Изоморфизм групп. Отображение двух групп G и K называется изоморфизмом, если Изоморфные группы

А

Длина ряда подгрупп - число n в определении ряда подгрупп .

Е

Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе H - это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу a группы смежный класс a H . Ядром этого гомоморфизма является подгруппа H .

И

Конечнопорождённая группа - группа, обладающая конечной системой образующих .

Кручение , TorG , коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка .

Л

Локальное свойство группы G . Говорят, что группа G обладает локальным свойством P , если любая конечно порождённая подгруппа из G обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема . Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством , сама обладает им.

Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

М

Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой , факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

Н

Холлова подгруппа - подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы G , обычно обозначается Z (G ), определяется как

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G .

4. Изоморфизм групп.

Определение.

Отображение двух групп G и K называется изоморфизмом , если

1.Отображение j взаимно однозначно. 2.Отображение j сохраняет операцию: .

Поскольку отображение обратное к j также является изоморфизмом, введенное понятие симметрично относительно групп G и K , которые называются изоморфными.

1.Группы поворотов плоскости и вокруг точек и изоморфны между собой. Аналогично, изоморфными будут и группы, состоящие из поворотов пространства относительно любых двух осей.

2.Группа диэдра и соответствующая пространственная группа изоморфны.

3. Группа тетраэдра T изоморфна группе состоящей из четных подстановок четвертой степени. Для построения изоморфизма достаточно занумеровать вершины тетраэдра цифрами 1,2,3,4 и заметить, что каждый поворот, совмещающий тетраэдр с собой некоторым образом переставляет его вершины и, следовательно, задает некоторую подстановку множества{1,2, 3, 4} Повороты вокруг оси, проходящей через некоторую вершину (например 1), оставляет символ 1 на месте и циклически переставляет символы 1, 2, 3. Все такие перестановки - четные. Поворот вокруг оси, соединяющей середины ребер (например, 12 и 34) переставляет символы 1 и 2 , а также 3 и 4. Такие перестановки также являются четными.

4. Формула определяет взаимно однозначное соответствие между множеством R вещественных чисел и множеством положительных чисел. При этом . Это означает, что является изоморфизмом.

Замечание. В абстрактной алгебре изоморфные группы принято считать одинаковыми. По существу это означает, что игнорируются индивидуальные свойства элементов группы и происхождение алгебраической операции.

5. Понятие подгруппы.

Непустое подмножество называется подгруппой , если само является группой. Более подробно это означает, что , и .

Признак подгруппы.

Непустое подмножество будет подгруппой тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

В одну сторону это утверждение очевидно. Пусть теперь - любой элемент. Возьмем в признаке подгруппы. Тогда получим . Теперь возьмем . Тогда получим .

Примеры подгрупп.

1. Для групп преобразований новое и старое понятие подгруппы равносильны между собой.

2. - подгруппа четных подстановок.

5. Пусть G - любая группа и - любой фиксированный элемент. Рассмотрим множество всевозможных степеней этого элемента. Поскольку , рассматриваемое множество является подгруппой. Она называется циклической подгруппой с образующим элементом g .

6. Пусть любая подгруппа Рассмотрим множество - централизатор подгруппы H в группе G. Из определения вытекает, что если , то , то есть . Теперь ясно, что если , то и и значит централизатор является подгруппой. Если группа G коммутативна, то . Если G=H, то централизатор состоит из тех элементов, которые перестановочны со всеми элементами группы; в этом случае он называется центром группы G и обозначается Z(G).

Замечание об аддитивной форме записи группы.

Иногда, особенно когда операция в группе коммутативна, она обозначается (+) и называется сложением. В этом случае нейтральный элемент называется нулем и удовлетворяет условию: g+0=g. Обратный элемент в этом случае называется противоположным и обозначается (-g). Степени элемента g имеют вид g+g+ .+g , называются кратными элемента g и обозначаются ng.

Рассмотренное выше гомоморфное отображение группы на группу не является взаимно однозначным; два различных элемента а группы переходят при нем в один и тот же элемент b группы (Отображение одной конечной группы на другую может быть взаимно однозначным лишь в том случае, когда эти группы имеют одинаковый порядок.) Взгимно однозначное гомоморфное отображение одной группы на другую называется изоморфным отображением, или изоморфизмом. Итак, изоморфизм групп - это отображение одной группы на другую, удовлетворяющее двум условиям:

1) для всех элементов а и b (гомоморфизм);

2) в том и только том случае, когда (взаимная однозначность).

Рассмотрим два примера таких отображений. В одном из них участвуют конечные группы, а в другом - бесконечные. Читателю следует обратить внимание на следующий факт: изоморфизм одной группы на другую означает, что они имеют одинаковую алгебраическую структуру. Именно по этой причине и существует изоморфизм одной группы на другую.

Пусть элементами группы Н служат корни уравнения

Групповая операция - обычное умножение. Рассмотрим циклическую группу таких вращений квадрата в его плоскости, в результате которых он совмещается с собой,

Обозначим через такое отображение группы на Н:

Очевидно, что f - взаимно однозначное отображение. Но будет ли оно гомоморфным? Чтобы ответить на этот вопрос, исследуем таблицу умножения группы (табл. 9.2) и сравним каждое произведение r с его образом (записанным под ним):

Таблица 9.2

Читатель легко проверит (учитывая равенство что образы элементов группы образуют таблицу умножения группы H. Таким образом,

и потому отображение f не только взаимно однозначно, но и гомоморфно. Значит, f - изоморфизм. В таких случаях мы будем говорить, что группы и Н изоморфны. Две группы изоморфны, если существует изоморфизм одной группы на другую. С точки зрения этого определения изоморфизм есть как свойство двух групп, так и свойство связывающего их отображения. Именно это свойство мы и имели в виду, когда говорили, что группы имеют одинаковую структуру.

Графы двух изоморфных групп изображены на рис. 9.7. Ясно, что эти графы совпадают с точностью до обозначений при вершинах и образующих.

В качестве второго примера изоморфных групп рассмотрим множество Р положительных действительных чисел и множество L их логарифмов. (Не важно, по какому основанию рассматриваются логарифмы, но для определенности будем считать, что они десятичные.)

Прежде всего отметим, что каждое из этих множеств является группой относительно бинарной операции, указанной в следующей таблице:

Докажем, что эти группы изоморфны и что отображение определенное формулой

есть изоморфизм. Каждый элемент множества L при указанном отображении f является образом некоторого элемента из Р. Итак, областью определения этого отображения служит множество всех положительных чисел, а областью значений - множество всех действительных чисел (рис. 9.8). Остается проверить, что

(1) для любых х и у из

(2) отображение взаимно однозначно.

Здесь нужно быть осторожным, чтобы не спутать операции в группах Р и L. Пусть - бинарная операция группы Р, а - бинарная операция группы

Тогда для любых двух элементов х, у группы Р