Комплексные числа логарифмическая функция для чайников. Комплексный логарифм

Приведены основные свойства логарифма, график логарифма, область определения, множество значений, основные формулы, возрастание и убывание. Рассмотрено нахождение производной логарифма. А также интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Область определения, множество значений, возрастание, убывание

Логарифм является монотонной функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства логарифма представлены в таблице.

Частные значения

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается так:

Логарифм по основанию e называется натуральным логарифмом :

Основные формулы логарифмов

Свойства логарифма, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Логарифмирование - это математическая операция взятия логарифма. При логарифмировании, произведения сомножителей преобразуются в суммы членов.
Потенцирование - это математическая операция обратная логарифмированию. При потенцировании заданное основание возводится в степень выражения, над которым выполняется потенцирование. При этом суммы членов преобразуются в произведения сомножителей.

Доказательство основных формул логарифмов

Формулы, связанные с логарифмами вытекают из формул для показательных функций и из определения обратной функции.

Рассмотрим свойство показательной функции
.
Тогда
.
Применим свойство показательной функции
:
.

Докажем формулу замены основания.
;
.
Полагая c = b , имеем:

Обратная функция

Обратной для логарифма по основанию a является показательная функция с показателем степени a .

Если , то

Если , то

Производная логарифма

Производная логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Для нахождения производной логарифма, его нужно привести к основанию e .
;
.

Интеграл

Интеграл от логарифма вычисляется интегрированием по частям : .
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
.
Выразим комплексное число z через модуль r и аргумент φ :
.
Тогда, используя свойства логарифма, имеем:
.
Или

Однако, аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Показательная функция вещественной переменной (при положительном основании) определяется в несколько приемов. Сперва, для натуральных значений - как произведение равных сомножителей. Затем определение распространяется на целые отрицательные и ненулевое значения для по правилам . Далее рассматриваются дробные показатели, при которых значение показательной функции определяется при помощи корней: . Для иррациональных значений определение связано уже с основным понятием математического анализа - с предельным переходом, из соображений непрерывности. Все эти соображения никак не применимы к попыткам распространить показательную функцию на комплексные значения показателя, и что такое, например, - совершенно непонятно.

Впервые степень с комплексным показателем при натуральном основании была введена Эйлером на основе анализа ряда построений интегрального исчисления. Иногда очень похожие алгебраические выражения при интегрировании дают совершенно разные ответы:

В то же время здесь второй интеграл формально получается из первого при замене на

Отсюда можно сделать заключение, что при надлежащем определении показательной функции с комплексным показателем обратные тригонометрические функции родственны логарифмам и тем самым показательная функция связана с тригонометрическими.

У Эйлера хватило смелости и фантазии дать разумное определение для показательной функции с основанием , именно,

Это определение, и потому данная формула не доказывается, можно лишь искать доводы в пользу разумности и целесообразности такого определения. Математический анализ доставляет очень много доводов этого рода. Мы ограничимся лишь одним.

Известно, что при вещественном имеет место предельное соотношение: . В правой части находится многочлен, имеющий смысл и при комплексных значениях для . Предел последовательности комплексных чисел определяется естественным образом. Последовательность считается сходящейся, если сходятся последовательности вещественных и мнимых частей и принимается

Найдем . Для этого обратимся к тригонометрической форме причем для аргумента будем выбирать значения из промежутка . При таком выборе ясно, что ибо . Далее,

Для предельного перехода нужно убедиться в существовании пределов для и и найти эти пределы. Ясно, что и

Итак, в выражении

вещественная часть стремится к , мнимая - к так что

Это несложное рассуждение дает один из доводов в пользу определения Эйлера показательной функции.

Установим теперь, что при умножении значений показательной функции показатели складываются. Действительно:

2. Формулы Эйлера.

Положим в определении показательной функции . Получим:

Заменив b на -b, получим

Складывая и вычитая почленно эти равенства, найдем формулы

носящие название формул Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной с мнимыми показателями.

3. Натуральный логарифм комплексного числа.

Комплексное число, заданное в тригонометрической форме можно записать в форме Эта форма записи комплексного числа называется показательной. Она сохраняет все хорошие свойства тригонометрической формы, но еще более краткая. Далее, Поэтому естественно считать, что так что вещественной частью логарифма комплексного числа оказывается логарифм его модуля, мнимой частью - его аргумент. Это в некоторой степени объясняет «логарифмическое» свойство аргумента - аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Показательная функция вещественной переменной (при положительном основании) определяется в несколько приемов. Сперва, для натуральных значений - как произведение равных сомножителей. Затем определение распространяется на целые отрицательные и ненулевое значения для по правилам . Далее рассматриваются дробные показатели, при которых значение показательной функции определяется при помощи корней: . Для иррациональных значений определение связано уже с основным понятием математического анализа - с предельным переходом, из соображений непрерывности. Все эти соображения никак не применимы к попыткам распространить показательную функцию на комплексные значения показателя, и что такое, например, - совершенно непонятно.

Впервые степень с комплексным показателем при натуральном основании была введена Эйлером на основе анализа ряда построений интегрального исчисления. Иногда очень похожие алгебраические выражения при интегрировании дают совершенно разные ответы:

В то же время здесь второй интеграл формально получается из первого при замене на

Отсюда можно сделать заключение, что при надлежащем определении показательной функции с комплексным показателем обратные тригонометрические функции родственны логарифмам и тем самым показательная функция связана с тригонометрическими.

У Эйлера хватило смелости и фантазии дать разумное определение для показательной функции с основанием , именно,

Это определение, и потому данная формула не доказывается, можно лишь искать доводы в пользу разумности и целесообразности такого определения. Математический анализ доставляет очень много доводов этого рода. Мы ограничимся лишь одним.

Известно, что при вещественном имеет место предельное соотношение: . В правой части находится многочлен, имеющий смысл и при комплексных значениях для . Предел последовательности комплексных чисел определяется естественным образом. Последовательность считается сходящейся, если сходятся последовательности вещественных и мнимых частей и принимается

Найдем . Для этого обратимся к тригонометрической форме причем для аргумента будем выбирать значения из промежутка . При таком выборе ясно, что ибо . Далее,

Для предельного перехода нужно убедиться в существовании пределов для и и найти эти пределы. Ясно, что и

Итак, в выражении

вещественная часть стремится к , мнимая - к так что

Это несложное рассуждение дает один из доводов в пользу определения Эйлера показательной функции.

Установим теперь, что при умножении значений показательной функции показатели складываются. Действительно:

2. Формулы Эйлера.

Положим в определении показательной функции . Получим:

Заменив b на -b, получим

Складывая и вычитая почленно эти равенства, найдем формулы

носящие название формул Эйлера. Они устанавливают связь между тригонометрическими функциями и показательной с мнимыми показателями.

3. Натуральный логарифм комплексного числа.

Комплексное число, заданное в тригонометрической форме можно записать в форме Эта форма записи комплексного числа называется показательной. Она сохраняет все хорошие свойства тригонометрической формы, но еще более краткая. Далее, Поэтому естественно считать, что так что вещественной частью логарифма комплексного числа оказывается логарифм его модуля, мнимой частью - его аргумент. Это в некоторой степени объясняет «логарифмическое» свойство аргумента - аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей.

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию , например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0 , непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

Натуральные логарифмы

При справедливо равенство

В частности,

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: .

Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки . Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:

• Химия - активность водородных ионов ().
• Теория музыки - нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция - пример римановой поверхности ; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна ; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1 , особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0 .

Исторический очерк

Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra » Михаэль Штифель , который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку , до появления карманных калькуляторов - незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли , а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» () Эйлер дал современные определения как показательной , так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Комплексный логарифм

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Даламбером и Эйлером. Бернулли и Даламбер считали, что следует определить log(-x) = log(x) . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной.

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

Логарифмические таблицы

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование , то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже - с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега () появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого . В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

• Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.