Комплексный чертеж точки.

Теорема о проецировании прямого угла.

В случае если один из катетов прямого угла параллелœен плоскости проекций, а второй не занимает проецирующего положения (не перпендикулярен плоскости проекций), то данный прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.

Вышеприведенные чертежи называются однокартинными . Рассмотренные методы проецирования позволяют однозначно решить прямую задачу – построить проекцию (чертеж) геометрического образа.

Обратная задача начертательной геометрии – по данному чертежу реконструировать геометрический образ – решается неоднозначно (должна быть несколько или бесчисленное множество решений). Из этого следует, что однокартинный чертеж не обладает свойством обратимости. Проекционный чертеж становится обратимым при добавлении дополнительной информации.

В нашем курсе мы будем применять обратимый чертеж, который принято называть комплексным чертежом в ортогональных проекциях (К.Ч.)

Комплексным чертежом принято называть чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого геометрического образа.

Принцип образования: геометрический образ ортогонально проецируется минимум на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещаются с одной плоскостью.

Точка - нольмерный геометрический образ;

Условные обозначения точек – A,В,С,D… 1,2,3… и т.д.;

П 1(XOY) – горизонтальная плоскость

проекции;

П 2(XOZ) – вертикальная (фронтальная) плоскость проекции;

А А на плоскость П1;

А А на плоскость П 2.

Рис.6 Чертеж на рис.6 является однокартинным.

Чертеж на рис. 7 принято называть комплексным чертежем точки А .

А 1 – горизонтальная проекция точки А ;

А 2 – фронтальная проекция точки А ;

А 1А 2- линия связи.

Оба чертежа (рис.6 и рис.7) являются графической иллюстрацией ортогонального проецирования одной и той же точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости (П 1 и П 2).

В случае если на К.Ч. заданы две проекции точки, можно утверждать, что точка однозначно задана на К.Ч.

Комплексный чертеж точки. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Комплексный чертеж точки." 2017, 2018.

Для однозначного определения положения точки в пространстве необходимо и достаточно иметь проекции на двух плоскостях проекций, но в инженерной практике при построении проекций различных предметов с целью полного выявления их формы часто используют больше двух плоскостей проекций. Поэтому рассмотрим построение проекций точки на трех плоскостях проекций (рис. 1, 2)

Рис. 1 Рис. 2

Одна из плоскостей проекций расположена горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций , и обозначается П 1 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 1: А 1 , а 1 , … и называются горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Плоскость, расположенная перед наблюдателем, перпендикулярно первой, называется фронтальной плоскостью проекций , и обозначается П 2 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 2: А 2 , а 2 , … и называются фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Плоскость, расположенная справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций, называется профильной плоскостью проекций , и обозначается П 3 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 3: А 3 , а 3 , … и называются профильными проекциями . Линию пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций принимают за ось координат х . Линию пересечения горизонтальной и профильной плоскостей проекций принимают за ось координат у . Линию пересечения фронтальной и профильной плоскостей проекций принимают за ось координат z .

Для получения комплексного чертежа (или Эпюра Монжа - рис. 4) – за плоскость чертежа принимают фронтальную плоскость проекций П 2 , горизонтальную плоскость проекций П 1 x , а профильную плоскость проекций П 3 совмещают с плоскостью чертежа вращением вокруг оси z . Чертеж – это две (или более) проекции точки, совмещенные на одной плоскости (плоскости чертежа) и связанные линиями проекционной связи. Прямая А 1 -А 2 , соединяющая горизонтальную и фронтальную проекцию точки, называется вертикальной линией связи; прямая А 2 - А 3 , соединяющая фронтальную и профильную проекции точки, называется горизонтальной линией связи.

Рассматривая чертеж точки, выделяют, что:

· две проекции точки принадлежат одной линии связи;

· линии связи перпендикулярны соответствующим осям координат;

· две проекции точки необходимо и достаточно для определения положения точки в пространстве, и две проекции точки определяют её третью проекцию.

Три основные плоскости проекций могут рассматриваться и как координатные плоскости, если точка задана координатами. Зная координаты точки можно построить её комплексный (рис. 3 а) и аксонометрический (рис. 3 б) чертеж.

Рис. 3 (а,б)

Задачи

Задача 4. Какие координаты надо знать, чтобы построить проекции точки?

Рассмотрим пример построения точек А, В, С, D в различных октантах (табл. 2.4).

Таблица 2.4

Октант	Наглядное изображение	Комплексный чертеж
I
II
III
IV

Пример построения третьей проекции точки по двум заданным

Точка в пространстве определяется любыми двумя своими проекциями. При необходимости построения третьей проекции по двум заданным необходимо воспользоваться соответствием отрезков линий проекционной связи, полученных при определении расстояний от точки до плоскости проекций (см. рис. 2.27 и рис. 2.28).

Примеры решения задач в I октанте

Дано А1; А2	Построить А3
Дано А2; А3	Построить А1
Дано А1; А3	Построить А2

Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)

Таблица 2.5 Алгоритм построения точки А по заданным координатам А (x = 5, y = 20, z = -9)

Вербальная форма	Графическая форма
Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3	Согласно табл. 2.3, это знаки 4-го октанта
Построить наглядное (аксонометрическое) изображение 4-го октанта
Определить механизм совмещения плоскостей
Построить комплексный чертеж 4-го октанта
Отложить координаты точки на осях: x = 5, y = 20, z = -9
Перенести координаты точки на оси комплексного чертежа
Построить горизонтальную, фронтальную и профильную проекции точки А (табл. 2.4)
Построить проекции точки А (А1, А2, А3) на комплексном чертеже (табл. 2.4)

проекция точка октанта перпендикулярный чертеж

В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти.

Выводы

Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное.

Эта теория основывается на следующих положениях:

1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей p1 и p2, либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости p3.

2. Изображение пространственного образа на эти плоскости получается с помощью прямоугольного (ортогонального) проецирования.

3. Для преобразования пространственного изображения в плоскостное считают, что плоскость p2 – неподвижна, а плоскость p1 вращается вокруг оси x так, что положительная полуплоскость p1 совмещается с отрицательной полуплоскостью p2, отрицательная часть p1 – с положительной частью p2.

4. Плоскость p3 вращается вокруг оси z (линии пересечения плоскостей) до совмещения с плоскостью p2 (см. рис. 2.31).

Изображения, получающиеся на плоскостях p1, p2 и p3 при прямоугольном проецировании образов, называются проекциями.

Плоскости p1, p2 и p3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскостной комплексный чертеж или эпюр.

Линии, соединяющие проекции образа ^ осям x, y, z, называются линиями проекционной связи.

Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей p1, p 2, p 3.

В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему p1, p2, либо p1, p2, p3.

Систему плоскостей p1, p2, p3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр).

Такой способ изображения образов, в частности точки, дает возможность решать такие позиционные задачи, как:

· расположение точки относительно плоскостей проекций (общее положение, принадлежность плоскости, оси);

· положение точки в четвертях (в какой четверти расположена точка);

· положение точек относительно друг друга, (выше, ниже, ближе, дальше относительно плоскостей проекций и зрителя);

· положение проекций точки относительно плоскостей проекций (равноудаление, ближе, дальше).

Метрические задачи:

· равноудаленность проекции от плоскостей проекций;

· отношение удаления проекции от плоскостей проекций (в 2–3 раза, больше, меньше);

· определение расстояния точки от плоскостей проекций (при введении системы координат).

Размещено на Allbest.ru

3.2. Положение точки относительно плоскостей проекций

Положение точки в пространстве относительно плоскостей проекций определяется её координатами. Координатой Х определяется удалённость точки от плоскости П 3 (проекция на П 2 или П 1), координатой У – удалённость от плоскости П 2 (проекция на П 3 или П 1), координатой Z – удаленность от плоскости П 1 (проекция на П 3 или П 2). В зависимости от значения этих координат точка может занимать в пространстве как общее, так и частное положение по отношению к плоскостям проекций (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Классификация точек

Т очка общего положения . Координаты точки общего положения не равны нулю (x ≠0, y ≠0, z ≠0 ), и в зависимости от знака координаты точка может располагаться в одном из восьми октантов (табл. 2.1).

На рис. 3.2 даны чертежи точек общего положения. Анализ их изображений позволяет сделать вывод, что они располагаются в следующих октантах пространства: А(+X;+Y; +Z( Iоктанту;B(+X;+Y;-Z( IVоктанту;C(-X;+Y; +Z( Vоктанту;D(+X;+Y; +Z( IIоктанту.

Точки частного положения . Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле проекций, другие две – на осях проекций. На рис. 3.3 такими точками являются точки А, В,C,D,G.A П 3 ,то точка Х А =0; В П 3 ,то точка Х В =0; С П 2 ,то точкаY C =0;D П 1 ,то точкаZ D =0.

Точка может принадлежать сразу двум плоскостям проекций, если она лежит на линии пересечения этих плоскостей – оси проекций. У таких точек не равна нулю только координата на этой оси. На рис. 3.3 такой точкой является точкаG(G OZ,то точка Х G =0,Y G =0).

3.3. Взаимное положение точек в пространстве

Рассмотрим три варианта взаимного расположения точек в зависимости от соотношения координат, определяющих их положение в пространстве.

На рис. 3.4 точки AиBимеют различные координаты.

Их взаимное расположение можно оценить по удаленности к плоскостям проекций: Y А >Y В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 2 и ближе к наблюдателю, чем точкаB; Z А >Z В, тогда точкаAрасположена дальше от плоскости П 1 и ближе к наблюдателю, чем точкаB; X А

На рис. 3.5 представлены точки A, B, С, D, у которых одна из координат совпадает, а две другие отличаются.

Их взаимное расположение можно оценить по удалённости к плоскостям проекций следующим образом:

Y А =Y В =Y D , то точки А, В и D равноудалены от плоскости П 2 , и их горизонтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А 1 В 1 ]llОХ и [А 3 В 3 ]llOZ. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 2 ;

Z А =Z В =Z С, то точки А, В и С равноудалены от плоскости П 1 , и их фронтальные и профильные проекции расположены соответственно на прямых [А 2 В 2 ]llОХ и [А 3 С 3 ]llOY. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 1 ;

X А =X C =X D , то точки А, C и D равноудалены от плоскости П 3 и их горизонтальные и фронтальные проекции расположены соответственно на прямых [А 1 C 1 ]llOY и [А 2 D 2 ]llOZ . Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П 3 .

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими . Конкурирующие точки расположены на одной проецирующей прямой. На рис. 3.3 даны три пары таких точек, у которых: X А =X D ; Y А =Y D ; Z D > Z А; X A =X C ; Z A =Z C ; Y C > Y A ; Y A =Y B ; Z A =Z B ; X B > X A .

Различают горизонтально конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально проецирующей прямой АD, фронтально конкурирующие точки A и C, расположенные на фронтально проецирующей прямой AC, профильно конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно проецирующей прямой AB.

Выводы по теме

1. Точка – линейный геометрический образ, одно из основных понятий начертательной геометрии. Положение точки в пространстве можно определить её координатами. Каждая из трёх проекций точки характеризуется двумя координатами, их название соответствует названиям осей, которые образуют соответствующую плоскость проекций: горизонтальная – A 1 (XA; YA); фронтальная – A 2 (XA; ZA); профильная – A 3 (YA; ZA). Трансляция координат между проекциями осуществляется с помощью линий связи. По двум проекциям можно построить проекции точки либо с помощью координат, либо графически.

3. Точка по отношению к плоскостям проекций может занимать в пространстве как общее, так и частное положение.

4. Точка общего положения – точка, не принадлежащая ни одной из плоскостей проекций, т. е. лежащая в пространстве между плоскостями проекций. Координаты точки общего положения не равны нулю (x≠0,y≠0,z≠0).

5. Точка частного положения – это точка, принадлежащая одной или двум плоскостям проекций. Одна из координат у точки частного положения равна нулю, поэтому проекция точки лежит на соответствующем поле плоскости проекций, другие две – на осях проекций.

6. Конкурирующие точки – точки, одноименные координаты которых совпадают. Существуют горизонтально конкурирующие точки, фронтально конкурирующие точки, профильно конкурирующие точки.

Ключевые слова

Координаты точки

Точка общего положения

Точка частного положения

Конкурирующие точки

Способы деятельности, необходимые для решения задач

– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций в пространстве;

– построение точки по заданным координатам в системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже.

Вопросы для самопроверки

1. Как устанавливается связь расположения координат на комплексном чертеже в системе трех плоскостей проекций П 1 П 2 П 3 с координатами проекций точек?

2. Какими координатами определяется удалённость точек до горизонтальной, фронтальной, профильной плоскостей проекций?

3. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направ­лении, перпендикулярном профильной плоско­сти проекций П 3 ?

4. Какие координаты и проекции точки будут изменяться, если точка перемещается в направ­лении, параллельном оси OZ?

5. Какими координатами, определяется горизонтальная (фронтальная, профильная) проекция точки?

7. В каком случае проекция точки совпадает с самой точкой пространства и где располагаются две другие проекции этой точки?

8. Может ли точка принадлежать одновременно трём плоскостям проекций и в каком случае?

9. Как называют точки, одноимённые проекции которых совпадают?

10. Каким образом можно определить, какая из двух точек ближе к наблюдателю, если их фронтальные проекции совпадают?

Задания для самостоятельного решения

2. Построить проекции точек А и В по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(13,5; 20), В(6,5; –20). Построить проекцию точки С, расположенной симметрично точке А относительно фронтальной плоскости проекций П 2 .

3. Построить проекции точек А, В, С по их координатам на наглядном изображении и комплексном чертеже: А(–20; 0; 0), В(–30; -20; 10), С(–10, –15, 0). Построить точку D, расположенную симметрично точке С относительно осиOХ.

Пример решения типовой задачи

Задача 1. Даны координатыX,Y,ZточекA,B,C,D,E,F(табл. 3.3)

Глава 6. ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ. КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЕЖ

§ 32. Комплексный чертеж точки

Чтобы построить изображение предмета, сначала изображают отдельные его элементы в виде простейших элементов пространства. Так, изображая геометрическое тело, следует построить его вершины, представленные точками; ребра, представленные прямыми и кривыми линиями; грани, представленные плоскостями и т.д

Правила построения изображений на чертежах в инженерной графике основываются на методе проекций. Одно изображение (проекция) геометрического тела не позволяет судить о его геометрической форме или форме простейших геометрических образов, составляющих это изображение. Таким образом, нельзя судить о положении точки в пространстве по одной ее проекции; положение ее в пространстве определяется двумя проекциями.

Рассмотрим пример построения проекции точки А, расположенной в пространстве двугранного угла (рис. 60). Одну из плоскостей проекции расположим горизонтально, назовем ее горизонтальной плоскостью проекций и обозначим буквой П 1 . Проекции элементов

пространства на ней будем обозначать с индексом 1: А 1 , а 1 , S 1 ... и называть горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Вторую плоскость расположим вертикально перед наблюдателем, перпендикулярно первой, назовем ее вертикальной плоскостью проекций и обозначим П 2 . Проекции элементов пространства на ней будем обозначать с индексом 2: А 2 , 2 и называть фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости). Линию пересечения плоскостей проекций назовем осью проекций.