Эффект «G-Гиперболизма» или как сравнивать несравнимое. Как сравнить величины: пошаговая инструкция

Относительная величина – это результат деления (сравнения) двух абсолютных величин. В числителе дроби стоит величина, которую сравнивают, а в знаменателе – величина, с которой сравнивают (база сравнения). Например, если сопоставить величины экспорта США и России, которые в 2005 году составили 904,383 и 243,569 млрд. долл. соответственно, то относительная величина покажет, что величина экспорта США в 3,71 раза (904,383/243,569) больше экспорта России, при этом базой сравнения является величина экспорта России. Полученная относительная величина выражена в виде коэффициента , который показывает, во сколько раз сравниваемая абсолютная величина больше базисной. В данном примере база сравнения принята за единицу. В случае если основание принимается за 100, относительная величина выражается в процентах (% ), если за 1000 – в промилле (‰ ). Выбор той или иной формы относительной величины зависит от ее абсолютного значения:

– если сравниваемая величина больше базы сравнения в 2 раза и более, то выбирают форму коэффициента (как в вышеприведенном примере);

– если относительная величина близка к единице, то, как правило, ее выражают в процентах (например, сравнив величины экспорта России в 2006 и 2005 годах, которые составили 304,5 и 243,6 млрд. долл. соответственно, можно сказать, что экспорт в 2006 году составляет 125% от 2005 года );

– если относительная величина значительно меньше единицы (близка к нулю), ее выражают в промилле (например, в 2004 году Россия экспортировала в страны-СНГ всего 4142 тыс. т нефтепродуктов, в том числе в Грузию 10,7 тыс. т, что составляет 0,0026 , или 2,6‰ от всего экспорта нефтепродуктов в страны СНГ).

Различают относительные величины динамики, структуры, координации, сравнения и интенсивности, для краткости именуемые в дальнейшем индексами .

Индекс динамики характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2):

где цифры означают: 1 – отчетный или анализируемый период, 0 – прошлый или базисный период.

Критериальным значением индекса динамики служит единица (или 100%), то есть если >1, то имеет место рост (увеличение) явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – индекс изменения , вычитая из которого единицу (100%), получают темп изменения (динамики) с критериальным значением 0, который определяется по формуле (3):

Если T >0, то имеет место рост явления; Т =0 – стабильность, Т <0 – спад.

В рассмотренном выше примере про экспорт России в 2006 и 2005 году был рассчитан именно индекс динамики по формуле (2): i Д = 304,5/243,6*100% = 125%, что больше критериального значения 100%, что свидетельствует об увеличении экспорта. Используя формулу (3) получим темп изменения: Т = 125% – 100% = 25%, который показывает, что экспорт увеличился на 25%.

Разновидностями индекса динамики являются индексы планового задания и выполнения плана, рассчитываемые для планирования различных величин и контроля их выполнения.

Индекс планового задания – это отношение планового значения признака к базисному. Он определяется по формуле (4):

где X’ 1 – планируемое значение; X 0 – базисное значение признака.

Например, таможенное управление перечислило в федеральный бюджет в 2006 году 160 млрд.руб., а на следующий год запланировали перечислить 200 млрд.руб., значит по формуле (4): i пз = 200/160 = 1,25, то есть плановое задание для таможенного управления на 2007 год составляет 125% от предыдущего года.

Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана , то есть отношение наблюдаемого значения признака к плановому (оптимальному, максимально возможному) значению по формуле (5):

Например, на январь-ноябрь 2006 года таможенные органы запланировали перечислить в федеральный бюджет 1,955 трлн. руб., но фактически перечислили 2,59 трлн. руб., значит по формуле (5): i ВП = 2,59/1,955 = 1,325, или 132,5%, то есть плановое задание выполнили на 132,5%.

Индекс структуры (доля ) – это отношение какой-либо части объекта (совокупности) ко всему объекту. Он определяется по формуле (6):

В рассмотренном выше примере про экспорт нефтепродуктов в страны СНГ, была рассчитана доля этого экспорта в Грузию по формуле (6): d =10,7/4142 = 0,0026, или 2,6‰ .

Индекс координации – это отношение какой-либо части объекта к другой его части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (7):

Например, импорт России в 2006 году составил 163,9 млрд.долл., тогда, сравнив его с экспортом (база сравнения), рассчитаем индекс координации по формуле (7): i К = 163,9/304,5 = 0,538, который показывает соотношение между двумя составными частями внешнеторгового оборота, то есть величина импорта России в 2006 году составляет 53,8% от величины экспорта. Меняя базу сравнения на импорт, по той же формуле получим: i К = 304,5/163,9 = 1,858, то есть экспорт России в 2006 году в 1,858 раза больше импорта, или экспорт составляет 185,8% от импорта.

Индекс сравнения – это сравнение (соотношение) разных объектов по одинаковым признакам. Он определяется по формуле (8):

где А , Б – сравниваемые объекты.

В рассмотренном выше примере, в котором сопоставлялись величины экспорта США и России, был рассчитан именно индекс сравнения по формуле (8): i с = 904,383/243,569 = 3,71. Меняя базу сравнения (то есть экспорт России – объект А, а экспорт США – объект Б), по той же формуле получим: i с = 243,569/904,383 = 0,27, то есть экспорт России составляет 27% от экспорта США.

Индекс интенсивности – это соотношение разных признаков одного объекта между собой. Он определяется по формуле (9):

где X – один признак объекта; Y – другой признак этого же объекта

Например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, цены единицы продукции и т.д.

Тема урока: Больше или меньше? На сколько?

Цель урока : Формирование первоначальных представлений о связи арифметических действий с увеличением/ уменьшением чисел в равенствах.

Задачи :

Систематизировать знания детей о составе чисел первого десятка.

Учить моделировать состав чисел с помощью карточек.

Сформировать представление о связи сложения с увеличением, а вычитания с уменьшением числа.

Совершенствовать умение моделировать условие задачи для ее последующего решения.

Формировать умение осознанно выбирать арифметическое действие при решении задач.

Способствовать развитию умения наблюдать, видеть закономерности, делать выводы.

Поощрять стремление сотрудничать с товарищами при работе в паре.

Формировать умение сопоставлять информацию, представленную в разных видах: текст, рисунок, схема, числовое выражение.

Совершенствовать навыки самоконтроля.

Формировать умение слушать партнера.

Оборудование: учебник Математика 1 класс, рабочая тетрадь математика 1 класс, набор магнитных демонстрационных цифр от 1 до 10, магнитные демонстрационные знаки «+» и «=», раздаточные «рукавички» с цифрами от 1 до 9 и равенствами, комплект карточек с цифрами от 1 до 9 на каждого ребенка ноутбук, проект, сигнальные карточки красного и синего цвета.

План урока.

Этап актуализации знаний.

• Оргмомент 1 мин.

  «Оживление» опыта учащихся с целью создания «ситуации успеха» 5 мин.

  Актуализация опорных знаний 2мин.

  Дифференцированная работа 5 мин.

  Создание проблемной ситуации 1 мин.

Этап ознакомления с новым материалом.

• Решение проблемных ситуаций с комментариями учителя 7 мин.

Операционно-исполнительный этап.

• Работа в подгруппах 4 мин.

Этап отработки навыка.

Применение полученных знаний в самостоятельной деятельности 4 мин.

Работа в парах 1 мин.

Этап рефлексии 2 мин.

Конспект урока.

Этап урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Формы организации деятельности учащихся

Дифференцированная работа

Обратная связь

Прогнозируемый результат

1. Этап актуализации знаний

оргмомент

Настроить ребят на активную работу

Вот звонок нам дал сигнал:

Поработать час настал.

Так что время не теряем

И работать начинаем. В путешествие пойдем, В чудный лес мы попадем.

Фронтальная

Привлечение внимания детей к уроку.

«Оживление» опыта учащихся

Систематизировать знания детей, подтолкнуть к активной работе.

В канун нового года не только люди, но и лесные жители готовятся к празднику. А сегодня мы побываем в сказочном лесу. Дед Мороз позаботился, чтобы и у зверей был праздник. Посмотрите, елочки уже с гирляндами, но огоньки на них не горят. Чтобы они зажглись, нужно верно подобрать числа, которые в сумме дают число на каждой елочке. (6,7,8,9,10)

Фронтальная

Работа детей с карточками, ответы учащихся, взаимный анализ вариантов ответов

Создание интереса и положительного настроя.

Закрепят и систематизируют знание состава чисел.

Актуализация опорных знаний.

Оживить и систематизировать навыки детей в выполнении вычислительных операциях с числами в пределах 10.

Елочки готовы, но не хватает игрушек, Дед Мороз и об этом не забыл. Он приготовил им игрушки. 5 красных шариков и 7 синих. А каких шариков больше? Что больше 5 или 7? На сколько 5 больше 7?

Фронтальная

По степени помощи, подведение к правильным ответам.

Взаимный анализ вариантов ответов.

Умение сравнивать числа, выполнять сложение и вычитание на основе знания состава числа.

Дифференцированная работа

Умение моделировать условие задачи для ее последующего решения, умение осознанно выбирать арифметическое действие при решении задач.

Дети планируют собственную деятельность. Дифференциация содержания учебных заданий организована по уровню трудности. Для 3 и 2 групп – белочки и зайчики используется частично-поисковый метод. Для детей 1 группы с низким уровнем обучаемости используется репродуктивное задание. Характер познавательной деятельности у детей 1-ой группы – репродуктивный, у детей 2-ой и 3 групп – продуктивный

На праздник все ждут подарки. Дед мороз не знает сколько подарков нужно.

Демонстрация условия задачи на экране.

«На новогодний праздник пришли 7 зайчиков, а потом еще 2. Сколько зверей пришли на праздник?»

1 подгруппа: самостоятельное изображение схемы задачи и составление ее равенства.

2 подгруппа: помощь при изображении схемы и самостоятельное составление равенства.

3 подгруппа: совместное с учителем написание схемы и равенства.

Подгрупповая

По степени сложности.

Составление схемы задачи и равенства к ней в тетради, ответы детей, работа у доски.

Поупражняются в способах составления схем и равенств к задаче.

Физкультминутка «Вспомни и покажи».

Если я покажу четное число, то вы должны присесть столько раз, какое число я показала, а если назову нечетное – ваша задача сделать столько хлопков над головой, какое число я назвала.

Создание проблемной ситуации.

Принятие задачи и ее формулировка детьми.

На экране демонстрируется еще одна задача

«На празднике сначала было 7 зайчиков, а потом стало 9. На сколько больше зверят стало на празднике?»

Подойдет ли наша схема к данной задаче?

Чего не хватает в нашей схеме?

Что нам известно в задаче?

Какой поставлен вопрос?

Почему наша схема к данной задаче не подходит?

Фронтальная.

Совместное формулирование проблемы Ответы детей.

Принятие детьми проблемы.

2. Этап ознакомления с новым материалом.

Решение проблемных ситуаций с комментариями учителя

Совместное разрешение проблемы и вывод.

Развитие мыслительных операций, формирование и развитие логических операций

В процессе обсуждения учащиеся приходят к выводу, что нужна другая схема и изображают ее с опорой на условие задачи.

Ребята, посмотрите, теперь мы видим сколько пришло зайчиков сначала, и сколько потом их стало.

А как нам показать на схеме, насколько зверей стало больше?

Мы вычеркнем количество зверей, которое было из общего количества зверей. Учитель демонстрирует это на схеме, зачеркивая 7 кружков.

Сколько кружков осталось?

Как мы получили число 2?

Мы из большего числа вычли меньшее.

Вывод: чтобы узнать на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее. Это утверждение сопровождается схематичной жестикуляцией.

Индивидуальная и фронтальная

Ответы детей, работа со схемой и равенством в тетради.

Соотнесение своих знаний с новым материалом

Физкультминутка.

Музыкально-динамическая интерактивная физкультминутка с использованием мультимедийной установки «Веселая зарядка».

3.Операционно-исполнительный этап

Работа в подгруппах

Создание возможности выразить свою точку зрения, умение работать в подгруппе, развитие коммуникативных способностей

Работа с раздаточным материалом «рукавичками».

Ребята, а всем зайчатам, чтобы не замерзнуть нужны рукавички, давайте им поможем подобрать пару.

На рукавичках даны равенства к которым нужно подобрать необходимое число.

Контроль осуществляется через представление командами результатов работы. На оставшихся лишних рукавичках сравниваются числа и выясняется на сколько одно число больше или меньше другого. Ответ каждой подгруппы оценивается другими подгруппами при помощи сигнальной карточки.

Групповая

Ответы детей

Поупражняются в решении равенств на основе знания состава числа и в сравнении чисел.

4. Этап отработки навыка.

Применение полученных знаний в самостоятельной деятельности

Систематизация представлений о связи сложения с увеличением, а вычитания с уменьшением числа.

Работа с учебником.

Ребята, посмотрите, нам необходимо поставить знаки < или > .

Первое равенство обсуждается совместно, последующие выполняются учениками самостоятельно.

Групповая, парная, индивидуальная.

По степени помощи.

Ответы детей, работа в тетрадях, работа в парах.

Усовершенствование навыков сравнения чисел.

Работа в парах.

Работа в парах способствует формированию коммуникативных навыков, а также создается ситуация успеха для слабых и средне-слабых учащихся, которые тоже ощущают свою значимость. Ребята получают возможность доказать друг другу правильность решения.

Ребята, а теперь вы с соседом поменяйтесь тетрадями и давайте проверим, верно ли вы выполнили задание.

Парная

По степени помощи

Умение работать в паре

Усовершенствование навыков сравнения чисел и постановки знаков > и < .

5.Этап рефлексии.

Ученики оценивают свою работу по усвоению нового материала и в целом работу на уроке.

Ребята, а теперь отметьте на нашей дорожке как вы научились сравнивать два числа. Кто понял и теперь умеет это делать – поставьте * на верх дорожки, кто еще затрудняется – в середину. Кому сложно и нужно еще поучиться вниз.

И смайликом отметьте, ваше отношение к уроку. Если вы активно работали и вам было интересно, то улыбку.

А если вам было сложно и непонятно, то – грусть.

Фронтальная.

Способность к рефлексии.

Осознают, что схема к задаче зависит от поставленного условия, утверждаются в способе сравнения двух чисел.

Предмет: математика

Наименование учебно-методического комплекта (УМК): «РИТМ »

Тема урока: Сравнение чисел и величин по длине, объёму, массе .

Тип урока: Систематизация и обобщение знаний.

Цель урока: учить первоклассников устанавливать связи «схема-признак»; восстановить в их памяти способы сравнения предметов по изученным признакам; обобщить и закрепить материал о величинах (на примере величин длина, объем, масса).

Задачи урока:

Сформировать способность к описанию результатов наблюдений за свойствами предметов (цвет, форма, размер, материал, объем, площадь, масса);

Сформировать умение выделять совокупности предметов или фигур, обладающих общим признаком;

Тренировать мыслительные операции, развивать моторику мелких мышц, способность к самоконтролю, развивать навыки общения;

Воспитывать у учащихся отношения делового сотрудничества (доброжелательность друг к другу, уважать мнение других, уметь слушать товарищей);

Прививать интерес к предмету.

Планируемые результаты:

Личностные :

Формировать учебно-познавательный интерес к материалу;

Умение оценивать свою работу и работу своих товарищей;

Воспитывать ответственность за свою работу;

Развивать мотивацию к учению и познанию;

готовность и способность к саморазвитию, развитие толерантности.

Метапредметные:

регулятивные:

Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

Проговаривать последовательность действий на уроке;

Понимать учебную задачу урока; осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя;

Оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

Высказывать своё предположение;

познавательные:

Уметь ориентироваться в своей системе знаний;

Находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке;

коммуникативные:

Формулировать собственное мнение и позицию;

Слушать и понимать мнение других;

Выполнять правила работы в паре;

Предметные:

Умение отличать свойства предметов, которые являются величинами, от тех свойств, которые не являются величинами;

Знания о том, что можно делать с величинами: сравнивать, измерять;

Умение сравнивать величины и их числовые значения;

Умение сравнивать результаты;

Умение работать в группе.

Оборудование урока : демонстрационные карточки с названиями признаков (длина, объем, цвет, площадь, форма, периметр, ширина, материал, масса), карточки (индивидуальные), весы, 4 кубика (внешне одинаковые, но различные по массе – 2 кубика одинаковой массы), демонстрационный кораблик, презентация к уроку.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, раздаточный материал для работы групп (шарики, мячики, коробочки из разного материала, разные по размеру, воздушные шары, проволока), математический веер, карточки для индивидуальной работы.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Сначала рассмотрим задачу сравнения величины измеряемой в эксперименте, с константой а. Величину можно определить лишь приближенно, вычисляя среднее по измерениям. Надо узнать, выполняется ли соотношение . В этом случае ставят две задачи, прямую и обратную:

а) по известной величине найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью

б) найти вероятность того, что , где а - заданная константа.

Очевидно, если то вероятность того, что меньше 1/2. Этот случай не представляет интереса, и далее будем считать, что

Задача сводится к задачам, разобранным в п. 2. Пусть по измерениям определены X и его стандарт

Число измерений будем считать не очень малым, так что есть случайная величина с нормальным распределением. Тогда из критерия Стьюдента (9) при учете симметрии нормального распределения следует, что для произвольно выбранной вероятности выполняется условие

Полагая перепишем это выражение в следующем виде:

где - заданные в таблице 23 коэффициенты Стьюдента. Тем самым, прямая задача решена: найдена константа а, которую с вероятностью превышает

Обратная задача решается при помощи прямой. Перепишем формулы (23) следующим образом:

Это значит, что надо вычислить t по известным значениям а, выбрать в таблице 23 строку с данным - и найти по величине t соответствующее значение Оно определяет искомую вероятность

Две случайные величины. Часто требуется установить влияние некоторого фактора на исследуемую величину - например, увеличивает ли (и насколько) прочность металла определенная присадка. Для этого надо измерить прочность исходного металла и прочность легированного металла у и сравнить эти две величины, т. е. найти

Сравниваемые величины являются случайными; так, свойства металла определенной марки меняются от плавки к плавке, поскольку сырье и режим плавки не строго одинаковы. Обозначим эти величины через . Величина исследуемого эффекта равна и требуется определить, выполняется ли условие

Таким образом, задача свелась к сравнению случайной величины с константой а, разобранному выше. Прямая и обратная задачи сравнения в этом случае формулируются следующим образом:

а) по результатам измерений найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью (т. е. оценить величину исследуемого эффекта);

б) определить вероятность того, что где а - желательная величина эффекта; при это означает, чтонадо определить вероятность, с которой

Для решения этих задач надо вычислить z и дисперсию этой величины. Рассмотрим два способа их нахождения.

Независимые измерения. Измерим величину в экспериментах, а величину экспериментах, независимых от первых экспериментов. Вычислим средние значения по обычным формулам:

Эти средние сами являются случайными величинами, причем их стандарты (не путать со стандартами единичных измерений!) приближенно определяются несмещенными оценками:

Поскольку эксперименты независимы, то случайные величины х и у также независимы, так что при вычислении их математические ожидания вычитаются, а дисперсии складываются:

Несколько более точная оценка дисперсии такова:

Таким образом, и ее дисперсия найдены, и дальнейшие вычисления производятся по формулам (23) или (24).

Согласованные измерения. Более высокую точность дает другой способ обработки, когда в каждом из экспериментов одновременно измеряют . Например, после выпуска половины плавки в оставшийся в печи металл добавляют присадку, а затем сравнивают образцы металла из каждой половины плавки.

При этом, по существу, в каждом эксперименте измеряют сразу значение одной случайной величины , которую надо сравнить с константой а. Обработка измерений тогда производится по формулам (21)-(24), где вместо надо всюду подставить z.

Дисперсия при согласованных измерениях будет меньше, чем при независимых, поскольку она обусловлена только частью случайных факторов: те факторы, которые согласованно меняют , не влияют на разброс их разности. Поэтому такой способ позволяет получить более достоверные выводы.

Пример. Любопытной иллюстрацией сравнения величин является определение победителя в тех видах спорта, где судейство ведется «на глазок» - гимнастика, фигурное катание и т. д.

Таблица 24. Судейские оценки в баллах

В таблице 24 приведен протокол соревнований по выездке на Олимпийских играх 1972 г. Видно, что разброс судейских оценок велик, причем ни одну оценку нельзя признать грубо ошибочной и откинуть. На первый взгляд кажется, что достоверность определения победителя невелика.

Рассчитаем, насколько правильно определен победитель, т. е. какова вероятность события . Поскольку оценки обеим всадницам выставлялись одними и теми же судьями, можно воспользоваться способом согласованных измерений. По таблице 24 вычисляем подставляя в формулу (24) эти значения и получим .

Выбирая в таблице 23 строку находим, что этому значению t соответствует Отсюда т. е. с вероятностью 90% золотая медаль присуждена правильно.

Сравнение по способу независимых измерений даст несколько худшую оценку, поскольку оно не использует информацию о том, что оценки выставляли одни и те же судьи.

Сравнение дисперсий. Пусть требуется сравнить две методики эксперимента. Очевидно, точнее та методика, у которой дисперсия единичного измерения меньше (разумеется, если при этом не увеличивается систематическая ошибка). Значит, надо установить, выполняется ли неравенство .