Система 3 линейных уравнений. Система из трёх уравнений с тремя неизвестными
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ 3 ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Цель:
Развить умение преобразования матриц;
Сформировать навыки решения системы 3 линейных уравнений с тремя переменными методом Крамера ;
Закрепить знания о свойствах определителей 2 и 3 порядка;
Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;
Время выполнения: 2 академических часа;
Ход занятия:
Изучить краткие теоретические сведения;
Выполнить задания;
Сделать вывод по работе;
Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.
Краткие теоретические сведения:
Матрицей называется квадратная или прямоугольная таблица , заполненная числами . Эти числа называются элементами матрицы .
Элементы матрицы , расположенные по горизонталям , образуют строки матрицы . Элементы матрицы , расположенные по вертикалям , образуют столбцы матрицы .
Строки нумеруются слева направо , начиная с номера 1, столбцы нумеруются сверху вниз , начиная с номера 1.
Матрица A , имеющая m строк и n столбцов , называется матрицей размера m на n и обозначается А m∙n . Элемент a i j матрицы A = { a ij } стоит на пересечении i - ой строки и j- го столбца .
Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, ведущая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.
Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие элементы равны.
Каждую матрицу можно умножить на любое число, причем, если k – число, то k ∙ A ={ k ∙ a ij }.
Матрицы одного и того же размера A m ∙n и B m∙ n можно складывать, причем A m ∙n + B m∙ n = { a ij + b i j }.
Операция сложения матриц обладает свойствами A + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .
Пример 1. Выполнив действия над матрицами, найдите матрицу С= 2A - B, где, .
Решение.
Вычислим матрицу 2A размерности 3x3:
Вычислим матрицу С = 2A - В размерности 3x3:
C = 2 A - B .
Определителем матрицы третьего порядка называется число, определяемое равенством:
.
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Рис.1.1. Рис.1.2.
Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из рисунка (1.1.), а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из рисунка (1.2).
Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка по правилу Сарруса:
Решение:
Пример 3. Вычислить определитель третьего порядка методом разложения по элементам первой строки:
Решение:
Используем формулу:
3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.
Рассмотрим основные свойства определителей:
Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.
Если у матрицы умножить любую строку (любой столбец) на какое-либо число, то определитель матрицы умножится на это число.
Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
Определитель меняет знак при перестановке любых двух строк (столбцов) матрицы.
Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.
Определитель не меняется, если к какой-нибудь строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое число. Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов.
Свойства матриц и определителей широко применяют при решении системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
,
где х 1 , х 2 , х 3 – переменные, а 11 , а 12 ,…, а 33 - числовые коэффициенты. Следует помнить, что при решении системы возможен один из трёх вариантов ответа:
1) система имеет единственное решение – (х 1 ; х 2 ; х 3 );
2) система имеет бесконечно много решений (не определена);
3) система не имеет решений (несовместна).
Рассмотрим решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, который позволяет найти единственное решение системы, опираясь на умение вычислять определители третьего порядка:
Пример 3. Найти решение системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными по формулам Крамера:
Решение. Находим определители третьего порядка, используя правило Сарруса или разложение по элементам первой строки :
Находим решение системы по формулам:
Ответ: (- 152; 270; -254)
Задания для самостоятельного выполнения:
I . Найти матрицу преобразования.
II . Вычислить определитель III порядка.
III . Решить систему методом Крамера .
Вариант 1.
1. C = A +3 B , если, . 2. .
Вариант 2.
1. C =2 A - B ,если, . 2. .
Вариант 3.
1. C = 3 A + B , если, . 2. .
Вариант 4.
1. C = A - 4 B , если, . 2. .
Вариант 5.
1. C = 4 A - B , если, . 2. .
Вариант 6.
1. C = A +2 B , если, . 2. .
Вариант 7.
1. C =2 A + B , если, . 2. .
Вариант 8.
1. C =3 A - B , если, . 2. .
Вариант 9.
1. C = A - 3 B , если, . 2. .
Вариант 10.
1. C = A - 2 B , если, . 2. .
Вариант 11.
1. C = A +4 B , если, . 2. .
Вариант 12.
1. C =4 A + B , если, . 2. .
Вариант 13.
1. C = A +3 B , если, . 2. .
Вариант 14.
1. C =2 A - B , если, . 2. .
Вариант 15.
1. C =3 A + B , если, . 2. .
Вопросы для самоконтроля:
Что называется матрицей?
Правила вычисления определителей третьего порядка?
Запишите формулы Крамера для решения системы трёх линейных уравнений с тремя переменными.
Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.
Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы 
, которую назовём матрицей
системы
.
Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.
Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .
Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:
Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .
Рассмотрим способы нахождения решений системы.
МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:
Рассмотрим
матрицу системы 
и матрицы столбцы
неизвестных и свободных членов 
Найдем произведение
т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде
или короче A
∙X=B
.
Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .
Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .
Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .
Примеры. Решить системы уравнений.
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы .
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца
Аналогично можно показать, что и .
Наконец несложно заметить, что 
Таким образом, получаем равенство: .
Следовательно, .
Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Примеры. Решить систему уравнений
МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .
При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.
Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:
и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
- перестановка строк или столбцов;
- умножение строки на число, отличное от нуля;
- прибавление к одной строке другие строки.
Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.
Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.
Система линейных уравнений имеет вид
где - коэффициенты; - свободные члены; - неизвестные величины.
Решением этой системы называется совокупность чисел которые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (2).
Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности системы (2) необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу расширенной матрицы:
Правило Крамера. Если ранг матрицы совместной системы равен числу ее неизвестных, то система является определенной. Если число неизвестных системы (2) совпадает с числом уравнений и матрица системы невырожденная то система имеет единственное решение, которое находится по правилу Крамера:
В этих формулах - определитель системы, а - определитель, полученный из определителя системы заменой столбца столбцом свободных членов
Матричное решение системы. Система линейных уравнений (2) может быть записана в матричной форме
где А - матрица системы; X - матрица-столбец неизвестных; В - матрица-столбец свободных членов. Если матрица А квадратная и невырожденная, то решение системы (3) может быть записано в матричной форме:
Равносильные системы уравнений. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Нахождение решений системы линейных уравнений основано на переходе к равносильной системе, которая проще исходной. Укажем простейшие операции, которые приводят к равносильной системе:
1) перемена местами двух уравнений в системе;
2) умножение какого-либо уравнения системы на действительное число (отличное от нуля);
3) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число.
Неизвестное называется разрешенным или базисным, если какое-нибудь уравнение системы содержит его с коэффициентом 1, а во все остальные уравнения не входит.
Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвестное, то такая система называется разрешенной. Ее неизвестные, не являющиеся базисными, называются свободными.
Для отыскания всех решений совместной системы линейных уравнений достаточно найти равносильную ей разрешенную систему. Если все неизвестные окажутся базисными, то разрешенная система дает значения этих неизвестных, составляющие единственное решение исходной системы. В противном случае выражают базисные неизвестные через свободные.
Метод Жордана - Гаусса. Запишем систему линейных уравнений (2) в виде таблицы
Жордановым преобразованием системы с разрешающим элементом называется следующая последовательность действий:
1) умножение строки таблицы на число ;
2) прибавление к первой строке таблицы ее строки (полученной после первого действия), умноженной на -
3) прибавление ко второй строке строки, умноженной на - и т. д.
После этих преобразований неизвестное станет разрешенным, все коэффициенты столбца будут равны нулю, кроме
Проводя последовательно жордановы преобразования с разрешающими элементами, взятыми в различных строках, получим разрешенную систему, равносильную исходной.
Если в результате преобразований все коэффициенты при неизвестных в какой-нибудь строке окажутся равными нулю, а свободный член этой строки не будет равным нулю, то данная система уравнений несовместна. Если же получится строка, состоящая из одних нулей, то она вычеркивается из таблицы.
Пример 1. Решить систему уравнений
Решение. Запишем эту систему в виде таблицы и проведем ее преобразование к разрешенному виду в шесть шагов.
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид:
где aij- коэффициенты при неизвестных х, у и z, индексы: i = 1,2,3 - определяют номер уравнения и j = 1,2,3 - номер неизвестного.
Определение: Решением системы уравнений (3) называется тройка чисел (х0,у0,z0), при подстановке которой в эту систему все уравнения обращаются в верные числовые тождества.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ уравнений с тремя неизвестными
Геометрически система уравнений (3) задает 3 плоскости в пространстве.
При этом возможны 3 случая:
- 1) плоскости пересекаются в единой точке с координатами (x0,y0,z0), система в этом случае имеет единственное решение - она совместна и определена;
- 2) плоскости совпадают друг с другом - система имеет бесконечное множество решений, т.е. она совместна, но не определена;
- 3) плоскости параллельны друг другу и общих точек пересечения не имеют - система несовместна и решений не имеет.
Данную систему (3) можно решить методом Крамера с помощью определителей третьего порядка.
Введем понятие матрицы и определителя третьего порядка.
МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
Определение: Квадратной матрицей 3 -го порядка называется таблица чисел, которая состоит из 3-х строк и 3-х столбцов и обозначается:
где аi,j - называются элементами матрицы, индексы: i = 1, 2, 3 - определяет номер; строки, j = 1, 2, 3 - номер столбца. Элементы а11а22а33 образуют главную диагональ матрицы, а элементы а13а22а31 образуют побочную диагональ матрицы.
Каждая матрица характеризуется своим определителем.
Определение: Определителем матрицы 3-го порядка называется число, которое вычисляется методом диагоналей - как разность суммы произведений элементов главных диагоналей и суммы произведений элементов побочных диагоналей.
Определитель 3-го порядка обозначается и вычисляется по следующей схеме:
Существует другой, универсальный способ вычисления определителей 3-го порядка, который называется методом разложения и реализуется по следующей схеме:
Данная формула называется формулой разложения по элементам 1-ой строки. Эта формула позволяет вычисление определителя 3-го порядка свести к вычислению определителей 2-го порядка.
Для раскрытия сущности этой формулы введем два понятия - минора и алгебраического дополнения.
Определение: Минором Мij элемента aij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, полученный путем вычеркивания i - строки и j - столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Так, для a11 соответствует минор M11 =, для a12 - минор M12=, а для а13- минор M13 =.
Определение: Алгебраическим дополнением Аij элемента aij называется его минор Мij, взятый со знаком +, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная и со знаком - , если эта сумма нечетная, т.е.: Aij = (-1)i+jMij.
Например: A11 = (-1)1+1M11 = M11; A12 = (-1)1+2M12 = -M12; A13 = (-1)1+3 M13 = M13.
Схема чередования знаков миноров для соответствующих элементов матрицы: .
Исходя из этих понятий, формулу разложения по элементам 1-ой строки при вычислении определителя 3-го порядка можно записать так:
Определитель может быть разложен по любой строке или столбцу и равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Этот способ вычисления определителей называется методом разложения. Он универсален и применим для определителей любого порядка.
Перейдем к решению системы линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера.
Систему: (3) путем последовательного исключения неизвестных х, у и z можно привести к равносильной (эквивалентной) системе (4), имеющей одинаковые решения с исходной системой (3): (4), где - определитель системы, - определители неизвестных x, y, z, которые получаются из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при неизвестном на столбец свободных членов.
При решении системы (4) возможны 3 случая при выполнении следующих условий:
Если определитель системы, то, поделив обе части уравнений системы на, найдем неизвестные по формулам Крамера:
При первом условии система имеет единственное решение, она совместна и определена. Три плоскости пересекаются в одной точке с координатами (х0, у0, z0).
1. Если определитель системы и все определители неизвестных, то имеем и при любых значениях x, y и z имеем верное тождество.
При втором условии система имеет бесконечное множество решений, она совместна, но не определена. Плоскости совпадают друг с другом.
2. Если определитель системы, а определители неизвестных могут быть или или, то имеем:, что невозможно при любых значениях х и у.
При третьем условии система решения не имеет, она не совместна. Плоскости параллельны друг другу и общих точек не имеют.
Метод решения системы линейных уравнений с помощью определителей называется методом Крамера.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
- 1) Вычислим определители системы и неизвестных, х, у и z.
- а) методом разложения по 1-ой строке:
б) методом диагоналей:
2) Найдем решение системы по формулам Крамера:
х0 ; у0 = z0 =
Проверка: (верно).
Ответ: (х0=0, у0= -1, z0=2)-точка пересечения плоскостей.
2.3.1. Определение .
Пусть даны линейные уравнения:
a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)
a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)
a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)
Если требуется найти общее решение уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), то говорят, что они образуют систему . Система, состоящая из уравнений (2.3.1) ¾ (2.3.3), обозначается следующим образом:
Общее решение уравнений, составляющих систему, называется решением системы . Решить систему (2.3.4) ¾ это значит либо найти множество всех его решений, либо доказать, что их нет.
Как и в предыдущих случаях, ниже мы найдем условия, при которых система (2.3.4) имеет единственное решение, имеет более одного решения и не имеет ни одного решения.
2.3.2. Определение . Пусть дана система (2.3.4) линейных уравнений. Матрицы
называются соответственно (основной ) матрицей и расширенной матрицей системы.
2.3.3. Определения равносильных систем вида (2.3.4), а также элементарных преобразований 1-го и 2-го типов вводятся аналогично, как и для систем из двух уравнений с двумя и тремя неизвестными.
Элементарным преобразованием 3-го типа системы (2.3.4) называется перемена местами некоторых двух уравнений этой системы. Аналогично предыдущим случаям систем из 2-х уравнений при элементарных преобразованиях системы получается система , равносильная данной .
2.3.4. Упражнение . Решить системы уравнений:
Решение. а)
(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы (преобразование 3-го типа).
(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего (преобразование 2-го типа); таким образом, из второго и третьего уравнений исключили неизвестную x .
(3) Второе уравнение, умноженное на 14, вычли из третьего; из третьего исключили неизвестную y .
(4) Из последнего уравнения находим z = 1, подставляя которое во второе, находим y = 0. Наконец, подставляя y = 0 и z = 1 в первое уравнение, находим x = -2.ñ
(1) Поменяли местами первое и второе уравнения системы.
(2) Первое уравнение, умноженное на 4, вычли из второго, и первое уравнение, умноженное на 6, вычли из третьего.
(3) Второе и третье уравнения совпали. Одно из них исключаем из системы (или, по-другому, если вычесть из третьего уравнения второе, то третье уравнение обратится в тождество 0 = 0;оно исключается из системы. Полагаем z = a .
(4) Подставляем z = a во второе и первое уравнения.
(5) Подставляя y = 12 - 12a в первое уравнение, находим x .
в) Если первое уравнение разделить на 4, а третье ¾ на 6, то придём к равносильной системе
которая равносильна уравнению x - 2y - z = -3. Решения этого уравнения известны (см. Пример 2.2.3 б))
Последнее равенство в полученной системе является противоречивым. Следовательно, система решений не имеет.
Преобразования (1) и (2) ¾ точно такие же, как и соответствующие преобразования системы б))
(3) Из последнего уравнения вычли второе.
Ответ: а) (-2; 0; 1);
б) (21 - 23a ; 12 - 12a ; a ), a ÎR ;
в) {(-3 + 2a + b ; a ; b )|a , b ÎR };
г) Система решений не имеет.
2.3.5. Из предыдущих примеров вытекает, что система с тремя неизвестными , как и система с двумя неизвестными, может иметь единственное решение , бесконечное множество решений и не иметь ни одного решения . Ниже мы разберём все возможные случаи. Но предварительно введём некоторые обозначения.
Через D обозначим определитель матрицы системы:
Через D 1 обозначим определитель, полученный из D заменой первого столбца на столбец свободных членов:
Аналогично, положим
D 2 = и D 3 = .
2.3.6. Теорема . Если D¹0, то система (2.3.4) имеет единственное решение
, , . (2.3.5)
Формулы (2.3.5) называются формулами = = 0 для всех i ¹j и хотя бы один из определителей , , не равен нулю , то система решений не имеет .
4) Если = = = = = = 0 для всех i ¹j , то система имеет бесконечное множество решений , зависящих от двух параметров .
