Диаграмма Эйлера_Венна. презентация к уроку по математике (3 класс) на тему

Чтобы лучше представить себе множество, можно использовать рисунок, называемый диаграммой Эйлера_Венна.Это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а с наружи -элементы, не пренадлежащие множеству.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Диаграмма Венна Знаки ∈ и ∉ 3 класс Математика Петерсон Л.Г.

Любое множество А можно изобразить графически в виде замкнутой линии. Считается, что элементы множества (А) расположены внутри этой линии, а все элементы, которые не принадлежат множеству (А), - снаружи. Такая схема называется диаграммой Венна. a 2 m Например, диаграмму множества В = { 2, m , } можно нарисовать так: В

Знаки ∈ и ∉ a 2 m Предложение «Число 2 принадлежит множеству В» записывают короче: 2 ∈ В. Знак ∈ читают: «принадлежит» Предложение «Буква а не принадлежит множеству В» также можно записать короче: а ∉ В. Знак ∉ читают: «не принадлежит» В

e 8 b A 4 На рисунке изображена диаграмма множества А. Какие элементы принадлежат множеству А, а какие ему не принадлежат? b … A e … A … A 8 … A 4 … A … A ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∉ ∉ Прочти ещё раз полученные записи.

Отметь элементы, d, 10 , 5 на диаграмме множества С, если известно, что: ∈ С ∉ С С d ∉ C 10 ∈ C ∈ C 5 ∉ С d 10 5

Имеется множество М = {а, b, c, }. Какой знак поставить: ∈ или ∉ ? a … M … M c … M … M … M 8 … M ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉

D – множество двузначных чисел. Являются ли числа 26, 307, 8, 940, 15, 60 элементами множества D ? 26 … D 8 … D 15 … D 307 … D 940 … D 60 … D ∈ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ Отметим эти числа на диаграмме. 26 307 8 940 15 60 Назовите самое маленькое и самое большое число множества D. D = { 10 , …, …, … 99}

А – множество бабочек, а В – множество роз. Как построить диаграммы множеств А и В? Сколько бабочек принадлежит множеству А? Сколько роз принадлежит множеству В? Сколько общих элементов у множеств А и В?

Задание на дом. Стр.12 №11, 12

Wikispaces was founded in 2005 and has since been used by educators, companies and individuals across the globe.

Unfortunately, the time has come where we have had to make the difficult business decision to end the Wikispaces service.

We first announced the site closure in January 2018, through a site-wide banner that appeared to all logged-in users and needed to be clicked on to dismiss

During the closure period a range of banners were shown to users, including a countdown banner in the final month. Additionally, the home page of Wikispaces.com became a blog, detailing the reasons for the closure. Private Label Site Administrators were contacted separately regarding the closure

Why has Wikispaces closed?

Approximately 18 months ago, we completed a technical review of the infrastructure and software we used to serve Wikispaces users. As part of the review, it became apparent that the required investment to bring the infrastructure and code in line with modern standards was very substantial. We explored all possible options for keeping Wikispaces running but had to conclude that it was no longer viable to continue to run the service in the long term. So, sadly, we had to close the site - but we have been touched by the messages from users all over the world who began creating wikis with it and now running them on new platforms.

We would like to take this opportunity to thank you for your support over the years.

Некоторые задачи удобно и наглядно решать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Например, задачи на множества. Если Вы не знаете, что такое диаграммы Эйлера-Венна и как их строить, то сначала прочтите .

Теперь разберем типовые задачи о множествах.

Задача 1.

В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий. Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?

Ответ: 3.

Решение:

• множество школьников, изучающих английский ("А");
• множество школьников изучающих французский ("Ф");
• множество школьников изучающих немецкий ("Н").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию.

Обозначим искомую область А=1, Ф=1, Н=1 как "х" (в таблице ниже область №7). Выразим остальные области через х.

0) Область А=0, Ф=0, Н=0 : 24 школьника - дано по условию задачи.

1) Область А=0, Ф=0, Н=1 : 28-(8-х+х+13-х)=7+х школьников.

2) Область А=0, Ф=1, Н=0 : 26-(8-х+х+13-х)=5+х школьников.

3) Область А=0, Ф=1, Н=1 : 13-х школьников.

4) Область А=1, Ф=0, Н=0 : 48-(8-х+х+8-х)=32+х школьников.

5) Область А=1, Ф=0, Н=1 : 8-х школьников.

6) Область А=1, Ф=1, Н=0 : 8-х школьников.

Определим х:

24+7+(х+5)+х+(13-х)+(32+х)+(8-х)+(8-х)+х=100.

х=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Получили, что 3 школьника изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий.

Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:

Задача 2.

На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600. 600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300 человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?

Ответ: 100.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество задач по алгебре ("А");
• множество задач по геометрии ("Г");
• множество задач по тригонометрии ("Т").

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0 как "х" (в таблице ниже область №0).

Найдем остальные области:

1) Область А=0, Г=0, Т=1 : школьников нет.

2) Область А=0, Г=1, Т=0 : школьников нет.

3) Область А=0, Г=1, Т=1 : 100 школьников.

4) Область А=1, Г=0, Т=0 : школьников нет.

5) Область А=1, Г=0, Т=1 : 200 школьников.

6) Область А=1, Г=1, Т=0 : 300 школьников.

7) Область А=1, Г=1, Т=1 : 300 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.

A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.

Получили, что 100 школьников не решило ни одной задачи.

Задача 3.

На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике - 350, по оптике - 300. 300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 - по кинематике и оптике, 150 - по термодинамике и оптике. 100 человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?

Ответ: 350.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество задач по кинематике ("К");
• множество задач по термодинамике ("Т");
• множество задач по оптике ("О").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество школьников для всех возможных областей:

0) Область К=0, Т=0, О=0 : не определено.

1) Область К=0,Т=0, О=1 : 50 школьников.

2) Область К=0, Т=1, О=0 : школьников нет.

3) Область К=0, Т=1, О=1 : 50 школьников.

4) Область К=1, Т=0, О=0 : школьников нет.

5) Область К=1, Т=0, О=1 : 100 школьников.

6) Область К=1, Т=1, О=0 : 200 школьников.

7) Область К=1, Т=1, О=1 : 100 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х.

х=200+100+50=350.

Получили, 350 школьников решило две задачи.

Задача 4.

Среди прохожих провели опрос. Был задан вопрос: "Какое домашнее животное у Вас есть?". По результатам опроса выяснилось, что у 150 человек есть кошка, у 130 - собака, у 50 - птичка. У 60 человек есть кошка и собака, у 20 - кошка и птичка, у 30 - собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного. У 10 человек есть и кошка, и собака, и птичка. Сколько прохожих приняли участие в опросе?

Ответ: 300.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

• множество людей, у которых есть кошка ("К");
• множество людей, у которых есть собака ("С");
• множество людей, у которых есть птичка ("П").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Изобразим то, что нам надо найти:

Определим количество человек для всех возможных областей:

0) Область К=0, С=0, П=0 : 70 человек.

1) Область К=0, С=0, П=1 : 10 человек.

2) Область К=0, С=1, П=0 : 50 человек.

3) Область К=0, С=1, П=1 : 20 человек.

4) Область К=1, С=0, П=0 : 80 человек.

5) Область К=1, Т=0, О=1 : 10 человек.

6) Область К=1, Т=1, О=0 : 50 человек.

7) Область К=1, Т=1, О=1 : 10 человек.

Запишем значения областей в таблицу:

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Определим х:

х=U (универсум)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Получили, что 300 человек приняли участие в опросе.

Задача 5.

На одну специальность в одном из ВУЗов поступало 120 человек. Абитуриенты сдавали три экзамена: по математике, по информатике и русскому языку. Математику сдали 60 человек, информатику - 40. 30 абитуриентов сдали математику и информатику, 30 - математику и русский язык, 25 - информатику и русский язык. 20 человек сдали все три экзамена, а 50 человек - провалили. Сколько абитуриентов сдали русский язык?

Элементы теории множеств.

"Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли" - так описал понятие "множество" Георг Кантор, основатель теории множеств.

Основные предпосылки канторовской теории множеств сводятся к следующему:

1° Множество может состоять из любых различимых объектов.

2° Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.

3° Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если х - объект, Р - свойство, Р(х) - обозначение того, что х обладает свойством Р, то через {х|Р(х)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Термин "множество " употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить о:

а) множестве пчёл в улье,

б) множестве точек отрезка,

в) множестве вершин квадрата или о множествах его сторон и диагоналей,

г) множестве студентов в аудитории и т.д.

В приведённых примерах в случаях а), в)-г) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными . Множество точек отрезка (пример б)) пересчитать невозможно, поэтому такие множества называются бесконечными . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Наиболее простая форма задания множества - перечисление его элементов, например А={4, 7, 13} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 4, 7, 13). Другая часто применяемая форма задания - указание свойств элементов множества, например A = {x| x 2 ≤ 4} - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы - малыми: а, в, с,… Запись а ∈ А (читается: а принадлежит А) или A ∋ a (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение - B ⊆ A или A ⊇ B).

Каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B. (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения).

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. Сами картинки называются диаграммами Эйлера-Венна (кругами Эйлера) . То есть диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств или геометрические изображения отношений между объёмами понятий посредством пересекающихся контуров(кругов или эллипсов), предложенная английским логиком Джоном Венном (1834 - 1923) в конце позапрошлого века. В своих работах по наглядному графическому изображению логических фигур он опирался на ряд графических систем, предложенных Эйлером (1707 - 1783), И.Ламбертом (1728 - 1777), Жергонном (1771 -1859), Б. Больцано (1781 -1848).

Приведём некоторые из диаграмм. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Распространено и другое обозначение симметрической разности: А ∆ В, вместо А + В.

Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Справедливы равенства: (AUB)= A∩B; (A∩B)= AUB.

В заключение приведем еще одну формулу для подсчета числа элементов в объединении трех множеств (для общего случая их взаимного расположения, показанного на рисунке):

m(AUBUC)=m(A)+m(B)+m(C)-m(A∩B)-m(B∩C)-m(A∩C)+m(A∩B∩C)

Пример 1 . Записать множество всех науральных делителей числа 15 и найи число его элементов.

Пример 2 . Заданы множества A={2,3,5,8,13,15}, B={1,3,4,8,16}, C={12,13,15,16}, D= {0,1,20}.

Найти AUB, CUD, B∩C, A∩D, A\C, C\A, B\D, AUBUC, A∩B∩C, BUD∩C, A∩C\D.

AUB= {1,2,3,4,5,8,13,15,16}

CUD= {0,1,12,13,15,16,20}

AUBUC= {1,2,3,4,5,8,12,13,15,16}

BU(D∩C)= {1,3,4,8,16}

(A∩C)\D= {13,15}

Пример 3 . В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют кататься на лыжах, 952 – на коньках. Ни на лыжах, ни на коньках не умеют кататься 60 учащихся. Сколько учеников умеют кататься и на коньках и на лыжах?

A∩B – множество учащихся, не умеющих кататься ни на лыжах, ни на коньках.

По условию m(A∩B)=60, также используем равенство (AUB)= A∩B, тогда m((AUB))=60.

Значит, m(AUB)=m(U )-m((AUB))=1400-60=1340.

По условию m(A)=1250, m(B)=952, получаем m(A∩B)=m(A)+m(B)-m(AUB)=1250+952-1340=862

Пример 4 . Группа из 25 студентов сдала экзаменационную сессию со следующими результатами: 2 человека получили только «отлично»; 3 человека получили отличные, хорошие и удовлетворительные оценки; 4 человека только «хорошо»; 3 человека получили хорошие и удовлетворительные оценки. Число студентов, сдавших сессию только на «отлично», «хорошо», равно числу студентов, сдавших сессию только на «удовлетворительно». Студентов, получивших только отличные и удовлетворительные оценки, - нет. Удовлетворительные или хорошие оценки получили 22 студента. Сколько студентов не явились на экзамены? Сколько студентов сдали сессию только на «удовлетворительно»?x . Тогда из условия , получим

Число же студентов, не явившихся на экзамен, найдем следующим образом:

Ответ: 6 студентов получили только «удовлетворительно», 1 студент не явился на экзамены.

Пример 5.

ДИАГРАММА ВЕННА, схематическое представление отношений между математическими МНОЖЕСТВАМИ или логическими утверждениями, названное по имени английского логика Джона Венна (1834 1923). Множества изображаются в виде геометрических фигур, обычно… …

диаграмма Венна - Иллюстрирующая логические операции и операции булевой алгебры Boolean algebra Тематики нефтегазовая промышленность EN Venn diagram … Справочник технического переводчика

диаграмма Венна - Venn o diagrama statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Venn diagram vok. Venn Diagramm, n rus. диаграмма Венна, f pranc. diagramme de Venn, m ryšiai: sinonimas – Veno diagrama … Automatikos terminų žodynas

ДИАГРАММА ЭЙЛЕРА, простая диаграмма, используемая в логике для демонстрации силлогизмов. Классы предметов изображаются в виде кругов, и утверждения типа «Некоторое а находится в b» представляется двумя пересекающимися кругами, представляющими а и … Научно-технический энциклопедический словарь

Графический способ изображения формул математич. логики, прежде всего формул исчисления высказываний. В. д. ппеременных классич. логики высказываний представляет собой такой набор замкнутых контуров (го меоморфных окружностям), к рый разбивает… … Математическая энциклопедия

Пример диаграммы Эйлера. B живое существо, A человек, C неживая вещь. Круги Эйлера геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… … Википедия

Пример диаграммы Эйлера. B живое существо, A человек, C неживая вещь. Круги Эйлера геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Изобретены Эйлером. Используется в… … Википедия

ДИАГРАММЫ ВEHHА графический способ задания и анализа логико математических теорий и их формул. Строятся путем разбиения части плоскости на ячейки (подмножества) замкнутыми контурами (кривьми Жордана). В ячейках представляется информация,… … Философская энциклопедия

Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: живое существо, человек, неживая вещь Круги Эйлера геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения … Википедия