Пусть имеем две прямоугольные системы координат в пространстве и
, и систему функций

(1)

которые устанавливают взаимно-однозначное соответствие между точками некоторых областей
и
в этих системах координат. Предположим, что функции системы (1) имеют в
непрерывные частные производные. Определитель, составленный из этих частных производных

,

называют якобианом (или определителем Якоби) системы функций (1). Мы будем предполагать, что
в
.

В сделанных выше предположениях имеет место следующая общая формула замены переменных в тройном интеграле:

Как и в случае двойного интеграла, взаимная однозначность системы (1) и условие
могут нарушаться в отдельных точках, на отдельных линиях и на отдельных поверхностях.

Система функций (1) каждой точке
ставит в соответствие единственную точку
. Эти три числа
называют криволинейными координатами точки. Точки пространства
, для которых одна из этих координат сохраняет постоянное значение, образуют т.н. координатную поверхность.

II Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрическая система координат (ЦСК) определяется плоскостью
, в которой задана полярная система координат и осью
, перпендикулярной этой плоскости. Цилиндрическими координатами точки
, где
– полярные координаты точки– проекции точкина плоскость
, а– это координаты проекции точкина ось
или
.

В плоскости
введем обычным образом декартовы координаты, ось аппликат направим по оси
ЦСК. Теперь нетрудно получить формулы, связывающие цилиндрические координаты с декартовыми:

(3)

Эти формулы отображают областьна все пространство
.

Координатными поверхностями в рассматриваемом случае будут:

1)
– цилиндрические поверхности с образующими, парал-лельными оси
, направляющими которых служат окружности в плоскости
, с центром в точке;

2)

;

3)
– плоскости, параллельные плоскости
.

Якобиан системы (3):

.

Общая формула в случае ЦСК принимает вид:

Замечание 1 . Переход к цилиндрическим координатам рекомендуется в случае, когда область интегрирования – это круговые цилиндр или конус, или параболоид вращения (или их части), причем ось этого тела совпадает с осью аппликат
.

Замечание 2. Цилиндрические координаты можно обобщить так же, как и полярные координаты на плоскости.

Пример 1. Вычислить тройной интеграл от функции

по области
, представляющей собой внутреннюю часть цилиндра
, ограниченную конусом
и параболоидом
.

Решение. Эту область мы уже рассматривали в §2, пример 6, и получили стандартную запись в ДПСК. Однако, вычисление интеграла в этой области затруднительно. Перейдем в ЦСК:

.

Проекция
тела
на плоскость
– это круг
. Следовательно, координатаизменяется от 0 до
, а– от0 до R . Через произвольную точку
проведем прямую, параллельную оси
. Прямая войдет в
на конусе, а выйдет на параболоиде. Но конус
имеет в ЦСК уравнение
, а параболоид
– уравнение
. Итак, имеем

III Тройной интеграл в сферических координатах

Сферическая система координат (ССК) определяется плоскостью
, в которой задана ПСК, и осью
, перпендикулярной плоскости
.

Сферическими координатами точки пространства называют тройку чисел
, где– полярный угол проекции точки на плоскость
,– угол между осью
и вектором
и
.

В плоскости
введем декартовы координатные оси
и
обычным образом, а ось аппликат совместим с осью
. Формулы, связывающие сферические координаты с декартовыми таковы:

(4)

Эти формулы отображают область на всё пространство
.

Якобиан системы функций (4):

.

Координатные поверхности составляют три семейства:

1)
– концентрические сферы с центром в начале координат;

2)
– полуплоскости, проходящие через ось
;

3)
– круговые конусы с вершиной в начале координат, осью которых служит ось
.

Формула перехода в ССК в тройном интеграле:

Замечание 3. Переход в ССК рекомендуется, когда область интегрирования – это шар или его часть. При этом уравнение сферы
переходит в. Как и ЦСК, рассмотренная ранее, ССК «привязана» к оси
. Если центр сферы смещён на радиус вдоль координатной оси, то наиболее простое сферическое уравнение получим при смещении вдоль оси
:

Замечание 4. Возможно обобщение ССК:

с якобианом
. Эта система функций переведет эллипсоид

в «параллелепипед»

Пример 2. Найти среднее расстояние точек шара радиуса от его центра.

Решение. Напомним, что среднее значение функции
в области
– это тройной интеграл от функции по области деленный на объём области. В нашем случае

Итак, имеем

Процедура вычисления тройного интеграла аналогична соответствующей операции для двойного интеграла. Для ее описания введем понятие правильной трехмерной области:

Определение 9.1. Трехмерная область V, ограниченная замкнутой поверхностью S, называется правильной, если:

1. любая прямая, параллельная оси Оz и проведенная через внутреннюю точку области, пересекает S в двух точках;
2. вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную двумерную область D;
3. любая часть области V, отсеченная от нее плоскостью, параллельной какой-либо из координатных плоскостей, обладает свойствами 1) и 2).

Рассмотрим правильную область V, ограниченную снизу и сверху поверхностями z=χ(x,y) и z=ψ(x,y) и проектирующуюся на плоскость Оху в правильную область D, внутри которой х изменяется в пределах от а до b, ограниченную кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) (рис.1). Зададим в области V непрерывную функцию f(x, y, z).

Определение 9.2. Назовем трехкратным интегралом от функции f(x, y, z) по области V выражение вида:

Трехкратный интеграл обладает теми же свойствами, что и двукратный. Перечислим их без доказательства, так как они доказываются аналогично случаю двукратного интеграла.

Вычисление тройного интеграла.

Теорема 9.1. Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области:

. (9.3)

Доказательство.

Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям, на п правильных областей . Тогда из свойства 1 следует, что

где – трехкратный интеграл от функции f(x,y,z) по области .

Используя формулу (9.2), предыдущее равенство можно переписать в виде:

Из условия непрерывности функции f(x,y,z) следует, что предел интегральной суммы, стоящей в правой части этого равенства, существует и равен тройному интегралу . Тогда, переходя к пределу при , получим:

что и требовалось доказать.

Замечание.

Аналогично случаю двойного интеграла можно доказать, что изменение порядка интегрирования не меняет значения трехкратного интеграла.

Пример. Вычислим интеграл где V - треугольная пирамида с вершинами в точках (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Ее проекцией на плоскость Оху является треугольник с вершинами (0, 0), (1, 0) и (0, 1). Снизу область ограничена плоскостью z = 0, а сверху - плоскостью x + y + z = 1. Перейдем к трехкратному интегралу:

Множители, не зависящие от переменной интегриро-вания, можно вынести за знак соответствующего интеграла:

Криволинейные системы координат в трехмерном пространстве.

1. Цилиндрическая система координат.

Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) - это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.2).

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (9.4)

1. Сферическая система координат.

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой ρ - расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ - полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ - углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.3). При этом

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Якобиан и его геометрический смысл.

Рассмотрим общий случай замены переменных в двойном интеграле. Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что х и у являются однозначными и непрерывно дифференцируемыми функциями новых переменных u и v:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Рассмотрим прямоугольную систему координат Оuv, точка Р΄(u, v) которой соответствует точке Р(х, у) из области D. Все такие точки образуют в плоскости Оuv область D΄, ограниченную линией L΄. Можно сказать, что формулы (9.6) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D΄. При этом линиям u = const и

v = const в плоскости Оuv будут соответствовать некоторые линии в плоскости Оху.

Рассмотрим в плоскости Оuv прямоугольную площадку ΔS΄, ограниченную прямыми u = const, u+Δu = const, v = const и v+Δv = const. Ей будет соответствовать криволинейная площадка ΔS в плоскости Оху (рис.4). Площади рассматриваемых площадок тоже будем обозначать ΔS΄ и ΔS. При этом ΔS΄ = Δu Δv. Найдем площадь ΔS. Обозначим вершины этого криволинейного четырехугольника Р1, Р2, Р3, Р4, где

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Заменим малые приращения Δu и Δv соответствующими дифференциалами. Тогда

При этом четырехугольник Р1 Р2 Р3 Р4 можно считать параллелограммом и определить его площадь по формуле из аналитической геометрии:

(9.7)

Определение 9.3. Определитель называется функциональным определителем или якобианом функций φ(х, у) и ψ(х, у).

Переходя к пределу при в равенстве (9.7), получим геометрический смысл якобиана:

то есть модуль якобиана есть предел отношения площадей бесконечно малых площадок ΔS и ΔS΄.

Замечание. Аналогичным образом можно определить понятие якобиана и его геометрический смысл для п-мерного пространства: если x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un),…, xn = φ(u1, u2,…, un), то

(9.8)

При этом модуль якобиана дает предел отношения «объемов» малых областей пространств х1, х2,…, хп и u1, u2,…, un .

Замена переменных в кратных интегралах.

Исследуем общий случай замены переменных на примере двойного интеграла.

Пусть в области D задана непрерывная функция z = f(x,y), каждому значению которой соответствует то же самое значение функции z = F(u, v) в области D΄, где

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Рассмотрим интегральную сумму

где интегральная сумма справа берется по области D΄. Переходя к пределу при , получим формулу преобразования координат в двойном интеграле.

Тройные интегралы. Вычисление объема тела.
Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Три дня в деканате покойник лежал, в штаны Пифагора одетый,
В руках Фихтенгольца он томик держал, что сжил его с белого света,
К ногам привязали тройной интеграл, и в матрицу труп обернули,
А вместо молитвы какой-то нахал прочёл теорему Бернулли.

Тройные интегралы – это то, чего уже можно не бояться =) Ибо если Вы читаете сей текст, то, скорее всего, неплохо разобрались с теорией и практикой «обычных» интегралов , а также двойными интегралами . А там, где двойной, неподалёку и тройной:

И в самом деле, чего тут опасаться? Интегралом меньше, интегралом больше….

Разбираемся в записи:

– значок тройного интеграла;
– подынтегральная функция трёх переменных ;
– произведение дифференциалов.
– область интегрирования.

Особо остановимся на области интегрирования . Если в двойном интеграле она представляет собой плоскую фигуру , то здесь – пространственное тело , которое, как известно, ограничено множеством поверхностей . Таким образом, помимо вышеуказанного вы должны ориентироваться в основных поверхностях пространства и уметь выполнять простейшие трёхмерные чертежи.

Некоторые приуныли, понимаю…. Увы, статью нельзя озаглавить «тройные интегралы для чайников», и кое-что знать/уметь нужно. Но ничего страшного – весь материал изложен в предельно доступной форме и осваивается в кратчайшие сроки!

Что значит вычислить тройной интеграл и что это вообще такое?

Вычислить тройной интеграл – это значит найти ЧИСЛО :

В простейшем случае, когда , тройной интеграл численно равен объёму тела . И действительно, в соответствии с общим смыслом интегрирования , произведение равно бесконечно малому объёму элементарного «кирпичика» тела. А тройной интеграл как раз и объединяет все эти бесконечно малые частички по области , в результате чего получается интегральное (суммарное) значение объёма тела: .

Кроме того, у тройного интеграла есть важные физические приложения . Но об этом позже – во 2-й части урока, посвящённой вычислениям произвольных тройных интегралов , у которых функция в общем случае отлична от константы и непрерывна в области . В данной же статье детально рассмотрим задачу нахождения объёма, которая по моей субъективной оценке встречается в 6-7 раз чаще.

Как решить тройной интеграл?

Ответ логично вытекает из предыдущего пункта. Необходимо определить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам . После чего последовательно расправиться с тремя одиночными интегралами.

Как видите, вся кухня очень и очень напоминает двойные интегралы , с тем отличием, что сейчас у нас добавилась дополнительная размерность (грубо говоря, высота). И, наверное, многие из вас уже догадались, как решаются тройные интегралы.

Развеем оставшиеся сомнения:

Пример 1

Пожалуйста, перепишите столбиком на бумагу:

И ответьте на следующие вопросы. Знаете ли Вы, какие поверхности задают эти уравнения? Понятен ли Вам неформальный смысл этих уравнений? Представляете ли Вы, как данные поверхности расположены в пространстве?

Если Вы склоняетесь к общему ответу «скорее нет, чем да», то обязательно проработайте урок , иначе дальше будет не продвинуться!

Решение : используем формулу .

Для того чтобы выяснить порядок обхода тела и перейти к повторным интегралам нужно (всё гениальное просто) понять, что это за тело. И такому пониманию во многих случаях здОрово способствуют чертёжи.

По условию тело ограничено несколькими поверхностями. С чего начать построение? Предлагаю следующий порядок действий:

Сначала изобразим параллельную ортогональную проекцию тела на координатную плоскость . Первый раз сказал, как эта проекция называется, lol =)

Коль скоро проецирование проводится вдоль оси , то в первую очередь целесообразно разобраться с поверхностями , которые параллельны данной оси. Напоминаю, что уравнения таких поверхностей не содержат буквы «зет» . В рассматриваемой задаче их три:

– уравнение задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;
– уравнение задаёт координатную плоскость , которая проходит через ось ;
– уравнение задаёт плоскость «плоскую» прямую параллельно оси .

Скорее всего, искомая проекция представляет собой следующий треугольник:

Возможно, не все до конца поняли, о чём речь. Представьте, что из экрана монитора выходит ось и утыкается прямо в вашу переносицу (т.е. получается, что вы смотрите на 3-мерный чертёж сверху) . Исследуемое пространственное тело находится в бесконечном трёхгранном «коридоре» и его проекция на плоскость вероятнее всего представляет собой заштрихованный треугольник.

Обращаю особое внимание, что пока мы высказали лишь предположение о проекции и оговорки «скорее всего», «вероятнее всего» были не случайны. Дело в том, что проанализированы ещё не все поверхности и может статься так, что какая-нибудь из них «оттяпает» часть треугольника. В качестве наглядного примера напрашивается сфера с центром в начале координат радиусом мЕньшим единицы, например, сфера – её проекция на плоскость (круг ) не полностью «накроет» заштрихованную область, и итоговая проекция тела будет вовсе не треугольником (круг «срежет» ему острые углы) .

На втором этапе выясняем, чем тело ограничено сверху, чем снизу и выполняем пространственный чертёж. Возвращаемся к условию задачи и смотрим, какие поверхности остались. Уравнение задаёт саму координатную плоскость , а уравнение – параболический цилиндр , расположенный над плоскостью и проходящий через ось . Таким образом, проекция тела действительно представляет собой треугольник.

Кстати, здесь обнаружилась избыточность условия – в него было не обязательно включать уравнение плоскости , поскольку поверхность , касаясь оси абсцисс, и так замыкает тело. Интересно отметить, что в этом случае мы бы не сразу смогли начертить проекцию – треугольник «прорисовался» бы только после анализа уравнения .

Аккуратно изобразим фрагмент параболического цилиндра:

После выполнения чертежей с порядком обхода тела никаких проблем!

Сначала определим порядок обхода проекции (при этом ГОРАЗДО УДОБНЕЕ ориентироваться по двумерному чертежу). Это делается АБСОЛЮТНО ТАК ЖЕ , как и в двойных интегралах ! Вспоминаем лазерную указку и сканирование плоской области. Выберем «традиционный» 1-й способ обхода:

Далее берём в руки волшебный фонарик, смотрим на трёхмерный чертёж и строго снизу вверх просвечиваем пациента. Лучи входят в тело через плоскость и выходят из него через поверхность . Таким образом, порядок обхода тела:

Перейдём к повторным интегралам:

1) Начать следует с «зетового» интеграла. Используем формулу Ньютона-Лейбница :

Подставим результат в «игрековый» интеграл:

Что получилось? По существу решение свелось к двойному интегралу, и именно – к формуле объёма цилиндрического бруса ! Дальнейшее хорошо знакомо:

2)

Обратите внимание на рациональную технику решения 3-го интеграла.

Ответ :

Вычисления всегда можно записать и «одной строкой»:


Но с этим способом будьте осторожнее – выигрыш в скорости чреват потерей качества, и чем труднее пример, тем больше шансов допустить ошибку.

Ответим на важный вопрос:

Нужно ли делать чертёжи, если условие задачи не требует их выполнения?

Можно пойти четырьмя путями:

1) Изобразить проекцию и само тело. Это самый выигрышный вариант – если есть возможность выполнить два приличных чертежа, не ленитесь, делайте оба чертежа. Рекомендую в первую очередь.

2) Изобразить только тело. Годится, когда у тела несложная и очевидная проекция. Так, например, в разобранном примере хватило бы и трёхмерного чертежа. Однако тут есть и минус – по 3D-картинке неудобно определять порядок обхода проекции, и этот способ я бы советовал только людям с хорошим уровнем подготовки.

3) Изобразить только проекцию. Тоже неплохо, но тогда обязательны дополнительные письменные комментарии, чем ограничена область с различных сторон. К сожалению, третий вариант зачастую бывает вынужденным – когда тело слишком велико либо его построение сопряжено с иными трудностями. И такие примеры мы тоже рассмотрим.

4) Обойтись вообще без чертежей. В этом случае нужно представлять тело мысленно и закомментировать его форму/расположение письменно. Подходит для совсем простых тел либо задач, где выполнение обоих чертежей затруднительно. Но всё же лучше сделать хотя бы схематический рисунок, поскольку «голое» решение могут и забраковать.

Следующее тело для самостоятельного дела:

Пример 2

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

В данном случае область интегрирования задана преимущественно неравенствами, и это даже лучше – множество неравенств задаёт 1-й октант, включая координатные плоскости, а неравенство – полупространство , содержащее начало координат (проверьте) + саму плоскость. «Вертикальная» плоскость рассекает параболоид по параболе и на чертеже желательно построить данное сечение. Для этого нужно найти дополнительную опорную точку, проще всего – вершину параболы (рассматриваем значения и рассчитываем соответствующее «зет») .

Продолжаем разминаться:

Пример 3

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Выполнить чертёж.

Решение : формулировка «выполнить чертёж» даёт нам некоторую свободу, но, скорее всего, подразумевает выполнение пространственного чертежа. Однако и проекция тоже не помешает, тем более, она здесь не самая простая.

Придерживаемся отработанной ранее тактики – сначала разберёмся с поверхностями , которые параллельны оси аппликат. Уравнения таких поверхностей не содержат в явном виде переменную «зет»:

– уравнение задаёт координатную плоскость , проходящую через ось (которая на плоскости определяется «одноимённым» уравнением ) ;
– уравнение задаёт плоскость , проходящую через «одноимённую» «плоскую» прямую параллельно оси .

Искомое тело ограниченно плоскостью снизу и параболическим цилиндром сверху:

Составим порядок обхода тела, при этом «иксовые» и «игрековые» пределы интегрирования, напоминаю, удобнее выяснять по двумерному чертежу:

Таким образом:

1)

При интегрировании по «игрек» – «икс» считается константой, поэтому константу целесообразно сразу вынести за знак интеграла.

3)

Ответ :

Да, чуть не забыл, в большинстве случаев полученный результат малополезно (и даже вредно) сверять с трёхмерным чертежом, поскольку с большой вероятностью возникнет иллюзия объёма , о которой я рассказал ещё на уроке Объем тела вращения . Так, оценивая тело рассмотренной задачи, лично мне показалось, что в нём гораздо больше 4 «кубиков».

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на плоскость .

Примерный образец оформления задачи в конце урока.

Не редкость, когда выполнение трёхмерного чертежа затруднено:

Пример 5

С помощью тройного интеграла найти объём тела, заданного ограничивающими его поверхностями

Решение : проекция здесь несложная, но вот над порядком её обхода нужно подумать. Если выбрать 1-й способ, то фигуру придётся разделить на 2 части, что неиллюзорно грозит вычислением суммы двух тройных интегралов. В этой связи гораздо перспективнее выглядит 2-й путь. Выразим и изобразим проекцию данного тела на чертеже:

Прошу прощения за качество некоторых картинок, я их вырезаю прямо из собственных рукописей.

Выбираем более выгодный порядок обхода фигуры:

Теперь дело за телом. Снизу оно ограничено плоскостью , сверху – плоскостью , которая проходит через ось ординат. И всё бы было ничего, но последняя плоскость слишком крутА и построить область не так-то просто. Выбор тут незавиден: либо ювелирная работа в мелком масштабе (т.к. тело достаточно тонкое), либо чертёж высотой порядка 20 сантиметров (да и то, если вместится).

Но есть и третий, исконно русский метод решения проблемы – забить =) А вместо трёхмерного чертежа обойтись словесным описанием: «Данное тело ограничено цилиндрами и плоскостью сбоку, плоскостью – снизу и плоскостью – сверху».

«Вертикальные» пределы интегрирования, очевидно, таковы:

Вычислим объём тела, не забывая, что проекцию мы обошли менее распространённым способом:

1)

Ответ :

Как вы заметили, предлагаемые в задачах тела не дороже сотни баксов часто ограничены плоскостью снизу. Но это не есть какое-то правило, поэтому всегда нужно быть начеку – может попасться задание, где тело расположено и под плоскостью . Так, например, если в разобранной задаче вместо рассмотреть плоскость , то исследованное тело симметрично отобразится в нижнее полупространство и будет ограничено плоскостью снизу, а плоскостью – уже сверху!

Легко убедиться, что получится тот же самый результат:

(помним, что тело нужно обходить строго снизу вверх! )

Кроме того, «любимая» плоскость может оказаться вообще не при делах, простейший пример: шар, расположенный выше плоскости – при вычислении его объёма уравнение не понадобится вообще.

Все эти случаи мы рассмотрим, а пока аналогичное задание для самостоятельного решения:

Пример 6

С помощью тройного интеграла найти объём тела, ограниченного поверхностями

Краткое решение и ответ в конце урока.

Переходим ко второму параграфу с не менее популярными материалами:

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты – это, по сути, полярные координаты в пространстве.
В цилиндрической системе координат положение точки пространства определяется полярными координатами и точки – проекции точки на плоскость и аппликатой самой точки .

Переход от трёхмерной декартовой системы к цилиндрической системе координат осуществляется по следующим формулам:

Применительно к нашей теме преобразование выглядит следующим образом:

И, соответственно, в упрощённом случае, который мы рассматриваем в этой статье:

Главное, не забывать про дополнительный множитель «эр» и правильно расставлять полярные пределы интегрирования при обходе проекции:

Пример 7

Решение : придерживаемся того же порядка действий: в первую очередь рассматриваем уравнения, в которых отсутствует переменная «зет». Оно здесь одно. Проекция цилиндрической поверхности на плоскость представляет собой «одноимённую» окружность .

Плоскости ограничивают искомое тело снизу и сверху («высекают» его из цилиндра) и проецируются в круг :

На очереди трёхмерный чертёж. Основная трудность состоит в построении плоскости , которая пересекает цилиндр под «косым» углом, в результате чего получается эллипс . Уточним данное сечение аналитически: для этого перепишем уравнение плоскости в функциональном виде и вычислим значения функции («высоту») в напрашивающихся точках , которые лежат на границе проекции:

Отмечаем найдённые точки на чертеже и аккуратно (а не так, как я =)) соединяем их линией:

Проекция тела на плоскость представляет собой круг, и это весомый аргумент в пользу перехода к цилиндрической системе координат:

Найдём уравнения поверхностей в цилиндрических координатах:

Теперь следует выяснить порядок обхода тела.

Сначала разберёмся с проекцией. Как определить её порядок обхода? ТОЧНО ТАК ЖЕ, как и при вычислении двойных интегралов в полярных координатах . Здесь он элементарен:

«Вертикальные» пределы интегрирования тоже очевидны – входим в тело через плоскость и выходим из него через плоскость :

Перейдём к повторным интегралам:

При этом множитель «эр» сразу ставим в «свой» интеграл.

Веник как обычно легче сломать по прутикам:

1)

Сносим результат в следующий интеграл:

А тут не забываем, что «фи» считается константой. Но это до поры до времени:

Ответ :

Похожее задание для самостоятельного решения:

Пример 8

Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного поверхностями . Выполнить чертёжи данного тела и его проекции на плоскость .

Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Обратите внимание, что в условиях задач ни слова не сказано о переходе к цилиндрической системе координат, и несведущий человек будет бодаться с трудными интегралами в декартовых координатах. …А может и не будет – ведь есть третий, исконно русский способ решения проблем =)

Всё только начинается! …в хорошем смысле: =)

Пример 9

С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного поверхностями

Скромно и со вкусом.

Решение : данное тело ограничено конической поверхностью и эллиптическим параболоидом . Читатели, которые внимательно ознакомились с материалами статьи Основные поверхности пространства , уже представили, как выглядит тело, но на практике часто встречаются более сложные случаи, поэтому я проведу подробное аналитическое рассуждение.

Сначала найдём линии, по которым пересекаются поверхности. Составим и решим следующую систему:

Из 1-го уравнения почленно вычтем второе:

В результате получено два корня:

Подставим найденное значение в любое уравнение системы:
, откуда следует, что
Таким образом, корню соответствует единственная точка – начало координат. Естественно – ведь вершины рассматриваемых поверхностей совпадают.

Теперь подставим второй корень – тоже в любое уравнение системы:

Каков геометрический смысл полученного результата? «На высоте» (в плоскости ) параболоид и конус пересекаются по окружности – единичного радиуса с центром в точке .

При этом «чаша» параболоида вмещает в себя «воронку» конуса, поэтому образующие конической поверхности следует прочертить пунктиром (за исключением отрезка дальней от нас образующей, который виден с данного ракурса):

Проекцией тела на плоскость является круг с центром в начале координат радиуса 1, который я даже не удосужился изобразить ввиду очевидности данного факта (однако письменный комментарий делаем!) . Кстати, в двух предыдущих задачах на чертёж проекции тоже можно было бы забить, если бы не условие.

При переходе к цилиндрическим координатам по стандартным формулам неравенство запишется в простейшем виде и с порядком обхода проекции никаких проблем:

Найдём уравнения поверхностей в цилиндрической системе координат:

Так как в задаче рассматривается верхняя часть конуса, то из уравнения выражаем:

«Сканируем тело» снизу вверх. Лучи света входят в него через эллиптический параболоид и выходят через коническую поверхность . Таким образом, «вертикальный» порядок обхода тела:

Остальное дело техники:

Ответ :

Не редкость, когда тело задаётся не ограничивающими его поверхностями, а множеством неравенств:

Пример 10

Геометрический смысл пространственных неравенств я достаточно подробно разъяснил в той же справочной статье – Основные поверхности пространства и их построение .

Данная задача хоть и содержит параметр, но допускает выполнение точного чертежа, отражающего принципиальный вид тела. Подумайте, как выполнить построение. Краткое решение и ответ – в конце урока.

…ну что, ещё парочку заданий? Думал закончить урок, но прямо так и чувствую, что вы хотите ещё =)

Пример 11

С помощью тройного интеграла вычислить объём заданного тела:
, где – произвольное положительное число.

Решение : неравенство задаёт шар с центром в начале координат радиуса , а неравенство – «внутренность» кругового цилиндра с осью симметрии радиуса . Таким образом, искомое тело ограничено круговым цилиндром сбоку и симметричными относительно плоскости сферическими сегментами сверху и снизу.

Принимая за базовую единицу измерения, выполним чертёж:

Точнее, его следует назвать рисунком, поскольку пропорции по оси я выдержал не очень-то хорошо. Однако, справедливости ради, по условию вообще не требовалось ничего чертить и такой иллюстрации оказалось вполне достаточно.

Обратите внимание, что здесь не обязательно выяснять высоту, на которой цилиндр высекает из шара «шапки» – если взять в руки циркуль и наметить им окружность с центром в начале координат радиуса 2 см, то точки пересечения с цилиндром получатся сами собой.

Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат ,к полярным координатам
, связанных с прямоугольными координатами соотношениями
,
, осуществляется по формуле

Если область интегрирования
ограничена двумя лучами
,
(
), выходящими из полюса, и двумя кривыми
и
, то двойной интеграл вычисляют по формуле

.

Пример 1.3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной данными линиями:
,
,
,
.

Решение. Для вычисления площади области
воспользуемся формулой:
.

.

1.2. Тройные интегралы

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают так:

.

Если
, то тройной интеграл по областичисленно равен объему тела:

.

Вычисление тройного интеграла

Пусть область интегрирования ограничена снизу и сверху соответственно однозначными непрерывными поверхностями
,
, причем проекция областина координатную плоскость
есть плоская область
(рис. 1.6).

.

Пример 1.4. Вычислить
, где- тело, ограниченное плоскостями:

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

При переходе от декартовых координат
к цилиндрическим координатам
(рис. 1.9), связанных с
соотношениями
,
,
, причем

Область
, ограниченная кривой
, примет вид, или
, при этом полярный угол
. В итоге имеем

.

2. Элементы теории поля

Напомним предварительно способы вычисления криволинейных и поверхностных интегралов.

Вычисление криволинейного интеграла по координатам от функций, определенных на кривой , сводится к вычислению определенного интеграла вида

если кривая задана параметрическии
соответствует начальной точке кривой, а
- ее конечной точке.

Вычисление поверхностного интеграла от функции
, определенной на двусторонней поверхности, сводится к вычислению двойного интеграла, например, вида

если поверхность , заданная уравнением
, однозначно проецируется на плоскость
в область
. Здесь- угол между единичным вектором нормалик поверхностии осью
:

Требуемая условиями задачи сторона поверхности определяется выбором соответствующего знака в формуле (2.3).

Определение 2.1. Векторным полем
называется векторная функция точки
вместе с областью ее определения:

Векторное поле
характеризуется скалярной величиной –дивергенцией:

Определение 2.2. Потоком векторного поля
через поверхность называется поверхностный интеграл:

где - единичный вектор нормали к выбранной стороне поверхности, а
- скалярное произведение векторови.

Определение 2.3. Циркуляцией векторного поля

по замкнутой кривой называется криволинейный интеграл

где
.

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между потоком векторного поля через замкнутую поверхность и дивергенцией поля:

где - поверхность, ограниченная замкнутым контуром , а - единичный вектор нормали к этой поверхности. Направление нормали должно быть согласовано с направлением обхода контура .

Пример 2.1. Вычислить поверхностный интеграл

,

где - внешняя часть конуса
(
), отсекаемая плоскостью
(рис 2.1).

Решение. Поверхность однозначно проецируется в область
плоскости
, и интеграл вычисляется по формуле (2.2).

Область
есть круг
. Поэтому в последнем интеграле переходим к полярным координатам, при этом
,
:

Пример 2.2. Найти дивергенцию и ротор векторного поля
.

Решение. По формуле (2.4) получаем

Ротор данного векторного поля находим по формуле (2.5)

Пример 2.3. Найти поток векторного поля
через часть плоскости:
, расположенную в первом октанте (нормаль образует острый угол с осью
).

где
- проекция плоскостина
(рис. 2.4).

Пример 2.4. Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, образованную плоскостью
и частью конуса
(
) (рис. 2.2).

Решение. Воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса (2.8)

.

Найдем дивергенцию векторного поля по формуле (2.4):

где
- объем конуса, по которому ведется интегрирование. Воспользуемся известной формулой для вычисления объема конуса
(- радиус основания конуса,- его высота). В нашем случае получаем
. Окончательно получаем

.

Пример 2.5. Вычислить циркуляцию векторного поля
по контуру , образованному пересечением поверхностей
и
(
). Проверить результат по формуле Стокса.

Решение. Пересечением указанных поверхностей является окружность
,
(рис. 2.1). Направление обхода выбирается обычно так, чтобы ограниченная им область оставалась слева. Запишем параметрические уравнения контура :

причем параметр изменяется отдо
. По формуле (2.7) с учетом (2.1) и (2.10) получаем

.

Применим теперь формулу Стокса (2.9). В качестве поверхности , натянутой на контур , можно взять часть плоскости
. Направление нормали
к этой поверхности согласуется с направлением обхода контура . Ротор данного векторного поля вычислен в примере 2.2:
. Поэтому искомая циркуляция

где
- площадь области
.
- круг радиуса
, откуда