Проекция точки на плоскость, координаты проекции точки на плоскость. Проецирование точки на три плоскости проекций Проекция точки на плоскость уравнение

При прямоугольном проецировании система плоскостей проекций представляет собой две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 2.1). Одну условились располагать горизонтально, а другую - вертикально.

Плоскость проекций, расположенную горизонтально, называют горизонтальной плоскостью проекций и обозначают щ, а плоскость, ей перпендикулярную, - фронтальной плоскостью проекций л 2 . Саму систему плоскостей проекций обозначают п/п 2 . Обычно употребляют сокращенные выражения: плоскость Л[, плоскость п 2 . Линию пересечения плоскостей щ и к 2 называют осью проекций ОХ. Она делит каждую плоскость проекций на две части - полы. Горизонтальная плоскость проекций имеет переднюю и заднюю, а фронтальная - верхнюю и нижнюю полы.

Плоскости щ и п 2 делят пространство на четыре части, называемые четвертями и обозначаемые римскими цифрами I, II, III и IV (см. рис. 2.1). Первой четвертью называют часть пространства, ограниченную верхней полой фронтальной и передней полой горизонтальной плоскостей проекций. Для остальных четвертей пространства определения аналогичны предыдущему.

Все машиностроительные чертежи представляют собой изображения, построенные на одной плоскости. На рис. 2.1 система плоскостей проекций является пространственной. Для перехода к изображениям на одной плоскости условились совмещать плоскости проекций. Обычно плоскость п 2 оставляют неподвижной, а плоскость П поворачивают по направлению, указанному стрелками (см. рис. 2.1), вокруг оси ОХ на угол 90° до совмещения ее с плоскостью п 2 . При таком повороте передняя пола горизонтальной плоскости опускается вниз, а задняя поднимается вверх. После совмещения плоскости имеют вид, изобра-

женный на рис. 2.2. Считают, что плоскости проекций непрозрачны и наблюдатель всегда находится в первой четверти. На рис. 2.2 обозначение невидимых после совмещения пол плоскостей взято в скобки, как это принято для выделения на чертежах невидимых фигур.

Проецируемая точка может находиться в любой четверти пространства или на любой плоскости проекций. Во всех случаях для построения проекций через нее проводят проецирующие прямые и находят точки встречи их с плоскостями 711 и 712, которые и являются проек- циями.

Рассмотрим проецирование точки, расположенной в первой четверти. Заданы система плоскостей проекций 711/712 и точка А (рис. 2.3). Через нее проводят две прямые ЛИНИИ, перпендикулярные ПЛОСКОСТЯМ 71) И 71 2 . Одна из них пересечет плоскость 711 в точке А ", называемой горизонтальной проекцией точки А, а другая - плоскость 71 2 в точке А ", называемой фронтальной проекцией точки А.

Проецирующие прямые АА " и АА " определяют плоскость проецирования а. Она перпендикулярна плоскостям Кип 2 , так как проходит через перпендикуляры к ним и пересекает плоскости проекций по прямым А "Ах и А "А х. Ось проекций ОХ перпендикулярна плоскости ос, как линия пересечения двух плоскостей 71| и 71 2 , перпендикулярных третьей плоскости (а), а следовательно, и любой прямой, лежащей в ней. В частности, 0X1А"А х и 0X1А "А х.

При совмещении плоскостей отрезок А "А х, расположенный на плоскости к 2 , остается неподвижным, а отрезок А "А х вместе с плоскостью 71) будет повернут вокруг оси ОХ до совмещения с плоскостью 71 2 . Вид совмещенных плоскостей проекций вместе с проекциями точки А приведен на рис. 2.4, а. После совмещения точки А ", А х и А " окажутся расположенными на одной прямой, перпендикулярной оси ОХ. Отсюда следует вывод, что две проекции одной и той же точки

лежат на общем перпендикуляре к оси проекции. Этот перпендикуляр, соединяющий две проекции одной и той же точки, называют линией проекционной связи.

Чертеж на рис. 2.4, а можно значительно упростить. Обозначения совмещенных плоскостей проекций на чертежах не отмечают и прямоугольники, условно ограничивающие плоскости проекций, не изображают, так как плоскости безграничны. Упрощенный чертеж точки А (рис. 2.4, б) называют также эпюром (от франц. ?pure - чертеж).

Изображенный на рис. 2.3 четырехугольник AE4 "А Х А " является прямоугольником и его противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому расстояние от точки А до плоскости П , измеряемое отрезком АА ", на чертеже определяется отрезком А "А х. Отрезок же А "А х = АА" позволяет судить о расстоянии от точки А до плоскости к 2 . Таким образом, чертеж точки дает полное представление о ее расположении относительно плоскостей проекций. Например, по чертежу (см. рис. 2.4, б) можно утверждать, что точка А расположена в первой четверти и удалена от плоскости п 2 на меньшее расстояние, чем от плоскости тс ь так как А "А х А "А х.

Перейдем к проецированию точки во второй, третьей и четвертой четвертях пространства.

При проецировании точки В, расположенной во второй четверти (рис. 2.5), после совмещения плоскостей обе ее проекции окажутся выше оси ОХ.

Горизонтальная проекция точки С, заданной в третьей четверти (рис. 2.6), расположена выше оси ОХ, а фронтальная - ниже.

Точка Д изображенная на рис. 2.7, расположена в четвертой четверти. После совмещения плоскостей проекций обе ее проекции окажутся ниже оси ОХ.

Сравнивая чертежи точек, находящихся в разных четвертях пространства (см. рис. 2.4-2.7), можно заметить, что для каждой характерно свое расположение проекций относительно оси проекций ОХ.

В частных случаях проецируемая точка может лежать на плоскости проекций. Тогда одна ее проекция совпадает с самой точкой, а другая будет расположена на оси проекций. Например, для точки Е, лежащей на плоскости щ (рис. 2.8), горизонтальная проекция совпадает с самой точкой, а фронтальная находится на оси ОХ. У точки Е, расположенной на плоскости к 2 (рис. 2.9), горизонтальная проекция на оси ОХ, а фронтальная совпадает с самой точкой.

Пр a b = |b|cos(a,b) или

Где a b - скалярное произведение векторов , |a| - модуль вектора a .

Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp a b в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор .

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

1. Геометрическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется вектор A"B" , начало которого A’ есть проекция начала A на ось (вектор), а конец B’ – проекция конца B на ту же ось.
2. Алгебраическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется длина вектора A"B" , взятая со знаком + или - , в зависимости от того, имеет ли вектор A"B" то же направление, что и ось (вектор).

Виды проекций по системе координат

Свойства проекции вектора

1. Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
2. Алгебраическая проекция вектора есть число.

Теоремы о проекциях вектора

AC" =AB" +B"C"

Пр a b = |b|·cos(a,b)

Виды проекций вектора

1. проекция на ось OX.
2. проекция на ось OY.
3. проекция на вектор.

Проекция на ось OX	Проекция на ось OY	Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен оси OY, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.	Если вектор AB параллелен вектору NM, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.
Если вектор AB перпендикулярен оси OX, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен оси OY, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).	Если вектор AB перпендикулярен вектору NM, то проекция A’B’ равна нулю (нуль-вектор).

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1 . Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о. Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2 . Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр a b=4·cos120 o = -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

Точка, как математическое понятие, не имеет размеров. Очевидно, если объект проецирования является нульмерным объектом, то говорить о его проецировании бессмысленно.

Рис.9 Рис.10

В геометрии под точкой целесообразно принимать физический объект, имеющий линейные измерения. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проекциях.

При построении ортогональных проекций точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: ортогональная проекция точки есть точка.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: X, Y, Z, показывающие величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций. Чтобы определить эти расстояния, достаточно определить точки встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить соответствующие величины, которые укажут соответственно значения абсциссы X , ординаты Y и аппликаты Z точки (рис. 10).

Проекцией точки является основание перпендикуляра, опущенного из точки на соответствующую плоскость проекций. Горизонтальной проекцией точки а называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций, фронтальной проекцией а / – соответственно на фронтальной плоскости проекций и профильной а // – на профильной плоскости проекций.

Прямые Аа, Аa / и Аa // называются проецирующими прямыми. При этом прямую Аа, проецирующую точку А на горизонтальную плоскость проекций, называют горизонтально- проецирующей прямой, Аa / и Аa // - соответственно: фронтально и профильно-проецирущими прямыми.

Две проецирующие прямые, проходящие через точку А определяют плоскость, которую принято называть проецирующей.

При преобразовании пространственного макета, фронтальная проекция точки А – а / остается на месте, как принадлежащая плоскости, которая не менят своего положения при рассматриваемом преобразовании. Горизонтальная проекция – а вместе с горизонтальной плоскостью проекции повернется понаправлению движения часовой стрелки и расположится на одном перепендикуляре к оси Х с фронтальной проекцией. Профильная проекция - a // будет вращаться вместе с профильной плоскостью и к концу преобразования займет положение, указанное на рисунке 10. При этом - a // будет принадлежать перпендикуляру к оси Z , проведенному из точки а / и будет удалена от оси Z на такое же расстояние, на какое горизонтальная проекция а удалена от оси Х . Поэтому связь между горизонтально и профильной проекциями точки может быть установлена с помощью двух ортогональных отрезков аа y и а y a // и сопрягающей их дуги окружности с центром в точке пересечения осей (О – начало координат). Отмеченной связью пользуются для нахождения недостающей проекции (при двух заданных). Положение профильной (горизонтальной) проекции по заданным горизонтальной (профильной) и фронтальной проекциям может быть найдено с помощью прямой, проведенной под углом 45 0 из начала координат к оси Y (эту биссектрису называют прямой k – постоянной Монжа). Первый из указанных способов предпочтителен, как более точный.

Из этого следует:

1. Точка в пространстве удалена:

от горизонтальной плоскости H Z,

от фронтальной плоскости V на величину заданной координаты Y,

от профильной плоскости W на величину координаты.X.

2. Две проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи):

горизонтальная и фронтальная – перпендикуляру к оси X,

горизонтальная и профильная – перпендикуляру к оси Y,

фронтальная и профильная – перпендикуляру к оси Z.

3. Положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций. Из этого следует – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда иожно построить недостающую ее третью проекцию.

Если точка имеет три определенные координаты, то такую точку называют точкой общего положения. Если у точки одна или две координаты имеют нулевое значение, то такую точку называют точкой частного положения.

Рис. 11 Рис. 12

На рисунке 11 дан пространственный чертеж точек частного положения, на рисунке 12 – комплексных чертеж (эпюр) этих точек. Точка А принадлежит фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной плоскости проекций, точка С – профильной плоскости проекций и точка D – оси абсцисс (Х ).

Проецирование точки на три плоскости проекций координатного угла начинают с получения ее изображения на плоскости H - горизонтальной плоскости проекций. Для этого через точку А (рис. 4.12, а) проводят проецирующий луч перпендикулярно плоскости H.

На рисунке перпендикуляр к плоскости Н параллелен оси Oz. Точку пересечения луча с плоскостью Н (точку а) выбирают произ­вольно. Отрезок Аа определяет, на каком расстоянии находится точка А от плоскости Н, указывая тем самым однозначно положение точки А на рисунке по отношению к плоскостям проекций. Точка а является прямоугольной проекцией точки А на плоскость Н и называется горизонтальной проекцией точки А (рис. 4.12, а).

Для получения изображения точки А на плоскости V (рис. 4.12,б) через точку А проводят проецирующий луч перпендикулярно фронтальной плоскости проекций V. На рисунке перпендикуляр к плоскости V параллелен оси Оу. На плоскости Н расстояние от точки А до плоскости V изобразится отрезком аа х, параллельным оси Оу и перпендикулярным оси Ох. Если представить себе, что проецирующий луч и его изображение проводят одновременно в направлении плоскости V, то когда изображение луча пересечет ось Ох в точке а х, луч пересечет плоскость V в точке а". Проведя из точки а х в плоскости V перпендикуляр к оси Ох, который является изображением проецирующего луча Аа на плоскости V, в пересечении с проецирующим лучом получают точку а". Точка а" является фронтальной проекцией точки А, т. е. ее изображением на плоскости V.

Изображение точки А на профильной плоскости проекций (рис. 4.12, в) строят с помощью проецирующего луча, перпендикулярного плоскости W. На рисунке перпендикуляр к плоскости W параллелен оси Ох. Проецирующий луч от точки А до плоскости W на плоскости Н изобразится отрезком аа у, параллельным оси Ох и перпендикулярным оси Оу. Из точки Оу параллельно оси Oz и перпендикулярно оси Оу строят изображение проецирующего луча аА и в пересечении с проецирующим лучом получают точку а". Точка а" является профильной проекцией точки А, т. е. изображением точки А на плоскости W.

Точку а" можно построить, проведя от точки а" отрезок а"а z (изображение проецирующего луча Аа" на плоскости V) параллельно оси Ох, а от точки а z - отрезок а"а z параллельно оси Оу до пересечения с проецирующим лучом.

Получив три проекции точки А на плоскостях проекций, координатный угол развертывают в одну плоскость, как показано на рис. 4.11,б, вместе с проекциями точки А и проецирующих лучей, а точку А и проецирующие лучи Аа, Аа" и Аа" убирают. Края совмещенных плоскостей проекций не проводят, а проводят только оси проекций Oz, Оу и Ох, Оу 1 (рис. 4.13).

Анализ ортогонального чертежа точки показывает, что три расстояния - Аа", Аа и Аа" (рис. 4.12, в), характеризующие положение точки А в пространстве, можно определить, отбросив сам объект проецирования - точку А, на развернутом в одну плоскость координатном угле (рис. 4.13). Отрезки а"а z , аа y и Оа х равны Аа" как противоположные стороны соответствующих прямоугольников (рис. 4.12,в и 4.13). Они определяют расстояние, на котором находится точка А от профильной плоскости проекций. Отрезки а"а х, а"а у1 и Оа у равны отрезку Аа, определяют расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций, отрезки аа х, а"а z и Оа y 1 равны отрезку Аа", определяющему расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций.

Отрезки Оа х, Оа у и Оа z , расположенные на осях проекций, являются графическим выражением размеров координат X, Y и Z точки А. Координаты точки обозначают с индексом соответствующей буквы. Измерив величину этих отрезков, можно определить положение точки в пространстве, т. е. задать координаты точки.

На эпюре отрезки а"а х и аа х располагаются как одна линия, перпендикулярная к оси Ох а отрезки а"а z и a"a z - к оси Оz. Эти лини называются линиями проекционной связи. Они пересекают оси проекций в точках а х и а z соответственно. Линия проекционной связи, соединяющая горизонтальную проекцию точки А с профильной, оказалась «разрезанной» в точке а у.

Две проекции одной и той же точки всегда располагаются на одной линии проекционной связи, перпендикулярной к оси проекций.

Для представления положения точки в пространстве достаточно двух ее проекций и заданного начала координат (точка О) На рис. 4.14, б две проекции точки полностью определяют ее положение в пространстве По этим двум проекциям можно построит профильную проекцию точки А. Поэтому в дальнейшем, если не будет необходимости в профильной проекции, эпюры будут построены на двух плоскостях проекций: V и Н.

Рис. 4.14. Рис. 4.15.

Рассмотрим несколько примеров построения и чтения чертежа точки.

Пример 1. Определение координат точки J заданной на эпюре двумя проекциях (рис. 4.14). Измеряются три отрезка: отрезок Ов Х (координата X), отрезок b Х b (координата Y) и отрезок b Х b" (координата Z). Координаты записывают в следующем п рядке: X, Y и Z, после буквенного обозначения точки, например, В20; 30; 15.

Пример 2 . Построение точки по заданным координатам. Точка С задана координатами С30; 10; 40. На оси Ох (рис. 4.15) находят точку с х, в которой линия проекционной связи пересекает ось проекций. Для этого по оси Ох от начала координат (точка О) откладывают координату X (размер 30) и получают точку с х. Через эту точку перпендикулярно оси Ох проводят линию проекционной связи и от точки вниз откладывают координату У (размер 10), получают точку с - горизонтальную проекцию точки С. Вверх от точки с х по линии проекционной связи откладывают координату Z (размер 40), получают точку с" - фронтальную проекцию точки С.

Пример 3 . Построение профильной проекции точки по заданным проекциям. Заданы проекции точки D - d и d". Через точку О проводят оси проекций Oz, Oy и Оу 1 (рис. 4.16, а). Для построения профильной проекции точки D отточки d" проводят линию проекционной связи, перпендикулярную оси Oz, и продолжают ее вправо за ось Oz. На этой линии будет располагаться профильная проекция точки D. Она будет находиться на таком расстоянии от оси Oz, на каком горизонтальная проекция точки d располагается: от оси Ох, т. е. на расстоянии dd x . Отрезки d z d" и dd x одинаковы, так как определяют одно и то же расстояние - расстояние от точки D до фронтальной плоскости проекций. Это расстояние является координатой У точки D.

Графически отрезок d z d" строят перенесением отрезка dd x с горизонтальной плоскости проекций на профильную. Для этого проводят линию проекционной связи параллельно оси Ох, получают на оси Оу точку d y (рис. 4.16,б). Затем переносят размер отрезка Od y на ось Оу 1 , проведя из точки О дугу радиусом, равным отрезку Od y , до пересечения с осью Оу 1 (рис. 4.16,б), получают точку dy 1 . Эту точку можно построить и как показано на рис. 4.16, в, проведя прямую под углом 45° к оси Оу из точки d y . Из точки d y1 проводят линию проекционной связи параллельно оси Oz и на ней откладывают отрезок, равный отрезку d"d x , получают точку d".

Перенос величины отрезка d x d на профильную плоскость проекций можно осуществить с помощью постоянной прямой чертежа (рис. 4.16, г). В этом случае линию проекционной связи dd y проводят через горизонтальную проекцию точки параллельно оси Оу 1 до пересечения с постоянной прямой, а затем параллельно оси Оу до пересечения с продолжением линии проекционной связи d"d z .

Частные случаи расположения точек относительно плоскостей проекций

Положение точки относительно плоскости проекций определяется соответствующей координатой, т. е. величиной отрезка линии проекционной связи от оси Ох до соответствующей проекции. На рис. 4.17 координата У точки А определяется отрезком аа х - расстояние от точки А до плоскости V. Координата Z точки А определяется отрезком а"а х - расстояние от точки А до плоскости Н. Если одна из координат равна нулю, то точка расположена на плоскости проекций. На рис. 4.17 приведены примеры различного расположения точек относительно плоскостей проекций. Координата Z точки В равна нулю, точка находится в плоскости Н. Ее фронтальная проекция находится на оси Ох и совпадает с точкой b х. Координата У точки С равна нулю, точка располагается на плоскости V, ее горизонтальная проекция с находится на оси Ох и совпадает с точкой с х.

Следовательно, если точка находится на плоскости проекций, то одна из проекций этой точки лежит на оси проекций.

На рис. 4.17 координаты Z и Y точки D равны нулю, следовательно, точка D находится на оси проекций Ох и две ее проекции совпадают.

Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

5) Определить координаты вектора с, направленного по биссектрисе угла между векторами a и b, если вектор с= 3корней из 42. a={2;-3;6}, b={-1;2;-2}

Найдем единичный вектор e_a сонаправленный с a:

аналогично e_b = b/|b|,

тогда искомый вектор будет направлен также как векторная сумма e_a+e_b, т.к. (e_a+e_b) это диагональ ромба, которая явл. биссектрисой его угла.

Обозначим (e_a+e_b)=d,

Найдем единичный вектор, который направлен по биссектрисе: e_c = d/|d|

Если |c| = 3*sqrt(42), тогда c = |c|*e_c. Вот и все.

Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: p=a+b; q=b-c; r=a-b+c; s=b+(1/2)*c

Из первых трех равенств попробуйте выразить `a,b,c` через `p,q,r` (начните со сложения второго и третьего уравнений). Затем замените в последнем уравнении `b` и `c` найденными выражениями через `p,q,r`.

13) Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0. Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21. Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

14) Уравнение плоскости проходящее через прямую паралелльно вектору.

Пусть, искомая плоскость проходит через прямую (x-x1)/a1 = (y-y1)/b1 = (z-z1)/c1 параллельно прямой (x-x2)/a2 = (y-y2)/b2 = (z-z2)/c2 .

Тогда нормальный вектор плоскости есть векторное произведение направляющих векторов этих прямых:

Пусть, координаты векторного произведения (A;B;C). Искомая плоскость проходит через точку (x1;y1;z1). Нормальный вектор и точка, через которую проходит плоскость - однозначно определяют уравнение искомой плоскости:

A·(x-x1) + B·(y-y1) + C·(z-z1) = 0

17) Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(5, -1) перпендикулярно к прямой 3x - 7y + 14 = 0.

18) Составить уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно к данной плоскости М(4,3,1) x+3y+5z-42=0

(x - x0) / n = (y - y0) / m = (z - z0) / p

M(x0,y0,z0) - твоя точка М(4,3,1)

{n, m, p} - направляющий вектор прямой, он же вектро нормали для заданной поверхности {1, 3, 5} (коэффициенты при переменных x,y,z в уравнении плоскости)

Найти проекцию точки на плоскость

Точка М(1,-3,2), плоскость 2x+5y-3z-19=0