В этой главе в основном рассмотрены методы решения задач, в которых закон движения точки выражен так называемым естественным способом: уравнением s=f(t) по заданной траектории *.

* Решения задач, в которых закон движения задан координатным способом, рассмотрены в конце главы (§ 31).

В этом случае главными параметрами, характеризующими движение точки но заданной траектории, являются: s - расстояние от заданного начального положения и t - время.

Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью (v на рис. 192). Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:
v = ds/dt или v = f"(t).

Ускорение a точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость - вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.

Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным (тангенсальным) ускорением a t - составляющей полного ускорения a, направленной по касательной к траектории (см. рис. 192).

Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле
a t = dv/dt или a t = f""(t).

Быстрота изменения направления скорости характеризуется центростремительным (нормальным) ускорением a n - составляющей полного ускорения a, направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (см. рис. 192).

Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле
a n = v 2 /R,
где v - модуль скорости точки в данный момент;
R - радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.

После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение a (полное ускорение точки ).

Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения а можно определить при помощи теоремы Пифагора:
a = sqrt(a t 2 + a n 2).

Направление вектора a можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул:
sin α = a n /a; cos α = a t /a; tg α = a n /a t .

Но можно сначала определить направление полного ускорения a использовав формулу tg α = a n /a t ,
а затем найти числовое значение a:
a = a n /sin α или a = a t /cos α.

Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки.

Наличие касательного ускорения (a t ≠0) или его отсутствие (a t =0) определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки.

Наличие нормального ускорения (a n ≠0) или его отсутствие (a n =0) определяют криволинейность или прямолинейность движения точки.

Движение точки можно классифицировать так:
а) равномерное прямолинейное (a t = 0 и a n = 0);
б) равномерное криволинейное (a t = 0 и a n ≠ 0);
в) неравномерное прямолинейное (a t ≠ 0 и a n = 0);
г) неравномерное криволинейное (a t ≠ 0 и a n ≠ 0).

Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам: по степени неравномерности движения и по виду траектории.

Степень неравномерности движения точки задана уравнением s=f(t), а вид траектории задается непосредственно.

§ 27. Равномерное прямолинейное движение точки

Если a t =0 и a n =0, то вектор скорости остается постоянным (v=const), т. е. не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Такое движение называется равномерным прямолинейным .

Уравнение равномерного движения имеет вид
(а) s = s 0 + vt
или в частном случае, когда начальное расстояние s 0 =0,
(б) s = vt.

В уравнение (а) входит всего четыре величины, из них две переменные: s и t и две постоянные: s 0 и v. Поэтому в условии задачи на равномерное и прямолинейное движение точки должны быть заданы три любые величины.

При решении задач необходимо выяснить все заданные величины и привести их к одной системе единиц. При этом нужно заметить, что как в системе МКГСС (технической), так и в СИ единицы всех кинематических величин одинаковы: расстояние s измеряется в м, время t - в сек, скорость v - в м/сек.

§ 28. Равномерное криволинейное движение точки

Если a t = 0 и a n ≠ 0, то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно), но ее направление изменяется и точка движется криволинейно. Иначе, при равномерном движении по криволинейной траектории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное
a n = v 2 /R,
где R - радиус кривизны траектории.

В частном случае движения точки по окружности (или по дуге окружности) радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный:
R = r = const,
а так как и числовое значение скорости постоянно, то
a n = v 2 /r = const.

При равномерном движении числовое значение скорости определяется из формулы
v = (s - s 0)/t или v = s/t.

Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь s равен длине окружности, т. е. s = 2πr = πd (d = 2r - диаметр), а время равно периоду, т. е. t = T. Выражение скорости примет вид
v = 2πr/T = πd/T.

§ 29. Равнопеременное движение точки

Если вектор a t =const (касательное ускорение постоянно как по модулю, так и по направлению), то a n =0. Такое движение называется равнопеременным и прямолинейным .

Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения
a t = dv/dt = f"(t) = const,
то a n ≠0 и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным .

При |a t |>0 движение точки называется равноускоренным , а при |a t |<0 - равнозамедленным .

Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид
(1) s = s 0 + v 0 t + a t t 2 / 2.

Здесь s 0 - расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; v 0 - начальная скорость и a t - касательное ускорение - величины численно постоянные, a s и t - переменные.

Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения
(2) v = v 0 + a t t.

Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: s 0 , v 0 , a t и три переменные: s, v, t.

Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).

Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны a t и t, то для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:

после исключения a t из (1) и (2)
(3) s = s 0 + (v + v 0)t / 2;

после исключения t из (1) и (2)
(4) s = s 0 + (v 2 - v 0 2) / (2a t).

В частном случае, когда начальные величины s 0 =0 и v 0 =0 (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:
(5) s = a t t 2 / 2;
(6) v = a t t;
(7) s = vt / 2;
(8) s = v 2 / (2a t).

Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) - вспомогательными.

Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением . К этому движению применимы формулы (5)-(8), причем
a t = g = 9,81 м/сек 2 ≈ 9,8 м/сек 2 .

§ 30. Неравномерное движение точки по любой траектории

§ 31. Определение траектории, скорости и ускорения точки, если закон ее движения задан в координатной форме

Если точка движется относительно некоторой системы координат, то координаты точки изменяются с течением времени. Уравнения, выражающие функциональные зависимости координат движущейся точки от времени, называют уравнениями движения точки в системе координат (см. § 51, п. 2 в учебнике Е. М. Никитина).

Движение точки в пространстве задается тремя уравнениями:
x = f 1 (t);
(1) y = f 2 (t);
z = f 3 (t);

Движение точки в плоскости (рис. 203) задается двумя уравнениями:
(2) x = f 1 (t);
y = f 2 (t);

Системы уравнений (1) или (2) называют законом движения точки в координатной форме .

Ниже рассматривается движение точки в плоскости, поэтому используется только система (2).

Если закон движения точки задан в координатной форме, то:

а) траектория плоского движения точки выражается уравнением
y = F(x),
которое образуется из данных уравнений движения после исключения времени t;

б) числовое значение скорости точки находится из формулы
v = sqrt(v x 2 + v y 2)
после предварительного определения проекции (см. рис. 203) скорости на оси координат
v x = dx/dt и v y = dy/dt;

в) числовое значение ускорения находится из формулы
a = sqrt(a x 2 + a y 2)
после предварительного определения проекций ускорения на оси координат
a x = dv x /dt и a y = dv y /dt;

г) направления скорости и ускорения относительно осей координат определяются из тригонометрических соотношений между векторами скорости или ускорения и их проекциями.

§ 32. Кинематический способ определения радиуса кривизны траектории

При решении многих технических задач возникает необходимость знать радиус кривизны R (или 1/R - кривизну ) траектории. Если задано уравнение траектории, то радиус ее кривизны в любой точке можно определить при помощи дифференциального исчисления. Используя уравнения движения точки в координатной форме, можно определять радиус кривизны траектории движущейся точки без непосредственного исследования уравнения траектории. Определение радиуса кривизны траектории при помощи уравнений движения точки в координатной форме называется кинематическим способом. Этот способ основан на том, что радиус кривизны траектории движущейся точки входит в формулу
a n = v 2 /R,
выражающую числовое значение нормального ускорения.

Отсюда
(а) R = v 2 /a n .

Скорость v точки определяется по формуле
(б) v = sqrt(v x 2 + v y 2).

Следовательно,
(б") v 2 = v x 2 + v y 2 .

Числовое значение нормального ускорения a n входит в выражение полного ускорения точки
a = sqrt(a n 2 + a t 2),
откуда
(в) a n = sqrt(a 2 - a t 2),
где квадрат полного ускорения
(г) a 2 = a x 2 + a y 2
и касательное ускорение
(д) a t = dv/dt.

Таким образом, если закон движения точки задан уравнениями
x = f 1 (t);
y = f 2 (t),
то при определении радиуса кривизны траектории рекомендуется произвести следующее:

1. Продифференцировав уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора скорости:
v x = f 1 "(t);
v y = f 2 "(t).

2. Подставив в (б") выражения v x и v y , найти v 2 .

3. Продифференцировав по t уравнение (б), полученное непосредственно из (б"), найти касательное ускорение a t , а затем a t 2 .

4. Продифференцировав вторично уравнения движения, найти выражения проекций на оси координат вектора ускорения
a x = f 1 ""(t) = v x ";
a y = f 2 ""(t) = v y ".

5. Подставив в (г) выражения a x и a y , найти a 2 .

6. Подставить в (в) значения a 2 и a t 2 и найти a n .

7. Подставив в (а) найденные значения v 2 и a n , получить радиус кривизны R.

Пусть теперь известна функция . На рис. 5.10
и
 векторы скорости движущейся точки в моменты t и t . Чтобы получить приращение вектора скорости
перенесем параллельно вектор
в точкуМ :

Средним ускорением точки за промежуток времени t называется отношение приращения вектора скорости
к промежутку времениt :

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной радиус-вектора по времени

. (5.11)

Ускорение точки  это векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости по времени.

Построим годограф скорости (рис.5.11). Годографом скорости по определению является кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости откладывается из одной и той же точки.

Определение скорости точки при координатном способе задания её движения

Пусть движение точки задано координатным способом в декартовой системе координат

х = x (t ), y = y (t ), z = z (t )

Радиусвектор точки равен

.

Так как единичные векторы
постоянны, то по определению

. (5.12)

Обозначим проекции вектора скорости на оси Ох , Оу и Oz через V x , V y , V z

(5.13)

Сравнивая равенства (5.12) и (5.13) получим

(5.14)

В дальнейшем производную по времени будем обозначать точкой сверху, т.е.

.

Модуль скорости точки определяется формулой

. (5.15)

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:

Определение ускорения точки при координатном способе задания её движения

Вектор скорости в декартовой системе координат равен

.

По определению

Обозначим проекции вектора ускорения на оси Ох , Оу и Oz через а x , а y , а z соответственно и разложим вектор скорости по осям:

. (5.17)

Сравнивая равенства (5.16) и (5.17) получим

Модуль вектора ускорения точки вычисляется аналогично модулю вектора скорости точки:

, (5.19)

а направление вектора ускорения  направляющими косинусами:

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения

Орты илежат всоприкасающейся плоскости , орты ивнормальной плоскости , орты и в спрямляющей плоскости .

Полученный трехгранник называется естественным.

Пусть задан закон движения точки s = s (t ).

Радиус вектор точкиМ относительно какойлибо фиксированной точки будет сложной функцией времени
.

Из дифференциальной геометрии известны формулы СерреФрене, устанавливающие связи между единичными векторами естественных осей и векторфункцией кривой

где   радиус кривизны траектории.

Используя определение скорости и формулы СерреФрене, получим:

. (5.20)

Обозначая проекцию скорости на касательную и учитывая, что вектор скорости направлен по касательной, имеем

. (5.21)

Сравнивая равенства (5.20) и (5.21), получим формулы для определения вектора скорости по величине и направлению

Величина положительна, если точкаМ движется в положительном направлении отсчета дуги s и отрицательна в противоположном случае.

Используя определение ускорения и формулы СерреФрене, получим:

Обозначим проекцию ускорения точки на касательную, главную нормаль и бинормаль
соответственно.

Тогда ускорение равно

Из формул (5.23) и (5.24) следует, что вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается по направлениям и:

(5.25)

Проекция ускорения на касательную
называетсякасательным или тангенциальным ускорением . Оно характеризует изменение величины скорости.

Проекция ускорения на главную нормаль
называетсянормальным ускорением . Оно характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Модуль вектора ускорения равен
.

Если иодного знака, то движение точки будет ускоренным.

Если иразных знаков, то движение точки будет замедленным.

Введем единичный вектор τ, связанный с движущейся точкой A и направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты (рис. 1.6). Очевидно, что τ - переменный вектор: он зависит от l. Вектор скорости v точки A направлен по касательной к траектории, поэтому его можно представить так

где v τ =dl/dt - проекция вектора v на направление вектора τ, причем v τ - величина алгебраическая. Кроме того, |v τ |=|v|=v.

Ускорение точки

Продифференцируем (1.22) по времени

(1.23)

Преобразуем последний член этого выражения

(1.24)

Определим приращение вектора τ на dl (рис. 1.7).

Как видно из рис. 1.7, угол , откуда , причем при .

Введя единичный вектор n нормали к траектории в точке 1, направленный к центру кривизны, запишем последнее равенство в векторном виде

Подставим (1.23) в (1.24) и полученное выражение в (1.22). В результате найдем

(1.26)

Здесь первое слагаемое называют тангенциальным a τ , второе - нормальным a n .

Таким образом, полное ускорение a точки может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорений.

Модуль полного ускорения точки

(1.27)

Направлено оно в сторону вогнутости траектории под углом α к вектору скорости, причем .

Если угол α острый, то tgα>0, следовательно, dv/dt>0, так как v 2 /R>0 всегда.

В данном случае величина скорости возрастает с течением времени - движение называют ускоренным (рис. 1.8).

В том случае, когда скорость с течением времени уменьшается по величине, движение называется замедленным (рис. 1.9).

Если же угол α=90°, tgα=∞, то есть dv/dt=0. В этом случае скорость с течением времени по величине не изменяется, а полное ускорение будет равно центростремительному

(1.28)

В частности, полное ускорение равномерного вращательного движения (R=const, v=const) есть центростремительное ускорение, по величине равное a n =v 2 /R и направленное все время к центру.

При прямолинейном движении, наоборот, полное ускорение тела равно тангенциальному. В данном случае a n =0, так как прямолинейную траекторию можно считать окружностью бесконечно большого радиуса, а при R→∞; v 2 /R=0; a n =0; a=a τ .

Пусть теперь известна функция . На рис. 5.10
и
 векторы скорости движущейся точки в моменты t и t . Чтобы получить приращение вектора скорости
перенесем параллельно вектор
в точкуМ :

Средним ускорением точки за промежуток времени t называется отношение приращения вектора скорости
к промежутку времениt :

Следовательно, ускорение точки в данный момент времени равно первой производной по времени от вектора скорости точки или второй производной радиус-вектора по времени

. (5.11)

Ускорение точки  это векторная величина, характеризующая быстроту изменения вектора скорости по времени.

Построим годограф скорости (рис.5.11). Годографом скорости по определению является кривая, которую вычерчивает конец вектора скорости при движении точки, если вектор скорости откладывается из одной и той же точки.

Определение скорости точки при координатном способе задания её движения

Пусть движение точки задано координатным способом в декартовой системе координат

х = x (t ), y = y (t ), z = z (t )

Радиусвектор точки равен

.

Так как единичные векторы
постоянны, то по определению

. (5.12)

Обозначим проекции вектора скорости на оси Ох , Оу и Oz через V x , V y , V z

(5.13)

Сравнивая равенства (5.12) и (5.13) получим

(5.14)

В дальнейшем производную по времени будем обозначать точкой сверху, т.е.

.

Модуль скорости точки определяется формулой

. (5.15)

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:

Определение ускорения точки при координатном способе задания её движения

Вектор скорости в декартовой системе координат равен

.

По определению

Обозначим проекции вектора ускорения на оси Ох , Оу и Oz через а x , а y , а z соответственно и разложим вектор скорости по осям:

. (5.17)

Сравнивая равенства (5.16) и (5.17) получим

Модуль вектора ускорения точки вычисляется аналогично модулю вектора скорости точки:

, (5.19)

а направление вектора ускорения  направляющими косинусами:

Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания её движения

Орты илежат всоприкасающейся плоскости , орты ивнормальной плоскости , орты и в спрямляющей плоскости .

Полученный трехгранник называется естественным.

Пусть задан закон движения точки s = s (t ).

Радиус вектор точкиМ относительно какойлибо фиксированной точки будет сложной функцией времени
.

Из дифференциальной геометрии известны формулы СерреФрене, устанавливающие связи между единичными векторами естественных осей и векторфункцией кривой

где   радиус кривизны траектории.

Используя определение скорости и формулы СерреФрене, получим:

. (5.20)

Обозначая проекцию скорости на касательную и учитывая, что вектор скорости направлен по касательной, имеем

. (5.21)

Сравнивая равенства (5.20) и (5.21), получим формулы для определения вектора скорости по величине и направлению

Величина положительна, если точкаМ движется в положительном направлении отсчета дуги s и отрицательна в противоположном случае.

Используя определение ускорения и формулы СерреФрене, получим:

Обозначим проекцию ускорения точки на касательную, главную нормаль и бинормаль
соответственно.

Тогда ускорение равно

Из формул (5.23) и (5.24) следует, что вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается по направлениям и:

(5.25)

Проекция ускорения на касательную
называетсякасательным или тангенциальным ускорением . Оно характеризует изменение величины скорости.

Проекция ускорения на главную нормаль
называетсянормальным ускорением . Оно характеризует изменение вектора скорости по направлению.

Модуль вектора ускорения равен
.

Если иодного знака, то движение точки будет ускоренным.

Если иразных знаков, то движение точки будет замедленным.