Точка пересечения прямой и плоскости онлайн. Пересечение прямой с плоскостью и пересечение двух плоскостей

Данная глава рассказывает о том, как найти координаты точки пересечения прямой с плоскостью при заданных уравнениях, определяющих эту плоскость. Будет рассмотрено понятие точки пересечения прямой с плоскостью, два способа нахождения координат точки пересечения прямой с плоскостью.

Для углубленного изучения теории необходимо начать рассмотрение с понятия точки, прямой, плоскости. Понятие о точке, прямой линии рассматривается как на плоскости, так и в пространстве. Для детального рассмотрения необходимо обратиться к теме о прямой и плоскости в пространстве.

Существует несколько вариаций расположения прямой относительно плоскости и пространства:

• прямая лежит в плоскости;
• прямая параллельна плоскости;
• прямая пересекает плоскость.

Если рассмотреть третий случай, то отчетливо видно, что прямая с плоскостью при пересечении образуют общую точку, которую называют точкой пересечения прямой и плоскости. рассмотрим данный случай на примере.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости

Была введена прямоугольная система координат О х у z трехмерного пространства. Каждая прямая имеет свое собственное уравнение, а каждая плоскость соответствует своему заданному уравнению, каждая точка имеет определенное количество действительных чисел – координат.

Чтобы подробно разобраться в теме координат пересечения, необходимо знать все виды уравнения прямой в пространстве и уравнений плоскости. в данном случае пригодятся знания о переходе от одного вида уравнения к другому.

Рассмотрим задачу, которая основывается на заданном пересечении прямой и плоскости. она сводится к нахождению координат пересечений.

Пример 1

Вычислить, может ли точка М 0 с координатами - 2 , 3 , - 5 являться точкой пересечения прямой x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 с плоскостью x - 2 y - z + 3 = 0 .

Решение

Когда точка принадлежит некоторой прямой, координаты точки пересечения являются решением обоих уравнения. Из определения имеем, что при пересечении образуется общая точка. Для решения задания необходимо подставить в оба уравнения координаты точки М 0 и вычислить. Если она является точкой пересечения, то оба уравнения будут соответствовать.

Представим координаты точки - 2 , 3 , - 5 и получим:

2 + 3 - 1 = 3 - 3 = - 5 + 2 3 ⇔ - 1 = - 1 = - 1 - 2 - 2 · 3 - (- 5) + 3 = 0 ⇔ 0 = 0

Так как получаем верные равенства, делаем вывод, что точка М 0 - точка пересечения заданной прямой с плоскостью.

Ответ: заданная точка с координатами является точкой пересечения.

Если координаты точки пересечения являются решением обоих уравнений, то они пересекаются.

Первый способ нахождения координат пересечения прямой и плоскости.

Когда задается прямая a с плоскостью α прямоугольной системы координат, известно, что они пересекаются в точке М 0 . Для начала займемся поиском координат заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости, имеющего вид A x + B y + C z + D = 0 с прямой линией a , являющейся пересечением плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Данный способ задания прямой в пространстве рассматривается в статье уравнения прямой и уравнения двух пересекающихся плоскостей.

Необходимые нам координаты прямой a и плоскости α должны удовлетворять обоим уравнениям. Таким образом задается система линейных уравнений, имеющая вид

A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Решение системы подразумевает обращение каждого тождества в верное равенство. Следует отметить, что при таком решении мы определяем координаты пересечения 3 плоскостей вида A x + B y + C z + D = 0 , A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 , A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 . Для закрепления материала рассмотрим решение данных задач.

Пример 2

Прямая задана уравнением двух пересекающихся плоскостей x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 , причем пересекает еще одну 3 x - z + 7 = 0 . Необходимо найти координаты точки пересечения.

Решение

Необходимые координаты получим при составлении и решении системы, имеющей вид x - y + 3 = 0 5 x + 2 z + 8 = 0 3 x - z + 7 = 0 .

Следует обратить внимание на тему решения систем линейных уравнений.

Возьмем систему уравнений вида x - y = - 3 5 x + 2 z = - 8 3 x - z = - 7 и произведем вычисления по определителю основной матрицы системы. Получаем, что

∆ = 1 - 1 0 5 0 2 3 0 - 1 = 1 · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · 3 + 0 · 5 · 0 - 0 · 0 · 3 - 1 · 2 · 0 - (- 1) · 5 · (- 1) = - 11

Так как определитель матрицы не равен нулю, система имеет только одно решение. Для этого мы применим метод Крамера. Он считается очень удобным и подходящим для данного случая.

∆ x = - 3 - 1 0 - 8 0 2 - 7 0 - 1 = (- 3) · 0 · (- 1) + (- 1) · 2 · (- 7) + 0 · (- 8) · 0 - - 0 · 0 · (- 7) - (- 3) · 2 · 0 - (- 1) · (- 8) · (- 1) = 22 ⇒ x = ∆ x ∆ = 22 - 11 = - 2 ∆ y = 1 - 3 0 5 - 8 2 3 - 7 - 1 = 1 · (- 8) · (- 1) + (- 3) · 2 · 3 + 0 · 5 · (- 7) - - 0 · (- 8) · 3 - 1 · 2 · (- 7) - (- 3) · 5 · (- 1) = - 11 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 11 - 11 = 1 ∆ z = 1 - 1 - 3 5 0 - 8 3 0 - 7 = 1 · 0 · (- 7) + (- 1) · (- 8) · 3 + (- 3) · 5 · 0 - - (- 3) · 0 · 3 - 1 · (- 8) · 0 - (- 1) · 5 · (- 7) = - 11 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 11 - 11 = 1

Отсюда следует, что координаты точки пересечения заданной прямой и плоскости имеет значение (- 2 , 1 , 1) .

Ответ: (- 2 , 1 , 1) .

Система уравнений вида A x + B y + C z + D = 0 A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 имеет одно единственное решение. Когда прямая a определена такими уравнениями, как A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а плоскость α задается уравнением A x + B y + C z + D = 0 , то они пересекаются. Когда прямая лежит в плоскости, система выдает бесконечное множество решений. При их параллельности уравнение решений не имеет, так как нет общих точек пересечения.

Пример 3

Найти точку пересечения прямой z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 и плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 .

Решение

Заданные уравнения необходимо преобразовать в систему z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 2 x - y - 3 z + 1 = 0 . Когда она будет иметь единственное решение, то получим искомые координаты пересечения в точке. При условии, если нет решений, то они параллельны, либо прямая лежит в этой же плоскости.

Получим, что основная матрица системы – A = 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 , расширенная – T = 0 0 1 1 2 - 1 0 2 2 - 1 - 3 - 1 . Нам необходимо определить ранг матрицы A и T методом Гаусса:

1 = 1 ≠ 0 , 0 1 - 1 0 = 1 ≠ 0 , 0 0 1 2 - 1 0 2 - 1 - 3 = 0 , 0 1 1 - 1 0 2 - 1 - 3 - 1 = 0

Тогда получим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Применим теорему Кронекера-Капелли, отсюда видно, что у системы есть бесконечное множество решений. Получим, что прямая z - 1 = 0 2 x - y - 2 = 0 принадлежит плоскости 2 x - y - 3 z + 1 = 0 , что говорит об их невозможности пересечения и наличии общей точки.

Ответ: нет координат точки пересечения.

Пример 4

Задано пересечение прямой x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 и плоскости x + 4 y - 7 z + 2 = 0 , найти координаты точки пересечения.

Решение

Необходимо собрать заданные уравнения в систему вида x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 . Для решения применяем метод Гаусса. С его помощью мы определим все имеющиеся решения коротким путем. Для этого запишем

x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 x + 4 y - 7 z + 2 = 0 ⇔ x + z = - 1 2 x + y = 4 x + 4 y - 7 z = - 2 ⇔ ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 4 y - 8 z = - 1 ⇔ x + z = - 1 y - 2 z = 6 0 = - 25

Применив метод Гауса, стало понятно, что равенство неверное, так как система уравнений решений не имеет.

Делаем вывод, что прямая x + z + 1 = 0 2 x + y - 4 = 0 с плоскостью x + 4 y - 7 z + 2 = 0 не имеют пересечений. Отсюда следует, что невозможно найти координаты точки, так как они не пересекаются.

Ответ: нет точек пересечения, так как прямая параллельна плоскости.

Когда прямая имеет задана параметрическим или каноническим уравнением, то отсюда можно найти уравнение пересекающихся плоскостей, которые определяют прямую a , после чего искать необходимые координаты точки пересечений. Имеется еще один метод, который применяется для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Второй способ нахождения точки начинается с задания прямой a , пересекающей плоскость α в точке М 0 . Необходимо найти координаты заданной точки пересечения при заданном уравнении плоскости A x + B y + C z + D = 0 . Прямую а определяем параметрическими уравнениями, имеющими вид x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R .

Когда в уравнение A x + B y + C z + D = 0 производится подстановка x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , выражение примет вид уравнения с неизвестной λ . Необходимо разрешить его относительно λ , тогда получим λ = λ 0 , которое соответствует координатам точки, в которой они пересекаются. Вычисление координат точки производится из x = x 1 + a x · λ 0 y = y 1 + a y · λ 0 z = z 1 + a z · λ 0 .

Подробнее этот способ будет рассмотрен на примерах, приведенных ниже.

Пример 5

Найти координаты точки пересечения прямой x = - 1 + 4 · λ y = 7 - 7 · λ z = 2 - 3 · λ , λ ∈ R с плоскостью x + 4 y + z - 2 = 0 .

Решение

Для решения системы, необходимо произвести подстановку. Тогда получаем, что

1 + 4 · λ + 4 · 7 - 7 · λ + 2 - 3 · λ - 2 = 0 ⇔ - 27 · λ + 27 = 0 ⇔ λ = 1

Найдем координаты точки пересечения плоскости с прямой, используя параметрические уравнения, со значением λ = 1 .

x = - 1 + 4 · 1 y = 7 - 7 · 1 z = 2 - 3 · 1 ⇔ x = 3 y = 0 z = - 1

Ответ: (3 , 0 , - 1) .

Когда прямая вида x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , λ ∈ R принадлежит плоскости A x + B y + C z + D = 0 , тогда необходимо подставить туда уравнение плоскости выражения x = x 1 + a x · λ , y = y 1 + a y · λ , z = z 1 + a z · λ , тогда получим тождество такого вида 0 ≡ 0 . При параллельности плоскости и прямой получаем неверное равенство, так как нет точек пересечения.

Если прямая задана каноническим уравнением, имеющим вид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z , тогда необходимо переходить от канонических к параметрическим при поиске координат точки пересечения прямой с плоскостью A x + B y + C z + D = 0 , то есть получим x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ⇔ x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ и применим необходимы способ для нахождения координат точки пересечения заданной прямой и плоскости в пространстве.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Известно, что прямая пересекает плоскость, если она не принадлежит этой плоскости и не параллельна ей. Следуя приведенному ниже алгоритму, найдем точку пересечения прямой a с плоскостью общего положения α, заданной следами h 0α , f 0α .

Алгоритм

1. Через прямую a проводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость γ. На рисунке обозначены её следы h 0γ , f 0γ .
2. Строим проекции прямой AB, по которой пересекаются плоскости α и γ. В данной задаче точка B" = h 0α ∩ h 0γ , A"" = f 0α ∩ f 0γ . Точки A" и B"" лежат на оси x, их положение определяется по линиям связи.
3. Прямые a и AB пересекаются в искомой точке K. Её горизонтальная проекция K" = a" ∩ A"B". Фронтальная проекция K"" лежит на прямой a"".

Алгоритм решения останется тем же, если пл. α будет задана параллельными, скрещивающимися прямыми, отсеком фигуры или другими возможными способами .

Видимость прямой a относительно плоскости α. Метод конкурирующих точек

1. Отметим на чертеже фронтально-конкурирующие точки A и С (рис. ниже). Будем считать, что точка A принадлежит пл. α, а С лежит на прямой a. Фронтальные проекции A"" и С"" совпадают, но при этом т. A и С удалены от плоскости проекций П 2 на разное расстояние.
2. Найдем горизонтальные проекции A" и C". Как видно на рисунке, точка C" удалена от плоскости П 2 на большее расстояние, чем т. A", принадлежащая пл. α. Следовательно, участок прямой а"", расположенный левее точки K"", будет видимым. Участок a"" правее K"" является невидимым. Отмечаем его штриховой линией.
3. Отметим на чертеже горизонтально-конкурирующие точки D и E. Будем считать, что точка D принадлежит пл. α, а E лежит на прямой a. Горизонтальные проекции D" и E" совпадают, но при этом т. D и E удалены от плоскости П 1 на разное расстояние.
4. Определим положение фронтальных проекций D"" и E"". Как видно на рисунке, точка D"", находящаяся в пл. α, удалена от плоскости П 1 на большее расстояние, чем т. E"", принадлежащая прямой a. Следовательно, участок а", расположенный правее точки K", будет невидимым. Отмечаем его штриховой линией. Участок a" левее K" является видимым.

Здравствуйте друзья! Сегодня разбираем тему из начертательной геометрии – пересечение прямой линии с плоскостью и определение видимости прямой .

Задание берем из сборника Боголюбова, 1989 год, стр. 63, вар. 1. Нам требуется по заданным координатам построить комплексный чертеж треугольника ABC и прямой MN. Найти точку встречи (пересечения) прямой с непрозрачной плоскостью ABC.Определить видимые участки прямой.

Пересечение прямой линии с плоскостью

1. По координатам точек A, B и C строим комплексный чертеж треугольника и прямой NM. Начинаем чертить с горизонтальной проекции. Координаты точек проекции находим при помощи вспомогательных прямых.

2. Получаем вот такой комплексный чертеж.

3. Для определения координат точки пересечения прямой и плоскости выполним следующее.

a) Через прямую NM проводим вспомогательную плоскость Р, т.е. на фронтальной проекции проводим след плоскости Pv, на горизонтальную плоскость опускаем перпендикуляр Рн – горизонтальный след плоскости Р.

b) Находим фронтальную проекцию линии пересечения следа плоскости Р с треугольником АВС. Это отрезок d’e’. Горизонтальную проекцию находим по линиям связи до пересечения со сторонами ab (т. d) и ac (т. e) треугольника. Точки d и e соединяем.

c) Вместе пересечения de и nm будет находиться горизонтальная проекция искомой точки пересечения прямой линии с плоскостью k.

d) Проводим линию связи из k до пересечения с d’e’, получаем фронтальную проекцию точки k’.

e) по линиям связи находим профильную проекцию точки k’’.

Координаты точки пересечения прямой и плоскости К найдены. Эта точка также называется точкой встречи прямой и плоскости.

Определение видимости прямой

Для определения видимости прямой воспользуемся методом конкурирующих точек.

Применительно к нашему чертежу конкурирующими будут точки:

— точки: d’ принадлежащая a’b’ и e’ принадлежащая n’m’ (фронтально конкурирующие),

— точки: g принадлежащая bc и h принадлежащая nm (горизонтально конкурирующие),

— точки: l’’ принадлежащая b’’c’’ и p’’ принадлежащая n’’m’’ (профильно конкурирующие).

Из двух конкурирующих точек видимой будет та, высота которой будет больше. Граница видимости ограничена точкой К.

Для пары точек d’ и e’ видимость определяем так: опускаем перпендикуляр до пересечения с ab и nm на горизонтальной проекции, находим точки d и f. Видим, что координата по y для точки f больше, чем у d → точка f видима → видима прямая nm на участке f’k’, а на участке k’m’ невидима.

Аналогично рассуждаем и для пары точек g и h: на фронтальной проекции координата по z у точки h’ больше, чем у g’ → точка h’ видима, g’ – нет → прямая nm на отрезке hk видима, а на участке kn невидима.

И для пары точек l’’p’’: на фронтальной проекции координата по x больше у точки p’, а значит она закрывает собой точку l’’ на профильной проекции → р’’ видима, l’’ нет → отрезок прямой n’’k’’ видим, k’’m’’ невидим.

В этой статье мы ответим на вопрос: «Как найти координаты точки пересечения прямой и плоскости, если заданы уравнения, определяющие прямую и плоскость»? Начнем с понятия точки пересечения прямой и плоскости. Далее покажем два способа нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости. Для закрепления материала рассмотрим подробные решения примеров.

Навигация по странице.

Точка пересечения прямой и плоскости – определение.

Возможны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

• прямая лежит в плоскости;
• прямая параллельна плоскости;
• прямая пересекает плоскость.

Нас интересует третий случай. Напомним, что означает фраза: «прямая и плоскость пересекаются». Говорят, что прямая и плоскость пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Это общую точку пересекающихся прямой и плоскости называют точкой пересечения прямой и плоскости .

Приведем графическую иллюстрацию.

Нахождение координат точки пересечения прямой и плоскости.

Введем в трехмерном пространстве Oxyz . Теперь каждой прямой соответствуют уравнения прямой некоторого вида (им посвящена статья виды уравнений прямой в пространстве), каждой плоскости отвечает уравнение плоскости (можете ознакомиться со статьей виды уравнения плоскости), а каждой точке соответствует упорядоченная тройка чисел – координаты точки. Дальнейшее изложение подразумевает знание всех видов уравнений прямой в пространстве и всех видов уравнения плоскости, а также умение переходить от одного вида уравнений к другому виду. Но не пугайтесь, по тексту мы будем приводить ссылки на необходимую теорию.

Давайте сначала детально разберем задачу, решение которой мы можем получить на основании определения точки пересечения прямой и плоскости. Эта задача нас подготовит к нахождению координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Является ли точка М 0 с координатами точкой пересечения прямой и плоскости .

Решение.

Нам известно, что если точка принадлежит некоторой прямой, то координаты точки удовлетворяют уравнениям прямой. Аналогично, если точка лежит в некоторой плоскости, то координаты точки удовлетворяют уравнению этой плоскости. По определению точка пересечения прямой и плоскости является общей точкой прямой и плоскости, тогда координаты точки пересечения удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости.

Таким образом, для решения поставленной задачи нам следует подставить координаты точки М 0 в заданные уравнения прямой и в уравнение плоскости. Если при этом все уравнения обратятся в верные равенства, то точка М 0 является точкой пересечения заданных прямой и плоскости, в противном случае точка М 0 не является точкой пересечения прямой и плоскости.

Подставляем координаты точки :

Все уравнения обратились в верные равенства, следовательно, точка М 0 принадлежит одновременно и прямой и плоскости , то есть, М 0 является точкой пересечения указанных прямой и плоскости.

Ответ:

Да, точка - это точка пересечения прямой и плоскости .

Итак, координаты точки пересечения прямой и плоскости удовлетворяют как уравнениям прямой, так и уравнению плоскости. Этим фактом и будем пользоваться при нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Первый способ нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости.

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы прямая a и плоскость , причем известно, что прямая a и плоскость пересекаются в точке М 0 .

Искомые координаты точки пересечения прямой a и плоскости , как мы уже говорили, удовлетворяют и уравнениям прямой a , и уравнению плоскости , следовательно, они могут быть найдены как решение системы линейных уравнений вида . Это действительно так, так как решение системы линейных уравнений обращает каждое уравнение системы в тождество.

Отметим, что при такой постановке задачи мы фактически находим координаты точки пересечения трех плоскостей, заданных уравнениями , и .

Решим пример для закрепления материала.

Пример.

Прямая, заданная уравнениями двух пересекающихся плоскостей как , пересекает плоскость . Найдите координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Решение.

Требуемые координаты точки пересечения прямой и плоскости мы получим, решив систему уравнений вида . При этом будем опираться на информацию статьи .

Для начала перепишем систему уравнений в виде и вычислим определитель основной матрицы системы (при необходимости обращайтесь к статье ):

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому система уравнений имеет единственное решение. Для его отыскания можно воспользоваться любым методом. Мы используем :

Так мы получили координаты точки пересечения прямой и плоскости (-2, 1, 1) .

Ответ:

(-2, 1, 1) .

Следует отметить, что система уравнений имеет единственное решение, если прямая a , определенная уравнениями , и плоскость , заданная уравнением , пересекаются. Если прямая a лежит в плоскости , то система имеет бесконечное множество решений. Если же прямая a параллельна плоскости , то система уравнений решений не имеет.

Пример.

Найдите точку пересечения прямой и плоскости , если это возможно.

Решение.

Оговорка «если это возможно» означает, что прямая и плоскость могут не пересекаться.

. Если эта система уравнений имеет единственное решение, то оно даст нам искомые координаты точки пересечения прямой и плоскости. Если эта система не имеет решений или имеет бесконечно много решений, то о нахождении координат точки пересечения не может быть и речи, так как прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Основная матрица системы имеет вид , а расширенная матрица - . Определим А и ранг матрицы Т :
. То есть, ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы и равен двум. Следовательно, на основании теоремы Кронекера-Капелли можно утверждать, что система уравнений имеет бесконечное множество решений.

Таким образом, прямая лежит в плоскости , и мы не можем говорить о нахождении координат точки пересечения прямой и плоскости.

Ответ:

Невозможно найти координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Пример.

Если прямая пересекается с плоскостью , то найдите координаты точки их пересечения.

Решение.

Составим систему из заданных уравнений . Для нахождения ее решения используем . Метод Гаусса позволит нам не только определить, имеет ли записанная система уравнений одно решение, бесконечное множество решений или не имеет ни одного решения, но и найти решения в случае их наличия.

Последнее уравнение системы после прямого хода метода Гаусса стало неверным равенством, следовательно, система уравнений не имеет решений. Отсюда заключаем, что прямая и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, мы не можем говорить о нахождении координат их точки пересечения.

Ответ:

Прямая параллельна плоскости и они не имеют точки пересечения.

Заметим, что если прямой a соответствуют параметрические уравнения прямой в пространстве или канонические уравнения прямой в пространстве , то можно получить уравнения двух пересекающихся плоскостей, определяющих прямую a , и после этого находить координаты точки пересечения прямой a и плоскости разобранным способом. Однако проще использовать другой метод, к описанию которого мы и переходим.

Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.
Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:
1) проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи ) через данную прямую;
2) нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;
3) определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.

Пример 1. На (фиг.250,а) даны плоскость δ (δ 1 ) и прямая АВ (А 1 В 1 и А 2 В 2 ); требуется определить точку их пересечения.

В этом случае нет надобности прибегать к вспомогательной плоскости, так как данная плоскость δ - горизонтально - проектирующая. По свойству проектирующих плоскостей горизонтальная проекция точки пересечения, лежащая в плоскости δ , сливается с горизонтальной проекцией δ 1 .
Поэтому точка К 1 пересечения горизонтальной проекции А 1 В 1 прямой АВ с горизонтальной проекцией δ 1 есть горизонтальная проекция точки пересечения К ; фронтальная проекция К 2 определяется путем проведения вертикальной линии связи до пересечения ее с фронтальной проекцией А 2 В 2 .
Пример 2 . На (фиг.250,б) приведен пример пересечения прямой АВ с фронтально - проектирующей плоскостью δ .

Пример 1. Даны: плоскость общего положения а и прямая общего положения АВ (А 1 В 1 А 2 В 2 ); требуется найти точку их пересечения (фиг.251,а).
Проводим через прямую АВ какую - либо вспомогательную плоскость, например горизонтально - проектирующую плоскость δ (δ 1 ), как показано на (фиг.251,б); она пересечет плоскость a по прямой NM (N 1 M 1 , N 2 М 2 ), которая, в свою очередь, пересечет прямую АВ (А 1 В 1 А 2 В 2 ) в точке С (С 1 С 2 ), что видно на (фиг.251,в). Точка С есть точка пересечения прямой АВ с плоскостью а .

Пример 2. На (фиг.252) приведен пример нахождения проекций точки пересечения прямой AB c плоскостью общего положения при помощи горизонтали h .
Пример 3. Даны: треугольник ABC и прямая NM ; требуется определить точку их пересечения (фиг.253,а).
Возьмем в качестве вспомогательной плоскости горизонтально - проектирующую плоскость δ , тогда горизонтальная проекция ог сольется с горизонтальной проекцией N 1 M 1 прямой NM и пересечет проекции сторон треугольника в точках Е 1 и F 1 (фиг.253,б). Отрезок Е 1 F 1 будет горизонтальной проекцией линии пересечения. Затем находим фронтальную проекцию линии пересечения: при помощи вертикальных линий связи получаем точки Е 2 и F 2 , проводим через них прямую E 2 F 2 , которая будет фронтальной проекцией линии пересечения.
Прямая E 2 F 2 пересекает прямую N 2 М 2 в точке К 2 . Точка К 2 будет фронтальной проекцией точки пересечения прямой MN с прямой EF ; горизонтальную проекцию K 1 этой точки определяем при помощи вертикальной линии связи.
Точка К (K 1 , К 2 ) будет точкой пересечения данной прямой MN с данным треугольником ABC , как одновременно им принадлежащая, потому что прямая MN пересекается в ней с прямой EF , лежащей в плоскости треугольника ABC .

Упражнение 1
Построить комплексный чертеж треугольника ABC по данным координатам вершин. Найти натуральную величину сторон треугольника и построить его в натуральную величину. По этим же координатам построить наглядное изображение
Упражнение 2
По данным фронтальной проекции многоугольника и горизонтальным проекциям двух смежных сторон его достроить горизонтальную проекцию многоугольника.
В плоскости многоугольника построить проекции произвольного треугольника. Построить точку вне многоугольника, но лежащую в одной плоскости с ним (