Ускорение – это величина, которая характеризует быстроту изменения скорости.

Например, автомобиль, трогаясь с места, увеличивает скорость движения, то есть движется ускоренно. Вначале его скорость равна нулю. Тронувшись с места, автомобиль постепенно разгоняется до какой-то определённой скорости. Если на его пути загорится красный сигнал светофора, то автомобиль остановится. Но остановится он не сразу, а за какое-то время. То есть скорость его будет уменьшаться вплоть до нуля – автомобиль будет двигаться замедленно, пока совсем не остановится. Однако в физике нет термина «замедление». Если тело движется, замедляя скорость, то это тоже будет ускорение тела, только со знаком минус (как вы помните, скорость – это векторная величина).

> – это отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Определить среднее ускорение можно формулой:

Рис. 1.8. Среднее ускорение. В СИ единица ускорения – это 1 метр в секунду за секунду (или метр на секунду в квадрате), то есть

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейно движущейся точки, при котором за одну секунду скорость этой точки увеличивается на 1 м/с. Иными словами, ускорение определяет, насколько изменяется скорость тела за одну секунду. Например, если ускорение равно 5 м/с 2 , то это означает, что скорость тела каждую секунду увеличивается на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени – это физическая величина, равная пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к нулю. Иными словами – это ускорение, которое развивает тело за очень короткий отрезок времени:

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела возрастает по модулю, то есть

V 2 > v 1

а направление вектора ускорения совпадает с вектором скорости

Если скорость тела по модулю уменьшается, то есть

V 2 < v 1

то направление вектора ускорения противоположно направлению вектора скорости Иначе говоря, в данном случае происходит замедление движения , при этом ускорение будет отрицательным (а < 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Рис. 1.9. Мгновенное ускорение.

При движении по криволинейной траектории изменяется не только модуль скорости, но и её направление. В этом случае вектор ускорение представляют в виде двух составляющих (см. следующий раздел).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Даны основные формулы кинематики материальной точки, их вывод и изложение теории.

См. также: Пример решения задачи (координатный способ задания движения точки)

Основные формулы кинематики материальной точки

Приведем основные формулы кинематики материальной точки. После чего дадим их вывод и изложение теории.

Радиус-вектор материальной точки M в прямоугольной системе координат Oxyz :
,
где - единичные векторы (орты) в направлении осей x, y, z .

Скорость точки:
;
.
.
Единичный вектор в направлении касательной к траектории точки:
.

Ускорение точки:
;
;
;
; ;

Тангенциальное (касательное) ускорение:
;
;
.

Нормальное ускорение:
;
;
.

Единичный вектор, направленный к центру кривизны траектории точки (вдоль главной нормали):
.

Радиус-вектор и траектория точки

Рассмотрим движение материальной точки M . Выберем неподвижную прямоугольную систему координат Oxyz с центром в некоторой неподвижной точке O . Тогда положение точки M однозначно определяются ее координатами (x, y, z) . Эти координаты являются компонентами радиус-вектора материальной точки.

Радиус-вектор точки M - это вектор , проведенный из начала неподвижной системы координат O в точку M .
,
где - единичные векторы в направлении осей x, y, z .

При движении точки, координаты изменяются со временем . То есть они являются функциями от времени . Тогда систему уравнений
(1)
можно рассматривать как уравнение кривой, заданной параметрическими уравнениями. Такая кривая является траекторией точки.

Траектория материальной точки - это линия, вдоль которой происходит движение точки.

Если движение точки происходит в плоскости, то можно выбрать оси и системы координат так, чтобы они лежали в этой плоскости. Тогда траектория определяется двумя уравнениями

В некоторых случаях, из этих уравнений можно исключить время . Тогда уравнение траектории будет иметь зависимость вида:
,
где - некоторая функция. Эта зависимость содержит только переменные и . Она не содержит параметр .

Скорость материальной точки

Согласно определению скорости и определению производной:

Производные по времени, в механике, обозначают точкой над символом. Подставим сюда выражение для радиус-вектора:
,
где мы явно обозначили зависимость координат от времени. Получаем:

,
где
,
,

- проекции скорости на оси координат. Они получаются дифференцированием по времени компонент радиус-вектора
.

Таким образом
.
Модуль скорости:
.

Касательная к траектории

С математической точки зрения, систему уравнений (1) можно рассматривать как уравнение линии (кривой), заданной параметрическими уравнениями. Время , при таком рассмотрении, играет роль параметра. Из курса математического анализа известно, что направляющий вектор для касательной к этой кривой имеет компоненты:
.
Но это есть компоненты вектора скорости точки. То есть скорость материальной точки направлена по касательной к траектории .

Все это можно продемонстрировать непосредственно. Пусть в момент времени точка находится в положении с радиус-вектором (см. рисунок). А в момент времени - в положении с радиус-вектором . Через точки и проведем прямую . По определению, касательная - это такая прямая , к которой стремится прямая при .
Введем обозначения:
;
;
.
Тогда вектор направлен вдоль прямой .

При стремлении , прямая стремится к касательной , а вектор - к скорости точки в момент времени :
.
Поскольку вектор направлен вдоль прямой , а прямая при , то вектор скорости направлен вдоль касательной .
То есть вектор скорости материальной точки направлен вдоль касательной к траектории.

Введем направляющий вектор касательной единичной длины :
.
Покажем, что длина этого вектора равна единице. Действительно, поскольку
, то:
.

Тогда вектор скорости точки можно представить в виде:
.

Ускорение материальной точки

Аналогично предыдущему, получаем компоненты ускорения (проекции ускорения на оси координат):
;
;
;
.
Модуль ускорения:
.

Тангенциальное (касательное) и нормальное ускорения

Теперь рассмотрим вопрос о направлении вектора ускорения по отношению к траектории. Для этого применим формулу:
.
Дифференцируем ее по времени, применяя правило дифференцирования произведения:
.

Вектор направлен по касательной к траектории. В какую сторону направлена его производная по времени ?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся тем, что длина вектора постоянна и равна единице. Тогда квадрат его длины тоже равен единице:
.
Здесь и далее, два вектора в круглых скобках обозначают скалярное произведение векторов. Продифференцируем последнее уравнение по времени:
;
;
.
Поскольку скалярное произведение векторов и равно нулю, то эти векторы перпендикулярны друг другу. Так как вектор направлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярен к касательной.

Первую компоненту называют тангенциальным или касательным ускорением:
.
Вторую компоненту называют нормальным ускорением:
.
Тогда полное ускорение:
(2) .
Эта формула представляет собой разложение ускорения на две взаимно перпендикулярные компоненты - касательную к траектории и перпендикулярную к касательной.

Поскольку , то
(3) .

Тангенциальное (касательное) ускорение

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Здесь мы положили:
.
Отсюда видно, что тангенциальное ускорение равно проекции полного ускорения на направление касательной к траектории или, что тоже самое, на направление скорости точки.

Тангенциальное (касательное) ускорение материальной точки - это проекция ее полного ускорения на направление касательной к траектории (или на направление скорости).

Символом мы обозначаем вектор тангенциального ускорения, направленный вдоль касательной к траектории. Тогда - это скалярная величина, равная проекции полного ускорения на направление касательной. Она может быть как положительной, так и отрицательной.

Подставив , имеем:
.

Подставим в формулу:
.
Тогда:
.
То есть тангенциальное ускорение равно производной по времени от модуля скорости точки. Таким образом, тангенциальное ускорение приводит к изменению абсолютной величины скорости точки . При увеличении скорости, тангенциальное ускорение положительно (или направлено вдоль скорости). При уменьшении скорости, тангенциальное ускорение отрицательно (или направлено противоположно скорости).

Теперь исследуем вектор .

Рассмотрим единичный вектор касательной к траектории . Поместим его начало в начало системы координат. Тогда конец вектора будет находиться на сфере единичного радиуса. При движении материальной точки, конец вектора будет перемещаться по этой сфере. То есть он будет вращаться вокруг своего начала. Пусть - мгновенная угловая скорость вращения вектора в момент времени . Тогда его производная - это скорость движения конца вектора. Она направлена перпендикулярно вектору . Применим формулу для вращающегося движения. Модуль вектора:
.

Теперь рассмотрим положение точки для двух близких моментов времени. Пусть в момент времени точка находится в положении , а в момент времени - в положении . Пусть и - единичные векторы, направленные по касательной к траектории в этих точках. Через точки и проведем плоскости, перпендикулярные векторам и . Пусть - это прямая, образованная пересечением этих плоскостей. Из точки опустим перпендикуляр на прямую . Если положения точек и достаточно близки, то движение точки можно рассматривать как вращение по окружности радиуса вокруг оси , которая будет мгновенной осью вращения материальной точки. Поскольку векторы и перпендикулярны плоскостям и , то угол между этими плоскостями равен углу между векторами и . Тогда мгновенная скорость вращения точки вокруг оси равна мгновенной скорости вращения вектора :
.
Здесь - расстояние между точками и .

Таким образом мы нашли модуль производной по времени вектора :
.
Как мы указали ранее, вектор перпендикулярен вектору . Из приведенных рассуждений видно, что он направлен в сторону мгновенного центра кривизны траектории. Такое направление называется главной нормалью.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение

направлено вдоль вектора . Как мы выяснили, этот вектор направлен перпендикулярно касательной, в сторону мгновенного центра кривизны траектории.
Пусть - единичный вектор, направленный от материальной точки к мгновенному центру кривизны траектории (вдоль главной нормали). Тогда
;
.
Поскольку оба вектора и имеют одинаковое направление - к центру кривизны траектории, то
.

Из формулы (2) имеем:
(4) .
Из формулы (3) находим модуль нормального ускорения:
.

Умножим обе части уравнения (2) скалярно на :
(2) .
.
Поскольку , то . Тогда
;
.
Отсюда видно, что модуль нормального ускорения равен проекции полного ускорения на направление главной нормали.

Нормальное ускорение материальной точки - это проекция ее полного ускорения на направление, перпендикулярное к касательной к траектории.

Подставим . Тогда
.
То есть нормальное ускорение вызывает изменение направления скорости точки, и оно связано с радиусом кривизны траектории .

Отсюда можно найти радиус кривизны траектории:
.

И в заключении заметим, что формулу (4) можно переписать в следующем виде:
.
Здесь мы применили формулу для векторного произведения трех векторов:
,
в которую подставили
.

Итак, мы получили:
;
.
Приравняем модули левой и правой частей:
.
Но векторы и взаимно перпендикулярны. Поэтому
.
Тогда
.
Это известная формула из дифференциальной геометрии для кривизны кривой.

К примеру, автомобиль, который трогается с места, движется ускоренно, так как наращивает скорость движения. В точке начала движения скорость автомобиля равняется нулю. Начав движение, автомобиль разгоняется до некоторой скорости. При необходимости затормозить, автомобиль не сможет остановиться мгновенно, а за какое-то время. То есть скорость автомобиля будет стремиться к нулю - автомобиль начнет двигаться замедленно до тех пор, пока не остановится полностью. Но физика не имеет термина «замедление». Если тело двигается, уменьшая скорость, этот процесс тоже называется ускорением , но со знаком «-».

Средним ускорением называется отношение изменения скорости к промежутку времени, за который это изменении произошло. Вычисляют среднее ускорение при помощи формулы:

где - это . Направление вектора ускорения такое же, как у направления изменения скорости Δ = - 0

где 0 является начальной скоростью. В момент времени t 1 (см. рис. ниже) у тела 0 . В момент времени t 2 тело имеет скорость . Исходя из правила вычитания векторов, определим вектор изменения скорости Δ = - 0 . Отсюда вычисляем ускорение:

.

В системе СИ единицей ускорения называется 1 метр в секунду за секунду (либо метр на секунду в квадрате):

.

Метр на секунду в квадрате - это ускорение прямолинейно движущейся точки, при котором за 1 с скорость этой точки растет на 1 м/с. Другими словами, ускорение определяет степень изменения скорости тела за 1 с. К примеру, если ускорение составляет 5 м/с 2 , значит, скорость тела ежесекундно растет на 5 м/с.

Мгновенное ускорение тела (материальной точки) в данный момент времени - это физическая величина , которая равна пределу, к которому стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени к 0. Другими словами - это ускорение, развиваемое телом за очень маленький отрезок времени:

.

Ускорение имеет такое же направление, как и изменение скорости Δ в крайне маленьких промежутках времени, за которые скорость изменяется. Вектор ускорения можно задать при помощи проекций на соответствующие оси координат в заданной системе отсчета (проекциями а Х, a Y , a Z).

При ускоренном прямолинейном движении скорость тела увеличивается по модулю, т.е. v 2 > v 1 , а вектор ускорения имеет такое же направление, как и у вектора скорости 2 .

Если скорость тела по модулю уменьшается (v 2 < v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем замедление движения (ускорение отрицательно, а < 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Если происходит движение по криволинейной траектории, то изменяется модуль и направление скорости. Значит, вектор ускорения изображают в виде 2х составляющих.

Тангенциальным (касательным) ускорением называют ту составляющую вектора ускорения, которая направлена по касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение описывает степень изменения скорости по модулю при совершении криволинейного движения.

У вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. выше) направление такое же, как и у линейной скорости либо противоположно ему. Т.е. вектор тангенциального ускорения находится в одной оси с касательной окружности, являющейся траекторией движения тела.

СПОСОБе ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Определение скорости точки

Скорость - это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системеотсчета.

При векторном способе задания движения положение движущейся точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором , который является функцией времени . Пусть в момент времени t точка занимает положениеМ , определяемое радиусом-вектором , а в момент - положение M 1 , определяемое радиусом-век­тором (рис. 8.6). Из треугольника ОММ 1 ,

.

Рис. 8.6 Рис. 8.7

При перемещении точки ее радиуc-вектор получает приращение:

Из двух последних равенств следует, что вектор перемещения точки является приращением радиуса-вектора точки за промежу­ток времени t .

Отношение вектора перемещения к промежутку времени t ,втечение которого произошло это перемещение, представляет собой вектор средней скорости воображаемого движения точки по хорде ММ 1:

Направление вектора совпадает с направлением Δ . При умень­шении промежутка времени Δt и приближении его к нулю вектор Δ также стремится к нулю, а вектор - к некоторому пределу. Этот предел является вектором скорости точки в момент t :

.

Так как Δt - приращение скалярного аргумента t , а Δ - прираще­ние вектора-функции , то предел отношения при явля­ется векторной производной от по t :

Таким образом, вектор скорости точки в данный момент равен производной от радиуса-вектора точки по времени.

Вектор направлен по хорде MM 1 в сторону движения точки. Когда Δt стремится к нулю, точка M 1 стремится к точке М , т. е. предельным положением секущейMM 1 является касательная.

Из этого следует, что вектор скорости точки направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

При движении точки по криволинейной траектории направление вектора скорости непрерывно изменяется (рис. 8.8).

Скорость точки при неравномерном криволинейном движении изменяется как по модулю, так и по направлению.

Отметим ряд положений движущейся точки на траектории M 1 , M 2 , M 3 , М 4 и покажем в этих положениях скорости точки (рис. 8.8,а).

Выбрав в пространстве некоторую неподвижную точку О 1 , отло­жим от этой точки векторы, геометрически равные скоростям (рис. 8.8,б). Если от точки О 1 отложить скорости, соответствующие всем поло­жениям точки М на кривой АВ, и соединить концы этих векторов, то получится линия CD, являющаяся годографом скорости.

Таким образом, годограф скорости представляет собой геометри­ческое место концов векторов скорости движущейся точки, отложен­ных от одной и той же произвольной точки пространства.

Изобразим на рис. 8.9, а траекторию точки АВ и ее скорость в произвольный момент времени t , а на рис. 8.9, б - годограф ско­рости CD этой точки.

Проведем через точку О 1 оси координат X, Y,Z, параллельные основным осямх,y,z. Тогда радиусом-вектором любой точки N годографа скорости CD будет скорость , а координаты точек годографа X, У, Z будут равны проекциям скорости на оси координат:

Эти уравнения являются параметрическими уравнениями годографа скорости .

Определение ускорения точки

При неравномерном криволинейном движении точки изменяются модуль и направление ее скорости. Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости точки.

Допустим, что в момент времени t точка занимает положение М и имеет скорость , а в момент времени она занимает положение M 1 и имеет скорость (рис. 8.10, а).

Найдем приращение вектора скорости за промежуток времени Δt . Для этого отложим от точки М скорость и построим при этой точке параллелограмм, одной из сторон которого будет скорость , а диагональю - скорость .

Тогда вторая сторона параллелограмма будет приращением вектора скорости , так как

.

Разделив приращение вектора скорости на промежуток времени Δt , получим вектор среднего ускорения точки за этот промежуток:

Этот вектор имеет направление и, следовательно, направлен в cторону вогнутости кривой. Построив годограф скорости CD (рис. 13,б), отложим там же скорости v и v 1 , приращение вектора скорости , а также вектор среднего ускорения , направленный по хорде NN 1 годографа ско­рости. Предел, к которому стремится вектор среднего ускорения , когда Δt стремится к нулю, является вектором ускорения точки α в данный момент времени t: находится в плоскости, проходящей через касательную к траектории точке М и прямую, параллельную касательной в точке М 1 (рис. 10,а). Предельное положение этой плоскости при стремлении точки M 1 к точке М называется соприкасающейся плоскостью.

Из этого следует, что вектор ускорения точки расположен в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Если кривая плоская, то соприкасающейся плоскостью является плоскость кривой и вектор ускорения лежит в этой плоскости.

Основными задачами кинематики точки являются:

1. Описание способов задания движения точки.

2. Определение кинематических характеристик движения точки (скорости, ускорения) по заданному закону движения.

Механическое движение − изменение положения одного тела относительно другого (тела отсчета), с которым связана система координат, называемая системой отсчета .

Геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета называется траектория точки.

Задать движение − это дать способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени по отношению к выбранной системе отсчета. К основным способам задания движения точки относятся:

векторный, координатный и естественный .

1.Векторный способ задания движения (рис. 1).

Положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки, связанной с телом отсчета: − векторное уравнение движения точки.

2.Координатный способ задания движения (рис. 2).

В этом случае задаются координаты точки как функции времени:

- уравнения движения точки в координатной форме.

Это и параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них . В случае пространственной траектории, исключив , получим:

В случае плоской траектории

исключив , получим:

Или .

3. Естественный способ задания движения (рис. 3).

В этом случае задаются:

1)траектория точки,

2)начало отсчета на траектории,

3) положительное направление отсчета,

4)закон изменения дуговой координаты: .

Этим способом удобно пользоваться, когда траектория точки заранее известна.

2. Скорость и ускорение точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени (рис. 4):

Тогда − средняя скорость точки за промежуток времени .

Скорость точки в данный момент времени находится как предел средней скорости при :

Скорость точки − это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Среднее ускорениехарактеризует изменение вектора скорости за малый промежуток времени (рис. 5).

Ускорение точки в данный момент времени находится как предел среднего ускорения при :

Ускорение точки − это мера изменения ее скорости, равная производной по времени от скорости этой точки или второй производной от радиус-вектора точки по времени .

Ускорение точки характеризует изменение вектора скорости по величине и направлению. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости траектории.

3. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения

Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением

(рис. 6).

Из определения скорости:

Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени

, , . .

Модуль и направление скорости определяются выражениями:

Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по времени

Из определения ускорения:

Проекции ускорения на оси координат равны вторым производным соответствующих координат по времени:

, , .

Модуль и направление ускорения определяются выражениями:

, , .

4 Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

4.1 Естественные оси.

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения

Естественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) − это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Их положение определяется траекторией движения. Касательная (с единичным вектором ) направлена по касательной в положительном направлении отсчета дуговой координаты и находится как предельное положение секущей, проходящей через данную точку (рис.9). Через касательную проходит соприкасающаяся плоскость (рис. 10), которая находится как предельное положение плоскости p при стремлении точки M1 к точке M. Нормальная плоскость перпендикулярна касательной. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей − главная нормаль. Единичный вектор главной нормали направлен в сторону вогнутости траектории. Бинормаль (с единичным вектором ) направлена перпендикулярно касательной и главной нормали так, что орты , и образуют правую тройку векторов. Координатные плоскости введенной подвижной системы координат (соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественный трехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, как твердое тело. Его движение в пространстве определяется траекторией и законом изменения дуговой координаты.

Из определения скорости точки

где , − единичный вектор касательной.

Тогда

, .

Алгебраическая скорость − проекция вектора скорости на касательную, равная производной от дуговой координаты по времени. Если производная положительна, то точка движется в положительном направлении отсчета дуговой координаты.

Из определения ускорения

− переменный по направлению вектор и

Производная определяется только видом траектории в окрестности данной точки, при этом, вводя в рассмотрение угол поворота касательной, имеем , где − единичный вектор главной нормали, − кривизна траектории, − радиус кривизны траектории в данной точке.