0 и y 0 на кривой соответствует точка М 0 (x 0 ; y 0). Дадим аргументу x 0 приращение Δх . Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y 0 +Δ y=f(x 0 –Δx) . Получаем точку М(x 0 +Δx ; y 0 +Δy). Проведем секущую М 0 М и обозначим через φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox . Составим отношение и заметим, что .

Если теперь Δx →0, то в силу непрерывности функции Δу →0, и поэтому точка М , перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М 0 . Тогда секущая М 0 М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М 0 , а угол φ→α при Δx →0, где через α обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox . Поскольку функция tg φ непрерывно зависит от φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

т.е. f "(x) = tg α .

Т.о., геометрически у "(x 0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x 0 , т.е. при данном значении аргумента x , производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М 0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.

Пример. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х 2 в точке М (-1; 1).

Ранее мы уже видели, что (x 2)" = 2х . Но угловой коэффициент касательной к кривой есть tg α = y "| x=-1 = – 2.

Геометрический, механический, экономический смыл производной

Определение производной.

Лекция №7-8

Список используемой литературы

1 Ухоботов, В. И. Математика: Учебное пособие.- Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 2006.- 251 с.

2 Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике. Учебное пособие. –М.: ИНФРА-М, 2006. – 575 с

3 Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики. Учебник. –М.: ИНФРА-М, 2003. – 656 с.

Тема «Производная»

Цель: объяснить понятие производной, проследить зависимость междунепрерывностью и дифференцируемостью функции, показать применимость использования производной на примерах.
.
Этот предел в экономике называется предельными издержками производства.

Определение производной. Геометрический и механический смысл производной, уравнение касалельной к графику функции.

Нужен краткий ответ (без лишней воды)

Мертвый_белый_снег

Производная - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции.
Геометрический?
Касательная к функции в точке... .
Условие возрастания функции: f " (x) > 0.
Условие убывания функции: f " (x) < 0.
Точка перегиба (необходимое условие) : f " " (x0) = 0.
Выпуклость вверх: f " " (x) Выпуклость вниз: f " " (x) >0
Уравнение нормали: у=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Механический?
скорость это производная по расстоянию, ускорение производная по скорости и вторая производна по расстоянию.. .
Уравнение касательной к графику функции f в точке x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Пользователь удален

Если сеществует предел отношения дельта y к дельта x приращения функции дельта y к вызвавшему его приращению аргумента дельта x, когда дельта x стремиться к нулю, то этот предел называется производной функции y = f(x) в данной точке х и обозначается y" или f"(x)
Скорость v прямолинейного движения есть производная пути s по времени t: v = ds/dt. В этом состоит механический смысл производной.
Угловои коэффициент касательной к кривой y = f(x) в точке с абсциссой х нулевое есть производная f"(x нулевого). В этом состоит геометрический смысл производной.
Касательной кривой в точке М нулевое называется прямая М нулевое Т, угловой коэффициент которой равен пределу углового коэффициента секущей М нулевое М один, когда дельта х стремится к нулю.
tg фи = lim tg альфа при дельта х стремится к нулю = lim (дельта х/ дельта у) при дельта х стремится к нулю
Из геометрического смысла производной уравнение касательной примет вид:
у - у нулевое = f"(x нулевого)(х - х нулевое)