Свойства двойных интегралов.

Часть свойств двойных интегралов непосредственно вытекает из определения этого понятия и свойств интегральных сумм, а именно:

1. Если функция f(x, y) интегрируема в D , то kf(x, y) тоже интегрируема в этой области, причем (24.4)

2. Если в области D интегрируемы функции f(x, y) и g(x, y) , то в этой области интегрируемы и функции f(x, y) ± g(x, y) , и при этом

3. Если для интегрируемых в области D функций f(x, y) и g(x, y) выполняется неравенство f(x, y) ≤ g(x, y) , то

(24.6)

Докажем еще несколько свойств двойного интеграла :

4. Если область D разбита на две области D 1 и D 2 без общих внутренних точек и функция f(x, y) непрерывна в области D , то

(24.7) Доказательство . Интегральную сумму по области D можно представить в виде:

где разбиение области D проведено так, что граница между D 1 и D 2 состоит из границ частей разбиения. Переходя затем к пределу при , получим равенство (24.7).

5. В случае интегрируемости на D функции f(x, y) в этой области интегрируема и функция | f(x, y) | , и имеет место неравенство

(24.8)

Доказательство.

откуда с помощью предельного перехода при получаем неравенство (24.8)

6. где S D – площадь области D. Доказательство этого утверждения получим, подставляя в интегральную сумму f(x, y) ≡ 0.

7. Если интегрируемая в области D функция f(x, y) удовлетворяет неравенству

m ≤ f(x, y) ≤ M ,

то (24.9)

Доказательство.

Доказательство проводится предельным переходом из очевидного неравенства

Следствие.

Если разделить все части неравенства (24.9) на D , можно получить так называемую теорему о среднем:

В частности, при условии непрерывности функции f в D найдется такая точка этой области (х 0 , у 0 ), в которой f (х 0 , у 0 ) = μ , то есть

-

Еще одна формулировка теоремы о среднем.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Рассмотрим тело V , ограниченное частью поверхности, задаваемой уравнением z = f(x, y), проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и боковой цилиндрической поверхностью, полученной из вертикальных образующих, соединяющих точки границы поверхности с их проекциями.

z=f(x,y)

V

y P i D Рис.2.

Будем искать объем этого тела как предел суммы объемов цилиндров, основаниями которых являются части ΔS i области D , а высотами – отрезки длиной f (P i ), где точки P i принадлежат ΔS i . Переходя к пределу при , получим, что

(24.11)

то есть двойной интеграл представляет собой объем так называемого цилиндроида, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, y) , а снизу – областью D .

Вычисление двойного интеграла путем сведения его к повторному.

Рассмотрим область D , ограниченную линиями x = a, x = b (a < b ), где φ 1 (х ) и φ 2 (х ) непрерывны на [a, b ]. Тогда любая прямая, параллельная координатной оси Оу и проходящая через внутреннюю точку области D , пересекает границу области в двух точках: N 1 и N 2 (рис.1). Назовем такую область правильной в на-

у правлении оси Оу . Аналогично определя-

y=φ 2 (x )ется область, правильная в направлении

N 2 оси Ох . Область, правильную в направле-

Нии обеих координатных осей, будем на-

D зывать просто правильной. Например,

правильная область изображена на рис.1.

y=φ 1 (x ) N 1

O a b x

Пусть функция f(x, y) непрерывна в области D . Рассмотрим выражение

, (24.12)

называемое двукратным интегралом от функции f(x, y) по области D . Вычислим вначале внутренний интеграл (стоящий в скобках) по переменной у , считая х постоянным. В результате получится непрерывная функция от х :

Полученную функцию проинтегрируем по х в пределах от а до b . В результате получим число

Докажем важное свойство двукратного интеграла.

Теорема 1. Если область D , правильная в направлении Оу , разбита на две области D 1 и D 2 прямой, параллельной оси Оу или оси Ох , то двукратный интеграл по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D 1 и D 2:

Доказательство.

а) Пусть прямая х = с разбивает D на D 1 и D 2 , правильные в направлении Оу . Тогда

+

+

б) Пусть прямая y = h разбивает D на правильные в направлении Оу области D 1 и D 2 (рис.2). Обозначим через M 1 (a 1 , h ) и M 2 (b 1 , h ) точки пересечения прямой y = h с гра-ницей L области D .

y Область D 1 ограничена непрерывными линиями

y=φ 2 (x ) 1) y = φ 1 (x );

D 2 2) кривой А 1 М 1 М 2 В , уравнение которой запишем

h M 1 M 2 y = φ 1 *(x ), где φ 1 *(х ) = φ 2 (х ) при а ≤ х ≤ а 1 и

A 1 D 1 B b 1 ≤ x ≤ b , φ 1 *(х ) = h при а 1 ≤ х ≤ b 1 ;

3) прямыми x = a , x = b .

Область D 2 ограничена линиями y = φ 1 *(x ),

A у = φ 2 (х ), а 1 ≤ х ≤ b 1 .

y=φ 1 (x ) Применим к внутреннему интегралу теорему о

разбиении промежутка интегрирования:

O a a 1 b 1 b

+

Представим второй из полученных интегралов в виде суммы:

+ + .

Поскольку φ 1 *(х ) = φ 2 (х ) при а ≤ х ≤ а 1 и b 1 ≤ x ≤ b , первый и третий из полученных интегралов тождественно равны нулю. Следовательно,

I D = , то есть .

Двойной интеграл обладает свойствами, аналогичными свойствам определенного интеграла. Отметим лишь основные из них:

1. Если функции и
интегрируемы в области
, то интегрируемы в ней их сумма и разность, причем

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

3. Если
интегрируема в области
, а эта область разбита на две непересекающиеся областии
, то

.

4. Если
и
интегрируемы в области
, в которой

, то

.

5. Если в области
функция
удовлетворяет неравенствам


,где
и
некоторые действительные числа, то

,

где – площадь области
.

Доказательства этих свойств аналогичны доказательству соответствующих теорем для определенного интеграла.

Вычисление двойного интеграла в прямоугольных декартовых координатах

Пусть требуется вычислить двойной интеграл
, где область- прямоугольник, определяемый неравенствами,.

Предположим, что
непрерывна в этом прямоугольнике и принимает в нем неотрицательные значения, тогда данный двойной интеграл равен объему тела с основанием, ограниченного сверху поверхностью
, с боков - плоскостями
,
,
,
:

.

С другой стороны, объем такой фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла:

,

где
- площадь сечения данного тела плоскостью, проходящей через точкуи перпендикулярной к оси
. А так как рассматриваемое сечение является криволинейной трапецией
, ограниченной сверху графиком функции
, гдефиксировано, а, то

.

Из этих трех равенств следует, что

.

Итак, вычисление данного двойного интеграла свелось к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении «внутреннего интеграла» (записанного в скобках) считается постоянным.

Замечание. Можно доказать, что последняя формула верна и при
, а также в случае, когда функция
меняет знак в указанном прямоугольнике.

Правая часть формулы называется повторным интегралом и обозначается так:

.

Аналогично можно показать, что

.

Из выше сказанного следует, что

.

Последнее равенство означает, что результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

Чтобы рассмотреть более общий случай, введем понятие стандартной области. Стандартной (или правильной) областью в направлении данной оси называется такая область, для которой любая прямая, параллельная этой оси пересекает границу области не более, чем в двух точках. Другими словами, пересекает саму область и ее границу только по одному отрезку прямой.

Предположим, что ограниченная область

и ограничена сверху графиком функции
, снизу - графиком функции
. ПустьR{,} - минимальный прямоугольник, в котором заключена данная область
.

Пусть в области
определена и непрерывна функция
. Введем новую функцию:

,

тогда в соответствии со свойствами двойного интеграла

.

И, следовательно,

.

Поскольку отрезок
целиком принадлежит области
то, следовательно,
при


, а еслилежит вне этого отрезка, то
.

При фиксированном можем записать:

.

Так как первый и третий интегралы в правой части равны нулю, то

.

Следовательно,

.

Из чего получаем формулу для вычисления двойного интеграла по области, стандартной относительно оси
путем сведения к повторному интегралу:

.

Если область
является стандартной в направлении оси
и определяется неравенствами,

, аналогично можно доказать, что

.

Замечание. Для области
, стандартной в направлении осей
и
, будут выполнены оба последних равенства, поэтому

По этой формуле осуществляется изменение порядка интегри­рования при вычислении соответствующего двойного интеграла.

Замечание. Если область интегрирования не является стандартной (правильной) в направлении обеих осей координат, то ее разбивают на сумму стандартных областей и представляют интеграл в виде суммы интегралов по этим областям.

Пример . Вычислить двойной интеграл
по области
, ограниченной линиями:
,
,
.

Решение.

Данная область является стандартной как относительно оси
, так и относительно оси
.

Вычислим интеграл, считая область стандартной относительно оси
.

.

Замечание. Если вычислить интеграл, считая область стандартной относительно оси
, мы получим тот же результат:

.

Пример . Вычислить двойной интеграл
по области
, ограниченной линиями:
,
,
.

Решение. Изобразим на рисунке заданную область интегрирования.

Данная область является стандартной относительно оси
.

.

Пример . Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

Решение. Изобразим на рисунке область интегрирования.

Из пределов интегрирования находим линии, ограничивающие область интегрирования: ,
,
,
. Для изменения порядка интегрирования выразимкак функции оти найдем точки пересечения:

,
,
.

Так как на одном из интервалов функция выражена двумя аналитическими выражениями, то область интегрирования необходимо разбить на две области, а повторный интеграл представить как сумму двух интегралов.

.

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла.

Предположим, что на определена функция частей и запишем сумму

которая именуется интегральной.

О: Под определенным интегралом (о.и.) от функции и от выбора

Обозначение:

Числа именуют интегрируемой (по Риману) на .

Т. существования: При условии, что .

В соответствии с определением о.и. отметим, что интеграл имеет зависимость от вида , пределов и , однако не зависит от символа обозначения переменной , иначе выражаясь

В соответствии с п.17.1.1 и 17.1.2 и определением о.и. запишем формулы площади криволинейной трапеции: , работы силы

на :

Понятие двойного интеграла, интегральных сумм.

Существование двойного интеграла, т. е. предела интегральной суммы для кажется очевидным, так как этот предел дает объем цилиндрического тела. Однако это рассуждение не является строгим. В более полных курсах это утверждение строго доказывается и носит название теоремы существования двойного интеграла.

Теорема существования. Для всякой функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области, имеющей площадь а, существует двойной интеграл, т. е. существует предел интегральных сумм при неограниченном увеличении числа малых площадок при условии, что каждая из них стягивается в точку. Этот предел не зависит ни от способа разбиения области а на части ни от выбора точек

В дальнейшем мы будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования.

Из теоремы существования следует, что мы можем, например, разбить область а на малые прямоугольники со сторонами прямыми, параллельными осям координат (рис. 230). При этом. Выбирая затем в каждом малом прямоугольнике по точке мы можем написать, согласно определению двойного интеграла

Для того чтобы подчеркнуть, что двойной интеграл можно получить как предел суммы вида вместо обозначения употребляют также обозначение

Выражение называется элементом площади в декартовых координатах и равно площади прямоугольника со сторонами параллельными координатным осям.

Заметим, что при составлении интегральной суммы площадки прилегающие к границе области а, не имеют формы прямоугольников. Однако можно доказать, что ошибка от замены таких площадок прямоугольниками с площадями в пределе сведется к нулю.

Свойства двойных интегралов

Свойства двойного интеграла (и их вывод) аналогичны соответствующим свойствам однократного определенного интеграла.

1° . Аддитивность . Если функция f (x , y ) интегрируема в области D и если область D при помощи кривой Г площади нуль разбивается на две связные и не имеющие общих внутренних точек области D 1 и D 2 , то функция f (x , y ) интегрируема в каждой из областей D 1 и D 2 , причем

2° . Линейное свойство . Если функции f (x , y ) и g (x , y ) интегрируемы в области D , а α и β - любые вещественные числа, то функция [α · f (x , y ) + β · g (x , y )] также интегрируема в области D , причем

3° . Если функции f (x , y ) и g (x , y ) интегрируемы в области D , то и произведение этих функций интегрируемо в D .

4° . Если функции f (x , y ) и g (x , y ) обе интегрируемы в области D и всюду в этой области f (x , y ) ≤ g (x , y ), то

5° . Если функция f (x , y ) интегрируема в области D , то и функция |f (x , y )| интегрируема в области D , причем

(Конечно, из интегрируемости |f (x , y )| в D не вытекает интегрируемость f (x , y ) в D .)

6° . Теорема о среднем значении . Если обе функции f (x , y ) и g (x , y ) интегрируемы в области D , функция g (x , y ) неотрицательна (неположительна) всюду в этой области, M и m - точная верхняя и точная нижняя грани функции f (x , y ) в области D , то найдется число μ , удовлетворяющее неравенству m ≤ μ ≤ M и такое, что справедлива формула

В частности, если функция f (x , y ) непрерывна в D , а область D связна , то в этой области найдется такая точка (ξ , η ), что μ = f (ξ , η ), и формула (11) принимает вид

Касательная и нормаль к поверхности

Определение. Нормалью к поверхности в точке N 0 называется прямая, проходящая через точку N 0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М 0 (х 0 , у 0), касательная плоскость в точке N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) существует и имеет уравнение:

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 +Dх, у 0 +Dу).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности

в точке М(1, 1, 1).

Уравнение касательной плоскости:

Уравнение нормали:

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Пусть область D ограничена линией r = r() и лучами = и = , где и r – полярные координаты точки на плоскости, связанные с ее декартовыми координатами x и y

Соотношениями (рис. 5). В этом случае

Замечание. Если область D в декартовых координатах задается уравнением, содержащим бином , например, и т.д., то вычисление двойного интеграла по такой области удобнее производить в полярных координатах.

Двойной интеграл. Основные определения и свойства.

Двойные интегралы.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

Совокупность всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой областью D. Если выбрать точки области без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.

С геометрической точки зрения D - площадь фигуры, ограниченной контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх i , а по оси у – на Dу i . Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.

Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S i = Dx i × Dy i .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х i , y i) и составим интегральную сумму

где f – функция непрерывная и однозначная для всех точек области D.

Если бесконечно увеличивать количество частичных областей D i , тогда, очевидно, площадь каждого частичного участка S i стремится к нулю.

Определение: Если при стремлении к нулю шага разбиения области D интегральные суммы имеют конечный предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

С учетом того, что S i = Dx i × Dy i получаем:

В приведенной выше записи имеются два знака S, т.к. суммирование производится по двум переменным х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р i , то, считая все площади S i одинаковыми, получаем формулу:

Условия существования двойного интеграла.

Сформулируем достаточные условия существования двойного интеграла.

Теорема. Если функция f(x, y) непрерывна в замкнутой области D, то двойной интеграл существует

Теорема. Если функция f(x, y) ограничена в замкнутой области D и непрерывна в ней всюду, кроме конечного числа кусочно – гладких линий, то двойной интеграл существует.

Свойства двойного интеграла.

3) Если D = D 1 + D 2 , то

4) Теорема о среднем. Двойной интеграл от функции f(x, y) равен произведению значения этой функции в некоторой точке области интегрирования на площадь области интегрирования.

5) Если f(x, y) ³ 0 в области D, то .

6) Если f 1 (x, y) £ f 2 (x, y), то .

№43 Определение Предположим, что кривая C задана векторной функцией где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

Представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой (рисунок 1).
В приведенной выше формуле α, β и γ − углы между касательной и положительными направлениями осей Ox , Oy и Oz , соответственно.

Введем векторную функцию , определенную на кривой C , так, чтобы для скалярной функции

Существовал криволинейный интегра Такой интеграл называется криволинейным интегралом второго рода от векторной функции вдоль кривой C и обозначается как

Таким образом, по определению,

где − единичный вектор касательной к кривой C .
Последнюю формулу можно переписать также в векторной форме:

Где.
Если кривая C лежит в плоскости Oxy , то полагая R = 0, получаем

Свойства криволинейногоинтеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами: Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B . Обозначим через −C кривую противоположного направления - от B к A . Тогда

Если C − объединение кривых C 1 и C 2 (рисунок 2 выше), то Если кривая C задана параметрически в виде , то Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнениTм (предполагается, что R = 0 и t = x ), то последняя формула записывается в виде

№49Поверхность F задана явно z = z(x,y), (x,y)Î D (компакт),

где z(x,y) имеет в D непрерывные частные производные первого порядка, фунуция f(x,y,z) определена и непрерывна на F. Тогда существует интеграл , равный

Доказательство. Для площадей получаем

Тогда интегральные суммы будут равны

Первая из сумм является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Последнее следует из равномерной непрерывности функции f(x,y,z(x,y)) на D.

№40(продолжение) Достаточное условие существования криволинейного интеграла I рода будет сформулировано позже, когда покажем способ его вычисления.

Определение криволинейного интеграла I рода по структуре такое же, как и определение определенного интеграла. Поэтому криволинейный интеграл I рода обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Приведем эти свойства без доказательства.

СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА I РОДА

1. , где – длина кривой .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак криволинейного интеграла I рода, т.е.

3. Криволинейный интеграла I рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме криволинейных интегралов I рода от этих функций, т.е.

4. Если кривая разбита на две части и , не имеющие общих внутренних точек, то

(свойство аддитивности криволинейного интеграла I рода).

5. Если всюду на кривой функция (), то

6. Если всюду на кривой (),

7. (следствие свойств 6 и 1) Если и – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на кривой , то

где – длина кривой .

8. (теорема о среднем для криволинейного интеграла I рода) Если функция непрерывна на кривой , то найдется такая точка , что справедливо равенство

где – длина кривой .

№42Длина кривой.

Если подынтегральная функция f(x, y, z) ≡ 1, то из определения криволинейного интеграла 1-го рода получаем, что в этом случае он равен длине кривой, по которой ведется интегрирование:

Масса кривой.

Считая, что подынтегральная функция γ (x, y, z) определяет плотность каждой точки кривой, найдем массу кривой по формуле

3. Моменты кривой l найдем, рассуждая так же, как в случае плоской области: -

статические моменты плоской кривой l относительно осей Ох и Оу;

момент инерции пространственной кривой относительно начала координат;

· моменты инерции кривой относительно координатных осей.

4.Координаты центра масс кривой вычисляются по формулам

№38(2) Замена переменных в тройных интегралах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Это позволяет упростить вид области интегрирования или подынтегральное выражение.

Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1.Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

2.Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U" в пространстве uvw;

3.Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.

№38 Тройные интегралы в сферических координатах

Сферическими координатами точки M(x,y,z) называются три числа − ρ, φ, θ , где

ρ − длина радиуса-вектора точки M;

φ − угол, образованный проекцией радиуса-вектора на плоскость Oxy и осью Ox;

θ − угол отклонения радиуса-вектора от положительного направления оси Oz (рисунок 1).

Обратите внимание, что определения ρ, φ в сферических и цилиндрических координатах отличаются друг от друга.

Сферические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами соотношениями

Якобиан перехода от декартовых координат к сферическим имеет вид:

Раскладывая определитель по второму столбцу, получаем

Соответственно, абсолютное значение якобиана равно

Следовательно, формула замены переменных при преобразовании декартовых координат в сферические имеет вид:

Тройной интеграл удобнее вычислять в сферических координатах, когда область интегрирования U представляет собой шар (или некоторую его часть) и/или когда подынтегральное выражение имеет вид f (x2 + y2 + z2).

Поверхность

Выберем на гладкой поверхности (замк-нутой или ограниченной гладким контуром) точку М0 и проведем в ней нормаль к поверхности, выбрав для нее определенное направление (одно из двух возможных). Проведем по поверхности замкнутый контур, начинающийся и заканчивающийся в точке М0. Рассмотрим точку М, обходящую этот контур, и в каждом из ее положений проведем нормаль того направления, в которое непрерывно переходит нормаль из предыдущей точки. Если после обхода контура нормаль вернется в точке М0 в перво-начальное положение при любом выборе точки М0 на поверхности, поверхность называется двусторонней. Если же направление нормали после обхода хотя бы одной точки изменится на противоположное, поверхность называется односторон-ней (примером односторонней поверхности служит лист Мебиуса).Из вышесказанного следует, что выбор направления нормали в одной точке одно-значно определяет направление нормали во всех точках поверхности.

Определение

Совокупность всех точек поверхности содинаковымнаправлени-ем нормали называется стороной поверхности.

Ориентация поверхности.

Рассмотрим незамкнутую гладкую двустороннюю поверхность S, ограниченную контуром L, и выберем одну сторону этой поверхности.

Определение

Назовем положительным направление обхода контура L, при котором движение по контуру происходит против часовой стрелки относительно наблюдателя, находящегося в конечной точке нормали к какой-либо точке поверх-ности S, соответствующей выбранной стороне поверхности. Обратное направление обхода контура назовем отрицательным.

Поток векторного поля.

Рассмотрим векторное поле А(М), определенное в пространственной области G, ориентированную гладкую поверхность S G и поле единичных нормалей п(М) на выбранной стороне поверхности S.

Определение 13.3. Поверхностный интеграл 1-го рода , (13.1)

где An – скалярное произведение соответствующих векторов, а Ап – проекция вектора А на направление нормали, называется потоком векторного поля А(М) через выбранную сторону поверхности S.

Замечание 1.

Если выбрать другую сторону поверхности, то нормаль, а, следова-тельно, и поток изменят знак.

Замечание 2.

Если вектор А задает скорость течения жидкости в данной точке, то интеграл (13.1) определяет количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность S в положительном направлении (отсюда общий термин «поток»).

№53 Поверхностный интеграл второго рода. Определение и св-ва.

Определение

Рассмотрим двустороннюю поверхность , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух ее сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением причем точка изменяется в области на плоскости , ограниченный кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности определена некоторая функция . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части и выбрав на каждой такой части точку вычисляем значение функции в данной точке и умножим его на площадь проекции на плоскость элемента , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму:

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначают символом

(здесь ) напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость

Если вместо плоскости спроектировать элементы поверхности на плоскость или , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

где суть функции от , определенные в точках поверхности .

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода

Где - единичный вектор нормали поверхности - орт.

Свойства

1. Линейность: ;

2. Аддитивность: ;

3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

№60 Опера́торна́бла (оператор Гамильтона) - векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом (набла). Для трёхмерного евклидова пространства в прямоугольных декартовых координатах оператор набла определяется следующим образом: где - единичные векторы по осям x, y, z.

Свойства оператора набла. Этот вектор приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, к которой он применяется.Если умножить вектор на скаляр φ, то получится вектор который представляет собой градиент функции. Если вектор скалярно умножить на вектор , получится скаляр

то есть дивергенция вектора . Если умножить на векторно, то получится ротор вектора :

Замечание: как и для обозначения скалярного и векторного произведения вообще, в случае их применения с оператором набла, наряду с использованными выше, часто используются эквивалентные им альтернативные обозначения, так, например, вместо нередко пишут , а вместо пишут ; это касается и формул, приводимых ниже.

Соответственно, скалярное произведение есть скалярный оператор, называемый оператором Лапласа. Последний обозначается также . В декартовых координатах оператор Лапласа определяется следующим образом: Поскольку оператор набла является дифференциальным оператором, то при преобразовании выражений необходимо учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференцирования. Например:

То есть производная выражения, зависящего от двух полей, есть сумма выражений, в каждом из которых дифференцированию подвергается только одно поле. Для удобства обозначения того, на какие поля действует набла, принято считать, что в произведении полей и операторов каждый оператор действует на выражение, стоящее справа от него, и не действует на всё, что стоит слева. Если требуется, чтобы оператор действовал на поле, стоящее слева, это поле каким-то образом отмечают, например, ставя над буквой стрелочку: Такая форма записи обычно используется в промежуточных преобразованиях. Из-за её неудобства в окончательном ответе от стрелочек стараются избавиться.

№61 Векторными дифференциальными операциями второго порядка называются следующие пять операций:

1. где - оператор Лапласа.

- - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - -

2

- - - - - - - - - - - - -

3 .

- - - - - - - - - - - - - - - - -

4. Здесь - это векторная величина, полученная в результате применения оператора Лапласа к каждой проекции вектора .

- - - - - - - - - - - - - - -

Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.

1. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1. Определение двойного интеграла

Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть D – некоторая замкнутая ограниченная область, а f (x , y ) – произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y =f (x ) или x =g(y ), где f (x ) и g (y ) – непрерывные функции.

Р

Рис. 1.1

. (1.1)

Назовем диаметром diam (G ) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.

Двойным интегралом функции f (x , y ) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом
). Это записывают следующим образом

. (1.2)

Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек P i . Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f (x , y ) была интегрируемой в области D ), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования .

П

Рис. 1.2

. (1.3)

Замечание . Если подынтегральная функция f (x , y )1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:

. (1.4)

Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.

Свойства двойных интегралов.

1 0 . Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов :

и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла :

.

2 0 . Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части :

.

3 0 . Теорема о среднем. Если функция f(x , y ) непрерывна в области D , то в этой области найдется такая точка (), что :

.

Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.

1.2. Повторные интегралы

Повторными интегралами называются интегралы вида

. (1.5)

В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, т.е. производится сначала интегрирование по переменной y (при этом переменная x считается постоянной величиной). В результате интегрирования по y получится некоторая функция по x :

.

Затем полученную функцию интегрируют по x :

.

Пример 1.1. Вычислить интегралы:

а)
, б)
.

Решение . а) Произведем интегрирование по y , считая, что переменная x = const . После этого вычисляем интеграл по x :

.

б) Так как во внутреннем интеграле интегрирование производится по переменной x , то y 3 можно вынести во внешний интеграл как постоянный множитель. Поскольку y 2 во внутреннем интеграле считается постоянной величиной, то этот интеграл будет табличным. Производя последовательно интегрирование по y и x , получаем

Между двойными и повторными интегралами существует взаимосвязь, но сначала рассмотрим простые и сложные области. Область называется простой в каком-либо направлении, если любая прямая, проведенная в этом направлении, пересекает границу области не более чем в двух точках. В декартовой системе координат обычно рассматривают направления вдоль осей Ox и Oy . Если область является простой в обоих направлениях, то говорят коротко – простая область, без выделения направления. Если область не является простой, то говорят, что она сложная .

Л

а б

Рис. 1.4

Теорема . Если область интегрирования D – простая в направлении оси Oy (см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:

; (1.6)

если область интегрирования D – простая в направлении оси Ox (см. рис.1.4б), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:

. (1.7)

Е

Рис. 1.3

1.3. РАССТАНОВКА ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1.3.1. Прямоугольная область интегрирования

П

Рис. 1.5

Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл

.

Решение . Запишем двойной интеграл в виде повторного:

.

1.3.2. Произвольная область интегрирования

Для того, чтобы перейти от двойного интеграла к повторному следует:

построить область интегрирования ;

расставить пределы в интегралах, при этом следует помнить, что пределы внешнего интеграла должны быть постоянными величинами (т.е. числами) независимо от того, по какой переменной вычисляется внешний интеграл .

Пример 1.3. Расставить пределы интегрирования в соответствующих повторных интегралах для двойного интеграла

, если а)
б)

Р

Рис. 1.6

.

Пусть теперь интегрирование во внешнем интеграле производится по y , а во внутреннем – по x . В этом случае значения y будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда верхняя граница изменений значений переменной x будет состоять из двух участков x = y /2 и x =1. Это означает, что область интегрирования нужно разбить на две части прямой y =1. Тогда в первой области y изменяется от 0 до 1, а x от прямой x = y /2 до прямой x = y . Во второй области y изменяется от 1 до 2, а x – от прямой x = y /2 до прямой x =1. В результате получим

.

б

.

Пусть теперь во внешнем интеграле интегрирование производится по y , а во внутреннем – по x . В этом случае y будет изменяться от 0 до 1, а переменная x – от дуги окружности
до прямой x =1–y . В результате получим

.

Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.

Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования

а)
; б)
.

Р

Рис. 1.8

.

б) Построим область интегрирования. На отрезке для y переменная x изменяется от прямой x =y до параболы
; на отрезке – от прямой x =y до прямой x = 3/4. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.9). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования,

.