Расстояние от точки до плоскости векторный метод. Задачи c2 единого государственного экзамена по математике на нахождение расстояния от точки до плоскости

ЗАДАЧИ C2 ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ НА НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Куликова Анастасия Юрьевна

студент 5 курса, кафедра мат. анализа, алгебры и геометрии ЕИ КФУ, РФ, Республика Татарстан, г. Елабуга

Ганеева Айгуль Рифовна

научный руководитель, канд. пед. наук, доцент ЕИ КФУ, РФ, Республика Татарстан, г. Елабуга

В заданиях ЕГЭ по математике в последние годы появляются задачи на вычисление расстояния от точки до плоскости. В данной статье на примере одной задачи рассмотрены различные методы нахождения расстояния от точки до плоскости. Для решения различных задач можно использовать наиболее подходящий метод. Решив задачу одним методом, другим методом можно проверить правильность полученного результата.

Определение. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Задача. Дан прямоугольный параллелепипед А B С DA 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами AB =2, BC =4, AA 1 =6. Найдите расстояние от точки D до плоскости АС D 1 .

1 способ . Используя определение . Найти расстояние r(D , АС D 1) от точки D до плоскости АС D 1 (рис. 1).

Рисунок 1. Первый способ

Проведем DH ⊥АС , следовательно по тереме о трех перпендикулярах D 1 H ⊥АС и (DD 1 H )⊥АС . Проведем прямую DT перпендикулярно D 1 H . Прямая DT лежит в плоскости DD 1 H , следовательно DT ⊥AC . Следовательно, DT ⊥АС D 1.

А DC найдем гипотенузу АС и высоту DH

Из прямоугольного треугольника D 1 DH найдем гипотенузу D 1 H и высоту DT

Ответ: .

2 способ. Метод объемов (использование вспомогательной пирамиды ). Задачу данного типа можно свести к задаче о вычислении высоты пирамиды, где высота пирамиды является искомым расстоянием от точки до плоскости. Доказать, что эта высота и есть искомое расстояние; найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту.

Отметим, что при данном методе нет необходимости в построении перпендикуляра из данной точки к данной плоскости.

Прямоугольный параллелепипед - параллелепипед, все грани которого являются прямоугольниками.

AB =CD =2, BC =AD =4, AA 1 =6.

Искомым расстоянием будет высота h пирамиды ACD 1 D , опущенной из вершины D на основание ACD 1 (рис. 2).

Вычислим объем пирамиды ACD 1 D двумя способами.

Вычисляя, первым способом за основание примем ∆ ACD 1 , тогда

Вычисляя, вторым способом за основание примем ∆ ACD , тогда

Приравняем правые части последних двух равенств, получим

Рисунок 2. Второй способ

Из прямоугольных треугольников АС D , ADD 1 , CDD 1 найдем гипотенузы, используя теорему Пифагора

ACD

Вычислим площадь треугольника АС D 1 , используя формулу Герона

Ответ: .

3 способ. Координатный метод.

Пусть дана точка M (x 0 ,y 0 ,z 0) и плоскость α , заданная уравнением ax +by +cz +d =0 в прямоугольной декартовой системе координат. Расстояние от точки M до плоскости α можно вычислить по формуле:

Введем систему координат (рис. 3). Начало координат в точке В ;

Прямая АВ - ось х , прямая ВС - ось y , прямая BB 1 - ось z .

Рисунок 3. Третий способ

B (0,0,0), А (2,0,0), С (0,4,0), D (2,4,0), D 1 (2,4,6).

Пусть a х+ by + cz + d =0 – уравнение плоскости ACD 1 . Подставляя в него координаты точек A , C , D 1 получим:

Уравнение плоскости ACD 1 примет вид

Ответ: .

4 способ. Векторный метод.

Введем базис (рис. 4) , .

Рисунок 4. Четвертый способ

Поиск расстояния от точки до плоскости - частая задача, возникающая при решении различных задач аналитической геометрии, например, к этой задаче можно свести нахождение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми или между прямой и параллельной ей плоскостью.

Рассмотрим плоскость $β$ и точку $M_0$ с координатами $(x_0;y_0; z_0)$, не принадлежащую плоскости $β$.

Определение 1

Кратчайшим расстоянием между точкой и плоскостью будет перпендикуляр, опущенный из точки $М_0$ на плоскость $β$.

Рисунок 1. Расстояние от точки, до плоскости. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Ниже рассмотрено как найти расстояние от точки до плоскости координатным методом.

Вывод формулы для координатного метода поиска расстояния от точки до плоскости в пространстве

Перпендикуляр из точки $M_0$, пересекающийся с плоскостью $β$ в точке $M_1$ с координатами $(x_1;y_1; z_1)$, лежит на прямой, направляющим вектором которой является нормальный вектор плоскости $β$. При этом длина единичного вектора $n$ равна единице. Соответственно этому, расстояние от $β$ до точки $M_0$ составит:

$ρ= |\vec{n} \cdot \vec{M_1M_0}|\left(1\right)$, где $\vec{M_1M_0}$ - нормальный вектор плоскости $β$, а $\vec{n}$ - единичный нормальный вектор рассматриваемой плоскости.

В случае, когда уравнение плоскости задано в общем виде $Ax+ By + Cz + D=0$, координаты нормального вектора плоскости представляют собой коэффициенты уравнения $\{A;B;C\}$, а единичный нормальный вектор в этом случае имеет координаты, вычисляемые по следующему уравнению:

$\vec{n}= \frac{\{A;B;C\}}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\left(2\right)$.

Теперь можно найти координаты нормального вектора $\vec{M_1M_0}$:

$\vec{M_0M_1}= \{x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\}\left(3\right)$.

Также выразим коэффициент $D$, используя координаты точки, лежащей в плоскости $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Координаты единичного нормального вектора из равенства $(2)$ можно подставить в уравнение плоскости $β$, тогда мы имеем:

$ρ= \frac{|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}= \frac{|Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\left(4\right)$

Равенство $(4)$ является формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости в пространстве.

Общий алгоритм для нахождения расстояния от точки $M_0$ до плоскости

1. Если уравнение плоскости задано не в общей форме, для начала необходимо привести его к общей.
2. После этого необходимо выразить из общего уравнения плоскости нормальный вектор данной плоскости через точку $M_0$ и точку, принадлежащую заданной плоскости, для этого нужно воспользоваться равенством $(3)$.
3. Следующий этап - поиск координат единичного нормального вектора плоскости по формуле $(2)$.
4. Наконец, можно приступить к поиску расстояния от точки до плоскости, это осуществляется с помощью вычисления скалярного произведения векторов $\vec{n}$ и $\vec{M_1M_0}$.

Пусть существует плоскость . Проведем нормаль
через начало координат О. Пусть заданы
– углы, образованные нормальюс осями координат.
. Пусть– длина отрезка нормали
до пересечения с плоскостью. Считая известными направляющие косинусы нормали, выведем уравнение плоскости.

Пусть
) – произвольная точка плоскости. Вектор единичной нормали имеет координаты. Найдем проекцию вектора
на нормаль.

Поскольку точка М принадлежит плоскости, то

.

Это и есть уравнение заданной плоскости, называющееся нормальным .

Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана плоскость ,М *
– точка пространства,d – её расстояние от плоскости.

Определение. Отклонением точки М* от плоскости называется число (+ d ), если M * лежит по ту сторону от плоскости, куда указывает положительное направление нормали , и число (-d ), если точка расположена по другую сторону плоскости:

.

Теорема . Пусть плоскость с единичной нормальюзадана нормальным уравнением:

Пусть М *
– точка пространства Отклонение т.M * от плоскости задаётся выражением

Доказательство. Проекцию т.
* на нормаль обозначимQ . Отклонение точки М* от плоскости равно

.

Правило. Чтобы найти отклонение т. M * от плоскости, нужно в нормальное уравнение плоскости подставить координаты т. M * . Расстояние от точки до плоскости равно .

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

Пусть одна и та же плоскость задана двумя уравнениями:

Общее уравнение,

Нормальное уравнение.

Поскольку оба уравнения задают одну плоскость, их коэффициенты пропорциональны:

Первые три равенства возведем в квадрат и сложим:

Отсюда найдем – нормирующий множитель:

. (10)

Умножив общее уравнение плоскости на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение плоскости:

Примеры задач на тему «Плоскость».

Пример 1. Составить уравнение плоскости , проходящей через заданную точку
(2,1,-1) и параллельной плоскости.

Решение . Нормаль к плоскости :
. Поскольку плоскости параллельны, то нормальявляется и нормалью к искомой плоскости. Используя уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (3), получим для плоскостиуравнение:

Ответ:

Пример 2. Основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость , является точка
. Найти уравнение плоскости.

Решение . Вектор
является нормалью к плоскости. ТочкаМ 0 принадлежит плоскости. Можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через заданную точку (3):

Ответ:

Пример 3. Построить плоскость , проходящую через точки

и перпендикулярную плоскости :.

Следовательно, чтобы некоторая точка М (x , y , z ) принадлежала плоскости , необходимо, чтобы три вектора
были компланарны:

=0.

Осталось раскрыть определитель и привести полученное выражение к виду общего уравнения (1).

Пример 4. Плоскость задана общим уравнением:

Найти отклонение точки
от заданной плоскости.

Решение . Приведем уравнение плоскости к нормальному виду.

,

.

Подставим в полученное нормальное уравнение координаты точки М* .

.

Ответ:
.

Пример 5. Пересекает ли плоскость отрезок.

Решение . Чтобы отрезок АВ пересекал плоскость, отклонения иот плоскостидолжны иметь разные знаки:

.

Пример 6. Пересечение трех плоскостей в одной точке.

.

Система имеет единственное решение, следовательно, три плоскости имеют одну общую точку.

Пример 7. Нахождение биссектрис двугранного угла, образованного двумя заданными плоскостями.

Пусть и- отклонение некоторой точки
от первой и второй плоскостей.

На одной из биссектральных плоскостей (отвечающей тому углу, в котором лежит начало координат) эти отклонения равны по модулю и знаку, а на другой – равны по модулю и противоположны по знаку.

Это уравнение первой биссектральной плоскости.

Это уравнение второй биссектральной плоскости.

Пример 8. Определение местоположения двух данных точек иотносительно двугранных углов, образованных данными плоскостями.

Пусть
. Определить: в одном, в смежных или в вертикальных углах находятся точкии.

а). Если илежат по одну сторону оти от, то они лежат в одном двугранном углу.

б). Если илежат по одну сторону оти по разные от, то они лежат в смежных углах.

в). Если илежат по разные стороны оти, то они лежат в вертикальных углах.

Системы координат 3

Линии на плоскости 8

Линии первого порядка. Прямые на плоскости. 10

Угол между прямыми 12

Общее уравнение прямой 13

Неполное уравнение первой степени 14

Уравнение прямой “в отрезках” 14

Совместное исследование уравнений двух прямых 15

Нормаль к прямой 15

Угол между двумя прямыми 16

Каноническое уравнение прямой 16

Параметрические уравнения прямой 17

Нормальное (нормированное) уравнение прямой 18

Расстояние от точки до прямой 19

Уравнение пучка прямых 20

Примеры задач на тему «прямая на плоскости» 22

Векторное произведение векторов 24

Свойства векторного произведения 24

Геометрические свойства 24

Алгебраические свойства 25

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей 26

Смешанное произведение трёх векторов 28

Геометрический смысл смешанного произведения 28

Выражение смешанного произведения через координаты векторов 29

Примеры решения задач

, Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 11

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

• обобщение и систематизация знаний и умений учащихся;
• развитие умений анализировать, сравнивать, делать выводы.

Оборудование:

• мультимедийный проектор;
• компьютер;
• листы с текстами задач

ХОД ЗАНЯТИЯ

I. Организационный момент

II. Этап актуализации знаний (слайд 2)

Повторяем как определяется расстояние от точки до плоскости

III. Лекция (cлайды 3-15)

На занятии мы рассмотрим различные способы нахождения расстояния от точки до плоскости.

Первый метод: поэтапно-вычислительный

Расстояние от точки М до плоскости α:
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой a, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α;
– равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β, которая проходит через точку М и параллельна плоскости α.

Решим следующие задачи:

№1. В кубе А…D 1 найти расстояние от точки С 1 до плоскости АВ 1 С.

Осталось вычислить значение длины отрезка О 1 Н.

№2. В правильной шестиугольной призме А…F 1 , все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки А до плоскости DEA 1 .

Следующий метод: метод объемов .

Если объем пирамиды АВСМ равен V, то расстояние от точки М до плоскости α, содержащей ∆АВС вычисляется по формуле ρ(М; α) = ρ(М; АВС) =
При решении задач мы используем равенство объемов одной фигуры, выраженные двумя различными способами.

Решим следующую задачу:

№3. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от А до плоскости, проходящей через середины ребер АВ, АС и АD, если.

При решении задач координатным методом расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле ρ(М; α) = , где М(х 0 ; у 0 ; z 0), а плоскость задана уравнением ax + by + cz + d = 0

Решим следующую задачу:

№4. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDC 1 .

Введем систему координат с началом в точке А, ось у пройдет по ребру АВ, ось х – по ребру АD, ось z – по ребру АА 1 . Тогда координаты точек В (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Составим уравнение плоскости, проходящей через точки В, D, C 1 .

Тогда – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Следовательно, ρ =

Следующий метод, который можно использовать при решении задач данного типа – метод опорных задач.

Применение данного метода состоит в применении известных опорных задач, которые формулируются как теоремы.

Решим следующую задачу:

№5. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки D 1 до плоскости АВ 1 С.

Рассмотрим применение векторного метода.

№6. В единичном кубе А…D 1 найдите расстояние от точки А 1 до плоскости ВDС 1 .

Итак, мы рассмотрели различные способы, которые можно использовать при решении данного типа задач. Выбор того или иного метода зависит от конкретной задачи и ваших предпочтений.

IV. Работа в группах

Попробуйте решить задачу разными способами.

№1. Ребро куба А…D 1 равно . Найдите расстояние от вершины С до плоскости BDC 1 .

№2. В правильном тетраэдре АВСD с ребром найдите расстояние от точки А до плоскости BDC

№3. В правильной треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости ВСА 1 .

№4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от А до плоскости SCD.

V. Итог урока, домашнее задание, рефлексия

Условия параллельности и перпендикулярности

1°. Условие компланарности двух плоскостей

Пусть даны две плоскости:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Когда они компланарны (т. е. параллельны или совпадают)? Очевидно, это будет тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарны. Применяя критерий компла­нарности, получаем

Предложение 1. Две плоскости компланарны тогда и только тогда, когда вектор­ное произведение их нормальных векторов равно нулевому вектору:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Условие совпадения двух плоскостей

Предложение 2. Плоскости (1) и (2) совпадают тогда и только тогда, когда все че­тыре их коэффициента пропорциональны, т. е. существует такое число λ, что

A 2 = λA 1 , B 2 = λB 1 , C 2 = λC 1 , D 2 = λD 1 . (3)

Доказательство. Пусть условия (3) выполнены. Тогда уравнение второй плоскости может быть записано так:

λA 1 x + λB 1 y + λC 1 z + λD 1 = 0.

λ ≠ 0, иначе было бы A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, что противоречит условию n 2 ≠ 0 . Следова­тельно, последнее уравнение эквивалентно уравнению (1), а это означает, что две плоско­сти совпадают.

Пусть теперь, наоборот, известно, что данные плоскости совпадают. Тогда их нор­мальные векторы коллинеарны, т. е. существует такое число λ такое, что

A 2 = λA 1 , B 2 = λB 1 , C 2 = λC 1 .

Уравнение (2) можно теперь переписать в виде:

λA 1 x + λB 1 y + λC 1 z + D 2 = 0.

Умножим уравнение (1) на λ, получим равносильное уравнение первой плоскости (т. к. λ ≠ 0):

λA 1 x + λB 1 y + λC 1 z + λD 1 = 0.

Возьмём какую-нибудь точку (x 0 , y 0 , z 0) из первой (а следовательно, и второй) плоскости и подставим её координаты в последние два уравнения; получим верные равен­ства:

λA 1 x 0 + λB 1 y 0 + λC 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λA 1 x 0 + λB 1 y 0 + λC 1 z 0 + λD 1 = 0.

Вычитая из верхнего нижнее, получим D 2 − λD 1 = 0, т. е. D 2 = λD 1 , QED.

3°. Условие перпендикулярности двух плоскостей

Очевидно, для этого необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы были перпендикулярны.

Предложение 3. Две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда ска­лярное произведение нормальных векторов равно нулю:

(n 1 , n 2) = 0 .

Пусть дано уравнение плоскости

Ax + By + Cz + D = 0, n = {A ; B ; C } ≠ 0 ,

и точка M 0 = (x 0 , y 0 , z 0). Выведем формулу расстояния от точки до плоскости:

Возьмём произвольную точку Q = (x 1 , y 1 , z 1), лежащую в данной плоскости. Её ко­ординаты удовлетворяют уравнению плоскости:

Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0.

Заметим теперь, что искомое расстояние d равно абсолютной величине проекции вектора на направление вектора n (здесь мы берём проекцию как числовую величину, а не как вектор). Далее применяем формулу для вычисления проекции:

Аналогичная формула справедлива для расстояния d от точки M 0 = (x 0 , y 0) плоско­сти до прямой, заданной общим уравнением Ax + By + C = 0.