БЭС энциклопедия: Винтовое движение, движение твёрдого тела, слагающееся. Сложение поступательного и вращательного движений Сложение поступательных движений твердого тела

Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 207. Здесь относительным движением тела 1 является вращение с угловой скоростью со вокруг оси укрепленной на платформе 2, а переносным - поступательное движение платформы со скоростью v. Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением является вращение вокруг его оси, а переносным - движение той же платформы. В зависимости от значения угла а между векторами и v (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси вращения Пусть сложное движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного движения со скоростью v, перпендикулярной (рис. 208).

Легко видеть, что это движение представляет собой (по отношению к плоскости П, перпендикулярной оси ) плоскопараллельное движение, подробно изученное в гл. XI. Если считать точку А полюсом, то рассматриваемое движение, как и всякое плоскопараллельное, будет действительно слагаться из поступательного со скоростью т. е. со скоростью полюса, и из вращательного вокруг оси проходящей через полюс.

Вектор v можно заменить парой угловых скоростей (см. § 69), беря . При этом расстояние АР определится из равенства откуда (учитывая, что )

Векторы дают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси с угловой скоростью . Этот результат был раньше получен другим путем (см. § 56). Сравнивая равенства (55) и (107), видим, что точка Р для сечения S тела является мгновенным центром скоростей Здесь еще раз убеждаемся, что поворот тела вокруг осей происходит с одной и той же угловой скоростью , т. е. что вращательная часть движения не зависит от выбора полюса (см. § 52).

2. Винтовое движение (). Если сложное движение тела слагается из вращательного вокруг оси с угловой скоростью со и поступательного со скоростью v, направленной параллельно оси (рис. 209), то такое движение тела называется винтовым. Ось называют осью винта.

Когда векторы направлены в одну сторону, то при принятом нами правиле изображения о винт будет правым; если в разные стороны, - левым.

Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величины и и со постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обозначая время одного оборота через Т, получаем в этом случае , откуда

При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящейся от оси винта на расстоянии , слагается из поступательной скорости v и перпендикулярной ей скорости, получаемой во вращательном движении, которая численно равна Следовательно,

Направлена скорость по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М, разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом

3. Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения. Сложное движение, совершаемое телом в этом случае (рис. 210, а), представляет собой движение, рассмотренное в § 63 (общий случай движения свободного твердого тела).

Разложим вектор v (рис. 210, б) на составляющие: направленную вдоль со перпендикулярную Скорость можно заменить парой угловых скоростей (как на рис. 208), после чего векторы можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле (107).

Винтовое движение

Винтово"е движе"ние, движение твёрдого тела, слагающееся из прямолинейного поступательного движения со скоростью v и вращательного движения с угловой скоростью w вокруг оси aa 1 , параллельной направлению скорости v (см. рис. ). Когда направление оси aa 1 остаётся неизменным, тело, совершающее В. д., в механике называется винтом, а ось aa 1 - осью винта. Винт называется правым, когда v и w направлены так, как показано на рис., и левым, если направление v или w изменить на прямо противоположное. Расстояние, проходимое за один оборот любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта, а величина р = v/ w - параметром винта.

Скорость v м и ускорение w м любой точки М винта, отстоящей от оси на расстоянии r , численно равны

где w - ускорение поступательного движения тела вдоль оси aa 1 , e - угловое ускорение вращения вокруг этой оси.

Если параметр р постоянен, шаг винта h = 2pv /w = 2pр также постоянен. Любая точка винта, не лежащая на его оси, описывает в этом случае винтовую линию, касательная к которой в каждой точке образует с плоскостью, перпендикулярной оси винта, угол

a = arctg h /2pr .

Любое сложное движение твёрдого тела слагается в общем случае из серии элементарных или мгновенных В. д. При этом ось В. д., называемая мгновенной винтовой осью, непрерывно изменяет своё направление в пространстве и в самом движущемся теле.

Поступательное движение,
- вращение вокруг неподвижной оси,
- плоское движение,
- сферическое движение,
- свободное движение.

Поступательное движение твердого тела – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, при его движении остается параллельной своему начальному положению.

Примеры поступательного движения: движение педалей велосипеда относительно его рамы, движение поршней в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, движение кабин колеса обозрения относительно Земли и т.д.

Задача кинематики поступательного движения твердого тела сводится к задаче кинематики материальной точки.

Теорема. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Доказательство.

Если выбрать две точки твердого тела А и В , то радиус-векторы этих точек связаны соотношением

Траектория точки А – это кривая, которая задается функцией , а траектория точки B – это кривая, которая задается функцией . Траектория точки B получается переносом траектории точки A в пространстве вдоль вектора AB , который не меняет своей величины и направления во времени (AB = const). Следовательно, траектории всех точек твердого тела одинаковы.

Продифференцируем по времени выражение

Получаем

Продифференцируем по времени скорость и получим выражение a B = a A . Следовательно, скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы.

Для задания поступательного движения твердого тела достаточно задать движение одной из его точек

Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При вращательном движении материальной точки она описывает окружность. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела все его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения в данной системе отсчёта может быть как подвижной, так и неподвижной. Например, в системе отсчёта, связанной с Землёй, ось вращения ротора генератора на электростанции неподвижна.

При выборе некоторых осей вращения, можно получить сложное вращательное движение - сферическое движение, когда точки тела движутся по сферам. При вращении вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр тела или вращающуюся материальную точку, вращательное движение называется круговым.

Вращение характеризуется углом , измеряющимся в градусах или радианах, угловой скоростью (измеряется в рад/с) и угловым ускорением (единица измерения - рад/с²).

6. Связь между угловым и линейным параметром

Для изменения радиус-вектора , проведенного в точку A из произвольной точки О оси вращения тела, имеем . Поделим обе части этого выражения на с учетом того, что и , - формула Эйлера.

Модуль скорости . Найдем полное ускорение точки A из формулы Эйлера, воспользовавшись правилом дифференцирования произведения двух функций или .

Определим, какое слагаемое представляет собой нормальное, а какое –тангенциальное, ускорения:

- второе слагаемое, - первое слагаемое;

или, рассуждая иначе: так как ось вращения неподвижна, то - это ; - .

Эти проекции равны ; ,

а модуль полного ускорения - .

Векторы полного ускорения точек твердого тела, лежащих на одном и том же радиусе, проведенном перпендикулярно оси вращения, параллельны друг другу, а их модуль растет пропорционально расстоянию от оси. Угол характеризует направление относительно радиуса и равен

, он не зависит от .

Итак, линейные и угловые параметры связаны следующим образом:

Можно провести следующую аналогию между поступательным и вращательным видами движения: так, при : , ; при : , .

7. Динамика. Масса и импульс тела. Основные законы динамики.

Динамика – это раздел механики, в котором изучают движение тел под действием приложенных к ним сил . При изучении величин, которые характеризуются не только величиной, но и направлением (например, скорость, ускорение, сила и т. п.) применяют их векторное изображение.

Масса

Масса - физическая величина, являющаяся мерой инертности тел (инертная масса ) и их гравитационных свойств (гравитационная масса)

Инертность - податливость тела к изменению его скорости (по модулю или направлению).

Единицы измерения массы в СИ:

Свойства массы :
- аддитивность: - масса системы равняется сумме масс отдельных еe элементов;
- независимость от скорости движения;
- постоянство массы для изолированной системы тел и независимость от происходящих в них процессов: - закон сохранения массы.

Импульс тела

- количество движения (по Ньютону); импульс (современное название).

В основе классической динамики в механике (основной раздел механики) лежат три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона: всякая материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние.

Стремление тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью. Поэтому первый закон Ньютона называют также законом инерции.

Механическое движение относительно, и его характер зависит от системы отсчета. Первый закон Ньютона выполняется не во всякой системе отсчета, а те системы, по отношению к которым он выполняется, называются инерциальными системами отсчета.

Инерциальной системой отсчета является такая система отсчета, относительно которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. Первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета.

Из опыта известно, что при одинаковых воздействиях различные тела неодинаково изменяют скорость своего движения, т. е., иными словами, приобретают различные ускорения. Ускорение зависит не только от величины воздействия, но и от свойств самого тела (от его массы).

Чтобы описывать воздействия, упоминаемые в первом законе Ньютона, вводят понятие силы. Под действием сил

тела либо изменяют скорость движения, т. е. приобретают ускорения (динамическое проявление сил), либо деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры (статическое проявление сил).

В каждый момент времени сила характеризуется числовым значением, направлением в пространстве и точкой

приложения. Итак, сила - это векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел или полей, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет свою форму и размеры.

Второй закон Ньютона - основной закон динамики поступательного движения - отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материальной точки (тела) под действием приложенных к ней сил.

Если рассмотреть действие различных сил на одно и то же тело, то оказывается, что ускорение, приобретаемое телом, всегда пропорционально равнодействующей приложенных сил: .

При действии одной и той же силы на тела с разными массами их ускорения

оказываются различными, а именно

Учитывая, что сила и ускорение - величины векторные, можем записать

Соотношение выражает второй закон Ньютона: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе

материальной точки (тела).

В СИ коэффициент пропорциональности к - 1. Тогда или

Учитывая, что масса материальной точки (тела) в классической механике есть величина постоянная, в выражении ее можно внести под знак производной:

Это выражение - более общая формулировка второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе. Выражение называется также уравнением движения материальной точки.

Если на тело действует несколько сил, то в формулах под F подразумевается их результирующая

(векторная сумма сил).

Единица силы в СИ - ньютон (Н): 1 Н - сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 в направлении действия силы: 1Н = 1кг* . Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах отсчета.

Взаимодействие между материальными точками (телами) определяется третьим законом Ньютона: всякое действие материальных точек (тел) друг на друга носит характер взаимодействия; силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти точки: , где - сила, действующая на первую материальную точку со стороны второй; - сила, действующая на вторую материальную точку со стороны первой. Эти силы приложены к разным материальным точкам (телам), всегда действуют парами и являются силами одной природы.

Третий закон Ньютона, как впрочем, и первые два, справедлив только в инерциальных системах отсчета.

8. Классификация сил. Всё о силах.

Сила – это векторная величина, характеризующая меру воздействия на материальную точку в какой-либо момент времени со стороны других материальных объектов.

Размерность силы:

,

Результирующая всех сил , действующих на исследуемую точку, по принципу суперпозиции

Где - сила, с которой действовала бы на данную точку -ое тело в отсутствие других тел.

Линия действия силы – прямая, вдоль которой направлен вектор силы.

Две силы равны по модулю и противоположено направлены – если они, приложенные к телу, не вызывают ускорения.

Виды взаимодействий: гравитационное, электромагнитное, сильное, слабое.

Два проявления сил :
- статическое (деформация тел),

Динамическое (изменение скорости движения).

Классификация сил

- Фундаментальные силы:
a) гравитационные,
б) электрические.

- Приближенные силы:

а) сила тяжести;

б) сила трения;

в) упругая сила (сила упругости);

г) сила сопротивления.

а) Сила тяжести в системе отсчета, связанной с Землей,

Сила реакции подвеса или опоры - это сила, с которой на тело действуют другие тела, ограничивающие его движение.

Вес тела – сила, с которой тело действует на опору или подвес.

Если подвес или опора покоится относительно Земли (или движется без ускорения):

б) Сила трения

1) внешняя (возникает в местах соприкосновения тел и препятствует их относительному перемещению);

Трение скольжения (возникает при поступательном движении одного тела по поверхности другого);

Трение качения (возникает, когда одно тело катится по поверхности другого);

Трение покоя (возникает при попытках вызвать перемещение);

2) внутренняя (возникает при перемещение частей жидкости или газа)

Эмпирический закон для всех типов сил внешнего трения:

Где - сила нормального давления, прижимающая соприкасающиеся поверхности друг к другу, - коэффициент трения скольжения (покоя, качения), зависящий от природы и состояния поверхностей (шероховатости и пр.).

в) Сила упругости

Где - радиус-вектор, характеризующий смещение материальной точки из положения равновесия, - коэффициент пропорциональности.движением с переменной массой.

t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt т - dm, a скорость станет равной v + dv. dt

Где и -

Второе слагаемое в правой части называют реактивной силой Fp. Если и противоположен v по направлению, то ракета ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится. Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы , которое впервые было выведено И. Б. Мещерским (1859-1935):

Где - реактивная сила , которая возникает в результате действия на тело присоединяемой (отделяемой) массы.

10. Движение тела с переменной массой. Формула Циолковского.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается вследствие истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п. Такое движение называется движением с переменной массой.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной т - dm, a скорость станет равной v + dv. Изменение импульса системы за отрезок времени dt

Где и - скорость истечения газов относительно ракеты.

Если на систему действуют внешние силы, то поэтому или

Полагая F = 0 и считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), получим , откуда

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее стартовая масса , то С= . Следовательно,

Это соотношение называется формулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ракеты, тем больше должна быть стартовая масса ракеты; 2) чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

11. Динамика вращательного движения твердого тела.

Основной закон.

Если тело одновременно участвует в переносном поступательном движении со скоростью и относительном вращательном с угловой скоростью , то в зависимости от их взаимного расположения целесообразно рассмотреть три отдельных случая.

1. Скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения. В этом случае векторы и перпендикулярны (рис.53). На линии ОС , перпендикулярной плоскости в которой расположены и , имеется точка С , скорость которой равна нулю. Определяем ее расстояние от точки О .

По теореме сложения скоростей для точки С имеем

так как при вращении вокруг оси

Учитывая, что скорости и противоположны по направлению, получим

Так как , то и, следовательно, точки С и О находятся на расстоянии

Другие точки, имеющие скорости, равные нулю, располагаются на линии, проходящей через точку С , параллельно оси вращения тела с угловой скоростью . Таким образом, имеется мгновенная ось вращения, параллельная оси относительного вращения и проходящая через точку С .

При сложении поступательного переносного и вращательного относительного движений твердого тела, у которого скорость поступательного движения перпендикулярна оси относительного вращения, эквивалентное абсолютное движение является вращением вокруг мгновенной оси, параллельной оси относительного вращения с угловой скоростью, совпадающей с угловой скоростью относительного вращения.

2. Винтовое движение. Движение, при котором скорость переносного поступательного движения тела параллельна оси относительного вращения, называется в и н т о в ы м д в и ж е н и е м т в е р д о г о т е л а (рис.54). Ось вращения тела в этом случае называется в и т о в о й о с ь ю. При винтовом движении тело движется поступательно параллельно оси винтового движения и вращается вокруг этой оси. Винтовое движение не приводится к какому-либо другому одному простому эквивалентному движению.

При винтовом движении векторы и могут иметь как одинаковые, так и противоположные направления. Винтовое движение тела характеризуется п а р а м е т р о м в и н т о в о г о г о д в и ж е н и я, которым считают величину . Если и изменяются с течением времени, то и параметры винтового движения являются переменными. В общем случае , и , т.е. p есть перемещение тела вдоль оси винтового движения при повороте тела на один радиан.

Для точки М имеем

Но , , где r – расстояние точки до винтовой оси. Скорости и перпендикулярны. Следовательно,

Учитывая, что , получаем

Если тело вращается с постоянной угловой скоростью и имеет постоянную скорость поступательного движения, то такое движение тела называется п о с т о я н н ы м в и н т о в ы м движением. В этом случае точка тела при движении все время находится на поверхности кругового цилиндра с радиусом r. Траекторией точки является винтовая линия. Кроме параметра в рассматриваемом случае вводят шаг винта , т. е. расстояние, на которое переместится какая-либо точка тела при одном обороте тела вокруг оси винтового движения. Угол поворота тела при вычисляется по формуле . Для одного оборота тела . Необходимое для этого время .

За время Т точка переместится в направлении, параллельном винтовой оси, на шаг винта .

Отсюда получается зависимость шага винта от параметра винтового движения .

Уравнения движения точки М тела по винтовой линии (рис.102) в декартовых координатах выражаются в следующей форме:

В этих уравнениях величины и являются постоянными.

3. Общий случай. Пусть скорость переносного поступательного движения и угловая скорость относительного вращения образуют угол . Случай когда , и , уже рассмотрены.имеют все точки тела. Таким образом, получено винтовое движение с винтовой осью, отстоящей от первоначальной оси вращения на величину .

Параметр полученного винтового движения .

Общий случай переносного поступательного и относительного вращательного движений твердого тела оказался эквивалентным мгновенному винтовому движению.

движение твердого тела, как и движение точки, может быть сложным.

Пусть тело совершает некоторое движение относительно системы координат 0x 1 y 1 z 1 , которая, в свою очередь, движется относительно неподвижных осей 0xyz .Относительным движением тела называют его движение по отношению к подвижной системе координат 0x 1 y 1 z 1 . Для выяснения переносного движения тела в каждый момент времени следует считать тело жестко скрепленным с подвижной системой отсчета, и движение, которое будет совершать тело с подвижной системой отсчета относительно неподвижной системы, и будет переносным движением. Движение тела относительно неподвижной системы координат называетсяабсолютным .

Основной задачей кинематики сложного движения твердого тела является установление соотношений между кинематическими характеристиками абсолютного, относительного и переносного движений. Сложное движение твердого тела может состоять из поступательных и вращательных движений или может быть получено в результате сложения поступательного и вращательного движений. В некоторых задачах кинематики заданное сложное движение твердого тела раскладывают на составляющие движения (анализ); в других - требуется определить сложное движение как результат сложения более простых (синтез). Как при анализе, так и при синтезе движений речь идет о разложении и сложении движений, рассматриваемых в данный момент (мгновенных движений).

Сложение поступательных движений твердого тела

Пусть твердое тело одновременно участвует в двух мгновенно поступательных движениях, из которых одно является поступательным со скоростью v 1 , второе - переносным со скоростью v 2 (рис 2.73). Выделим какую-либо точку М тела. Найдем абсолютную скорость точки М

v a = v r + v e = v 1 + v 2 . (2.113)

Так как и относительное, и переносное движение твердого тела являются мгновенно поступательными, то относительные, переносные и, следовательно, согласно формуле (2.113), абсолютные скорости всех точек тела будут равны между собой в каждый момент времени (равны по величине и параллельны по направлению), т.е. абсолютное движение тела также является мгновенно поступательным.

Очевидно, что данный вывод применим к сложному движению твердого тела, состоящему из трех и более мгновенно поступательных движений, тогда в общем случае

Итак, в результате сложения мгновенных поступательных движений твердого тела результирующее движение получается мгновенно поступательным.

Замечание . Мгновенно поступательное движение твердого тела отличается от поступательного тем, что при поступательном движении в каждый момент времени равны между собой скорости и ускорения всех точек тела, а при мгновенно поступательном движении в данный момент времени равны между собой только скорости всех точек тела.

66, 67 Сложение вращений вокруг параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением

с угловой скоростью вокруг оси , закрепленной на кривошипе (рис.1а), а переносное – вращением кривошипа вокруг оси , параллельной , с угловой скоростью . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной к осям.

Примем, что вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 1 б). Следы осей в сечении обозначим буквами и . Тогда и . При этом векторы и параллельны друг другу, перпендикулярны и направлены в разные стороны. Тогда точка является мгновенным центром скоростей , а следовательно, ось , параллельная осям и , является мгновенной осью вращения. Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг оси и положения самой оси, т.е. точки , воспользуемся свойством мгновенного центра скоростей

.

Подставив в эти равенства значения и , окончательно получим

Итак, при сложении двух направленных в одну сторону вращений вокруг параллельных осей результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной скоростью вокруг мгновенной оси, параллельной данным, положение которой определяется пропорциями (2).

С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

Рассмотрим теперь случай, когда вращения направлены в разные стороны (рис.2).

Допустим, что . Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, для угловой скорости абсолютного движения тела вокруг оси и положения самой оси, получим

Таким образом, при сложении двух направленных в разные стороны вращений вокруг параллельных осей, результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорциями (4).

Заметим, что в этом случае точка делит расстояние между параллельными осями внешним образом.

Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю (рис.3).

Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы и образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим и , то есть = . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости .

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной и направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы и . Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером пары угловых скоростей является движение велосипедной педали относительно рамы велосипеда (рис.4).

Это движение представляет собой совокупность переносного вращения вместе с кривошипом вокруг оси и относительного вращения педали по отношению к кривошипу вокруг оси . Педаль за все время движения остается параллельной своему первоначальному положению, т.е. совершает поступательное движение.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Кривошип вращается вокруг оси по часовой стрелке с угловой скоростью , а диск радиуса вращается вокруг оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью относительно кривошипа. Найти величину и направление абсолютных скоростей точек и (рис.5).

Решение. Так как угловые скорости переносного и относительного вращений равны по модулю и направлены в одну сторону, то мгновенный центр вращений диска лежит посредине между и , т.е. . Модуль абсолютной угловой скорости вращения диска вокруг точки равен . Отсюда находим:

, ,

, .

Пример 2. Кривошип вращается вокруг оси с угловой скоростью . На палец кривошипа свободно насажена шестерня радиуса , сцепленная с неподвижным зубчатым колесом радиуса . Найти абсолютную угловую скорость шестерни и ее угловую скорость относительно кривошипа (рис.6).

Решение. Так как шестерня сцеплена с неподвижным колесом, то абсолютная скорость точки зацепления шестерни с этим колесом равна нулю, т.е. точка является для шестерни мгновенным центром вращения. Отсюда или ,

Заметим, что направление вращения шестерни совпадает с направлением вращения кривошипа.

Тогда абсолютную угловую скорость шестерни находим из равенства