Свойства касательной. Касательная к окружности

Главная / Л. Н. Толстой

Точки $x_0\in \mathbb{R}$ , и дифференцируема в ней: $f \in \mathcal{D}(x_0)$ . Касательной прямой к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется график линейной функции , задаваемый уравнением $y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0),\quad x\in \mathbb{R}$ .

Если функция

f

имеет в точке

x_0

бесконечную производную

f"(x_0) = \pm \infty,

то касательной прямой в этой точке называется вертикальная прямая, задаваемая уравнением

x = x_0.

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку $(x_0,f(x_0))$ . Угол $\alpha$ между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg}\,\alpha = f"(x_0)= k,$

где $\operatorname{tg}$ обозначает тангенс , а $\operatorname {k}$ - коэффициент наклона касательной. Производная в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции $y = f(x)$ в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Пусть $f\colon U(x_0) \to \R$ и $x_1 \in U(x_0).$ Тогда прямая линия, проходящая через точки $(x_0,f(x_0))$ и $(x_1,f(x_1))$ задаётся уравнением

$y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).$

Эта прямая проходит через точку $(x_0,f(x_0))$ для любого $x_1\in U(x_0),$ и её угол наклона $\alpha(x_1)$ удовлетворяет уравнению

$\operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.$

В силу существования производной функции $f$ в точке $x_0,$ переходя к пределу при $x_1 \to x_0,$ получаем, что существует предел

$\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f"(x_0),$

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

$\alpha = \operatorname{arctg}\,f"(x_0).$

Прямая, проходящая через точку $(x_0,f(x_0))$ и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий $\operatorname{tg}\,\alpha = f"(x_0),$ задаётся уравнением касательной:

$y = f(x_0) + f"(x_0)(x-x_0).$

Касательная к окружности

Прямая , имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу , проведённому в точку касания.
Отрезки касательных к окружности , проведённые из одной точки , равны и составляют равные углы с прямой , проходящей через эту точку и центр окружности.
Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с лучом, проведённым из центра окружности, является тангенсом угла между этим лучом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens - «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

Если существует правая производная $f"_+(x_0) < \infty,$ то пра́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

y = f(x_0) + f"_+(x_0)(x - x_0),\quad x \geqslant x_0.

Если существует левая производная $f"_-(x_0) < \infty,$ то ле́вой полукаса́тельной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

y = f(x_0) + f"_-(x_0)(x - x_0),\quad x \leqslant x_0.

Если существует бесконечная правая производная $f"_+(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ $f$ в точке $x_0$ называется луч

x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y \leqslant f(x_0)).

Если существует бесконечная левая производная $f"_-(x_0) = +\infty\; (-\infty),$ то правой полукасательной к графику функции $f$ в точке $x_0$ называется луч

x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y \geqslant f(x_0)).

См. также

Нормаль , бинормаль

Напишите отзыв о статье "Касательная прямая"

Литература

Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. - Физматкнига, 2012. - ISBN 9785891552135 .
// Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). - СПб. , 1890-1907.

Отрывок, характеризующий Касательная прямая

– По местам! – крикнул молоденький офицер на собравшихся вокруг Пьера солдат. Молоденький офицер этот, видимо, исполнял свою должность в первый или во второй раз и потому с особенной отчетливостью и форменностью обращался и с солдатами и с начальником.
Перекатная пальба пушек и ружей усиливалась по всему полю, в особенности влево, там, где были флеши Багратиона, но из за дыма выстрелов с того места, где был Пьер, нельзя было почти ничего видеть. Притом, наблюдения за тем, как бы семейным (отделенным от всех других) кружком людей, находившихся на батарее, поглощали все внимание Пьера. Первое его бессознательно радостное возбуждение, произведенное видом и звуками поля сражения, заменилось теперь, в особенности после вида этого одиноко лежащего солдата на лугу, другим чувством. Сидя теперь на откосе канавы, он наблюдал окружавшие его лица.
К десяти часам уже человек двадцать унесли с батареи; два орудия были разбиты, чаще и чаще на батарею попадали снаряды и залетали, жужжа и свистя, дальние пули. Но люди, бывшие на батарее, как будто не замечали этого; со всех сторон слышался веселый говор и шутки.
– Чиненка! – кричал солдат на приближающуюся, летевшую со свистом гранату. – Не сюда! К пехотным! – с хохотом прибавлял другой, заметив, что граната перелетела и попала в ряды прикрытия.
– Что, знакомая? – смеялся другой солдат на присевшего мужика под пролетевшим ядром.
Несколько солдат собрались у вала, разглядывая то, что делалось впереди.
– И цепь сняли, видишь, назад прошли, – говорили они, указывая через вал.
– Свое дело гляди, – крикнул на них старый унтер офицер. – Назад прошли, значит, назади дело есть. – И унтер офицер, взяв за плечо одного из солдат, толкнул его коленкой. Послышался хохот.
– К пятому орудию накатывай! – кричали с одной стороны.
– Разом, дружнее, по бурлацки, – слышались веселые крики переменявших пушку.
– Ай, нашему барину чуть шляпку не сбила, – показывая зубы, смеялся на Пьера краснорожий шутник. – Эх, нескладная, – укоризненно прибавил он на ядро, попавшее в колесо и ногу человека.
– Ну вы, лисицы! – смеялся другой на изгибающихся ополченцев, входивших на батарею за раненым.
– Аль не вкусна каша? Ах, вороны, заколянились! – кричали на ополченцев, замявшихся перед солдатом с оторванной ногой.
– Тое кое, малый, – передразнивали мужиков. – Страсть не любят.
Пьер замечал, как после каждого попавшего ядра, после каждой потери все более и более разгоралось общее оживление.
Как из придвигающейся грозовой тучи, чаще и чаще, светлее и светлее вспыхивали на лицах всех этих людей (как бы в отпор совершающегося) молнии скрытого, разгорающегося огня.
Пьер не смотрел вперед на поле сражения и не интересовался знать о том, что там делалось: он весь был поглощен в созерцание этого, все более и более разгорающегося огня, который точно так же (он чувствовал) разгорался и в его душе.
В десять часов пехотные солдаты, бывшие впереди батареи в кустах и по речке Каменке, отступили. С батареи видно было, как они пробегали назад мимо нее, неся на ружьях раненых. Какой то генерал со свитой вошел на курган и, поговорив с полковником, сердито посмотрев на Пьера, сошел опять вниз, приказав прикрытию пехоты, стоявшему позади батареи, лечь, чтобы менее подвергаться выстрелам. Вслед за этим в рядах пехоты, правее батареи, послышался барабан, командные крики, и с батареи видно было, как ряды пехоты двинулись вперед.
Пьер смотрел через вал. Одно лицо особенно бросилось ему в глаза. Это был офицер, который с бледным молодым лицом шел задом, неся опущенную шпагу, и беспокойно оглядывался.
Ряды пехотных солдат скрылись в дыму, послышался их протяжный крик и частая стрельба ружей. Через несколько минут толпы раненых и носилок прошли оттуда. На батарею еще чаще стали попадать снаряды. Несколько человек лежали неубранные. Около пушек хлопотливее и оживленнее двигались солдаты. Никто уже не обращал внимания на Пьера. Раза два на него сердито крикнули за то, что он был на дороге. Старший офицер, с нахмуренным лицом, большими, быстрыми шагами переходил от одного орудия к другому. Молоденький офицерик, еще больше разрумянившись, еще старательнее командовал солдатами. Солдаты подавали заряды, поворачивались, заряжали и делали свое дело с напряженным щегольством. Они на ходу подпрыгивали, как на пружинах.

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка $B$ – вершина вписанного угла $ABC$ и $BC$ – диаметр окружности:

Треугольник $AOB$ – равнобедренный, $AO = OB$ , $\angle AOC$ – внешний, тогда $\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC$ , откуда $\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}$ .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол $ABC$ . Проведём диаметр окружности $BD$ из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла $\angle ABD, \angle CBD$ (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла $\angle ABD, \angle CBD$ , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая $a$ пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние $d$ от центра окружности до прямой меньше радиуса $R$ окружности (рис. 3).

2) прямая $b$ пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка $B$ – точкой касания. В этом случае $d=R$ (рис. 4).

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки $K$ две касательные $KA$ и $KB$ :

Значит, $OA\perp KA, OB\perp KB$ как радиусы. Прямоугольные треугольники $\triangle KAO$ и $\triangle KBO$ равны по катету и гипотенузе, следовательно, $KA=KB$ .

Следствие

Центр окружности $O$ лежит на биссектрисе угла $AKB$ , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки $K$ .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть $M$ – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Покажем, что $\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})$ .

$\angle DAB$ – внешний угол треугольника $MAD$ , тогда $\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA$ , откуда $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA$ , но углы $\angle DAB$ и $\angle MDA$ – вписанные, тогда $\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} - \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})$ , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

$\angle BMA = \angle CMD$ как вертикальные.

Из треугольника $AMD$ : $\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over{AB} - \frac12\buildrel\smile\over{CD}$ .

Но $\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD$ , откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая $a$ касается окружности в точке $A$ , $AB$ – хорда этой окружности, $O$ – её центр. Пусть прямая, содержащая $OB$ , пересекает $a$ в точке $M$ . Докажем, что $\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}$ .

Обозначим $\angle OAB = \alpha$ . Так как $OA$ и $OB$ – радиусы, то $OA = OB$ и $\angle OBA = \angle OAB = \alpha$ . Таким образом, $\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)$ .

Так как $OA$ – радиус, проведённый в точку касания, то $OA\perp a$ , то есть $\angle OAM = 90^\circ$ , следовательно, $\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}$ .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть $AB=CD$ . Докажем, что меньшие полуокружности дуги .

По трем сторонам, следовательно, $\angle AOB=\angle COD$ . Но т.к. $\angle AOB, \angle COD$ - центральные углы, опирающиеся на дуги $\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}$ соответственно, то $\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}$ .

2) Если $\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}$ , то $\triangle AOB=\triangle COD$ по двум сторонам $AO=BO=CO=DO$ и углу между ними $\angle AOB=\angle COD$ . Следовательно, и $AB=CD$ .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Доказательство

1) Пусть $AN=NB$ . Докажем, что $OQ\perp AB$ .

Рассмотрим $\triangle AOB$ : он равнобедренный, т.к. $OA=OB$ – радиусы окружности. Т.к. $ON$ – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, $ON\perp AB$ .

2) Пусть $OQ\perp AB$ . Докажем, что $AN=NB$ .

Аналогично $\triangle AOB$ – равнобедренный, $ON$ – высота, следовательно, $ON$ – медиана. Следовательно, $AN=NB$ .

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$ .

Рассмотрим треугольники $ADE$ и $CBE$ . В этих треугольниках углы $1$ и $2$ равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу $BD$ , а углы $3$ и $4$ равны как вертикальные. Треугольники $ADE$ и $CBE$ подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда $\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}$ , откуда $AE\cdot BE = CE\cdot DE$ .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку $M$ и касается окружности в точке $A$ . Пусть секущая проходит через точку $M$ и пересекает окружность в точках $B$ и $C$ так что $MB < MC$ . Покажем, что $MB\cdot MC = MA^2$ .

Рассмотрим треугольники $MBA$ и $MCA$ : $\angle M$ – общий, $\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}$ . По теореме об угле между касательной и секущей, $\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA$ . Таким образом, треугольники $MBA$ и $MCA$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников $MBA$ и $MCA$ имеем: $\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}$ , что равносильно $MB\cdot MC = MA^2$ .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки $O$ , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки $O$ .

Секущие, касательные - все это сотни раз можно было слышать на уроках геометрии. Но выпуск из школы позади, проходят года, и все эти знания забываются. Что следует вспомнить?

Сущность

Термин "касательная к окружности" знаком, наверное, всем. Но вряд ли у всех получится быстро сформулировать его определение. Между тем касательной называют такую прямую, лежащую в одной плоскости с окружностью, которая пересекает ее только в одной точке. Их может существовать огромное множество, но все они обладают одинаковыми свойствами, о которых речь пойдет ниже. Как нетрудно догадаться, точкой касания называют то место, где окружность и прямая пересекаются. В каждом конкретном случае она одна, если же их больше, то это будет уже секущая.

История открытия и изучения

Понятие касательной появилось еще в древности. Построение этих прямых сначала к окружности, а потом к эллипсам, параболам и гиперболам с помощью линейки и циркуля проводилось еще на начальных этапах развития геометрии. Разумеется, история не сохранила имя первооткрывателя, но очевидно, что еще в то время людям были вполне известны свойства касательной к окружности.

В Новое время интерес к этому явлению разгорелся вновь - начался новый виток изучения этого понятия в сочетании с открытием новых кривых. Так, Галилей ввел понятие циклоиды, а Ферма и Декарт построили к ней касательную. Что же касается окружностей, кажется, еще для древних не осталось секретов в этой области.

Свойства

Радиус, проведенный в точку пересечения, будет Это

основное, но не единственное свойство, которое имеет касательная к окружности. Еще одна важная особенность включает в себя уже две прямые. Так, через одну точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные, при этом их отрезки будут равны. Есть и еще одна теорема по этой теме, однако ее редко проходят в рамках стандартного школьного курса, хотя для решения некоторых задач она крайне удобна. Звучит она следующим образом. Из одной точки, расположенной вне окружности, проведены касательная и секущая к ней. Образуются отрезки AB, AC и AD. А - пересечение прямых, B точка касания, C и D - пересечения. В этом случае будет справедливым следующее равенство: длина касательной к окружности, возведенная в квадрат, будет равна произведению отрезков AC и AD.

Из вышесказанного есть важное следствие. Для каждой точки окружности можно построить касательную, но при этом только одну. Доказательство этого достаточно просто: теоретически опустив на нее перпендикуляр из радиуса, выясняем, что образованный треугольник существовать не может. И это значит, что касательная - единственная.

Построение

Среди прочих задач по геометрии есть особая категория, как правило, не

пользующаяся любовью учеников и студентов. Для решения заданий из этой категории нужны лишь циркуль и линейка. Это задачи на построение. Есть они и на построение касательной.

Итак, даны окружность и точка, лежащая вне ее границ. И необходимо провести через них касательную. Как же это сделать? Прежде всего, нужно провести отрезок между центром окружности О и заданной точкой. Затем с помощью циркуля следует разделить его пополам. Чтобы это сделать, необходимо задать радиус - чуть более половины расстояния между центром изначальной окружности и данной точкой. После этого нужно построить две пересекающиеся дуги. Причем радиус у циркуля менять не надо, а центром каждой части окружности будут изначальная точка и О соответственно. Места пересечений дуг нужно соединить, что разделит отрезок пополам. Задать на циркуле радиус, равный этому расстоянию. Далее с центром в точке пересечения построить еще одну окружность. На ней будет лежать как изначальная точка, так и О. При этом будет еще два пересечения с данной в задаче окружностью. Именно они и будут точками касания для изначально заданной точки.

Именно построение касательных к окружности привело к рождению

дифференциального исчисления. Первый труд по этой теме был опубликован известным немецким математиком Лейбницем. Он предусматривал возможность нахождения максимумов, минимумов и касательных вне зависимости от дробных и иррациональных величин. Что ж, теперь оно используется и для многих других вычислений.

Кроме того, касательная к окружности связана с геометрическим смыслом тангенса. Именно от этого и происходит его название. В переводе с латыни tangens - "касательная". Таким образом, это понятие связано не только с геометрией и дифференциальным исчислением, но и с тригонометрией.

Две окружности

Не всегда касательная затрагивет лишь одну фигуру. Если к одной окружности можно провести огромное множество прямых, то почему же нельзя наоборот? Можно. Вот только задача в этом случае серьезно усложняется, ведь касательная к двум окружностям может проходить не через любые точки, а взаимное расположение всех этих фигур может быть очень

разным.

Типы и разновидности

Когда речь идет о двух окружностях и одной или нескольких прямых, то даже если известно, что это касательные, не сразу становится ясно, как все эти фигуры расположены по отношению друг к другу. Исходя из этого, различают несколько разновидностей. Так, окружности могут иметь одну или две общие точки или не иметь их вовсе. В первом случае они будут пересекаться, а во втором - касаться. И вот тут различают две разновидности. Если одна окружность как бы вложена во вторую, то касание называют внутренним, если нет - то внешним. Понять взаимное расположение фигур можно не только, исходя из чертежа, но и располагая информацией о сумме их радиусов и расстоянии между их центрами. Если две эти величины равны, то окружности касаются. Если первая больше - пересекаются, а если меньше - то не имеют общих точек.

Так же и с прямыми. Для любых двух окружностей, не имеющих общих точек, можно

построить четыре касательные. Две из них будут пересекаться между фигурами, они называются внутренними. Пара других - внешние.

Если речь идет об окружностях, которые имеют одну общую точку, то задача серьезно упрощается. Дело в том, что при любом взаимном расположении в этом случае касательная у них будет только одна. И проходить она будет через точку их пересечения. Так что построение трудности не вызовет.

Если же фигуры имеют две точки пересечения, то для них может быть построена прямая, касательная к окружности как одной, так и второй, но только внешняя. Решение этой проблемы аналогично тому, что будет рассмотрено далее.

Решение задач

Как внутренняя, так и внешняя касательная к двум окружностям, в построении не так уж просты, хоть эта проблема и решаема. Дело в том, что для этого используется вспомогательная фигура, так что додуматься до такого способа самостоятельно

довольно проблематично. Итак, даны две окружности с разным радиусом и центрами О1 и О2. Для них нужно построить две пары касательных.

Прежде всего, около центра большей окружности нужно построить вспомогательную. При этом на циркуле должна быть установлена разница между радиусами двух изначальных фигур. Из центра меньшей окружности строятся касательные к вспомогательной. После этого из О1 и О2 проводятся перепендикуляры к этим прямым до пересечения с изначальными фигурами. Как следует из основного свойства касательной, искомые точки на обеих окружностях найдены. Задача решена, по крайнем мере, ее первая часть.

Для того чтобы построить внутренние касательные, придется решить практически

аналогичную задачу. Снова понадобится вспомогательная фигура, однако на этот раз ее радиус будет равен сумме изначальных. К ней строятся касательные из центра одной из данных окружностей. Дальнейший ход решения можно понять из предыдущего примера.

Касательная к окружности или даже двум и больше - не такая уж сложная задача. Конечно, математики давно перестали решать подобные проблемы вручную и доверяют вычисления специальным программам. Но не стоит думать, что теперь необязательно уметь делать это самостоятельно, ведь для правильного формулирования задания для компьютера нужно многое сделать и понять. К сожалению, есть опасения, что после окончательного перехода на тестовую форму контроля знаний задачи на построение будут вызывать у учеников все больше трудностей.

Что же касается нахождения общих касательных для большего количества окружностей, это не всегда возможно, даже если они лежат в одной плоскости. Но в некоторых случаях можно найти такую прямую.

Примеры из жизни

Общая касательная к двум окружностям нередко встречается и на практике, хоть это и не всегда заметно. Конвейеры, блочные системы, передаточные ремни шкивов, натяжение нити в швейной машинке, да даже просто велосипедная цепь - все это примеры из жизни. Так что не стоит думать, что геометрические задачи остаются лишь в теории: в инженерном деле, физике, строительстве и многих других областях они находят практическое применение.

Доказательство

Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.

На рисунке 287 изображена окружность с центром O , M - точка пересечения диаметра CD и хорды AB , CD ⊥ AB . Надо доказать, что AM = MB .

Проведём радиусы OA и OB . В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB ) отрезок OM - высота, а значит, и медиана, т. е. AM = MB .

Теорема 20.2

Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.

Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.

На рисунке 288 показаны все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности. На рисунке 288, а они не имеют общих точек, на рисунке 288, б - имеют две общие точки, на рисунке 288, в - одну.

Рис. 288

Определение

Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.

Касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 288, в прямая a - касательная к кругу с центром в точке O , A - точка касания.

Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 289 изображён отрезок AB , который касается окружности в точке С .

Теорема 20.3

(свойство касательной)

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Доказательство

На рисунке 290 изображена окружность с центром O , A - точка касания прямой a и окружности. Надо доказать, что OA ⊥ a .

Рис. 289	Рис. 290	Рис. 291

Предположим, что это не так, т. е. отрезок OA - наклонная к прямой a . Тогда из точки O опустим перпендикуляр OM на прямую a (рис. 291). Поскольку точка A - единственная общая точка прямой a и круга с центром O , то точка M не принадлежит этому кругу. Отсюда OM = MB + OB , где точка B - точка пересечения окружности и перпендикуляра OM . Отрезки OA и OB равны как радиусы окружности. Таким образом, OM > OA. Получили противоречие: перпендикуляр OM больше наклонной OA . Следовательно, OA ⊥ a .

Теорема 20.4

(признак касательной к окружности)

Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство

Рис. 292

На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке O , отрезок OA - её радиус, точка A принадлежит прямой a , OA ⊥ a . Докажем, что прямая a - касательная к окружности.

Пусть прямая a не является касательной, а имеет ещё одну общую точку B с окружностью (рис. 292). Тогда ∆ AOB - равнобедренный (OA = OB как радиусы). Отсюда ∠ OBA = ∠ OAB = 90°. Получаем противоречие: в треугольнике AOB есть два прямых угла. Следовательно, прямая a является касательной к окружности.

Следствие

Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Рис. 293

Докажите это следствие самостоятельно.

Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.

Решение. На рисунке 293 изображена окружность с центром O .Прямые AB и AC - касательные, точки B и C - точки касания. Надо доказать, что AB = AC .

Проведём радиусы OB и OC в точки касания. По свойству касательной OB ⊥ AB и OC ⊥ AC . В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO - общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC .

Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?
Чему равен угол между хордой, отличной от диаметра, и диаметром, делящим эту хорду пополам?
Опишите все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности.
Какую прямую называют касательной к окружности?
Каким свойством обладает радиус, проведённый в точку касания прямой и окружности?
Сформулируйте признак касательной к окружности.
Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружности через одну точку?

Практические задания

507. Начертите окружность с центром O , проведите хорду AB . Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.

508. Начертите окружность с центром O , проведите хорду CD . Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде CD .

509. Начертите окружность, отметьте на ней точки A и B .Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках A и B .

510. Проведите прямую a и отметьте на ней точку M .Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса 3 см, которая касается прямой a в точке M .Сколько таких окружностей можно провести?

Упражнения

511. На рисунке 294 точка O - центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде AB . Докажите, что ∠ AOD = ∠ BOD .

512. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

513. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

514. Верно ли, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?

515. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB - хорда окружности, ∠ BAD = 35° (рис. 295). Найдите ∠ AOB .

516. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB - хорда окружности, ∠ AOB = 80° (см. рис. 295). Найдите ∠ BAC .

517. Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая a удалена от её центра на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. В каком случае прямая a является касательной к окружности?

518. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°. Докажите, что:

1) прямая BC является касательной к окружности с центром A , проходящей через точку C ;

2) прямая AB не является касательной к окружности с центром C , проходящей через точку A .

519. Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

520. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB , перпендикулярную ему. Докажите, что ∠ AOB = 120°.

521. Найдите угол между радиусами OA и OB окружности, если расстояние от центра O окружности до хорды AB в 2 раза меньше: 1) длины хорды AB ; 2) радиуса окружности.

522. В окружности провели диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC = 12 см, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD . Найдите длину хорды CD .

523. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB , A и B - точки касания, ∠ OAB = 20°. Найдите ∠ AMB .

524. Через концы хорды AB , равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке C .Найдите ∠ ACB .

525. Через точку C окружности с центром O провели касательную к этой окружности, AB - диаметр окружности. Из точки A на касательную опущен перпендикуляр AD . Докажите, что луч AC - биссектриса угла BAD .

526. Прямая AC касается окружности с центром O в точке A (рис. 296). Докажите, что угол BAC в 2 раза меньше угла AOB .

Рис. 294	Рис. 295	Рис. 296

527. Отрезки AB и BC - соответственно хорда и диаметр окружности, ∠ ABC = 30°. Через точку A провели касательную к окружности, пересекающую прямую BC в точке D .Докажите, что ∆ ABD - равнобедренный.

528. Известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что CD - также диаметр.

529. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.

530. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.

531. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.

532. Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B , пересекаются в точке K , ∠ AKB = 120°. Докажите, что AK + BK = OK .

533. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC .

Рис. 297

534. Через точку C проведены касательные AC и BC к окружности, A и B - точки касания (рис. 297). На окружности взяли произвольную точку M , лежащую в одной полуплоскости с точкой C относительно прямой AB , и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые AC и BC в точках D и E соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки M .

Упражнения для повторения

535. Докажите, что середина M отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку M и концы которого принадлежат этим прямым.

536. Отрезки AB и CD лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку M выбрали так, что треугольник AMB - равнобедренный с основанием AB . Докажите, что ∆ CMD также является равнобедренным с основанием CD .

537. На стороне MK треугольника MPK отметили точки E и F так, что точка E лежит между точками M и F , ME = EP , PF = FK . Найдите угол M , если ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.

538. В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BM , из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр MK , ∠ ABM = ∠ KMC . Докажите, что треугольник ABC - равнобедренный.

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

539. Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 298. Какую фигуру надо поставить следующей?

Рис. 298

Прямая (MN ), имеющая с окружностью только одну общую точку (A ), называется касательной к окружности .

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной , и притом проведенной через любую точку окружности , как точку касания, доказывается следующей теоремой .

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A . Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO , а из точки O , как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС , соединим точку A с точками D и E , в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE - касательные к окружности O . Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС , равными диаметру круга O .

Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB , а E - середина OС , значит AD и AE - медианы , проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE , то они - касательные .

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром .

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE , имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной ” от данной точки до точки касания.

Замечание

Касательная как предельное положение секущей

Касательная к окружности

Свойства

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

См. также

Напишите отзыв о статье "Касательная прямая"

Литература

Отрывок, характеризующий Касательная прямая

Сущность

История открытия и изучения

Свойства

Построение

Две окружности

Типы и разновидности

Решение задач

Примеры из жизни

Выбор редакции