Главная

Как решать задачу ЕГЭ № 13 на показательные и логарифмические уравнения | 1С:Репетитор

Что нужно знать о показательных и логарифмических уравнениях для решения задач ЕГЭ по математике?

Во-первых , задание № 13 варианта КИМ ЕГЭ пусть нечасто, но все же иногда представляет собой именно такое уравнение, которое нужно не просто решить, но и (аналогично заданию по тригонометрии) выбрать корни уравнения, удовлетворяющие какому-либо условию.

Так, один из вариантов 2017 года включал следующее задание:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.

б) Ука­жи­те корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ответ: а) 2; log 2 7 и б) log 2 7.

В другом варианте было такое задание:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 6log 8 2 x – 5log 8 x + 1 = 0

б) Най­ди­те все корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку .

Ответ: а) 2 и 2√2 ; б) 2.

Встречалось и такое:

а) Ре­ши­те урав­не­ние 2log 3 2 (2cos x ) – 5log 3 (2cos x ) + 2 = 0.

б) Най­ди­те все корни этого уравнения, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку [π; 5π/2].

Ответ: а) {π/6 + 2πk; -π/6 + 2πk, k∊Z} и б) 11π/6; 13π/6.

Во-вторых , изучение методов решения показательных и логарифмических уравнений является хорошей , так как в основных методах решения и уравнений, и неравенств фактически используются одни и те же математические идеи.

Основные методы решения показательных и логарифмических уравнений несложно запомнить, их всего пять: сведение к простейшему уравнению, использование равносильных переходов, введение новых неизвестных, логарифмирование и разложение на множители. Отдельно стоит метод использования свойств показательной, логарифмической и других функций при решении задач: иногда ключом к решению уравнения является область определения, область значений, неотрицательность, ограниченность, четность входящих в него функций.

Как правило, в задаче № 13 встречаются уравнения, требующие применения перечисленных выше пяти основных методов. Каждый из этих методов имеет свои особенности, которые необходимо знать, так как именно их незнание приводит к ошибкам при решении задач.

Какие типичные ошибки совершают экзаменуемые?

Нередко при решении уравнений, содержащих показательно-степенную функцию, школьники забывают рассмотреть один из случаев выполнения равенства. Как известно, уравнения такого вида равносильны совокупности двух систем условий (см. ниже), речь идет о случае, когда a(x ) = 1

Данная ошибка связана с тем, что решая уравнение экзаменуемый формально использует определение показательной функции (y = ax , a>0, a ≠ 1): при а ≤ 0 показательная функция действительно не определена,

А вот при а = 1 определена, но не является показательной, так как единица в любой действительной степени тождественно равна самой себе. А значит если в рассматриваемом уравнении при а (x ) = 1 возникает верное числовое равенство, то соответствующие значения переменной будут корнями уравнения.

Еще одна ошибка – применение свойств логарифмов без учета области допустимых значений. Например, хорошо знакомое многим свойство «логарифм произведения равен сумме логарифмов», оказывается, имеет обобщение:
log a (f (x )g (x )) = log a │f (x )│ + log a │g(x )│, при f (x )g (x ) > 0, a > 0, a ≠ 1

Действительно, для того, чтобы было определено выражение в левой части этого равенства, достаточно, чтобы произведение функций f и g было положительным, но сами функции при этом могут быть как одновременно больше, так и одновременно меньше нуля, поэтому при применении данного свойства необходимо использовать понятие модуля.

И таких примеров можно привести немало. Поэтому для эффективного освоения методов решения показательных и логарифмических уравнений лучше всего воспользоваться услугами , который сумеет рассказать о подобных «подводных камнях» на примерах решения соответствующих экзаменационных задач.

Регулярно тренируйтесь в решении задач

Чтобы начать заниматься на портале «1С:Репетитор», достаточно .
Вы можете:

Все курсы состоят из методически правильной последовательности теории и практики, необходимой для успешного решения задач. Включают теорию в форме текстов, слайдов и видео, задачи с решениями, интерактивные тренажеры, модели, и тесты.

Остались вопросы? Позвоните нам по телефону 8 800 551-50-78 или напишите в онлайн-чат.

Здесь ключевые фразы, чтобы поисковые роботы лучше находили наши советы:
Как решать задание 13 в экзамене ЕГЭ, задачи на логарифмы, ким ЕГЭ 2017, подготовка к ЕГЭ профиль математика, Математика профиль, решение уравнений и логарифмов, решение задач на показательные уравнения ЕГЭ, вычисление свойств логарифмов, показательно-степенная функция, задачи по математике профильного уровня, применение свойств логарифмов, решение задач на корни, задачи ЕГЭ 2017 по показательным уравнениям, подготовка к егэ выпускникам 11 класса в 2018 году, поступающим в технический вуз.

В задании №12 ЕГЭ по математике профильного уровня нам необходимо найти наибольшее или наименьшее значение функции. Для этого необходимо воспользоваться, очевидно, производной. Посмотрим на типовом примере.

Разбор типовых вариантов заданий №12 ЕГЭ по математике профильного уровня

Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)

Найти точку максимума функции y = ln(x+4) 2 +2x+7.

Алгоритм решения:

1. Находим производную.
2. Записываем ответ.

Решение:

1. Ищем значения х, при которых логарифм имеет смысл. Для этого решаем неравенство:

Поскольку квадрат любого числа неотрицателен. Решением неравенства будет лишь то значение х, при котором х+4≠ 0, т.е. при х≠-4.

2. Находим производную:

у’=(ln(x+4) 2 + 2x + 7)’

По свойству логарифма получаем:

у’=(ln(x+4) 2)’+(2x)’+(7)’.

По формуле производной сложной функции:

(lnf)’=(1/f)∙f’. У нас f=(x+4) 2

у, = (ln(x+4) 2)’+ 2 + 0 = (1/(x+4) 2)∙((x+4) 2)’ + 2=(1/(x+4) 2 2)∙(х 2 + 8х + 16)’ +2=2(х + 4) /((х + 4) 2) + 2

у’= 2/(х + 4) + 2

3. Приравниваем производную к нулю:

у, = 0 → (2+2∙(х + 4))/(х + 4)=0,

2 +2х +8 =0, 2х + 10 = 0,

Второй вариант задания (из Ященко, №1)

Найдите точку минимума функции y = x – ln(x+6) + 3.

Алгоритм решения:

1. Определяем область определения функции.
2. Находим производную.
3. Определяем, в каких точках производная равна 0.
4. Исключаем точки, не принадлежащие области определения.
5. Среди оставшихся точек ищем значения х, в которых функция имеет минимум.
6. Записываем ответ.

Решение:

1. ОДЗ: .

2. Найдем производную функции:

3. Приравниваем полученное выражение к нулю:

4. Получили одну точку x=-5, принадлежащую области определения функции.

5. В этой точке функция имеет экстремум. Проверим, минимум ли это. При х=-4

При х=-5,5 производная функции отрицательна, так как

Значит, точка х=-5 является точкой минимума.

Третий вариант задания (из Ященко, №12)

Алгоритм решения:.

1. Находим производную.
2. Определяем, в каких точках производная равна 0.
3. Исключаем точки, не принадлежащие заданному отрезку.
4. Среди оставшихся точек ищем значения х, в которых функция имеет максимум.
5. Находим значения функции на концах отрезка.
6. Ищем среди полученных значений наибольшее.
7. Записываем ответ.

Решение:

1. Вычисляем производную от функции, получим

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и в последствии подтвердить это, -
что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
Г.Лейбниц

ТИП УРОКА: Закрепление и совершенствование знаний.

• Дидактическая - Повторить и закрепить свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепить методы решения наибольшего и наименьшего значения функции; совершенствовать применение полученных знаний при решении задач ЕГЭ С1 и С3;
• Развивающая - Развитие логического мышления, памяти, познавательного интереса, продолжить формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение анализировать;
• Воспитательная - Приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению общаться, прививать аккуратность.

Оборудование: классная доска, компьютер, проектор, экран, карточки с заданиями теста, с заданиями для работы всех обучающихся.

Формы работы: ф ронтальная, индивидуальная, коллективная.

ХОД УРОКА

1. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

2. ПОСТАНОВКА ЦЕЛИ

3. ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

4. АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Проанализировать: в каких заданиях ЕГЭ встречаются логарифмы.

(В-7-простейшие логарифмические уравнения

В-11-преобразование логарифмических выражений

В-12- задачи физического содержания, связанные с логарифмами

В-15- нахождение наибольшего и наименьшего значения функции

С-1- тригонометрические уравнения, содержащие логарифм

С-3 – система неравенств, содержащая логарифмическое неравенство)

На данном этапе проводится устная работа, в ходе которой учащиеся не только вспоминают свойства логарифмов, но и выполняют простейшие задания ЕГЭ.

1) Определение логарифма. Какие вы знаете свойства логарифма? (и условия?)

1. log b b = 1
2. log b 1 = 0, 3. log c (ab) = log c a + log c b.
4. log c (a:b) = log c a – log c b.
5. log c (b k) = k * log c

2) Какая функция называется логарифмической? D(у) -?

3) Что такое десятичный логарифм? ()

4) Что такое натуральный логарифм? ()

5) Что такое число е?

6) Чему равна производная от ? ()

7) Чему равна производная от натурального логарифма?

5. УСТНАЯ РАБОТАдля всех обучающихся

Вычислить устно: (задания В-11)

= = = =

152 1 144 -1/2

6. Самостоятельная деятельность учащихся по решению заданий

В-7 с последующей проверкой

Решите уравнения (первые два уравнения проговаривают устно, а остальные решает самостоятельно весь класс и записывает решение в тетрадь):

(Пока ученики работают на месте самостоятельно, к доске выходят 3 ученика и работают по индивидуальным карточкам)

После проверки с места 3-5 уравнений, ребятам предлагается доказать, что уравнение не имеет решения (устно)

7. Решение В-12 - (задачи физического содержания, связанные с логарифмами)

Весь класс решает задачу (у доски 2 человека: 1-й решает вместе с классом, 2-й решает аналогичную задачу самостоятельно)

8. УСТНАЯ РАБОТА (вопросы)

Вспомнить алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и на промежутке.

Работа на доске и в тетради.

(прототип В15 - ЕГЭ)

9. Мини-тест с самоконтролем.

№	1 вариант	2 вариант
1.	=
2.
3.
4.
5.
6.	Найдите наибольшее значение функции 11.Выступление учащихся в роли экспертов Ребятам предлагается оценить работу ученика – задание С-1, выполненную на экзаменационном бланке – 0,1,2 баллами (см.презентацию) 12. ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ Учитель поясняет домашнее задание, обращая внимание на то, что аналогичные задания были рассмотрены на уроке. Учащиеся внимательно прослушав пояснения учителя, записывают домашнее задание. ФИПИ (открытый банк заданий: раздел геометрия, 6-я страница) uztest.ru (преобразование логарифмов) С3 – задание второй части ЕГЭ 13. ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ Сегодня на уроке мы повторили свойства логарифмов; логарифмические уравнения; закрепили методы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции; рассмотрели задачи физического содержания, связанные с логарифмами; решали задачи С1 и С3, которые предлагаются на ЕГЭ по математике в прототипах В7, В11, В12, В15, С1 и С3. Выставление оценок.