где с р , Дж/(кг×К) – изобарная теплоемкость; r , кг/м 3 – плотность; l , Вт/(м×К) – коэффициент теплопроводности; w х, w y , w z – проекции вектора скорости движения жидкости; q v , Вт/м 3 – объемная плотность внутреннего тепловыделения жидкости.

Уравнение (1.12) записано для случая l=const .

Дифференциальное для твердых тел называется дифференциальным уравнением теплопроводности и может быть получено из (1.12) при условии w х = w y = w z = 0, с р = с v =с:

,

где - коэффициент температуропроводности, характеризует скорость изменения температуры в теле. Значения а = f (t) для различных тел приводятся в справочниках.

Дифференциальное уравнение теплопроводности

(1.13)

описывает нестационарное температурное поле твердых тел с внутренним тепловыделением (с внутренними источниками тепла). Такими источниками тепла могут быть: джоулева теплота, выделяемая при прохождении электрического тока по проводникам; теплота, выделяемая ТВЭЛами ядерных реакторов и т.д.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (1.13), записанное в декартовых координатах, можно представить в цилиндрических (r , z , φ) и сферических (r , φ , ψ).

В частности, в цилиндрических координатах (r – радиус; φ – полярный угол; z - аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

(1.14)

Условия однозначности

Дифференциальное уравнение описывает множество процессов теплопроводности. Чтобы выделить из этого множества конкретный процесс, необходимо сформулировать особенности этого процесса, которые называются условиями однозначности и включают в себя:

· геометрические условия , характеризующие форму и размеры тела;

· физические условия , характеризующие свойства участвующих в теплообмене тел;

· граничные условия , характеризующие условия протекания процесса на границе тела;

· начальные условия , характеризующие начальное состояние системы при нестационарных процессах .

При решении задач теплопроводности различают:

· граничные условия первого рода , когда задается распределение температуры на поверхности тела:

t c = f (x, y, z, τ) или t c =const ;

· граничные условия второго рода , когда задается плотность теплового потока на поверхности тела:

q c = f (x, y, z, τ) или q c =const ;

· граничные условия третьего рода , когда задается температура среды t ж и коэффициент теплоотдачи между поверхностью и средой.

В соответствии с законом Ньютона-Рихмана тепловой поток, передаваемый с 1м 2 поверхности в среду с температурой t ж ,

В то же время этот тепловой поток подводится к 1м 2 поверхности из глубинных слоев тела теплопроводностью

Тогда уравнение теплового баланса для поверхности тела запишется в виде

(1.15)

Уравнение (1.15) является математической формулировкой граничных условий третьего рода.

Система дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности представляет собой математическую формулировку задачи. Решения дифференциальных уравнений содержат константы интегрирования, которые определяются с помощью условий однозначности.

Контрольные вопросы и задания

1. Проанализируйте, какими способами передается теплота от горячей воды к воздуху через стенку батареи отопления: от воды к внутренней поверхности, через стенку, от наружной поверхности к воздуху.

2. Почему в правой части уравнения (1.3) стоит минус?

3. Проанализируйте с помощью справочной литературы зависимость λ(t) для металлов, сплавов, теплоизоляционных материалов, газов, жидкостей и ответьте на вопрос: как изменяется коэффициент теплопроводности с изменением температуры для этих материалов?

4. Как определяется тепловой поток (Q , Вт) при конвективной теплоотдаче, теплопроводности, тепловом излучении?

5. Запишите дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовых координатах, описывающее трехмерное стационарное температурное поле без внутренних источников теплоты.

6. Запишите дифференциальное уравнение температурного поля проволоки, которая длительное время находится под напряжением при постоянной электрической нагрузке.

2. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ

2.1. Теплопроводность плоской стенки

Дано: плоская однородная стенка толщиной δ (рис. 2.1) с постоянным коэффициентом теплопроводности λ и постоянными температурами t 1 и t 2 на поверхностях.

Определить: уравнение температурного поля t=f (x) и плотность теплового потока q , Вт/м 2 .

Температурное поле стенки описывается дифференциальным уравнением теплопроводности (1.3) при следующих условиях:

· т. к. режим стационарный;

· т.к. отсутствуют внутренние источники теплоты;

· т.к. температуры t 1 и t 2 на поверхностях стенки постоянны.

Температура стенки является функцией только одной координаты х и уравнение (1.13) принимает вид

Выражения (2.1), (2.2), (2.3) являются математической постановкой задачи, решение которой позволит получить искомое уравнение температурного поля t= f (x) .

Интегрирование уравнения (2.1) дает

При повторном интегрировании получим решение дифференциального уравнения в виде

Зависимость t= f (x) , согласно (2.5) – прямая линия (рис. 2.1), что справедливо при λ=const .

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку, воспользуемся законом Фурье

С учетом получим расчетную формулу для плотности теплового потока, передаваемого через плоскую стенку,

Формулу (2.6) можно записать в виде

где

Величина называется термическим сопротивлением теплопроводности плоской стенки.

На основании уравнения

q R=t 1 – t 2

можно сделать вывод о том, что термическое сопротивление стенки прямо пропорционально перепаду температур по толщине стенки.

Учесть зависимость коэффициента теплопроводности от температуры, λ(t) , можно, если в уравнения (2.6) и (2.7) подставить значения λ ср для интервала температур t 1 –t 2 .

Рассмотрим теплопроводность многослойной плоской стенки , состоящей, например, из трех слоев
(рис. 2.2).

Дано: δ 1 , δ 2 , δ 3 , λ 1 , λ 2 , λ 3 , t 1 =const , t 4 =const .

Определить: q , Вт/м 2 ; t 2 , t 3 .

При стационарном режиме и постоянных температурах поверхностей стенки тепловой поток, передаваемый через трехслойную стенку, можно представить системой уравнений:

Температуры на границах слоев t 2 и t 3 можно рассчитать по уравнениям (2.8) – (2.10) после того, как найдена плотность теплового потока (q ) по (2.12).

Общий вид уравнения (2.12) для многослойной плоской стенки, состоящей из п однородных слоев с постоянными температурами на наружных поверхностях и , имеет вид

2.2. Теплопроводность цилиндрической стенки
при граничных условиях первого рода

Дано: Однородная цилиндрическая стенка (стенка трубы) с внутренним радиусом r 1 , наружным – r 2 , длиной , с постоянным коэффициентом теплопроводности λ , с постоянными температурами на поверхностях t 1 и t 2 .
(рис. 2.3).

Определить: уравнение температурного поля
t = f (r) , тепловой поток, передаваемый через стенку
Q , Вт.

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах (1.14) для условий данной задачи:

принимает вид

Порядок решения системы уравнений (2.15) – (2.17) тот же, что и в случае плоской стенки: находится общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка (2.15), который содержит две константы интегрирования
с 1 и с 2 . Последние определяются с помощью граничных условий (2.16) и (2.17) и после подстановки их значений в решение дифференциального уравнения (общий интеграл) получаем уравнение температурного поля цилиндрической стенки t = f (r) в виде

Если взять производную от правой части уравнения (2.18) и подставить в (2.19), получим расчетную формулу для теплового потока цилиндрической стенки

(2.20)

В технических расчетах часто тепловой поток вычисляется для 1 м длины трубы:

и называется линейной плотностью теплового потока .

Запишем уравнение (2.20) в виде

где – термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки .

Для трехслойной цилиндрической стенки (трубы, покрытой двумя слоями тепловой изоляции) с известными постоянными температурами поверхностей (t 1 и t 4 ), с известными геометрическими размерами (r 1 , r 2 , r 3 , r 4 , ) и коэффициентами теплопроводности слоев (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) (рис. 2.4) можно записать следующие уравнения для теплового потока Q :

Температуры на границах слоев (t 2 , t 3) можно рассчитать по уравнениям (2.21).

Для многослойной цилиндрической стенки , состоящей из п слоев, формулу (2.22) можно записать в общем виде

(2.23)

Эффективный коэффициент теплопроводности для многослойной цилиндрической стенки, как и для многослойной плоской стенки, определяется из равенства суммы термических сопротивлений многослойной стенки термическому сопротивлению однородной стенки той же толщины, что и многослойная. Так, для двухслойной тепловой изоляции трубы
(рис. 2.4) эффективный коэффициент теплопроводности (λ эф) определ ится из равенства

2.3. Теплопроводность плоской и цилиндрической стенок
при граничных условиях третьего рода (теплопередача)

Граничные условия третьего рода состоят в задании температуры жидкости (t ж) и коэффициента теплоотдачи () между поверхностью стенки и жидкостью.

Передача тепла от одной жидкости к другой через разделяющую их стенку называется теплопередачей .

Примерами теплопередачи служит перенос теплоты от дымовых газов к воде через стенку трубы парового котла, перенос тепла от горячей воды к окружающему воздуху через стенку батареи отопления и т.д.

Теплообмен между поверхностью и средой (теплоносителем) может быть конвективным , если теплоноситель – жидкость (вода, нефть и т.д.) или радиационно-конвективным , когда теплота передается путем конвективного теплообмена и излучением, если теплоноситель – газ (дымовые газы, воздух и т.д.).

Рассмотрим теплопередачу через плоскую и цилиндрическую стенки при условии только конвективного теплообмена на поверхностях. Теплопередача с радиационно-конвективным теплообменом (сложным теплообменом) на поверхностях будет рассмотрена позже.Вт/м 2 теплопередачи (Q

если a 1 и a 2 соизмеримы.

Теплопередача через многослойную цилиндрическую стенку рассчитывается по формуле

(2.35)

где F 1 и F 2 – площади внутренней и наружной поверхностей многослойной цилиндрической стенки.

Распространение теплоты теплопроводностью в плоской и цилиндрической стенках при стационарном режиме (граничные условия первого рода)

Однородная однослойная плоская стенка. Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в однородной однослойной плоской стенке толщиной 8 при ее неограниченной ширине и длине.

Ось х направим перпендикулярно стенке (рис. 7.4). По обеим поверхностям стенки как в направлении оси у, так и в направлении оси г благодаря равномерному подводу и отводу теплоты температуры распределены равномерно.

Поскольку стенка в направлении этих осей имеет бесконечно большие размеры, то соответствующие температурные градиенты Ж/йу = (к/(к = = 0, и, таким образом, влияние на процесс теплопроводности торцевых поверхностей стенки отсутствует. При этих упрощающих задачу условиях стационарное температурное поле является функцией только координаты х, т.е. рассматривается одномерная задача. Применительно к данному случаю дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид (при д^дх = 0)

Даны граничные условия первого рода:

Рис. 7.4.

Найдем уравнение температурного ноля и определим тепловой поток Ф, проходящий через участок стенки площадью А (на рис. 1Л стенка не обозначена, поскольку располагается в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка). Первое интегрирование дает

т.е. температурный градиент является величиной постоянной по всей толщине стенки.

После второго интегрирования получим искомое уравнение температурного поля

где а и Ь - постоянные интегрирования.

Таким образом, изменение температуры по толщине стенки следует линейному закону, а изотермические поверхности представляют собой плоскости, параллельные граням стенки.

Для определения произвольных постоянных интегрирования используем граничные условия:

Так как? > ? СТ2 , то проекция градиента на ось х отрицательна, как

это и следовало ожидать при выбранном направлении оси, совпадающем с направлением вектора поверхностной плотности теплового потока.

Подставляя значение постоянных в (7.24), получим окончательное выражение для температурного ноля

Линия а-Ь на рис. 7.4, так называемая температурная кривая , показывает изменение температуры но толщине стенки.

Зная температурный градиент, можно, пользуясь уравнением Фурье (7.10), найти количество теплоты 8{), проходящей за время т через элемент площади поверхности??4, перпендикулярной оси т.

и для участка поверхности площадью А

Формула (7.28) для теплового потока и поверхностной плотности теплового потока примет вид

Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в многослойной плоской стенке, состоящей из нескольких (например, трех) плотно прилегающих друг к другу слоев (см. рис. 7.5).

Рис. 7.5.

Очевидно, что в случае стационарного температурного поля тепловой поток, проходящий через поверхности одинаковой площади А, будет для всех слоев одним и тем же. Поэтому для каждого из слоев может быть использовано уравнение (7.29).

Для первого слоя

для второго и третьего слоев

где Х 2 , А 3 - теплопроводности слоев; 8 1? 8 2 , 8 3 - толщина слоев.

На наружных границах трехслойной стенки считаются известными температуры? Ст1 и? СТ4 . По плоскостям раздела слоев устанавливаются температуры? СТ2 и? СТз, которые рассматриваются как неизвестные. Уравнения (7.31)-(7.33) решим относительно разностей температур:

а затем почленно сложим и тем самым исключим неизвестные промежуточные температуры:

Обобщая (7.36) для гг-слойной стенки, получим

Для определения промежуточных температур? СТ2 , ? СТз по плоскостям разделов слоев используем формулы (7.34):

Наконец, обобщая вывод на и-слойную стенку, получим формулу для температуры на границе г-го и (г + 1)-го слоя:

Иногда пользуются понятием эквивалентной теплопроводности Я экв. Для поверхностной плотности теплового потока, проходящего сквозь плоскую многослойную стенку,

где - суммарная толщина всех слоев многослойной стенки. Сравнивая выражения (7.37) и (7.40), заключаем, что

На рис. 7.5 в виде ломаной линии изображен график изменения температуры по толщине многослойной стенки. В пределах слоя, как было доказано выше, изменение температуры следует линейному закону. Тангенс угла наклона ср, температурной прямой к горизонтали

т.е. равен абсолютному значению температурного градиента ^1"ас1 Таким образом, по наклону прямых аЬ, Ьс и с

Следовательно,

т.е. температурные градиенты для отдельных слоев многослойной плоской стенки обратно пропорциональны теплопроводностям этих слоев.

Это значит, что для получения больших температурных градиентов (что требуется, например, при изоляции паропроводов и т.п.) необходимы материалы с малыми значениями теплопроводности.

Однородная однослойная цилиндрическая стенка. Найдем для стационарного режима теплопроводности температурное поле и поверхностную плотность теплового потока для однородной однослойной цилиндрической стенки (рис. 7.6). Для решения поставленной задачи используем дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах.

Ось 2 направим по оси трубы. Примем, что длина трубы по сравнению с диаметром бесконечно велика. В этом случае можно пренебречь влиянием торцов трубы на распределение температур вдоль оси 2. Будем считать, что в связи с равномерным подводом и отводом теплоты температура на внутренней поверхности повсеместно равна? СТ1 , а на наружной поверхности - ? СТ2 (граничные условия первого рода). При этих упрощениях (к/ = 0, а ввиду симметрии температурного поля относительно любого диаметра?/?/?Лр = 0. Изотермическими поверхностями в этом случае будут поверхности цилиндров, соосные с осью трубы. Таким образом, задача сводится к определению одномерного поля температур? = / (г), где г - текущий радиус цилиндрической стенки.

Рис. 7.6.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (7.19) при условии dt/d т = 0 примет вид

Введем новую переменную

которая является градиентом температур (grad ?).

Подставляя переменную и в (7.43), получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

или

Интегрируя, получаем

Для цилиндрической стенки температурный градиент является величиной переменной, возрастающей с уменьшением радиуса г. Следовательно, на внутренней поверхности температурный градиент больше, чем на наружной.

Подставляя значение и из (7.44) в (7.45), получаем и

где ап Ь - постоянные интегрирования.

Следовательно, кривая распределения температур по толщине стенки является логарифмической кривой (кривая а-Ь на рис. 7.6).

Определим постоянные а и Ь, входящие в уравнение температурного поля, исходя из граничных условий первого рода. Внутренний радиус поверхности обозначим г х, наружный - г 2 . Соответствующие диаметры обозначим (1 Л и (1 2 . Тогда имеем систему уравнений

Решая данную систему уравнений, получаем

Уравнение температурного ноля примет вид Температурный градиент определяем но формуле (7.45):

Так как? СТ1 > ? СТ2 , а г, г 2 , то проекция grad? на радиус-вектор имеет отрицательное значение.

Последнее показывает, что для данного случая тепловой поток направлен от центра к периферии.

Для определения теплового потока, проходящего через участок цилиндрической поверхности длиной Ь, воспользуемся уравнением

Из (7.46) следует, что тепловой поток, проходящий сквозь цилиндрическую поверхность, зависит от соотношения наружного и внутреннего радиусов г 2 / г х (или диаметров с1 2 / (1 {), а не от толщины стенки.

Поверхностная плотность теплового потока для цилиндрической поверхности может быть найдена путем отнесения теплового потока Ф к площади внутренней поверхности А вп или к площади наружной поверхности А нп. В расчетах иногда используют линейную плотность теплового потока:

Из (7.47)-(7.49) следует

Многослойная цилиндрическая стенка. Рассмотрим распространение теплоты теплопроводностью в трехслойной цилиндрической стенке (трубе) длиной А (рис. 7.7) с внутренним диаметром с1 х и наружным диаметром (1 Л. Промежуточные диаметры отдельных слоев - с1 2 и Х 2 , Х 3 .

Рис. 7.7.

Известными считаются температура? СТ) внутренней и температура? СТ4 наружной поверхности. Подлежит определению тепловой поток Ф и температуры? СТ2 и? СТз на границах слоев. Составим для каждого слоя уравнение вида (7.46):

Решая (7.51)-(7.53) относительно разностей температур, а затем почленно складывая, получим

Из (7.54) имеем расчетное выражение для определения теплового потока для трехслойной стенки:

Обобщим формулу (7.55) на и-слойную стенку трубы:
где i - порядковый номер слоя.

Из (7.51)-(7.53) находим выражение для определения температуры на границах промежуточных слоев:

Температуру? ст. +) на границе?-го и (г + 1)-го слоя можно определить по аналогичной формуле

В литературе приведены решения дифференциального уравнения теплопроводности для полого шара при граничных условиях первого рода, а также решения для всех рассмотренных тел при граничных условиях третьего рода. Мы эти проблемы не рассматриваем. За рамками нашего курса остались также вопросы стационарной теплопроводности в стержнях (ребрах) постоянного и переменного поперечных сечений, а также вопросы нестационарной теплопроводности.

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты (= 0) :

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности без внутренних источников теплоты в цилиндрических координатах.

В цилиндрических координатах, в которых где r – радиус-вектор, – полярный угол, уравнение будет иметь вид

Условия однозначности для процессов теплопроводности . Дифференциальное уравнение теплопроводности описывает не одно, а целый класс явлений теплопроводности. Для получения аналитического описания конкретного процесса необходимо указать его частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

Геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

Физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;

Временные или начальные условия, характеризующие распределение температуры в теле в начальный момент времени;

Граничные условия, характеризующие условия взаимодействия между рассматриваемым телом и окружающей средой.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничными условиями первого рода задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:

Граничными условиями второго рода задаются значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени:

Граничными условиями третьего рода задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между телом и средой, в качестве которого используют закон теплоотдачи (уравнение Ньютона-Рихмана):

Согласно этому закону плотность теплового потока на поверхности

тела пропорциональна разности температур между поверхностью стенки и окружающей средой. Коэффициент пропорциональности в этом уравнении называют коэффициентом теплоотдачи и обозначают a, [Вт/(м 2 ×К)]. Он характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой.

С другой стороны, эту же плотность теплового потока можно найти из уравнения:

где индекс «с» указывает на то, что градиент температуры рассчитывается на поверхности тела. Получаем аналитическое выражение для граничных условий третьего рода:

Граничными условиями четвертого рода рассматривается случай, когда два или большее количество тел плотно соприкасаются между собой. В этом случае тепловой поток, прошедший через поверхность одного тела, пройдет и через поверхность другого тела (тепловые потери в месте контакта отсутствуют).

Лекция 2. Раздел 2. Теплопроводность при стационарном режиме

Вопрос 23 чему равна удельная теплота плавления льда

Удельная теплота плавления находится по формуле:

где Q – это количество теплоты, необходимое для того, чтобы расплавить тело массой m.

при отвердевании вещества выделяют такое же количество тепла, которое требовалось затратить на их расплавление. Молекулы, теряя энергию, образуют кристаллы, будучи не в силах сопротивляться притяжению других молекул. И опять-таки, температура тела не будет понижаться вплоть до того момента, пока не отвердеет все тело, и пока не выделится вся энергия, которая была затрачена на его плавление. То есть удельная теплота плавления показывает, как сколько надо затратить энергии, чтобы расплавить тело массой m, так и сколько энергии выделится при отвердевании данного тела.

Для примера, удельная теплота плавления воды в твердом состоянии, то есть, Удельная теплота плавления льда равна 3,4*10^5 Дж/кг

Удельная теплота плавления льда равна 3,4 умножить на 10 в 5 степени джоуль/кг

Обозначают удельную теплоту плавления греческой буквой λ (лямбда), а единицей измерения является 1 Дж/кг

Вопрос 24 Обозначим L1 – удельную теплоту парообразования, L2 – удельную теплоту плавления. Что больше?

Поскольку при парообразовании тело получает энергию, можно сделать вывод, что внутренняя энергия тела в газообразном состоянии больше, чем внутренняя энергия тела той же массы в жидком состоянии. Поэтому, при конденсации пар отдаёт то количество энергии, которое потребовалось для его образования

Удельная теплота парообразования – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в пар 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «r

Удельная теплота плавления – физическая величина, показывающая количество теплоты, требуемое для превращения в жидкость 1 кг вещества без изменения его температуры. Коэффициенты «λ » для различных веществ, как правило, различны. Они измерены опытным путём и занесены в специальные таблицы

Удельная теплота парообразования больше

Вопрос 25 дифференциальное уравнение теплопроводности для двумерного нестационарного температурного поля в декартовых координатах?

х i = x, y, z – декартовая система координат;

Если вдоль одной из координат температура остается постоянной, то математически это условие записывается (например, для координаты z) следующим образом: дТ/дz=0.

В этом случае поле называется двумерным и записывается:

для нестационарного режима Т=Т(х, у, t);

для стационарного режима Т=Т(х, у).

Уравнения двухмерного температурного поля для режима

нестационарного:

Вопрос 26 дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного температурного поля в цилиндрических координатах?

х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;

Температурное поле есть совокупность значений температуры во всех точках данной расчетной области и во времени.

Температурное поле измеряют в градусах Цельсия и Кельвинах и обозначают также как и в ТТД: ,где х i - координаты точки в пространстве, в которой находят температуру, в метрах [м]; τ – время процесса теплообмена в секундах, [с]. Т. о. температурное поле характеризуется количеством координат и своим поведением во времени.

В тепловых расчетах используют следующие системы координат:

х i = r, φ, z – цилиндрическая система координат;

Температурное поле, которое изменяетсяво времени , называют нестационарным температурным полем. И наоборот, температурное поле, которое не изменяетсяво времени , называют стационарным температурным полем.

цилиндрических координатах (г – радиус; φ – полярный угол; z – аппликата) дифференциальное уравнение теплопроводности имеет вид

,

Решение задач по определению температурного поля осуществляется на основании дифференциального уравнения теплопроводности, выводы которого показаны в специальной литературе. В данном пособии приводятся варианты дифференциальных уравнений без выводов.

При решении задач теплопроводности в движущихся жидкостях, характеризующих нестационарное трехмерное температурное поле с внутренними источниками теплоты, используется уравнение

Уравнение (4.10) является дифференциальным уравнением энергии в декартовой системе координат (уравнение Фурье  Кирхгофа). В таком виде оно применяется при изучении процесса теплопроводности в любых телах.

Если  x = y = z =0, т. е. рассматривается твердое тело, и при отсутствии внутренних источников теплоты q v =0, тогда уравнение энергии (4.10) переходит в уравнение теплопроводности для твердых тел (уравнение Фурье)

(4.11)

Величину С=a, м 2 сек в уравнении (4.10) называют коэффициентом температуропроводности, который является физическим параметром вещества, характеризующим скорость изменения температуры в теле при неустановившихся процессах.

Если коэффициент теплопроводности характеризует способность тел проводить теплоту, то коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств тела. Из уравнения (4.10) следует, что изменение температуры во времени t для любой точки пространства пропорционально величине «а», т. е. скорость изменения температуры в любой точке тела будет тем больше, чем больше коэффициент температу-ропроводности. Поэтому при прочих равных условиях выравнивание температур во всех точках пространства будет происходить быстрее в том теле, которое обладает большим коэффициентом температуропроводности. Коэффициент температуропроводности зависит от природы вещества. Например, жидкости и газы обладают большой тепловой инерционностью и, следовательно, малым коэффициентом температуропроводности. Металлы обладают малой тепловой инерционностью, так как они имеют большой коэффициент температуропроводности.

Для обозначения суммы вторых производных по координатам в уравнениях (4.10) и (4.11) можно использовать символ  2 , так называемый оператор Лапласа, и тогда в декартовой системе координат

Выражение  2 t в цилиндрической системе координат имеет вид

Для твердого тела в стационарных условиях с внутренним источником теплоты уравнение (4.10) преобразуется в уравнение Пуассона

(4.12)

Наконец, для стационарной теплопроводности и при отсутствии внутренних источников теплоты уравнение (4.10) принимает вид уравнения Лапласа

(4.13)

Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрических координатах с внутренним источником теплоты

(4.14)

4.2.6. Условия однозначности для процессов теплопроводности

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно характеризует явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение характеризует целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми, которые включают в себя:

а) геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс;

б) физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела (, С z , , а и др.);

в) временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

г) граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры внутри тела в начальный момент времени. В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом при =0:

t =  1 x, y, z. (4.15)

В случае равномерного распределения температуры в теле начальное условие упрощается: при =0; t=t 0 =idem.

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

А. Граничные условия первого рода, задающие распределение температуры на поверхности тела t c для каждого момента времени:

t c =  2 x, y, z, . (4.16)

В частном случае, когда температура на поверхности является постоянной на протяжении всего времени протекания процессов теплообмена, уравнение (4.16) упрощается и принимает вид t c =idem.

Б. Граничные условия второго рода, задающие величину плотности теплового потока для каждой точки поверхности и любого момента времени. Аналитически это можно представить следующим образом:

q n = x, y, z, , (4.17)

где q n  плотность теплового потока на поверхности тела.

В простейшем случае плотность теплового потока по поверхности и во времени остается постоянной q n =idem. Такой случай теплообмена имеет место, например, при нагревании различных металлических изделий в высокотемпературных печах.

В. Граничные условия третьего рода, задающие температуру окружающей среды t ж и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона.

Согласно закону Ньютона, количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур тела t c и окружающей среды t ж

q = t c  t ж . (4.18)

Коэффициент теплоотдачи харктеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Численно он равен количеству теплоты, отдаваемому (или воспринимаемому) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой, равной одному градусу.

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи (4.18), должно равняться теплоте, подводимой к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела (4.7), т. е.

, (4.19)

где n  нормаль к поверхности тела; индекс «С» указывает на то, что температура и градиент относятся к поверхности тела (при n=0).

Окончательно граничное условие третьего рода можно записать в виде

. (4.20)

Уравнение (4.20), по существу, является частным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела.

Г. Граничные условия четвертого рода, харктеризующие условия теплообмена системы тел или тела с окружающей средой по закону теплопроводности. Предполагается, что между телами осуществляется идеальный контакт (температуры соприкасающихся поверхностей одинаковы). В рассматриваемых условиях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через поверхность соприкосновения:

. (4.21)