Найти расстояние от точки до плоскости векторы. Задачи c2 единого государственного экзамена по математике на нахождение расстояния от точки до плоскости
- Плоскость в пространстве задана уравнением 3x-4y+2z+5=0, найдите расстояние от нее до точки M(3;-2;6).
Дано:
$$ x_0 = 3, \quad y_0 = -2, \quad z_0 = 6 $$
$$ A = 3, \quad B = -4, \quad C = 2, \quad D = 5 $$
Решение:Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости, которое равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость:
$$ p = {| A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|} \over \sqrt{(A^2 + B^2 + C^2)} $$
где A, B, C, D – коэффициенты уравнения плоскости, а x0, y0, z0 – координаты точки.
Произведем подстановку:
$$ \frac{|3 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2)+2 \cdot 6 + 5 |}{ \sqrt{(3^2 + (-4)^2 + 2^2)} } = \frac{|9+8+12+5|}{\sqrt{(9+16+4)}} =6,314$$ (линейных единиц)
Ответ: - Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром равным 1 см. Вычислите расстояние от точки А1 до плоскости, определяемой точками В, D и C1.
Решение:
Для решения задачи применим координатный метод. Начало системы координат расположим в точке А. Ось x совместим с ребром AD, ось у – с ребром АВ, ось z – с ребром АА1.
Тогда координаты точки А1 (0;0;1), точек В (0; 1; 0), D (1; 0; 0), C1(1; 1; 1). Поставив в общее уравнение для плоскости A·x+B·y+C·z+D=0 координаты каждой из точек, получим систему из трех уравнений, решив которую найдем коэффициенты и уравнение плоскости x+y-z-1=0.
$$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{(A^2 + B^2 + C^2)} } $$, произведем подстановку:
$$ p = \frac{ |1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 - 1| }{ \sqrt{(1+1+1)} } = 1,155 см$$
Ответ:$$ R = 1,155 см $$
- Найдите расстояние то точки М (2;4;-7) до плоскости XOY.
Решение:
Уравнение плоскости XOY представляет собой частный случай, ее уравнение z=0. Применим формулу:
$$ p = \frac{ | A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ (A^2 + B^2 + C^2) } $$ , где A=0, B=0, С=1, D=0, x0=2, y0=4, z0=-7.
Произведем подстановку:
$$ p = \frac{ |0 \cdot 2 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot (-7)) + 0| }{ \sqrt{(0^2 + 0^2 + 1^2)} } = 7$$
Ответ: - Плоскость определяется репером из трех точек с координатами в прямоугольной системе А1 (0;2;1), В1(2;6;1), С1(4;0;-1). Определите, на каком расстоянии от нее находится точка с координатами М (5;-3;10).
Решение:
Для того чтобы определить расстояние от точки до плоскости воспользуемся формулой
$$ p= \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } $$
Чтобы воспользоваться нею, необходимо вывести уравнение плоскости, определенной точками А1, В1 и С1. Общий вид этого уравнения A·x+B·y+C·z+D=0. Воспользовавшись одним из методов выведения уравнения плоскости (система уравнений с координатами точек или определитель) находим уравнение плоскости, получим $$2x-y+5z-3=0$$.
Подставим полученные коэффициенты уравнения и координаты точки в формулу:
$$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } = \frac{ |2 \cdot 5 - (-3) + 5 \cdot 10 - 3|}{ \sqrt{ (2^2 + (-1)^2 + 5^2) } } = 10,95 $$
Ответ: - Найдите расстояние от плоскости 4x-6y-4z+7=0 до начала системы координат точки О.
Дано:
$$ x_0 = 0, \quad y_0 = 0, \quad z_0 = 0 $$
$$ A = 4, \quad B = -6, \quad C = -4, \quad D = 7 $$
Решение:Координаты начала системы координат О(0;0;0). Воспользуемся формулой:
$$ p= \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } $$ Для плоскости $$4x-6y-4z+7=0$$,
$$ A=4, $$
$$ B=-6, $$
$$ C=-4, $$
$$ D=7. $$Подставим значения:
$$ p = \frac{ |A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D| }{ \sqrt{ (A^2 + B^2 + C^2) } } = \frac{ |4 \cdot 0 - 6 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 7|}{ \sqrt{ (4^2 + (-6)^2 + (-4)^2) } } = 0,85 $$
Ответ:
Условия параллельности и перпендикулярности
1°. Условие компланарности двух плоскостей
Пусть даны две плоскости:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)
A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)
Когда они компланарны (т. е. параллельны или совпадают)? Очевидно, это будет тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны. Применяя критерий компланарности, получаем
Предложение 1. Две плоскости компланарны тогда и только тогда, когда векторное произведение их нормальных векторов равно нулевому вектору:
[n 1 , n 2 ] = 0 .
2°. Условие совпадения двух плоскостей
Предложение 2. Плоскости (1) и (2) совпадают тогда и только тогда, когда все четыре их коэффициента пропорциональны, т. е. существует такое число λ, что
A 2 = λA 1 , B 2 = λB 1 , C 2 = λC 1 , D 2 = λD 1 . (3)
Доказательство. Пусть условия (3) выполнены. Тогда уравнение второй плоскости может быть записано так:
λA 1 x + λB 1 y + λC 1 z + λD 1 = 0.
λ ≠ 0, иначе было бы A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, что противоречит условию n 2 ≠ 0 . Следовательно, последнее уравнение эквивалентно уравнению (1), а это означает, что две плоскости совпадают.
Пусть теперь, наоборот, известно, что данные плоскости совпадают. Тогда их нормальные векторы коллинеарны, т. е. существует такое число λ такое, что
A 2 = λA 1 , B 2 = λB 1 , C 2 = λC 1 .
Уравнение (2) можно теперь переписать в виде:
λA 1 x + λB 1 y + λC 1 z + D 2 = 0.
Умножим уравнение (1) на λ, получим равносильное уравнение первой плоскости (т. к. λ ≠ 0):
λA 1 x + λB 1 y + λC 1 z + λD 1 = 0.
Возьмём какую-нибудь точку (x 0 , y 0 , z 0) из первой (а следовательно, и второй) плоскости и подставим её координаты в последние два уравнения; получим верные равенства:
λA 1 x 0 + λB 1 y 0 + λC 1 z 0 + D 2 = 0 ;
λA 1 x 0 + λB 1 y 0 + λC 1 z 0 + λD 1 = 0.
Вычитая из верхнего нижнее, получим D 2 − λD 1 = 0, т. е. D 2 = λD 1 , QED.
3°. Условие перпендикулярности двух плоскостей
Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы были перпендикулярны.
Предложение 3. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда скалярное произведение нормальных векторов равно нулю:
(n 1 , n 2) = 0 .
Пусть дано уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0, n = {A ; B ; C } ≠ 0 ,
и точка M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Выведем формулу расстояния от точки до плоскости:
Возьмём произвольную точку Q = (x 1 , y 1 , z 1), лежащую в данной плоскости. Её координаты удовлетворяют уравнению плоскости:
Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0.
Заметим теперь, что искомое расстояние d равно абсолютной величине проекции вектора на направление вектора n (здесь мы берём проекцию как числовую величину, а не как вектор). Далее применяем формулу для вычисления проекции:
Аналогичная формула справедлива для расстояния d от точки M 0 = (x 0 , y 0) плоскости до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0.
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до заданной плоскости. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до плоскости введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".
×
Предупреждение
Очистить все ячейки?
Закрыть Очистить
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Расстояние от точки до плоскости − теория, примеры и решения
Для нахождения расстояния от точки M 0 до плоскости α , необходимо найти расстояние от точки M 0 до проекции точки M 0 на плоскость α :
Нахождение расстояния от точки до плоскости содержит следующие шаги:
- построение прямой L , проходящей через точку M 0 и перпендикулярной плоскости α .
- нахождение точки M 1 пересечения плоскости α с прямой L (Рис.1).
- вычисление расстояния между точками M 0 и M 1 .
где n (A,B,C )− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и имеющий направляющий вектор q (l, m, n ) имеет следующий вид:
Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α , проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее
A 2 t +Ax 0 +B 2 t +By 0 +C 2 t +Cz 0 +D =0, |
Учитывая значение параметра t , имеем:
Нормальный вектор плоскости имеет вид:
n =(5, 1, 2), |
т.е. A =5, B =1, C =2.
Координаты точки M 0: x 0 =2, y 0 =−1, z 0 =−9/31.
Подставляя координаты точки M 0 и нормального вектора плоскости в (5), получим.
Рассмотрим в пространстве некоторую плоскость π и произвольную точку M 0 . Выберем для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке М 1 ∈ π, и пусть р(М 0 ,π) - расстояние от точки М 0 до плоскости π. Тогда (рис. 5.5)
р(М 0 ,π) = | пр n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)
так как |n| = 1.
Если плоскость π задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, то ее нормальным вектором является вектор с координатами {A; B; C} и в качестве единичного нормального вектора можно выбрать
Пусть (x 0 ; y 0 ; z 0) и (x 1 ; y 1 ; z 1) координаты точек M 0 и M 1 . Тогда выполнено равенство Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, так как точка M 1 принадлежит плоскости, и можно найти координаты вектора M 1 M 0 : M 1 M 0 = {x 0 -x 1 ; y 0 -y 1 ; z 0 -z 1 }. Записывая скалярное произведение nM 1 M 0 в координатной форме и преобразуя (5.8), получаем
поскольку Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Итак, чтобы вычислить расстояние от точки до плоскости нужно подставить координаты точки в общее уравнение плоскости, а затем абсолютную величину результата разделить на нормирующий множитель, равный длине соответствующего нормального вектора.
, Конкурс «Презентация к уроку»
Класс: 11
Презентация к уроку
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цели:
- обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
- развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.
Оборудование:
- мультимедийный проектор;
- компьютер;
- листы с текстами задач
ХОД ЗАНЯТИЯ
I. Организационный момент
II. Этап актуализации знаний (слайд 2)
Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости
III. Лекция (cлайды 3-15)
На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.
Первый метод: поэтапно-вычислительный
Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на прямой a,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от
произвольной точки Р, лежащей на плоскости β,
которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α.
Решим следующие задачи:
№1. В кубе А…D 1 найти расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.
Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.
№2. В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .
Следующий метод: метод объемов .
Если объем пирамиды АВСМ равен V, то
расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство
объемов одной фигуры, выраженные двумя
различными способами.
Решим следующую задачу:
№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если.
При решении задач координатным методом расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле ρ(М; α) = , где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0
Решим следующую задачу:
№4. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .
Введем систему координат с началом в точке А,
ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z
– по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В
(0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через
точки В, D, C 1 .
Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Следовательно, ρ =
Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.
Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.
Решим следующую задачу:
№5. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки D 1 до плоскости АВ 1 С.
Рассмотрим применение векторного метода.
№6. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDС 1 .
Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.
IV. Работа в группах
Попробуйте решить задачу разными способами.
№1. Ребро куба А…D 1 равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .
№2. В правильном тетраэдре АВСD с ребром найдите расстояние от точки А до плоскости BDC
№3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости ВСА 1 .
№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости SCD.
V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия