Найти векторное произведение векторов если известны длины. Векторное произведение - определения, свойства, формулы, примеры и решения
English: Wikipedia is making the site more secure. You are using an old web browser that will not be able to connect to Wikipedia in the future. Please update your device or contact your IT administrator.
中文: 维基百科正在使网站更加安全。您正在使用旧的浏览器，这在将来无法连接维基百科。请更新您的设备或联络您的IT管理员。以下提供更长，更具技术性的更新（仅英语）。
Español: Wikipedia está haciendo el sitio más seguro. Usted está utilizando un navegador web viejo que no será capaz de conectarse a Wikipedia en el futuro. Actualice su dispositivo o contacte a su administrador informático. Más abajo hay una actualización más larga y más técnica en inglés.
ﺎﻠﻋﺮﺒﻳﺓ: ويكيبيديا تسعى لتأمين الموقع أكثر من ذي قبل. أنت تستخدم متصفح وب قديم لن يتمكن من الاتصال بموقع ويكيبيديا في المستقبل. يرجى تحديث جهازك أو الاتصال بغداري تقنية المعلومات الخاص بك. يوجد تحديث فني أطول ومغرق في التقنية باللغة الإنجليزية تاليا.
Français: Wikipédia va bientôt augmenter la sécurité de son site. Vous utilisez actuellement un navigateur web ancien, qui ne pourra plus se connecter à Wikipédia lorsque ce sera fait. Merci de mettre à jour votre appareil ou de contacter votre administrateur informatique à cette fin. Des informations supplémentaires plus techniques et en anglais sont disponibles ci-dessous.
日本語: ウィキペディアではサイトのセキュリティを高めています。ご利用のブラウザはバージョンが古く、今後、ウィキペディアに接続できなくなる可能性があります。デバイスを更新するか、IT管理者にご相談ください。技術面の詳しい更新情報は以下に英語で提供しています。
Deutsch: Wikipedia erhöht die Sicherheit der Webseite. Du benutzt einen alten Webbrowser, der in Zukunft nicht mehr auf Wikipedia zugreifen können wird. Bitte aktualisiere dein Gerät oder sprich deinen IT-Administrator an. Ausführlichere (und technisch detailliertere) Hinweise findest Du unten in englischer Sprache.
Italiano: Wikipedia sta rendendo il sito più sicuro. Stai usando un browser web che non sarà in grado di connettersi a Wikipedia in futuro. Per favore, aggiorna il tuo dispositivo o contatta il tuo amministratore informatico. Più in basso è disponibile un aggiornamento più dettagliato e tecnico in inglese.
Magyar: Biztonságosabb lesz a Wikipédia. A böngésző, amit használsz, nem lesz képes kapcsolódni a jövőben. Használj modernebb szoftvert vagy jelezd a problémát a rendszergazdádnak. Alább olvashatod a részletesebb magyarázatot (angolul).
Svenska: Wikipedia gör sidan mer säker. Du använder en äldre webbläsare som inte kommer att kunna läsa Wikipedia i framtiden. Uppdatera din enhet eller kontakta din IT-administratör. Det finns en längre och mer teknisk förklaring på engelska längre ned.
हिन्दी: विकिपीडिया साइट को और अधिक सुरक्षित बना रहा है। आप एक पुराने वेब ब्राउज़र का उपयोग कर रहे हैं जो भविष्य में विकिपीडिया से कनेक्ट नहीं हो पाएगा। कृपया अपना डिवाइस अपडेट करें या अपने आईटी व्यवस्थापक से संपर्क करें। नीचे अंग्रेजी में एक लंबा और अधिक तकनीकी अद्यतन है।
We are removing support for insecure TLS protocol versions, specifically TLSv1.0 and TLSv1.1, which your browser software relies on to connect to our sites. This is usually caused by outdated browsers, or older Android smartphones. Or it could be interference from corporate or personal "Web Security" software, which actually downgrades connection security.
You must upgrade your web browser or otherwise fix this issue to access our sites. This message will remain until Jan 1, 2020. After that date, your browser will not be able to establish a connection to our servers.
Перед тем, как дать понятие векторного произведения, обратимся к вопросу о ориентации упорядоченной тройки векторов a → , b → , c → в трехмерном пространстве.
Отложим для начала векторы a → , b → , c → от одной точки. Ориентация тройки a → , b → , c → бывает правой или левой, в зависимости от направления самого вектора c → . От того, в какую сторону осуществляется кратчайший поворот от вектора a → к b → с конца вектора c → , будет определен вид тройки a → , b → , c → .
Если кратчайший поворот осуществляется против часовой стрелки, то тройка векторов a → , b → , c → называется правой , если по часовой стрелке – левой .
Далее возьмем два не коллинеарных вектора a → и b → . Отложим затем от точки A векторы A B → = a → и A C → = b → . Построим вектор A D → = c → , который одновременно перпендикулярный одновременно и A B → и A C → . Таким образом, при построении самого вектора A D → = c → мы можем поступить двояко, задав ему либо одно направление, либо противоположное (смотрите иллюстрацию).
Упорядоченная тройка векторов a → , b → , c → может быть, как мы выяснили правой или левой в зависимости от направления вектора.
Из вышесказанного можем ввести определение векторного произведения. Данное определение дается для двух векторов, определенных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
Определение 1
Векторным произведением двух векторов a → и b → будем называть такой вектор заданный в прямоугольной системе координат трехмерного пространства такой, что:
- если векторы a → и b → коллинеарны, он будет нулевым;
- он будет перпендикулярен и вектору a → и вектору b → т.е. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
- его длина определяется по формуле: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
- тройка векторов a → , b → , c → имеет такую же ориентацию, что и заданная система координат.
Векторное произведение векторов a → и b → имеет следущее обозначение: a → × b → .
Координаты векторного произведения
Так как любой вектор имеет определенные координаты в системе координат, то можно ввести второе определение векторного произведения, которое позволит находить его координаты по заданным координатам векторов.
Определение 2
В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторным произведением двух векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) называют вектор c → = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → , где i → , j → , k → являются координатными векторами.
Векторное произведение можно представит как определитель квадратной матрицы третьего порядка, где первая строка есть векторы орты i → , j → , k → , вторая строка содержит координаты вектора a → , а третья – координаты вектора b → в заданной прямоугольной системе координат, данный определитель матрицы выглядит так: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z
Разложив данный определитель по элементам первой строки, получим равенство: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k →
Свойства векторного произведения
Известно, что векторное произведение в координатах представляется как определитель матрицы c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , то на базе свойств определителя матрицы выводятся следующие свойства векторного произведения:
- антикоммутативность a → × b → = - b → × a → ;
- дистрибутивность a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
- ассоциативность λ · a → × b → = λ · a → × b → или a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , где λ - произвольное действительное число.
Данные свойства имеют не сложные доказательства.
Для примера можем доказать свойство антикоммутативности векторного произведения.
Доказательство антикоммутативности
По определению a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z и b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . А если две строчки матрицы переставить местами, то значение определителя матрицы должно меняется на противоположное,следовательно, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , что и доказывает антикоммутативность векторного произведения.
Векторное произведение – примеры и решения
В большинстве случаев встречаются три типа задач.
В задачах первого типа обычно заданы длины двух векторов и угол между ними, а нужно найти длину векторного произведения. В этом случае пользуются следующей формулой c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .
Пример 1
Найдите длину векторного произведения векторов a → и b → , если известно a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .
Решение
С помощью определения длины векторного произведения векторов a → и b → решим данную задач: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .
Ответ: 15 2 2 .
Задачи второго типа имеют связь с координатами векторов, в них векторное произведение, его длина и т.д. ищутся через известные координаты заданных векторов a → = (a x ; a y ; a z) и b → = (b x ; b y ; b z) .
Для такого типа задач, можно решить массу вариантов заданий. Например, могут быть заданы не координаты векторов a → и b → , а их разложения по координатным векторам вида b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → и c → = a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → , или векторы a → и b → могут быть заданы координатами точек их начала и конца.
Рассмотрим следующие примеры.
Пример 2
В прямоугольной системе координат заданы два вектора a → = (2 ; 1 ; - 3) , b → = (0 ; - 1 ; 1) . Найдите их векторное произведение.
Решение
По второму определению найдем векторное произведение двух векторов в заданных координатах: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Если записать векторное произведение через определитель матрицы, то решение данного примера выглядит следующим образом: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Ответ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .
Пример 3
Найдите длину векторного произведения векторов i → - j → и i → + j → + k → , где i → , j → , k → - орты прямоугольной декартовой системы координат.
Решение
Для начала найдем координаты заданного векторного произведения i → - j → × i → + j → + k → в данной прямоугольной системе координат.
Известно, что векторы i → - j → и i → + j → + k → имеют координаты (1 ; - 1 ; 0) и (1 ; 1 ; 1) соответственно. Найдем длину векторного произведения при помощи определителя матрицы, тогда имеем i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .
Следовательно, векторное произведение i → - j → × i → + j → + k → имеет координаты (- 1 ; - 1 ; 2) в заданной системе координат.
Длину векторного произведения найдем по формуле (см. в разделе нахождение длины вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .
Ответ: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .
Пример 4
В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех точек A (1 , 0 , 1) , B (0 , 2 , 3) , C (1 , 4 , 2) . Найдите какой-нибудь вектор, перпендикулярный A B → и A C → одновременно.
Решение
Векторы A B → и A C → имеют следующие координаты (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) соответственно. Найдя векторное произведение векторов A B → и A C → , очевидно, что оно является перпендикулярным вектором по определению и к A B → и к A C → , то есть, является решением нашей задачи. Найдем его A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .
Ответ: - 6 i → + j → - 4 k → . - один из перпендикулярных векторов.
Задачи третьего типа ориентированы на использование свойств векторного произведения векторов. После применения которых, будем получать решение заданной задачи.
Пример 5
Векторы a → и b → перпендикулярны и их длины равны соответственно 3 и 4 . Найдите длину векторного произведения 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .
Решение
По свойству дистрибутивности векторного произведения мы можем записать 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b →
По свойству ассоциативности вынесем числовые коэффициенты за знак векторных произведений в последнем выражении: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →
Векторные произведения a → × a → и b → × b → равны 0, так как a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0 , тогда 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .
Из антикоммутативности векторного произведения следует - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .
Воспользовавшись свойствами векторного произведения, получаем равенство 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .
По условию векторы a → и b → перпендикулярны, то есть угол между ними равен π 2 . Теперь остается лишь подставить найденные значения в соответствующие формулы: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = - 5 · a → × b → = = 5 · a → × b → = 5 · a → · b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .
Ответ: 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 60 .
Длина векторного произведения векторов по орпеделению равна a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Так как уже известно (из школьного курса), что площадь треугольника равна половине произведения длин двух его сторон умноженное на синус угла между данными сторонами. Следовательно, длина векторного произведения равна площади параллелограмма - удвоенного треугольника, а именно произведению сторон в виде векторов a → и b → , отложенные от одной точки, на синус угла между ними sin ∠ a → , b → .
Это и есть геометрический смысл векторного произведения.
Физический смысл векторного произведения
В механике, одном из разделов физики, благодаря векторному произведению можно определить момент силы относительно точки пространства.
Определение 3
Под моментом силы F → , приложенной к точке B , относительно точки A будем понимать следующее векторное произведение A B → × F → .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i,j иk:
если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает - третий вектор берется со знаком «минус».
Пусть
заданы два вектора а=ахi +ayj +azk и b =bxi +byj
+bzk . Найдем векторное произведение этих
векторов, перемножая их как многочлены
(согласно свойств векторного произведения):
Полученную формулу можно записать еще
короче:
так как правая часть равенства (7.1)
соответствует разложению определителя
третьего порядка по элементам первой
строки.Равенство (7.2) легко запоминается.
7.4. Некоторые приложения векторного произведения
Установление
коллинеарности векторов.
Нахождение площади параллелограмма и
треугольника
Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а| * |b |sing , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, DS =1/2|а х b |.
Определение момента силы относительно точки
Пусть в точке
А приложена сила F =АВ и пусть О - некоторая
точка пространства
Из физики известно, что моментом си лы
F относительно точки О называется вектор
М, который проходит через точку О и:
1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;
2) численно равен произведению силы на плечо 3) образует правую тройку с векторами ОА и A В.
Стало быть, М=ОА х F . Нахождение линейной скорости вращения
Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ, где О-некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).
Угол между векторами
Из
определения скалярного произведения
двух векторов следует, что
Если векторы и заданы
координатами и 
,
то формула (1.6.3.1) запишется в виде:
Площадь параллелограмма,построенных на векторах
Задачи на измерение длин отрезков, расстояний между точками, площадей поверхностей и объемов тел относятся к важному классу проблем, которые принято называть метрическими. В предыдущем разделе мы познакомились с тем, как использовать векторную алгебру для вычисления длин отрезков и расстояний между точками. Теперь мы собираемся найти способы вычисления площадей и объемов. Векторная алгебра позволяет ставить и решать подобные задачи только для достаточно простых случаев. Для вычисления площадей произвольных поверхностей и объемов произвольных тел требуются методы анализа. Но методы анализа в свою очередь существенным образом опираются на те результаты, которые дает векторная алгебра.
Для решения поставленной задачи, мы избрали достаточно долгий и непростой путь, подсказанный Гильбертом Стренгом , связанный с многочисленными геометрическими преобразованиями и кропотливыми алгебраическими вычислениями. Мы избрали этот путь несмотря на то, что существуют другие подходы, которые быстрее приводят к цели потому, что он показался нам прямым и естественным. Прямой путь в науке не всегда оказывается самым простым. Люди искушенные знают об этом и предпочитают пути окольные, но если не попытаться пройти прямиком, то можно так и остаться в неведении относительно некоторых тонкостей теории.
На избранном нами пути естественным образом появляются такие понятия как ориентация пространства, определитель, векторное и смешанное произведения. Особенно наглядно, как под микроскопом, проявляется геометрический смысл определителя и его свойств. Традиционно понятие определителя вводится в теории систем линейных уравнений, но именно для решения таких систем определитель почти бесполезен. Геометрический же смысл определителя существенен для векторной и тензорной алгебры.
А теперь запасемся терпением и начнем с самых простых и понятных случаев.
1. Векторы ориентированы вдоль координатных осей декартовой системы координат.
Пусть
вектор a
направлен по оси x, а вектор b
вдоль оси y. На рис. 21 показаны четыре
различных варианта расположения векторов
по отношению к осям координат.
Векторы a и b в координатной форме:Где a и b означают модуль соответствующего вектора, а – знак координаты вектора.
Поскольку векторы ортогональны, то параллелограммы, построенные на них, являются прямоугольниками. Их площади равны просто произведению их сторон. Выразим эти произведения через координаты векторов для всех четырех случаев.
Все четыре
формулы для вычисления площади одинаковы
за исключением знака. Можно было бы
просто закрыть на это глаза и записать,
что во всех случаях. Однако более
продуктивной оказывается другая
возможность: придать знаку какой-то
смысл. Посмотрим внимательно на рис.
21. В тех случаях, когда, поворот вектора к вектору осуществляется
по часовой стрелке. В тех же случаях,
когда мы вынуждены использовать в
формуле знак минус, поворот вектора к
вектору осуществляется против часовой
стрелки. Это наблюдение позволяет
связать знак в выражениях для площади
с ориентацией плоскости.
Площадь
прямоугольника, построенного на векторах
aиb, со
знаком плюс или минус будем считать
ориентированной площадью, при этом знак
будем связывать с ориентацией, задаваемой
векторами. Для ориентированной площади
мы можем записать единую формулу для
всех рассмотренных четырех случаев:
. Знак "векторной" черты над буквой
S вводится для того, чтобы отличить
обычную площадь, которая всегда
положительна, от ориентированной.
При этом, очевидно, что те же самые векторы, взятые в другом порядке, определяют противоположную ориентацию, поэтому, . Просто площадь будем по-прежнему обозначать буквой S и, следовательно, .
Теперь, когда
казалось бы ценой расширения понятия
площади, мы получили общее выражение,
внимательный читатель скажет, что мы
рассмотрели не все возможности.
Действительно, кроме четырех вариантов
расположения векторов, представленных
на рис. 21, имеются еще четыре (рис. 22)
Запишем снова векторы и в координатной
форме:
Выразим площади через координаты
векторов.
4. .
Знаки
в новых выражениях не поменялись, но, к
сожалению, поменялась ориентация по
отношению к предыдущим четырем случаям.
Поэтому для ориентированной площади
мы вынуждены записать:
. Хотя надежда на гениальную простоту
и не оправдалась, но, тем не менее, мы
все-таки можем записать общее выражение
для всех четырех случаев.
То есть, ориентированная площадь прямоугольника, построенного на векторах, как на сторонах, равна определителю, составленному из координат векторов, как из столбцов.
Мы
полагаем, что с теорией определителей
читатель знаком, поэтому, мы не
останавливаемся подробно на этом
понятии. Тем не менее, мы даем соответствующие
определения, для того чтобы изменить
акценты и показать, что к этому понятию
можно прийти из чисто геометрических
соображений.Итак,
,
,
, – различные формы обозначения для
одного и того же понятия – определителя,
составленного из координат векторов,
как из столбцов. Равенство
может быть принято за его определение
для двухмерного случая.
2.
Вектор b
не параллелен оси x; вектор a/
является произвольным вектором.
Для того чтобы свести этот случай к уже известным, рассмотрим некоторые геометрические преобразования параллелограмма, построенного на векторах и (рис. .смешанные произведения векторов и его свойства
Угол между векторами
Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.
Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).
Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$
Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения
Определение 1
Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.
Математически это выглядит следующим образом:
- $|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin∠(\overline{α},\overline{β})$
- $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
- $(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)
Очевидно, что внешнее произведение векторов будет равняться нулевому вектору в двух случаях:
- Если длина одного или обоих векторов равняется нулю.
- Если угол между этими векторами будет равняться $180^\circ$ или $0^\circ$ (так как в этом случае синус равняется нулю).
Чтобы наглядно увидеть, как находится векторное произведение векторов, рассмотрим следующие примеры решения.
Пример 1
Найти длину вектора $\overline{δ}$, который будет являться результатом векторного произведения векторов, с координатами $\overline{α}=(0,4,0)$ и $\overline{β}=(3,0,0)$.
Решение .
Изобразим эти векторы в декартовом координатном пространстве (рис. 3):
Рисунок 3. Векторы в декартовом координатном пространстве. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Видим, что эти векторы лежат на осях $Ox$ и $Oy$, соответственно. Следовательно, угол между ними будет равняться $90^\circ$. Найдем длины этих векторов:
$|\overline{α}|=\sqrt{0+16+0}=4$
$|\overline{β}|=\sqrt{9+0+0}=3$
Тогда, по определению 1, получим модуль $|\overline{δ}|$
$|\overline{δ}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$
Ответ: $12$.
Вычисление векторного произведения по координатам векторов
Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.
Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:
$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$
Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты
$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$
Пример 2
Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.
Решение .
Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим
$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$
Ответ: $(12,-3,3)$.
Свойства векторного произведения векторов
Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:
Пример 3
Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.
Решение .
Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):
Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$. Используя четвертое свойство, получим:
$S=|\overline{α}х\overline{β}|$
Найдем вектор $\overline{α}х\overline{β}$:
$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\3&0&0\\0&8&0\end{vmatrix}=0\overline{i}-0\overline{j}+24\overline{k}=(0,0,24)$
Следовательно
$S=|\overline{α}х\overline{β}|=\sqrt{0+0+24^2}=24$
Векторное произведение - это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным) и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов - модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.
Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».
Определение:
Векторным произведением вектора a
на вектор b
в пространстве R 3 называется вектор c
, удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой;
в случае пространства R7 требуется ассоциативность тройки векторов a,b,c.
Обозначение:
c===a × b
Рис. 1. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения
Геометрические свойства векторного произведения
:
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.
Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b (см. рис.1).
Если e
- единичный вектор, ортогональный векторам a
и b
и выбранный так, что тройка a,b,e
- правая, а S
- площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
=S e
Рис.2. Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений
Если c
- какой-нибудь вектор, π
- любая плоскость, содержащая этот вектор, e
- единичный вектор, лежащий в плоскости π
и ортогональный к c,g
- единичный вектор, ортогональный к плоскости π
и направленный так, что тройка векторов ecg
является правой, то для любого лежащего в плоскости π
вектора a
справедлива формула:
=Pr e a |c|g
где Pr e a проекция вектора e на a
|c|-модуль вектора с
При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b
и c
. Такое произведение трех векторов называется смешанным.
V=|a (b×c)|
На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:
V=a×b c=a b×c
Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.
Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
Если два вектора a
и b
определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее - представлены в ортонормированном базисе
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Для запоминания этой формулы:
i =∑ε ijk a j b k
где ε ijk
- символ Леви-Чивиты.
