Решение криволинейного интеграла 2 рода. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)
16.3.2.1. Определение криволинейного интеграла первого рода. Пусть в пространстве переменных x,y,z задана кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция f (x ,y ,z ).Разобьём кривую точками на частей, на каждой из дуг выберем произвольную точку , найдём и длину дуги , и составим интегральную сумму . Если существует предел последовательности интегральных сумм при , не зависящий ни от способа разбиения кривой на дуги , ни от выбора точек , то функция f (x ,y ,z ) называется интегрируемой по кривой , а значение этого предела называется криволинейным интегралом первого рода, или криволинейным интегралом по длине дуги от функции f (x ,y ,z ) по кривой , и обозначается (или ).
Теорема существования. Если функция f (x ,y ,z ) непрерывна на кусочно-гладкой кривой , то она интегрируема по этой кривой.
Случай замкнутой кривой. В этом случае в качестве начальной и конечной точки можно взять произвольную точку кривой. Замкнутую кривую в дальнейшем будем называть контуром и обозначать буквой С . То, что кривая, по которой вычисляется интеграл, замкнута, принято обозначать кружочком на знаке интеграла: .
16.3.2.2. Свойства криволинейного интеграла первого рода. Для этого интеграла имеют место все шесть свойств, справедливых для определённого, двойного, тройного интеграла, от линейности до теоремы о среднем . Сформулировать и доказать их самостоятельно . Однако для этого интеграла справедливо и седьмое, персональное свойство:
Независимость криволинейного интеграла первого рода от направления прохождения кривой: .
Доказательство. Интегральные суммы для интегралов, стоящих в правой и левой частях этого равенства, при любом разбиении кривой и выборе точек совпадают (всегда длина дуги ), поэтому равны их пределы при .
16.3.2.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Примеры. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывно дифференцируемые функции, и пусть точкам , которые задают разбиение кривой, соответствуют значения параметра , т.е. . Тогда (см. раздел 13.3. Вычисление длин кривых) . По теореме о среднем, существует точка такая, что . Выберем точки , получающиеся при этом значении параметра: . Тогда интегральная сумма для криволинейного интеграла будет равна интегральной сумме для определенного интеграла . Так как , то, переходя к пределу при в равенстве , получим
Таким образом, вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определённого интеграла по параметру. Если кривая задана параметрически, то этот переход не вызывает трудностей; если дано качественное словесное описание кривой, то основной трудностью может быть введение параметра на кривой. Ещё раз подчеркнём, что интегрирование всегда ведётся в сторону возрастания параметра.
Примеры. 1. Вычислить , где - один виток спирали
Здесь переход к определённому интегралу проблем не вызывает: находим , и .
2. Вычислить тот же интеграл по отрезку прямой, соединяющей точки и .
Здесь прямого параметрического задания кривой нет, поэтому на АВ необходимо ввести параметр. Параметрические уравнения прямой имеют вид где - направляющий вектор, - точка прямой. В качестве точки берем точку , в качестве направляющего вектора - вектор : . Легко видеть, что точка соответствует значению , точка - значению , поэтому .
3. Найти, где - часть сечения цилиндра плоскостью z =x +1, лежащая в первом октанте.
Решение: Параметрические уравнения окружности - направляющей цилиндра имеют вид x =2cosj, y =2sinj, и так как z=x +1, то z = 2cosj+1. Итак,
поэтому
16.3.2.3.1. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай. Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости Оху , и задаётся функцией , то, рассматривая х как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: . Аналогично, если кривая задаётся уравнением , то .
Пример. Вычислить , где - четверть окружности , лежащая в четвёртом квадранте.
Решение. 1. Рассматривая х как параметр, получаем , поэтому
2. Если за параметр взять переменную у , то и .
3. Естественно, можно взять обычные параметрические уравнения окружности : .
Если кривая задана в полярных координатах , то , и .
На случай, когда областью интегрирования является отрезок некоторой кривой, лежащий в плоскости. Общая запись криволинейного интеграла следующая:
где f (x , y ) - функция двух переменных, а L - кривая, по отрезку AB которой происходит интегрирование. Если подынтегральная функция равна единице, то криволинейный интеграл равен длине дуги AB .
Как всегда в интегральном исчислении, криволинейный интеграл понимается как предел интегральных сумм каких-то очень маленьких частей чего-то очень большого. Что же суммируется в случае криволинейных интегралов?
Пусть на плоскости расположен отрезок AB некоторой кривой L , а функция двух переменных f (x , y ) определена в точках кривой L . Пусть мы выполняем с этим отрезком кривой следующий алгоритм.
- Разделить кривую AB на части точками (рисунки ниже).
- В каждой части свободно выбрать точку M .
- Найти значение функции в выбранных точках.
- Значения функции умножить на
- длины частей в случае криволинейного интеграла первого рода ;
- проекции частей на ось координат в случае криволинейного интеграла второго рода .
- Найти сумму всех произведений.
- Найти предел найденной интегральной суммы при условии, что длина самой длинной части кривой стремится к нулю.
Если упомянутый предел существует, то этот предел интегральной суммы и называется криволинейным интегралом от функции f (x , y ) по кривой AB .
первого рода
Случай криволинейного интеграла
второго рода
Введём следующие ообозначения.
M i (ζ i ; η i ) - выбранная на каждом участке точка с координатами.
f i (ζ i ; η i ) - значение функции f (x , y ) в выбранной точке.
Δs i - длина части отрезка кривой (в случае криволинейного интеграла первого рода).
Δx i - проекция части отрезка кривой на ось Ox (в случае криволинейного интеграла второго рода).
d = maxΔs i - длина самой длинной части отрезка кривой.
Криволинейные интегралы первого рода
Исходя из вышеизложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл первого рода записывается так:
.
Криволинейный интеграл первого рода обладает всеми свойствами, которыми обладает определённый интеграл . Однако есть одно важное различие. У определённого интеграла при перемене местами пределов интегрирования знак меняется на противоположный:
В случае же криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой AB (A или B ) считать началом отрезка, а какую концом, то есть
.
Криволинейные интегралы второго рода
Исходя из изложенного о пределе интегральных сумм, криволинейный интеграл второго рода записывается так:
.
В случае криволинейного интеграла второго рода при перемене местами начала и конца отрезка кривой знак интеграла меняется:
.
При составлении интегральной суммы криволинейного интеграла второго рода значения функции f i (ζ i ; η i ) можно умножать также на проекции частей отрезка кривой на ось Oy . Тогда получим интеграл
.
На практике обычно используется объединение криволинейных интегралов второго рода, то есть две функции f = P (x , y ) и f = Q (x , y ) и интегралы
,
а сумма этих интегралов
называется общим криволинейным интегралом второго рода .
Вычисление криволинейных интегралов первого рода
Вычисление криволинейных интегралов первого рода сводится к вычислению определённых интегралов. Рассмотрим два случая.
Пусть на плоскости задана кривая y = y (x ) и отрезку кривой AB соответствует изменение переменной x от a до b . Тогда в точках кривой подынтегральная функция f (x , y ) = f (x , y (x )) ("игрек" должен быть выражен через "икс"), а дифференциал дуги и криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
.
Если интеграл проще интегрировать по y , то из уравнения кривой нужно выразить x = x (y ) ("икс" через "игрек"), где и интеграл вычисляем по формуле
.
Пример 1.
где AB - отрезок прямой между точками A (1; −1) и B (2; 1) .
Решение. Составим уравнение прямой AB , используя формулу (уравнение прямой, проходящей через две данные точки A (x 1 ; y 1 ) и B (x 2 ; y 2 ) ):
Из уравнения прямой выразим y через x :
Тогда и теперь можем вычислять интеграл, так как у нас остались одни "иксы":
Пусть в пространстве задана кривая
Тогда в точках кривой функцию нужно выразить через параметр t () а дифференциал дуги , поэтому криволинейный интеграл можно вычислить по формуле
Аналогично, если на плоскости задана кривая
,
то криволинейный интеграл вычисляется по формуле
.
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл
где L - часть линии окружности
находящаяся в первом октанте.
Решение. Данная кривая - четверть линии окружности, расположенная в плоскости z = 3 . Она соответствует значениям параметра . Так как
то дифференциал дуги
Подынтегральную функцию выразим через параметр t :
Теперь, когда у нас всё выражено через параметр t , можем свести вычисление данного криволинейного интеграла к определённому интегралу:
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Так же, как и в случае криволинейных интегралов первого рода, вычисление интегралов второго рода сводится к вычислению определённых интегралов.
Кривая дана в декартовых прямоугольных координатах
Пусть дана кривая на плоскости уравнением функции "игрек", выраженной через "икс": y = y (x ) и дуге кривой AB соответствует изменение x от a до b . Тогда в подынтегральную функцию подставим выражение "игрека" через "икс" и определим дифференциал этого выражения "игрека" по "иксу": . Теперь, когда всё выражено через "икс", криволинейный интеграл второго рода вычисляется как определённый интеграл:
Аналогично вычисляется криволинейный интеграл второго рода, когда кривая дана уравнением функции "икс", выраженной через "игрек": x = x (y ) , . В этом случае формула для вычисления интеграла следующая:
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл
, если
а) L - отрезок прямой OA , где О (0; 0) , A (1; −1) ;
б) L - дуга параболы y = x ² от О (0; 0) до A (1; −1) .
а) Вычислим криволинейный интеграл по отрезку прямой (на рисунке - синяя). Напишем уравнение прямой и выразим "игрек" через "икс":
.
Получаем dy = dx . Решаем данный криволинейный интеграл:
б) если L - дуга параболы y = x ² , получим dy = 2xdx . Вычисляем интеграл:
В только что решённом примере получили в двух случаях один и тот же результат. И это не совпадение, а результат закономерности, так как данный интеграл удовлетворяет условиям следующей теоремы.
Теорема . Если функции P (x ,y ) , Q (x ,y ) и их частные производные , - непрерывные в области D функции и в точках этой области частные производные равны, то криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования по линии L , находящейся в области D .
Кривая дана в параметрической форме
Пусть в пространстве дана кривая
.
а в подынтегральные функции подставим
выражения этих функций через параметр t . Получаем формулу для вычисления криволинейного интеграла:
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл
,
если L - часть эллипса
отвечающая условию y ≥ 0 .
Решение. Данная кривая - часть эллипса, находящаяся в плоскости z = 2 . Она соответствует значению параметра .
можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и вычислить его:
Если дан криволинейный интеграл и L - замкнутая линия, то такой интеграл называется интегралом по замкнутому контуру и его проще вычислить по формуле Грина .
Больше примеров вычисления криволинейных интегралов
Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл
где L - отрезок прямой между точками её пересечения с осями координат.
Решение. Определим точки пересечения прямой с осями координат. Подставив в уравнение прямой y = 0 , получим , . Подставив x = 0 , получим , . Таким образом, точка пересечения с осью Ox - A (2; 0) , с осью Oy - B (0; −3) .
Из уравнения прямой выразим y :
.
, .
Теперь можем представить криволинейный интеграл в виде определённого интеграла и начать вычислять его:
В подынтегральном выражении выделяем множитель , выносим его за знак интеграла. В получившемся после этого подынтегральном выражении применяем подведение под знак дифференциала и окончательно получаем.
1 рода.
1.1.1. Определение криволинейного интеграла 1 рода
Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L). Пусть для любой точки кривой (L) определена непрерывная функция f(x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А=P 0 , P 1 , P n = В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.27)
Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму
Пусть , где .
λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L )на элементарные части, ни от выбора точек M i криволинейным интегралом 1 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по длине дуги) и обозначают:
Замечание . Аналогично вводиться определение криволинейного интеграла от функции f(x;y;z) по пространственной кривой (L).
Физический смысл криволинейного интеграла 1 рода:
Если (L)- плоская кривая с линейной плоскостью , то массу кривой находят по формуле:
1.1.2. Основные свойства криволинейного интеграла 1 рода:
3. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то .
4. Криволинейный интеграл 1 рода не зависит от направления интегрирования:
5. , где - длина кривой.
1.1.3. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода.
Вычисление криволинейного интеграла сводят к вычислению определенного интеграла.
1. Пусть кривая (L) задана уравнением . Тогда
То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .
Пример
Вычислить массу отрезка прямой от точки А(1;1) до точки В(2;4), если .
Решение
Уравнение прямой проходящей через две точки: .
Тогда уравнение прямой (АВ ): , .
Найдём производную .
Тогда . = .
2. Пусть кривая (L) задана параметрически : .
Тогда , то есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .
Для пространственного случая задания кривой: .Тогда
То есть дифференциал дуги вычисляют по формуле .
Пример
Найти длину дуги кривой , .
Решение
Длину дуги найдём по формуле : .
Для этого найдём дифференциал дуги .
Найдём производные , , .Тогда и длина дуги: .
3. Пусть кривая (L) задана в полярной системе координат: . Тогда
То есть дифференциал дуги вычислют по формуле .
Пример
Вычислить массу дуги линии , 0≤ ≤ , если .
Решение
Массу дуги найдём по формуле:
Для этого найдёмдифференциал дуги .
Найдём производную .
1.2. Криволинейный интеграл 2 рода
1.2.1. Определение криволинейного интеграла 2 рода
Пусть на плоскости Оxy задана кривая (L) . Пусть на (L) задана непрерывная функция f (x;y). Разобьем дугу АВ линии (L) точками А = P 0 ,P 1 , P n = В в направлении от точки А к точке В на n произвольных дуг P i -1 P i с длинами (i = 1, 2, n ) (рис.28).
Выберем на каждой дуге P i -1 P i произвольную точку M i (x i ; y i) , вычислим значение функции f(x;y) в точке M i . Составим интегральную сумму , где - длина проекции дуги P i -1 P i на ось Оx . Если направление движения вдоль проекции совпадает с положительным направлением оси Оx , то проекцию дуг считают положительной , иначе - отрицательной .
Пусть , где .
Если существует предел интегральной суммы при λ→0 (n→∞ ), не зависящий ни от способа разбиения кривой (L) на элементарные части, ни от выбора точек M i в каждой элементарной части, то этот предел называют криволинейным интегралом 2 рода от функции f(x;y) (криволинейным интегралом по координате х ) и обозначают:
Замечание. Аналогично вводится криволинейный интеграл по координате у:
Замечание. Если (L) - замкнутая кривая, то интеграл по ней обозначают
Замечание. Если на (L ) задано сразу три функции и от этих функций существуют интегралы , , ,
то выражение: + + называют общим криволинейным интегралом 2 рода и записывают:
1.2.2. Основные свойства криволинейного интеграла 2 рода:
3. При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода изменяет свой знак .
4. Если путь интегрирования разбит на части такие что , и имеют единственную общую точку, то
5. Если кривая (L ) лежит в плоскости:
Перпендикулярной оси Ох , то =0 ;
Перпендикулярной оси Oy , то ;
Перпендикулярной оси Oz , то =0.
6. Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).
1.2.3. Физический смысл криволинейного интеграла 2 рода.
Работа А силы при перемещении материальной точки единичной массы из точки М в точку N вдоль (MN ) равна:
1.2.4. Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводят к вычислению определенного интеграла.
1. Пусть кривая (L ) задана уравнением .
Пример
Вычислить, где (L )- ломаная OAB : O(0;0), A(0;2), B(2;4).
Решение
Так как (рис.29), то
1)Уравнение (OA) : , ,
2) Уравнение прямой (AB ): .
2. Пусть кривая (L) задана параметрически: .
Замечание. В пространственном случае:
Пример
Вычислить
Где (АВ)- отрезок от А(0;0;1) до B(2;-2;3).
Решение
Найдём уравнение прямой (АВ ):
Перейдём к параметрической записи уравнения прямой (АВ) . Тогда .
Точке A(0;0;1) соответствует параметр t равный: следовательно, t=0.
Точке B(2;-2;3) соответствует параметр t , равный: следовательно, t=1.
При перемещении от А к В ,параметр t меняется от 0 до 1 .
1.3. Формула Грина . L ) в т. М(х;у;z) с осями Оx, Оy, Oz
Кафедра «Высшая математика»
Криволинейные интегралы
Методические указания
Волгоград
УДК 517.373(075)
Рецензент:
старший преподаватель кафедры «Прикладная математика» Н.И. Кольцова
Печатается по решению редакционно-издательского совета
Волгоградского государственного технического университета
Криволинейные интегралы: метод. указания / сост. М.И.Андреева,
О.Е. Григорьева; ВолгГТУ. – Волгоград, 2011. – 26 с.
Методические указания являются руководством к выполнению индивидуальных заданий по теме « Криволинейные интегралы и их приложения к теории поля».
В первой части методических указаний содержится необходимый теоретический материал для выполнения индивидуальных заданий.
Во второй части рассмотрены примеры выполнения всех типов заданий, включенных в индивидуальные задания по теме, что способствует лучшей организации самостоятельной работы студентов и успешному усвоению темы.
Методические указания предназначены для студентов первого и второго курсов.
© Волгоградский государственный
технический университет, 2011
- КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА
Определение криволинейного интеграла 1 рода
Пусть È АВ – дуга плоской или пространственной кусочно-гладкой кривой L , f (P ) – заданная на этой дуге непрерывная функция, А 0 = А , А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B АВ и P i – произвольные точки на частичных дугах È А i – 1 A i , длины которых Dl i (i = 1, 2, …, n
при n ® ¥ и max Dl i ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги È АВ точками A i , ни от выбора точек P i на частичных дугах È А i – 1 A i (i = 1, 2, …, n ). Этот предел называется криволинейным интегралом 1 рода от функции f (P ) по кривой L и обозначается
Вычисление криволинейного интеграла 1 рода
Вычисление криволинейного интеграла 1 рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла при разных способах задания кривой интегрирования.
Если дуга È АВ плоской кривой задана параметрически уравнениями где x (t ) и y (t t , причем x (t 1) = x A , x (t 2) = x B , то
где - дифференциал длины дуги кривой.
Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной кривой L . Если дуга ÈАВ кривой L задана уравнениями , и x (t ), y (t ), z (t ) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то
где - дифференциал длины дуги кривой.
Если дуга ÈАВ плоской кривой L задана уравнением где y (x
и формула для вычисления криволинейного интеграла имеет вид:
При задании дуги ÈАВ
плоской кривой L
в виде x
= x
(y
), y
Î [y
1 ; y
2 ],
где x
(y
) – непрерывно дифференцируемая функция,
и криволинейный интеграл вычисляется по формуле
(1.4)
Задание кривой интегрирования полярным уравнением
Если плоская кривая L задана уравнением в полярной системе координат r = r (j), j Î , где r (j) – непрерывно дифференцируемая функция, то
и
(1.5)
Приложения криволинейного интеграла 1 рода
С помощью криволинейного интеграла 1 рода вычисляются: длина дуги кривой, площадь части цилиндрической поверхности, масса, статические моменты, моменты инерции и координаты центра тяжести материальной кривой с заданной линейной плотностью.
1. Длина l плоской или пространственной кривой L находится по формуле
2. Площадь части цилиндрической поверхности с параллельной оси OZ образующей и расположенной в плоскости XOY направляющей L , заключенной между плоскостью XOY и поверхностью, задаваемой уравнением z = f (x ; y ) (f (P ) ³ 0 при P Î L ), равна
(1.7)
3. Масса m материальной кривой L с линейной плотностью m(P ) определяется формулой
(1.8)
4. Статические моменты относительно осей Ox и Oy и координаты центра тяжести плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ) соответственно равны:
(1.9)
5. Статические моменты относительно плоскостей Oxy , Oxz , Oyz и координаты центра тяжести пространственной материальной кривой с линейной плотностью m(x ; y ; z) определяются по формулам:
(1.11)
6. Для плоской материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ) моменты инерции относительно осей Ox , Oy и начала координат соответственно равны:
(1.13)
7. Моменты инерции пространственной материальной кривой L с линейной плотностью m(x ; y ; z) относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам
(1.14)
а моменты инерции относительно координатных осей равны:
(1.15)
2. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 2 РОДА
Определение криволинейного интеграла 2 рода
Пусть ÈАВ – дуга кусочно-гладкой ориентированной кривой L , = (a x (P ); a y (P ); a z (P )) – заданная на этой дуге непрерывная векторная функция, А 0 = А , А 1 , А 2 , …, А n – 1 , А n = B – произвольное разбиение дуги АВ и P i – произвольные точки на частичных дугах А i – 1 A i . Пусть – вектор с координатами Dx i , Dy i , Dz i (i = 1, 2, …, n ), и – скалярное произведение векторов и (i = 1, 2, …, n ). Тогда существует предел последовательности интегральных сумм
при n
® ¥ и max ÷ ç ® 0, который не зависит ни от способа разбиения дуги АВ
точками A i
, ни от выбора точек P i
на частичных дугах ÈА i
– 1 A i
(i
= 1, 2, …, n
). Этот предел называется криволинейным интегралом 2 рода от функции (P
) по кривой L
и обозначается
В случае, когда векторная функция задана на плоской кривой L , аналогично имеем:
При изменении направления интегрирования криволинейный интеграл 2 рода меняет знак.
Криволинейные интегралы первого и второго рода связаны соотношением
(2.2)
где – единичный вектор касательной к ориентированной кривой.
С помощью криволинейного интеграла 2 рода можно вычислять работу силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L:
Положительным направлением обхода замкнутой кривой С, ограничивающей односвязную область G , считается обход против часовой стрелки.
Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутой кривой С называется циркуляцией и обозначается
(2.4)
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода
Вычисление криволинейного интеграла 2 рода сводится к вычислению определенного интеграла.
Параметрическое задание кривой интегрирования
Если ÈАВ ориентированной плоской кривой задана параметрически уравнениями , где х (t ) и y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , причем то
Аналогичная формула имеет место в случае параметрического задания пространственной ориентированной кривой L . Если дуга ÈАВ кривой L задана уравнениями , и – непрерывно дифференцируемые функции параметра t , то
Явное задание плоской кривой интегрирования
Если дуга ÈАВ L задана в декартовых координатах уравнением где y (x ) – непрерывно дифференцируемая функция, то
(2.7)
При задании дуги ÈАВ
плоской ориентированной кривой L
в виде
x
= x
(y
), y
Î [y
1 ; y
2 ], где x
(y
) – непрерывно дифференцируемая функция, справедлива формула
(2.8)
Пусть функции непрерывны вместе со своими производными
в плоской замкнутой области G , ограниченной кусочно-гладкой замкнутой самонепересекающейся положительно ориентированной кривой С + . Тогда имеет место формула Грина:
Пусть G – поверхностно-односвязная область, и
= (a x (P ); a y (P ); a z (P ))
– заданное в этой области векторное поле. Поле (P ) называется потенциальным, если существует такая функция U (P ), что
(P ) = grad U (P ),
Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля (P ) имеет вид:
rot (P ) = , где (2.10)
(2.11)
Если векторное поле является потенциальным, то криволинейный интеграл 2 рода не зависит от кривой интегрирования, а зависит только от координат начала и конца дуги М 0 М . Потенциал U (М ) векторного поля определяется с точностью до постоянного слагаемого и находится по формуле
(2.12)
где М 0 М – произвольная кривая, соединяющая фиксированную точку М 0 и переменную точку М . Для упрощения вычислений в качестве пути интегрирования может быть выбрана ломаная М 0 М 1 М 2 М со звеньями, параллельными координатным осям, например:
3. примеры выполнения заданий
Задание 1
Вычислить криволинейный интеграл I рода
где L – дуга кривой , 0 ≤ x ≤ 1.
Решение. По формуле (1.3) сведения криволинейного интеграла I рода к определенному интегралу в случае гладкой плоской явно заданной кривой:
где y = y (x ), x 0 ≤ x ≤ x 1 – уравнение дуги L кривой интегрирования. В рассматриваемом примере Находим производную этой функции
и дифференциал длины дуги кривой L
то, подставляя в это выражение вместо y , получаем
Преобразуем криволинейный интеграл к определенному:
Вычисляем этот интеграл с помощью подстановки . Тогда
t
2 = 1 + x
, x
= t
2 – 1, dx
= 2t dt
; при x =
0 t
= 1; а x
= 1 соответствует . После преобразований получаем
Задание 2
Вычислить криволинейный интеграл 1 рода по дуге L кривой L : x = cos 3 t , y = sin 3 t , .
Решение. Так как L – дуга гладкой плоской кривой, заданной в параметрическом виде, то используем формулу (1.1) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному:
.
В рассматриваемом примере
Найдем дифференциал длины дуги
Найденные выражения подставляем в формулу (1.1) и вычисляем:
Задание 3
Найти массу дуги линии L с линейной плоскостью m.
Решение. Масса m дуги L с плотностью m(P ) вычисляется по формуле (1.8)
Это криволинейный интеграл 1 рода по параметрически заданной гладкой дуге кривой в пространстве, поэтому он вычисляется по формуле (1.2) сведения криволинейного интеграла 1 рода к определенному интегралу:
Найдем производные
и дифференциал длины дуги
Подставляем эти выражения в формулу для массы:
Задание 4
Пример 1. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода
по дуге L кривой 4x + y 2 = 4 от точки A (1; 0) до точки B (0; 2).
Решение. Плоская дуга L задана в неявном виде. Для вычисления интеграла удобнее выразить x через y :
и находить интеграл по формуле (2.8) преобразования криволинейного интеграла 2 рода в определенный интеграл по переменной y :
где a x (x ; y ) = xy – 1, a y (x ; y ) = xy 2 .
С учетом задания кривой
По формуле (2.8) получаем
Пример 2 . Вычислить криволинейный интеграл 2 рода
где L – ломаная ABC , A (1; 2), B (3; 2), C (2; 1).
Решение . По свойству аддитивности криволинейного интеграла
Каждый из интегралов- слагаемых вычисляем по формуле (2.7)
где a x (x ; y ) = x 2 + y , a y (x ; y ) = –3xy .
Уравнение отрезка прямой AB : y = 2, y ¢ = 0, x 1 = 1, x 2 = 3. Подставляя в формулу (2.7) эти выражения, получаем:
Для вычисления интеграла
составим уравнение прямой BC по формуле
где x B , y B , x C , y C – координаты точек B и С . Получаем
y – 2 = x – 3, y = x – 1, y ¢ = 1.
Подставляем полученные выражения в формулу (2.7):
Задание 5
Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по дуге L
0 ≤ t ≤ 1.
Решение . Так как кривая интегрирования задана параметрически уравнениями x = x (t ), y = y (t ), t Î [t 1 ; t 2 ], где x (t ) и y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции t при t Î [t 1 ; t 2 ], то для вычисления криволинейного интеграла второго рода используем формулу (2.5) сведения криволинейного интеграла к определенному для плоской параметрически заданной кривой
В рассматриваемом примере a x (x ; y ) = y ; a y (x ; y ) = –2x .
C учетом задания кривой L получаем:
Подставляем найденные выражения в формулу (2.5) и вычисляем определенный интеграл:
Задание 6
Пример 1. C + где С : y 2 = 2x , y = x – 4.
Решение. Обозначение C + указывает, что обход контура осуществляется в положительном направлении, то есть против часовой стрелки.
Проверим, что для решения задачи можно использовать формулу Грина (2.9)
Так как функции a x (x ; y ) = 2y – x 2 ; a y (x ; y ) = 3x + y и их частные производные непрерывны в плоской замкнутой области G , ограниченной контуром C , тоформула Грина применима.
Для вычисления двойного интеграла изобразим область G
, предварительно определив точки пересечения дуг кривых y
2 = 2x
и
y
= x
– 4, составляющих контур C
.
Точки пересечения найдем, решив систему уравнений:
Второе уравнение системы равносильно уравнению x 2 – 10x + 16 = 0, откуда x 1 = 2, x 2 = 8, y 1 = –2, y 2 = 4.
Итак, точки пересечения кривых: A (2; –2), B (8; 4).
Так как область G – правильная в направлении оси Ox , то для сведения двойного интеграла к повторному спроектируем область G на ось OY и воспользуемся формулой
.
Так как a = –2, b = 4, x 2 (y ) = 4+y , то
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру где С – контур треугольника с вершинами A (0; 0), B (1; 2), C (3; 1).
Решение. Обозначение означает, что контур треугольника обходится по часовой стрелке. В случае, когда криволинейный интеграл берется по замкнутому контуру , формула Грина принимает вид
Изобразим область G , ограниченную заданным контуром.
Функции и частные производные и непрерывны в области G , поэтому можно применить формулу Грина. Тогда
Область G не является правильной в направлении какой-либо из осей. Проведем отрезок прямой x = 1 и представим G в виде G = G 1 È G 2 , где G 1 и G 2 области, правильные в направлении оси Oy .
Тогда
Для сведения каждого из двойных интегралов по G 1 и G 2 к повторному будем использовать формулу
где [a ; b ] – проекция области D на ось Ox ,
y = y 1 (x ) – уравнение нижней ограничивающей кривой,
y = y 2 (x ) – уравнение верхней ограничивающей кривой.
Запишем уравнения границ области G 1 и найдем
AB : y = 2x , 0 ≤ x ≤ 1; AD : , 0 ≤ x ≤ 1.
Составим уравнение границы BC области G 2 , используя формулу
BC : где 1 ≤ x ≤ 3.
DC : 1 ≤ x ≤ 3.
Задание 7
Пример 1. Найти работу силы L : y = x 3 от точки M (0; 0) к точке N (1; 1).
Решение . Работу переменной силы при перемещении материальной точки по дуге кривой L определяем по формуле (2.3) (как криволинейный интеграл второго рода от функции по кривой L ) .
Так как векторная функция задана уравнением и дуга плоской ориентированной кривой определена явно уравнением y = y (x ), x Î [x 1 ; x 2 ], где y (x ) непрерывно дифференцируемая функция, то по формуле (2.7)
В рассматриваемом примере y = x 3 , , x 1 = x M = 0, x 2 = x N = 1. Поэтому
Пример 2 . Найти работу силы при перемещении материальной точки вдоль линии L : x 2 + y 2 = 4 от точки M (0; 2) к точке N (–2; 0).
Решение . Используя формулу (2.3), получаем
.
В рассматриваемом примере дуга кривой L (ÈMN ) – это четверть окружности, задаваемой каноническим уравнением x 2 + y 2 = 4.
Для вычисления криволинейного интеграла второго рода удобнее перейти к параметрическому заданию окружности: x = R cost , y = R sint и воспользоваться формулой (2.5)
Так как x = 2cost , y = 2sint , , , получаем
Задание 8
Пример 1 . Вычислить модуль циркуляции векторного поля вдоль контура Г :
Решение. Для вычисления циркуляции векторного поля вдоль замкнутого контура Г воспользуемся формулой (2.4)
Так как задано пространственное векторное поле и пространственный замкнутый контур Г , то переходя от векторной формы записи криволинейного интеграла к координатной форме, получаем
Кривая Г задана как пересечение двух поверхностей: гиперболического параболоида z = x 2 – y 2 + 2 и цилиндра x 2 + y 2 = 1. Для вычисления криволинейного интеграла удобно перейти к параметрическим уравнениям кривой Г .
Уравнение цилиндрической поверхности можно записать в виде:
x
= cos t
, y
= sin t
, z
= z
. Выражение для z
в параметрических уравнениях кривой получается подстановкой x
= cos t
, y
= sin t
в уравнение гиперболического параболоида z =
2 + cos 2 t
– sin 2 t
= 2 + cos 2t
. Итак, Г
: x
= cos t
,
y
= sin t
, z
= 2 + cos 2t
, 0 ≤ t
≤ 2p.
Так как входящие в параметрические уравнения кривой Г
функции
x
(t
) = cos t
, y
(t
) = sin t
, z
(t
) = 2 + cos 2t
являются непрерывно дифференцируемыми функциями параметра t
при t
Î , то криволинейный интеграл находим по формуле (2.6)